Циклы

Циклы
Рассмотрим еще один пример, где уже приходиться использовать два цикла, один
внутри другого.
Пример 5. Составить программу вывода всех натуральных чисел, меньших n,
квадрат суммы цифр которых равен заданному числу m.
Сущность задачи такова. Вводится натуральное число, до которого надо выводить
все натуральные числа, удовлетворяющие заданному условию. Пусть, например,
пользователь введет число - 21.
Второе число, которое надо ввести пользователю - это число, которому равен
квадрат суммы цифр натуральных чисел.
Понятно, что это число должно быть точным квадратом, оно может быть: 4, 9, 16, 25,
36 и т.д.
Допустим, что пользователь ввел число 4.
Надо найти все натуральные числа от 1 до 21, квадрат суммы цифр которых равна 4.
Начинаем из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 21, выбирать те, которые удовлетворяют заданному
условию.
Первое из них - 2, так как 22 = 4, второе - 11, так как (1 + 1)2 = 22 = 4, третье - 20, так
как (2 + 0)2 = 22 = 4.
Других натуральных чисел до 21, удовлетворяющих такому условию нет.
Все отобранные числа надо вывести на экран, т. е. 2, 11 и 20.
Алгоритм
1. Раздел описаний.
Переменные: n, m, k, a, p, s. Тип целый.
n - для границы значений натуральных чисел, m - для числа, с которым сравнивается
квадрат суммы цифр (точный квадрат), k - для натуральных чисел от 1 до n, a - для
запоминания натурального числа, перед тем, как будет определяться сумма его цифр, p для цифр числа, s - для суммы цифр.
2. Раздел операторов.
Ввод значений n и m. Установить первоначальное значение для k (эта переменная
"перебирает" все натуральные числа от 1 до n, k := 1).
Цикл, пока k <= n.
В цикле: установить первоначальные значения для суммы s (s:=0); запомнить число
в переменную a (a := k).
Цикл для подсчета суммы цифр, пока k <> 0.
В цикле: выделять по одной цифре числа, известным способом; прибавлять по одной
цифре к сумме; уменьшать число на последнюю цифру и на порядок.
Закончить цикл для подсчета суммы цифр.
Проверка выполнения условия.
Если квадрат суммы цифр равен заданному числу,
тогда вывести это натуральное число на экран.
Перейти к проверке следующего числа.
Закончить основной цикл проверки чисел.
3. Закончить программу.
По этому алгоритму составим программу.
Program Problem5;
uses WinCrt;
var


n, m, k, a, p, s : integer;
begin
write('Введите натуральное число, до которого ');
write('выводить искомые числа '); readln(n);
writeln('Введите число, с которым сравниваете квадрат');
write('его суммы цифр. Оно должно быть точн. квадрат. '); readln(m);
write('Искомые числа: ');
k := 1;
while k <= n do
begin
s := 0; a := k;
while k <> 0 do
begin
p := k mod 10;
s := s + p;
k := k div 10
end;
if sqr(s) = m then write(a, ' ');
k := a + 1
end
end.
В программе два цикла. Один - внешний, для натуральных чисел, второй внутренний, для подсчета суммы цифр числа.
Упражнения
10. Найти все трехзначные числа, при делении каждого из которых на 11 получается
частное, равное сумме квадратов значений отдельных цифр данного числа.
11. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру
переместить через два знака влево, т. е. с этой цифры будет начинаться запись нового
числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите
это число.
12. Найдите все трехзначные числа, которые равны сумме кубов своих цифр.
13. Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру
перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного
числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.
14. Дано целое число n 10. Написать программу получения m последних цифр
десятичной записи числа n.
15. Найти четырехзначное число, равное квадрату числа, выраженного двумя
последними цифрами этого четырехзначного числа.
16. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих
делителей, за исключением самого себя.
Число 6 является совершенным, так как 6 = 1 + 2 + 3, число 8 не является
совершенным, так как 8 не равно 1 + 2 + 4. Написать программу вывода всех совершенных
чисел, меньших заданного числа n.
17. Найти четырехзначные числа, каждое из которых делится на 11 и сумма цифр
каждого равна 11.
18. Найти четырехзначные числа, которые, будучи приписаны справа к числу 400,
дают полный квадрат.


Ответы
Задача Написать программу переработки данного целого числа n  10 в целое число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке
1-й способ
Program Task2_2;
uses WinCrt;
var
n, p, n1 : longint;
begin
write('Введите натуральное число n '); readln(n);
n1 := 0;
while n > 0 do
begin
p := n mod 10;
n1 := n1*10 + p;
n := n div 10
end;
writeln('Число, после перестановки цифр ', n1 + n)
end.
2-й способ
Program Task2_2a;
uses WinCrt;
var
n, p, n1 : longint;
begin
write('Введите натуральное число '); readln(n);
n1 := 0;
while n > 0 do
begin
n1 := n1*10 + n mod 10;
n := n div 10
end;
writeln('Число, после перестановки цифр равно ', n1)
end.
Задача Найти все трехзначные числа, сумма цифр которых равна данному
натуральному числу. (Программа с циклом и условием.)
Program Task3_2;
uses WinCrt;
var
n, a, p, b, s : integer;
begin
write('Введите натуральное число меньшее 28 '); readln(a);
b := 100;
writeln('Трехзначные числа, сумма цифр которых');
write('равна числу ', a, ' следующие: ');
while b < 1000 do
begin
s := 0; n := b;
while n <> 0 do
begin
p := n mod 10;
s := s + p;


n := n div 10
end;
if s = a then write(b, ', ');
b := b + 1
end; writeln
end.
Задача Найти двузначное число, обладающее тем свойством, что если сложить его с
суммой кубов его цифр, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке.
Program Task3_3;
uses WinCrt;
var
n, d, e : integer;
begin
n := 10;
write('Искомое двузначное число ');
while n <= 99 do
begin
d := n div 10; e := n mod 10;
if n + d*d*d + e*e*e = e*10 + d then writeln(n);
n := n + 1
end
end.
Составить программу нахождения всех натуральных чисел n  100000, сумма цифр
которых равна заданному натуральному числу
Program Task4;
uses WinCrt;
var
n, a, p, b, s : integer;
begin
write('Введите натуральное число '); readln(a);
b := 1;
writeln('Натуральные числа, сумма цифр ');
write('которых равна числу ', a, ' следующие: ');
while b < 32767 do
begin
s := 0; n := b;
while n <> 0 do
begin
p := n mod 10; s := s + p; n := n div 10
end;
if s = a then write(b, ', ');
b := b + 1
end; writeln
end.


Глава 5. Цикл с последующим условием. Оператор
repeat...until...
1. Оператор цикла с последующим условием (постусловием) похож на оператор
цикла с предусловием, но условие вычисляется и проверяется после выполнения
операторов, составляющих тело цикла.
Общий вид оператора цикла с постусловием такой:
repeat
s1; s2; s3; ..
until <условие>,
где s1, s2, s3, ... - операторы тела цикла; <условие> - логическое выражение.
Переводится: repeat - повторять, until - до тех пор пока.
Как видите, такой цикл начинается с выполнения операторов внутри цикла, а уже
затем вычисляется выражение, записанное в условии.
Если значение этого выражения истинно, тогда осуществляется выход из цикла, если
значение ложно, то цикл продолжается и снова выполняются операторы
s1, s2, s3, ... .
Надо сразу заметить, что в отличии от цикла while ... do, в цикле repeat ... until ...
операторные скобки begin ... end могут не использоваться, хотя и использование их вреда
не принесет. Можно сказать другими словами, что оператор цикла repeat ... until. ... не
требует операторных скобок begin ... end.
Рассмотрим работу этого оператора на примере.
Пример 1. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5, 6
соответственно остатки 1, 2, 3, 4, 5.
Задачу будем решать так: берется наименьшее натуральное число - единица и
находятся остатки от деления его на 2, 3, 4, 5 и 6; если остатки будут равны 1, 2, 3, 4 и 5,
тогда это число является искомым, его надо выдать на экран и закончить программу, в
противном случае, надо брать следующее натуральное число - 2 и проверять его, и так
далее.
Программа, составленная по этой идее, очень проста:
Program Problem1;
uses WinCrt;
var
n : integer;
begin
n := 0;
repeat
n := n + 1;
until (n mod 2 = 1) and (n mod 3 = 2) and (n mod 4 = 3) and
(n mod 5 = 4) and (n mod 6 = 5);
writeln('Искомое целое число ', n)
end.
Еще один пример, который демонстрирует работу цикла с постусловием.
Пример 2. Числа, одинаково читающиеся и слева направо, и справа налево,
называются палиндромами. Например, числа 42324 или 1331 - палиндромы. Составьте
программу, которая будет находить числа - палиндромы из заданного промежутка.


Логика составления программы такова.
Переставить цифры в числе и сравнить полученное число с заданным.
Раньше уже составлялась программа перестановки цифр числа, которая была
выполнена с помощью цикла с предусловием
while ... do ...
Как будет построена часть программы о перестановки цифр с помощью цикла
repeat ... until ...
Пусть заданное число a, тогда введем еще одну переменную b, которой будет
присвоено значение переменной a (для чего это делается вы узнаете позже): b := a;
Заведем еще одну переменную a1 для нового числа, в котором цифры уже будут
переставлены.
Первоначальное значение этой переменной - ноль: a1 := 0;
Почему значение этой переменной равно нулю станет ясно из программы.
Далее организуем цикл repeat, в котором будет происходить перестановка цифр
числа b:
repeat
a1 := a1*10 + b mod 10;
b := b div 10
until b = 0;
Итак, в цикле, также как и в цикле while ... do ..., отделяется последняя цифра:
b mod 10; (например, 343 mod 10 = 3); переменной a1 присваивается значение:
a1 := a1*10 + b mod 10; 0 * 10 + 3 =3;
"отбрасывается" последняя цифра заданного числа с помощью операции
целочисленного деления:
b := b div 10; 343 div 10 = 34;
проверяется условие: b = 0, 34 = 0, условие не выполняется, значит цикл
продолжается.
Отделяется последняя цифра уже нового числа:
b mod 10 = 34 mod 10;
новое число a1, уже равное 3, умножается на 10 и к результату прибавляется
следующая цифра - 4:
a1 := a1*10 + b mod 10;
"отбрасывается" последняя цифра числа b:
b := b div 10 ; 34 div 10 = 3;
проверяется условие: b = 0, 3 = 0; условие не выполняется, значит цикл
продолжается.
Отделяется последняя цифра числа:
b mod 10 ; 3 mod 10 = 3;
формируется новое число:
a1 := a1*10 + b mod 10 ; 34 * 10 + 3 = 343;
"отбрасывается" последняя цифра числа и получается новое число:
b := b div 10 ; 3 div 10 = 0;
проверяется условие: b = 0, 0 = 0; условие выполняется, значит цикл заканчивается.
Теперь становится ясно, почему введена другая переменная b для заданного числа,
ее значение в цикле меняется от начального до нуля и, чтобы сохранить заданное число в
переменной a, и вводится, так сказать, "рабочая" переменная - b.
После окончания цикла перестановки цифр числа, сравнивается первоначальное
число, которое "сохранилось" в переменной a и число, которое получилось после
перестановки цифр и "накопилось" в переменной a1.
Если a = a1, тогда значение a выдается на экран, так как это число является
палиндромом.


Далее, значение a увеличивается на 1, т. е. берется для рассмотрения следующее по
порядку натуральное число и снова продолжается внешний цикл. Цифры числа
переставляются, полученное новое число после перестановки цифр - a1, сравнивается с
первоначальным a и так далее.
Внешний цикл заканчивается, когда значение a становится равным правой границе
интервала - n.
Составим программу
Program Problem2;
uses WinCrt;
var
m, n, a, b, a1 : longint;
begin
write('Введите левую границу промежутка '); readln(m);
write('Введите правую границу промежутка '); readln(n);
a := m;
writeln('Числа палиндромы из [', m, ';', n, ']');
repeat
b := a; a1 := 0;
repeat
a1 := a1*10 + b mod 10;
b := b div 10
until b=0;
if a1 = a then write(a, ' ');
a := a + 1
until a > n;
end.
Программы, составленные с циклом с предусловием (while ... do...), легко можно
переделать с циклом с постусловием (repeat ... until ...) и они будут такими:
Программа, подсчитывающая сумму цифр числа:
Program Sum; { Сумма цифр числа }
uses WinCrt;
var
n, s, a : integer;
begin
write('Введите целое число '); readln(n);
a := n; s := 0;
repeat
s := s + n mod 10; n := n div 10
until n = 0;
writeln('Сумма цифр числа ', a, ' равна ', s)
end.
Программа перестановки первой и последней цифр в числе:
Program Transpose;
uses WinCrt;
var
n, n1, p, a, i : longint;
begin


write('Введите натуральное число n '); readln(n);
a := n; i := 1;
p := n mod 10; {последняя цифра введенного числа}
repeat
i := i*10; n := n div 10
until n<10;
n1 := a - n*i - p + n + p*i;
writeln('Число после перестановки цифр ', n1)
end.
Схематически цикл repeat можно изобразить так (см. рис. 21):
s1; s2; ..., sn
нет
Условие
да
Рис. 21
2. Различия между циклом - while и циклом - repeat
1. Оператор, находящийся в цикле while, повторяется до тех пор, пока условие
удовлетворено (т.е. истинно). Последовательность операторов, находящихся в цикле
repeat, повторяется до тех пор, пока условие не удовлетворено (т. е. ложно).
Следовательно, в цикле while используется условие продолжения цикла, а в цикле
repeat - условие окончания цикла.
2. В цикле while повторяется один оператор (несколько операторов надо объединять
в составной оператор с помощью операторных скобок begin ... end), а в цикле repeat
можно повторять несколько операторов без операторных скобок.
3. В цикле while сначала проверяется условие, а после этого в зависимости от
значения условия выполняется или не выполняется оператор или группа операторов
после слова do.
В цикле repeat последовательность операторов выполняется один раз, а после этого
проверяется условие, т. е. эта последовательность всегда выполняется хотя бы один раз, а
в цикле while операторы, составляющие тело цикла могут вообще не выполняться ни
одного раза.
3. Программы с совместным использованием циклов repeat и
while ... do ...
Пример 3. Если мы сложим все цифры какого-либо числа, затем - все цифры
найденной суммы и будем повторять это много раз, мы наконец получим однозначное
число (цифру), называемое цифровым корнем данного числа. Например, цифровой корень
числа 561 равен 3 (5 + 6 + 1 = 12; 1 + 2 = 3).
Составьте программу для нахождения числового корня числа.


Соображения по составлению программы
Ясно, что в программе должен быть цикл, который определяет сумму цифр числа. В
свою очередь, этот цикл должен также выполняться до тех пор, пока значение суммы
цифр не станет равным одной цифре, т.е. станет меньше 10, но остается больше 0. Для
этого надо организовать еще один цикл, который будет являться внешним по отношению к
циклу, подсчитывающему сумму цифр.
Одна тонкая особенность! Каждый раз после выполнения внутреннего цикла
подсчета суммы цифр, значение этой суммы надо присваивать переменной, в которой
содержится первоначальное число, т. е. заменять число на его сумму, проверять условие
(не является ли сумма меньше десяти) и продолжать цикл уже с новым числом - суммой,
если условие не выполняется. А ту переменную, в которой накапливалась сумма надо
каждый раз не забывать обнулять.
Итак, если введенное число было присвоено переменной n, а сумма его цифр
переменной s, то после подсчета суммы цифр, переменная должна получить значение s
(n:= s), проверить условие (n < 10), если оно еще не выполняется, тогда обнулить
переменную s (s:= 0) и продолжить цикл подсчета суммы цифр.
Внешний цикл по проверке значения суммы организуем с помощью операторов
repeat ... until n < 10, а внутренний по подсчету суммы цифр с помощью операторов while
... do.
Программа
Program Problem3; { Цифровой корень числа }
uses WinCrt;
var
n, a, s : integer;
begin
write('Введите натуральное число '); readln(n);
a := n;
repeat
s := 0;
while n <> 0 do
begin
s := s + n mod 10; n := n div 10
end;
n := s
until n < 10;
writeln('Цифровой корень числа ', a, ' равен ', n)
end.
4. Разные задачи
Пример 1. Составить программу определения всех делителей числа n.
Когда ставится такая задача, то очень часто учащиеся предлагают такой способ
решения.
Надо испробовать все натуральные числа, начиная от 1 до n и, если какое-то из них
будет являться делителем числа n, тогда выдавать его на экран. Например, для числа 36,
берем для проверки числа 1, 2, 3, ..., 36 и выбираем из них делители 36. Делители будут
следующими: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.
Такой способ возможен. Но, если вы внимательно посмотрите на делители числа 36,
то обнаружите, что все они находятся в интервале от 1 до 18, т.е. до половины числа 36 и
лишь последний делитель - это само число.


Да и простая логика рассуждений убеждает нас, что делители будут располагаться
n
именно в этом интервале: от 1 до .
2
Если допустить мысль, что есть делитель больше половины числа, тогда умножив
его только лишь на 2, мы получим число большее заданного.
Итак, становится ясным, что все делители числа, кроме самого, находятся в
n
промежутке от 1 до , а значит надо проверять числа на возможные делители именно из
2
этого промежутка.
n
Отсюда возникает такой план составления программы: организовать цикл от 1 до ;
2
если число n делится на число из этого промежутка, тогда вывести этот делитель на
экран; продолжить цикл; выдать на экран само число.
Программа
Program Problem1; { Простой алгоритм. 1 - способ }
uses WinCrt;
var
n, d : integer;
begin
write('Введите целое число '); readln(n);
d := 1;
writeln('Делители числа ', n);
repeat
if n mod d = 0 then write(d, ' ');
d := d + 1
until d > n div 2;
write(n)
end.
Но и при решении этой задачи машине можно помочь и облегчить ее работу. Здесь
на помощь снова приходит математика.
Оказывается, для того чтобы найти делители числа n, достаточно обнаружить
делители не превышающие n .
Все остальные делители получаются в результате деления числа n на найденные
делители.
Например, если n = 30, то достаточно найти делители 1, 2, 3, 5 (натуральный
квадратный корень из 30 равен 5), а все прочие делители получаются делением на
найденные:
30 div 1 = 30;
30 div 2 = 15;
30 div 3 = 10;
30 div 5 = 6.
При составлении программы возникает проблема - нет встроенной функции
извлечения квадратного корня в множестве целых чисел. Это препятствие легко обойти,
если организовать цикл для выбора делителей d от 1 до тех пор пока d*d<n (что является
тем же, что и d < n), а если корень квадратный извлекается нацело, тогда этот случай
надо рассмотреть отдельно после завершения основного цикла.
Почему надо сделать именно так. Это становится понятным на примере для числа
36. 36 = 6, цикл - пока d  d < 6;
d = 1, d  d = 1  1 = 1 < 36 (истина),
цикл продолжается;


находится остаток от деления 36 mod 1 = 0; выдается 1 и частное от деления 36 на 1,
36 div 1 =36;
d = 2, d  d = 2  2 = 4 < 36 (истина),
цикл продолжается;
36 mod 2 = 0;
выдается 2 и частное от деления 36 на 2, 36 div 2 = 18;
d = 3, d  d = 3  3 = 9 < 36 (истина),
цикл продолжается;
36 mod 3 = 0;
выдается 3 и частное от деления 36 на 3, 36 div 3 = 12;
d = 4, d  d = 4  4 = 16 < 36 (истина),
цикл продолжается;
36 mod 4 =0;
выдается 4 и 36 div 4 = 9;
d = 5, d  d = 5  5 = 25 < 36 (истина),
цикл продолжается;
36 mod 5 <>0, ничего не выдается на экран,
цикл продолжается;
d = 6, d  d = 6  6 = 36 < 36 (ложь), цикл заканчивается.
Проверяется d = 6 (d  d = n), 6  6 = 36 (истина), выдается 6.
Если бы цикл продолжался, пока d  d <= n, тогда при d = 6 на экран выдавалось бы
- 6 и 36 div 6 = 6, т. е. две шестерки, что было бы ошибкой.
Программа
Program Problem1a; { Делители числа. 2 - способ }
uses WinCrt;
var
n, d : integer;
begin
write('Введите целое число '); readln(n);
writeln('Делители числа ', n);
d := 1;
while d*d < n do
begin
if n mod d=0 then write(d, ' ', n div d, ' ');
d := d + 1
end;
if d*d = n then write(d); writeln
end.
Составьте программу, которая будет находить число делителей и их сумму для
данного натурального числа.
Пример 2. Найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел a и b.
Вопрос определения наибольшего общего делителя двух чисел настолько детально и
тщательно изложен во всех учебных пособиях, что сообщить что-нибудь новое в
составлении алгоритмов нахождения НОД очень трудно.
Однако, я заметил, что в большинстве пособий излагается определение НОД с
помощью алгоритма Евклида, причем не самым лучшим способом.
Мы изберем другой подход к этому вопросу, как мне кажется, более естественный.


Итак, допустим, что мы не знаем алгоритма Евклида и пробуем исходя из
элементарных знаний математики и простой логики рассуждений найти наибольший
общий делитель чисел, а затем и составить программу.
Прежде четко определим для себя, что такое НОД двух чисел. Так, для чисел 36 и 45
существуют три общих делителя: 1, 3, 9. Наибольший среди них 9. Он и является НОД
чисел 36 и 45.
Для 30 и 45 немного больше общих делителей: 1, 3, 5 и 15. Наибольшим является 15,
значит НОД(30, 45) = 15.
Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число среди всех
общих делителей чисел a и b.
Тогда, по логике вещей, возникает естественная идея найти НОД следующим
образом.
Во-первых, надо проверить не делится ли одно из чисел на другое, если делится,
тогда то на которое разделилось и является наибольшим общим делителем. Например,
для чисел 45 и 15 НОД будет число 15. Если ни одно из них не делится на другое, тогда
будем брать поочередно все натуральные числа от 1 до меньшего из чисел a или b и
проверять на какие из них делятся оба числа, последний из этих общих делителей и будет
наибольшим.
Такой процесс для чисел 36 и 45 будет выглядеть так:
проверяем деление a на b и b на a;
находим остаток от деления на 1, 36 mod 1= 0, 45 mod 1 = 0, значит 1 - общий
делитель;
на 2, 36 mod 2 = 0, 45 mod 2 <>0, 2 не является общим делителем;
на 3, 36 mod 3 = 0, 45 mod 3 = 0, 3 - общий делитель;
на 4, .................................................. и так далее до 36.
Последний из этих общих делителей будет 9, он и является НОД.
Нетрудно составить и программу по такому простому алгоритму.
Program Problem2;
uses WinCrt;
var
a, b, n, k, i : integer;
begin
write('Введите первое число '); readln(a);
write('Введите второе число '); readln(b);
if a mod b = 0
then n := b
else
if b mod a = 0
then n := a
else
begin
if a > b then i := b else i := a;
k := 1;
while k < i do
begin
if (a mod k = 0) and (b mod k = 0) then n := k;
k := k + 1
end
end;
writeln('НОД числе ', a,' и ', b, ' равен ', n)
end.


Но подумайте, сколько бесполезной работы проделывает компьютер, работая по
этой программе!
Так, для чисел 36 и 45 всего цикл будет выполняться 36 раз. Из них "чисто"
бесполезных или "пустых" будет 27, так как наибольший общий делитель равен 9 и от 9
до 36 - бесполезная работа.
Естественно возникает вопрос, а нельзя ли выбрать другой путь для определения
НОД? А что, если попробовать "с другого конца", т.е. выбрать меньшее число и
уменьшать его на единицу, каждый раз проверяя, не является ли полученное число
делителем.
Как только такой делитель найден, цикл прекращается, а этот делитель и будет
наибольшим, таким образом, число бесполезных циклов уменьшится.
Например, для тех же чисел 36 и 45 цикл уже будет выполняться не 36 раз, а 27: 36,
35, 34, 33, 32, 31, ..., 9.
Алгоритм
Выбираем меньшее из введенных чисел; начинается цикл, который выполняется с
уменьшением меньшего из чисел на единицу и последующей проверкой условия, является
ли оно общим делителем чисел; как только делитель найден, цикл заканчивается; на экран
выводится найденный делитель, который является НОД.
По алгоритму составим программу:
Program Problem2a;
uses WinCrt;
var
a, b, n, k : integer;
begin
write('Введите первое число '); readln(a);
write('Введите второе число '); readln(b);
if a > b then k := b else k := a;
n := k + 1;
repeat
n := n - 1
until (a mod n = 0) and (b mod n = 0) ;
writeln('НОД чисел ', a, ' и ', b, ' равен ', n)
end.
При такой конструкции программы уже не надо проверять деление одного числа на
другое (подумайте почему?).
Конечно, эти программы можно усовершенствовать, сделать менее трудоемкими для
компьютера (попробуйте это сделать сами), и все-таки нам придется обратиться к
алгоритмам Евклида, которые до сих пор являются совершенством в математике.
Они отличаются не только математической оригинальностью, но и простотой. Все
гениальное просто!
Итак, первый из алгоритмов Евклида нахождения НОД состоит в следующем.
Например, надо найти НОД чисел 36 и 45.
Вычитаем из большего числа меньшее: 45 - 36 = 9,
заменяем большее из данных чисел на разность, получаем два других числа:
9 и 36;
снова, из большего вычитаем меньшее: 36 - 9 = 27,
заменяем большее на разность, получаем 9 и 27; из большего вычитаем меньшее:
27 - 9 = 18,


заменяем большее на разность, получаем 9 и 18; из большего вычитаем меньшее:
18 - 9 = 9,
заменяем большее на разность, получаем 9 и 9.
Получены два равных числа, значит НОД чисел 45 и 36 равно 9.
Итак, сущность алгоритма заключается в том, чтобы из большего числа вычитать
меньшее, а потом заменять большее на разность и так продолжать до тех пор, пока числа
неравны, как только они станут равными, процесс прекращается и выдается НОД.
Этот алгоритм Евклида имеет строгое математическое обоснование и не может
вызывать никаких сомнений.
Программа
Program Problem2b;
uses WinCrt;
var
a, b, c, a1, b1 : integer;
begin
write('Введите первое число '); readln(a);
write('Введите второе число '); readln(b);
a1 := a; b1 := b;
while a <> b do
begin
if a > b then a := a - b else b := b - a
end;
writeln('НОД чисел ', a1, ' и ', b1, ' равен ', a)
end.
В этой программе использован цикл "пока", а не цикл "до". Как вы думаете почему?
Для ответа на этот вопрос, замените цикл " пока" на цикл " до ...", т. е. операторы while ...
do на repeat ... until ... Цикл станет таким:
repeat
if a > b then a := a - b else b := b - a
until a = b;
Как вам уже известно, цикл repeat обязательно выполняется хотя бы один раз. Если
вы введете два равных числа, то программа "зациклится". В самом деле, условие a > b не
выполняется, значит будет выполнен оператор b := b - a. b получит значение 0, цикл
повторится, условие a > b выполняется, тогда a получит значение: a := a - 0, т.е. значение a
не изменится, равенство a=b никогда не выполнится и цикл будет продолжаться
"бесконечно", как говорят, "программа зациклится".
Если же применяется цикл while a <> b do ..., то даже при вводе равных чисел a и b
(a = b), цикл не выполнится ни одного раза и НОД получит значение одного из равных
чисел - a.
Существует и второй алгоритм Евклида для нахождения НОД..
Пусть a и b - натуральные числа, b <> 0 и r - остаток от деления a на b. Тогда НОД(a,
b) = НОД(r, b).
Для доказательства используется очевидное свойство наибольшего общего делителя:
натуральное число d тогда и только тогда является наибольшим общим делителем a и b,
когда это число:
1) делит a и b, т.е. является общим делителем a и b;
2) делится на любой общий делитель a и b.
Пусть a  b  0 и a > 0. Тогда применение алгоритма Евклида происходит так: если
b = 0, то НОД(a, b) = a. Иначе вычисляем r, равное остатку от деления a на b, и сводим


задачу отыскания НОД(a, b) к задаче отыскания НОД(r, b). При r>0 этот процесс можно
продолжить. Имеем: b > r > r1 > r2 > r3 >, ..., но так как b, r, r1, r2, r3 - неотрицательные целые
числа, то найдется n такое, что rn = 0. В соответствии с высказанным утверждением
НОД(a, b) = НОД(b, r) = НОД(r1, r) = ... = НОД(rn-1, 0) = rn-1.
Практически это выглядит так. Надо найти НОД чисел 888 и 351.
Большим из них является 888, a = 888, b = 351.
Находим остаток от деления a на b: 888 mod 351 = 186, r = 186;
заменим a на b и b на остаток r, получим: a = 351, b = 186;
снова находим остаток от деления a на b: 351 mod 186 = 165, r = 165;
заменим a на b и b на остаток r, получим: a = 186, b = 165;
находим остаток от деления a на b: 186 mod 165 = 21, r = 21;
заменим a на b и b на остаток r, получим: a = 165, b = 21;
находим остаток от деления a на b; 165 mod 21 = 18, r = 18;
заменим a на b и b на остаток r, получим: a = 21, b = 18;
находим остаток от деления a на b; 21 mod 18 = 3, r = 3;
заменим a на b и b на остаток r, получим: a = 18, b = 3;
находим остаток от деления a на b: 18 mod 3 = 0, r = 0;
заменим a на b и b на остаток r, получим: a = 3, b = 0.
Как только b стало равным нулю, цикл заканчивается, выдается значение a, которое
и является наибольшим общим делителем, НОД(888, 351) = a = 3.
Этот процесс можно записать в виде следующей цепочки, которая в общем виде
была записана выше:
НОД(888, 351) = НОД(351, 186) = НОД(186, 165) =
= НОД(165, 21) = НОД(21, 18) = НОД(18, 3) = НОД(3, 0) = 3.
Замечание. Совсем не обязательно выбирать большее из двух чисел. Если число a
окажется меньшим, тогда при первом шаге цикла произойдет перестановка чисел a и b.
Например, a = 351, b = 888. Находится остаток от деления a на b:
351 mod 888  351, r = 351; заменим a на b и b на остаток r, получим: a  888, b  351,
все стало на свои места и процесс пойдет прежним порядком.
Понятно даже без глубокого анализа, что этот алгоритм значительно быстрее
приводит нас к результату и выполняется без ненужных операций, т. е. не вынуждает
компьютер работать впустую.
Программа
Program Problem2c; { 2 - способ. Алгоритм Евклида }
uses WinCrt;
var
a, b, r, a1, b1 : integer;
begin
write('Введите первое число '); readln(a);
write('Введите второе, не равное нулю, число ');
readln(b);
a1 := a; b1 := b;
repeat
r := a mod b;
a := b; b := r
until b = 0;
writeln('НОД чисел ', a1, ' и ', b1, ' равен ', a)
end.


Составьте программу определения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел
по меньшей мере двумя способами.
Напоминание
Наименьшим общим кратным двух чисел a и b, НОК(a, b) называется наименьшее
число, которое делится и на a и на b.
Например, для чисел 18 и 27 наименьшим общим кратным является число 54. Оно
делится без остатка и на 18 и на 27. Хотя общих кратных для этих чисел существует
бесконечно много: 54, 108, 162, 216, ..., однако, 54 является меньшим среди них.
Подсказка
1. Идея составления первой программы или, иначе говоря, идея первого алгоритма
состоит в следующем.
Выбираем большее из чисел, если оно делится на меньшее, тогда оно и будет
являться наименьшим общим кратным, иначе, большее число увеличивается вдвое, т.е. к
нему прибавляется само это число и снова происходит проверка, делится ли новое число
на меньшее, если делится, тогда оно является НОК, если не делится, тогда снова
увеличивается на такое же число, т.е. первоначальное большее из двух уже увеличивается
втрое и так далее.
Например, для чисел 10 и 36 этот процесс будет выглядеть так: 36 большее из чисел,
36 mod 10 <>0, т.е. 36 не делится на 10; увеличим 36 на 36, получим: 36  36  72;
проверяем: 72 mod 10 <> 0; увеличим 72 еще на 36, получим: 72  36  108; проверяем:
108 mod 10 <> 0; увеличиваем на 36, получим: 108  36  144; проверяем: 144 mod 10 <>
0; увеличиваем: 144  36  180; проверяем: 180 mod 10=0, 180 делится на 10, значит 180 и
является наименьшим общим кратным чисел 10 и 36, НОК(10, 36) = 180.
2. Идея второго алгоритма основывается
утверждении: a  b = НОК(a, b)  НОД(a, b).
на
следующем
математическом
Пример 3. Составить программу, которая определяет является ли данное число n
простым.
Простым называется натуральное число, которое имеет только два делителя - 1 и
само себя. Надо заметить, что число 1 не подходит под это определение, так как имеет
только один делитель - само себя, а значит не является простым числом.
Натуральные числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми называются
составными.
Таким образом, число 1 не относится ни к простым ни к составным.
Но это лишь между прочим для того, чтобы вспомнить арифметику и расширить
наш математический кругозор.
Зная все это, возникает такой план составления программы. Найти количество
делителей числа, исключая 1 и само число. Если таких делителей будет нуль, т.е. вообще
не будет, тогда число является простым, иначе, оно является составным.
Для подсчета числа делителей в программе надо завести счетчик, а по окончанию
цикла, выяснять его значение.
Ниже приводится программа, составленная по этому плану.
Program Problem3;
uses WinCrt;
var
n, i, k : integer;
begin
write('Введите натуральное число большее 2 ');


readln(n);
i := 2; k := 0;
repeat
if n mod i=0 then k := k + 1;
i := i + 1
until i>n div 2;
if k = 0 then writeln('Число ', n, ' является простым')
else writeln('Число ', n, ' составное')
end.
Ее можно усовершенствовать. В самом деле, зачем продолжать цикл, если найден
хотя бы один делитель? Цикл надо прервать и выдать сообщение, что число составное, а
n
затем закончить программу, иначе, продолжать цикл до конца, т. е. до
и после цикла
2
выдать сообщение - число простое.
Программа с досрочным прерыванием цикла получится такой:
Program Problem3a;
uses WinCrt;
var
n, i, k : integer;
label 1, 2, 3;
begin
write('Введите натуральное число, большее 1 '); readln(n);
if n = 2 then goto 1;
i := 2; k := 0;
repeat
if n mod i = 0 then goto 2;
i := i + 1
until i > n div 2;
1: writeln('Число ',n, ' - простое'); goto 3;
2: writeln('Число ',n, ' - составное');
3: end.
В обоих из приведенных вариантов компьютер проделывает много ненужной
работы.
Существуют и другие способы определения, является ли число простым или
составным.
Вот один из них, который вытекает из естественных соображений.
Во-первых, если число является четным, то ясно, что оно будет составным, но перед
этим надо исключить из рассмотрения число 2 (оно является простым числом), т.е.
проверить, если данное число равно 2, то оно является простым.
Во-вторых, надо проверять деление только на нечетные числа до n/2. И в этом
случае можно использовать досрочное прерывание цикла, если делитель найден.
Программа достаточно проста и вам надо составить ее
самостоятельно.
Пример 4. Составить программу нахождения всех простых чисел из заданного
промежутка [n, m].
Алгоритм


Первые соображения такие: проверять каждое из чисел заданного промежутка [n, m],
начиная с m и проверять является ли оно простым числом, если является, тогда выводить
его на экран.
Затем увеличить проверенное число на единицу и снова проверить и так далее до
конца промежутка.
Для того, чтобы проверить каждое из чисел можно организовать цикл
repeat ... until ...
Первоначальное значение переменной цикла установить равной значению левого
конца промежутка (p := n), а в качестве условия окончания цикла, равенство значения p
правой границе промежутка - m (until p = m).
Тогда внешний цикл будет таким:
p := n;
repeat
....
p := p + 1
until p = m;
"Внутри" этого цикла записываются уже известные вам операторы проверки числа,
является ли оно простым. Если является, тогда выдавать его на экран.
Этот процесс проверки выполним с помощью операторов, которые вы должны были
составить при выполнении предыдущего задания:
if p = 2 then write(p:4 , ' ')
else if p = 3
then write(p:4, ' ')
else if p mod 2 <> 0
then
begin
i := 3; k := 0;
repeat
if p mod i = 0 then k := k + 1;
i := i + 2
until i > p div 2;
if k = 0 then write(p:4, ' ')
end;
Если число p равно 2 или p равно 3, тогда оно является простым и его надо выдать
на экран: if p = 2 then write(p:4, ' ')
иначе, надо проверять только нечетные числа, ибо ясно, что любое четное число составное:
else if p mod 2 <> 0,
также надо выдавать на экран число 3: else if p = 3
then write(p:4, ' ')
далее, надо проверять деление числа p на нечетные числа, а значит в качестве
первоначального значения делителя i берется 3, а в цикле оно увеличивается на 2. Счетчик
k, как и в предыдущей программе подсчитывает число делителей. После завершения
цикла подсчета числа делителей, его значение проверяется, если оно равно нулю, значит
ни одного делителя у числа нет - оно является простым и выдается на экран.
Полностью программа приведена ниже:
Program Problem4; { Простые числа из промежутка [n; m] }
uses WinCrt;
var
n, m, p, i, k : integer;
begin


write('Введите левую границу промежутка '); readln(n);
write('Введите правую границу промежутка '); readln(m);
writeln('Простые числа из промежутка [', n, ' ', m, ']');
p := n; if p = 1 then p := p + 1;
repeat
if p = 2 then write(p:4, ' ')
else if p = 3
then write(p:4, ' ')
else
if p mod 2 <> 0
then
begin
i := 3; k := 0;
repeat
if p mod i = 0 then k := k + 1;
i := i + 2
until i > p div 2;
if k = 0 then write(p:4, ' ')
end;
p := p + 1
until p = m;
writeln
end.

