mori-program

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Mori theory»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Вербицкий М.С., PhD, verbit@verbit.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Mori theory»для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Mori theory являются learning birational geometry and complex geometry of projective manifolds .
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать The student would learn basic notions of birational geometry and minimal models
program.
 Уметь The student would learn to apply the Mori's bend and break argument and other arguments of minimal models program.
 Иметь навыки (приобрести опыт) The student would obtain useful experience of work
with the Hilbert schemes and the moduli spaces of curves on a manifold.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 algebraic geometry, differential geometry, complex analysis
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 birational geometry, moduli problems, singularities (terminal, canonical, log-terminal, logcanonical)
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 topics in algebraic geometry, complex geometry and complex analysis
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Mori theory»для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
6
Название раздела
Бирациональная классификация поверхностей. Теория Кодаиры-Энриквеса
Построение рациональных кривых на многообразиях Фано.
Особенности в программе Мори.
Дискрепантность и индекс Лелона.
Теорема Каваматы-Фивега о занулении
когомологий.
Экстремальный луч и теорема Мори о конусе
Теорема о флипе
Программа Мори для трехмерных многообразий
Итого:
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
Итоговый
Зачет
7
Аудиторные часы
СамостояПрактительная
ЛекСемические
работа
ции
нары
занятия
10
10
10
10
10
10
12
162/288
72
90/216
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
6.1
Всего
часов
1
*
1 год
2 3
8 8
Параметры **
4
8
The students receive a set of problems
to take home,
after they solve half of the problems,
they explain their solutions. Grades are
based on the number of problems
solved and the student's ability to substantiate the claims.
v
Критерии оценки знаний, навыков
A student should demonstrate an ability to understand the problem and to solve it correctly
Содержание дисциплины
Раздел 1 Бирациональная классификация поверхностей. Теория Кодаиры-Энриквеса
Литература по разделу:
[And] Marco Andreatta: An introduction to Mori theory: the case of surfaces,notes for a PhD
school
[AnM] Marco Andreatta, Massimiliano Mella: Morphisms of projective varieties from the viewpoint of minimal model theory, Dissertationes Mathematicae, vol. 413 (2003).
[Bau] Thomas Bauer: A simple proof for the existence of Zariski decompositions on surfaces.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Mori theory»для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Раздел 2 Построение рациональных кривых на многообразиях Фано.
Литература по разделу:
[BaF] Thomas Bauer, Michael Funke: Weyl and Zariski chambers on K3 surfaces
[BCK] Thomas Bauer, Mirel Caibar, Gary Kennedy: Zariski decomposition: a new (old) chapter of
linear algebra
[CaL] Paolo Cascini, Vladimir Lazic: New outlook on Mori theory, I.
Раздел 3 Особенности в программе Мори. Дискрепантность и индекс Лелона.
Литература по разделу:
[CaL2] Paolo Cascini, Vladimir Lazic: The minimal model program revisited
[CoL] Alessio Corti, Vladimir Lazic: New outlook on Mori theory, II.
[Cor] Alessio Corti: Finite generation of adjoint rings after Lazic: an introduction.
Раздел 4 Теорема Каваматы-Фивега о занулении когомологий.
Литература по разделу:
[CKL] Alessio Corti, Anne-Sophie Kaloghiros, Vladimir Lazic: Introduction to the Minimal Model
Program and the existence of flips
[CHKLM] Alessio Corti, Paul Hacking, János Kollár, Robert Lazarsfeld, Mircea Mustaţă: Lectures
on flips and minimal models
[DebN] Olivier Debarre: Introduction to Mori theory
Раздел 5 Экстремальный луч и теорема Мори о конусе
Литература по разделу:
[Deb] Olivier Debarre: Higher-dimensional algebraic geometry, Universitext 233, Springer Verlag,
Berlin, 2001.
[ELMNP] Lawrence Ein, Robert Lazarsfeld, Mircea Mustata, Michael Nakamaye, Mihnea Popa:
Asymptotic invariants of base loci
[HK] Christopher Hacon, Sándor Kovács: Higher-dimensional algebraic geometry, Oberwolfach
Seminars 43, Birkhäuser, 2010.
Раздел 6 Теорема о флипе
Литература по разделу:
[Ha] Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 77, Springer Verlag,
Berlin, 1977.
[KoM] János Kollár, Shigefumi Mori: Birational geometry of algebraic varieties. With the collaboration of C. H. Clemens and A. Corti. Cambridge Tracts in Mathematics, 134. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Раздел 7 Программа Мори для трехмерных многообразий
Литература по разделу:
[PAG] Robert Lazarsfeld: Positivity in algebraic geometry I.-II.
[Mat] Kenji Matsuki: Introduction to the Mori program, Universitext, Springer Verlag, Berlin,
2002.
8
Образовательные технологии
Lectures, problem-solving, informal discussions over tea
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Mori theory»для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
The best method of control, for this particular course, is informal discussions with the students:
1. Did you like these scones?
2. The scones are good.
Final homework would be distributed :
1. Birational; geometry of complex manifolds (problems).
2. A list of problems для каждого студента утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.
9.2
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
http://verbit.ru/MATH/AG-2011/Mori-2011.pdf
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Клеменс, Коллар, Мори, "Многомерная комплексная геометрия" (1993, Мир).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Mori theory»для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
11.2 Основная литература
Griffiths, Ph., Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience, New York, 1978.
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977
11.3 Дополнительная литература
Olivier Debarre: Introduction to Mori theory, http://www.dma.ens.fr/~debarre/M2.pdf
11.4 Справочники, словари, энциклопедии
http://en.wikipedia.org/