Билеты по геометрии для 11 класса

Билеты по геометрии для 11 класса.
Билет №1.
1. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через
данную прямую и точку вне ее.
2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами6 см и 8
см. Боковое ребро призмы равно 15 см.
а) Найдите площадь поверхности призмы.
б) Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону нижнего
основания и верхний конец противолежащего бокового ребра.
Билет №2.
1.
Параллельные прямые (определение). Теорема о существовании и
единственности прямой параллельной данной прямой и проходящей через
точку, не лежащую на этой прямой.
2.
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6см и 8см.
Диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом 45˚.
а) Найдите площадь диагонального сечения параллелограмма.
б) Найдите площадь сферы, описанной около параллелепипеда.
Билет №3.
1.
Прямая, параллельная плоскости (определение). Признак параллельности
прямой и плоскости.
2.
Образующая конуса, равна 12см, наклонена к плоскости под углом 30˚.
а) Найдите объем конуса.
б) Найдите объем каждой из частей, на которые разбивает этот конус плоскость,
параллельная основанию и проходящая через середину высоты конуса.
Билет №4.
1.
Параллельные плоскости (определение). Признак параллельности двух
плоскостей.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см,
двугранный угол при основании пирамиды равен 60˚
а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
б) Найдите площадь поверхности вписанного в эту пирамиду шара.
Билет №5.
1.
Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между
параллельными плоскостями.
2.
Образующая конуса равна 6√2см, осевое сечение конуса – прямоугольный
треугольник.
а) Найдите радиус основания и высоту конуса.
б) Найдите объем описанного около этого конуса шара.
Билет №6.
1. Прямая,
перпендикулярная
плоскости
(определение).
Признак
перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Высота конуса равна 8см, образующая наклонена к основанию под углом 45˚.
а) Найдите площадь осевого сечения конуса.
б) Найдите площадь сечения конуса, проведенного через две образующие, угол
между которыми равен 30˚.
Билет №7.
1. Теорема о трех перпендикулярах.
2. Даны векторы ā (4; -1; 3) и đ (5;, 2; -6).
а) Найдите координаты и модуль вектора ū = 2 ā – đ.
б) Найдите координаты единичного вектора ē, коллинеарного вектору ū.
Билет №8.
1. Перпендикулярные плоскости (определение). Признак перпендикулярности
плоскостей.
2. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 12см,
боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45˚.
а) Найдите объем пирамиды.
б) Найдите расстояние от центра основания пирамиды до боковой грани.
Билет №9.
1. Прямая призма (определение). Теорема о боковой поверхности прямой
призмы.
2. Дан равносторонний треугольник ABC со сторонами 6см и не лежащая в
плоскости этого треугольника точка М такая, что МА=МВ=МС=4см. Точки А1,
В1, и С1 соответственно середины отрезков МА, МВ, и МС.
а) Докажите, что плоскости АВС и А1В1С1 параллельны и найдите периметр
треугольника А1В1С1.
б) Найдите расстояние между плоскостями АВС и А1В1С1.
Билет №10.
1. Параллелепипед, его элементы. Теорема о точке пересечения диагоналей
параллелепипеда.
2. Цилиндрическая заготовка имеет длину 6 см и диаметр 6см.
а) Найдите наибольший возможный объем шара, выточенного из этой заготовки.
б) Вычислите, какая часть заготовки уйдет при этом в отходы.
Билет №11.
1.
Прямоугольный параллелепипед (определение). Теорема о квадрате
диагонали прямоугольного параллелепипеда.
2.
Высота конуса равна 6см, осевое сечение конуса – равносторонний
треугольник.
а) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
б) Вычислите величину угла в развертке боковой поверхности конуса.
Билет №12.
1. Теорема о противолежащих гранях параллелепипеда.
2. Из вершины В квадрата АВСР восстановлен перпендикуляр ВЕ к плоскости этого
квадрата: АВ=6см, ВЕ=6√2см.
а) Найдите угол между прямой РЕ и плоскостью квадрата.
б) Найдите расстояние от точки А до середины отрезка РЕ.
Билет №14.
1.
Площадь боковой поверхности пирамиды (определение). Теорема о
боковой поверхности правильной пирамиды.
2.
Отрезок АВ длиной 7 см лежит в плоскости β точка С удалена от плоскости
β на расстояние 10см. Точка Е – середина отрезка АС, точка Р – середина
отрезка ВС.
а) Докажите, что прямая ЕР параллельна плоскости β, и найдите длину отрезка ЕР.
б) Найдите расстояние от прямой ЕР до плоскости β.
Билет №15.
1. Цилиндр. (определение). Вывод формулы объема цилиндра.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12см, а
высота пирамиды равна 6см.
а) Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды.
б) Найдите расстояние от центра основания до боковой грани пирамиды.
Билет №16.
1. Вывод формулы объема призмы. (треугольной и N-угольной).
2. АВСР – квадрат со стороной 8см. Из вершины А восстановлен перпендикуляр
АМ=6см к плоскости этого квадрата.
а) Найдите расстояние от точки М до прямой ВС.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды МАВСР.
Билет №17.
1. Вывод формулы площади сферы.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6см,
площадь боковой поверхности пирамиды равна 60см².
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите расстояние от центра основания до боковой грани пирамиды.
Билет №18.
1.
Вывод формулы площади боковой поверхности цилиндра.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8см,
плоские углы при вершине равны по 60˚. Через середину высоты пирамиды
проведена секущая плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды.
а) Найдите площадь сечения.
б) Найдите расстояние между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Билет №19.
1.
Касательная плоскость (определение). Теорема о касательной плоскости
сферы (шара).
2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(2;2;0), В(2;0;2) и
С(0;2;2).
а) Найдите величину угла между векторами СА и СВ.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Билет №20.
1. Теорема о плоскости, перпендикулярной одной из двух параллельных прямых
(и ей обратная).
2. В равносторонний цилиндр с высотой 40см вписана сфера, а в сферу вписан
второй равносторонний цилиндр.
а) Найдите площадь сферы.
б) Найдите линейные размеры второго цилиндра и площадь его боковой
поверхности.