МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ СРЕДСТВ Мартынов Ю.В., СТИ МГУС, г. Москва Смольникова И.А. (ismolnikova@bk.ru) МИОО, г. Москва Анализ применения ИКТ в управлении образовательными системами, описанный в [1] и [2], позволил выделить 4 уровня. Уровни A (отдельные ИС) и B (интегрированная ИС) решают задачу наблюдения (частичного или полного мониторинга), C (система поддержки принятия решения) облегчает принятие решений специалистом, а D (математическая модель оптимизации) дает основу для повышения эффективности структуры и функционирования административных подразделений, которая начата в передовых ВУЗах России. Для реализации уровня D развиваю легко алгоритмизируемую дискретную модель (1)– (2) линейного программирования. Она заключается в поиске норматива (доли) получения желаемых неотрицательных рациональных x0i, из i=1,…, n видов благ, дающих максимальное значение d0 критерию удовлетворённости запросов c x := сумме ∑i=1n ci xi (1) при ограниченных ресурсах bj, т.е. ограничениях стоимости необходимых товаров и услуг aj x := сумме ∑i=1n aij xi <= bj (2), j=1,…, m – количество ресурсов (расходных статей), где aij – цена i-ой услуги из j –й статьи [2]. Задача (1)–(2) сводима к перебору максимум М=2min(n, m-n/2) вершин симплекса Ax=b (3), полученных методом Гаусса максимум за N=(2m-n)n шагов. Поэтому время расчета Δ0=M N / производительность ЭВМ В результате получим векторное решение x0 и долю удовлетворённых заявок d0 на 1-й период времени [t0, t1). Со временем величины aij, bj и ci в (1)–(2) могут изменяться. Поэтому может изменяться и норма. Социальная справедливость будет соблюдена при учёте полученных услуг каждым нуждающимся субъектом или объектом, что требует полного учёта за несколько периодов распределения и даже лет. Откорректируем величины с учетом остатков предыдущего периода на следующий kый период [tk-1, tk) (произведения векторов – скалярные, а верхние индексы указывают период): cik:= cik-1 – dik-1 + cik bjk:= bjk-1 – ajk-1 x k-1 + bjk (4) где aijk-1 могут быть уменьшены за счет скидок на оптовые партии. Продолжительность периодов Δk = tk - tk-1 ограничена снизу Δ0, но при необходимости (форс-мажор при теракте или стихийном бедствии) может потребоваться внеплановое (k+1)-е решение. Если статьи расхода другие (непредвиденные расходы), то и финансовые средства могут браться из других источников bm+1, из резервного фонда муниципалитета (возможно частично по тем же статьям расхода bj, j=1,.., m) или из остатков сэкономленных средств (не все заявки dk реализовали из-за выбытия нуждающихся или низкой пропускной способности организаций, оказывающих требуемые услуги). В конце года так же требуется решение по распределению оставшихся средств: это могут быть остатки предыдущего периода, новые неожиданные поступления или спонсорские средства. Они могут распределяться и на другие нужды (подарки, концерты, украшения помещений и т.п.). Средства bj на новые цели ci, для новой системы (1)–(2) распределяются аналогично. Финансовые средства bj по статьям j=1,…m, могут планироваться местным законодательным органом в соответствии с законом о бюджете, т.е. b = G u, где G – матрица коэффициентов gij, направленных из i-го источника (вида налога) на j-ую статью, а ∑i=1p ui = U - сумма всех поступлений. При планировании u задача (1)–(2) будет иметь вид: max c x при Ax ≤ Gu, |x|>0, |u|=U (5) и решением будет пара x0, u0, дающая максимум d0 целевой функции. Это значение d0 может быть больше значения d0 задачи (1)–(2), если целевая функция c x дала максимальное значение при aj x0 = gj u0 в направлении c. Поэтому при принятии бюджета важна стратегия |u|=U, дающая максимум c x на ожидаемых c и A в (5). Кроме благоприятных факторов (рост поступлений u) могут появиться и неблагоприятные (непредвиденные расходы) |v| ≤ V. В этом случае задача (5) имеет вид: max {[min c x при |v| ≤ V ] при Ax ≤ G(u–v), |x|>0, |u|≤U} (6) Так же можно заметить: max {[min c x при |v| ≤ V ] при Ax ≤ G(u–v), |x|>0, |u|≤U} ≤ min {[max c x при |u|≤U ] при Ax ≤ G(u–v), |x|>0, |v| ≤ V } (7) что означает необходимость прогнозирования непредвиденных расходов и оптимальных решений при учёте неблагоприятных факторов. Т.к. матрица G оказывает изоморфное воздействие типа поворота и растяжения, то при выпуклых замкнутых ограниченных множествах |u|≤U и |v| ≤ V с V ≤ U задача (6) сводится к задаче (5) для u:=u–v и U:=U–V. К сожалению, на практике часто удовлетворение заявок происходит по мере их поступления и зависит от настойчивости заявителей. Предлагаемый метод при наличии ЭВМ позволяет избежать социальной несправедливости и добиться максимально возможного удовлетворения запросов при ограниченных средствах. Литература 1. Ю.В. Мартынов, И.А. Смольникова. Автоматизированные информационные системы сферы образования.– а) Троицк, 2002,с.221-224 и б) ИТО-2002, ч.IV, с.201-204. 2. Ю.В. Мартынов, И.А. Смольникова. Направления автоматизации управления в системе образования.– Троицк, 2003,секц.7.