матрицей - Институт сервиса и технологий

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»
(ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»)
Кавминводский институт сервиса (филиал)
(КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»)
Мороз П.С. Полякова Р.И.
Линейная алгебра.
Учебно-методическое пособие
по выполнению самостоятельной работы для студентов
направления 100100.65 "Сервис"
Пятигорск 2013 г.
УДК 517
ББК 22.1
М/П 80
Кафедра «Информационные системы, технологии и связь»
Составители:
к.т.н., доцент Мороз П.С.,
ст. преподаватель Полякова Р.И.
Рецензент:
к.б.н., доцент С.А. Полунина.
М/П 80 Мороз П.С., Полякова Р.И. Линейная алгебра. Учебнометодическое пособие по выполнению самостоятельной работы для студентов
направления 100100.65 "Сервис" Пятигорск: КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»,
2013-21с.
Данные методические указания по математике раздел «Линейная алгебра»
содержит краткий теоретический материал и решения типовых задач. Приведен
список литературы.
Методические указания предназначены для студентов очной, заочной форм и
дистанционной формы обучения.
Методические указания печатается по решению Научно-методического
совета КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС» для внутривузовского издания (протокол
№4 от 08.02.2013г.)
© КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»
© Мороз П.С., Полякова Р.И..
Содержание.
1. Матрицы
2. Операции над матрицами
3. Определители квадратной матрицы
4. Свойства определителей
5. Минор
6. Алгебраические дополнения
7. Вычисление определителей любого порядка
8. Обратная матрица
9. Правила нахождения обратной матрицы
10. Ранг матрицы
11. Системы линейных уравнений
12. Однородные системы
13. Задачи для самостоятельной работы
14. Литература
1.Матрицы.
Определение. Матрицей размера m  n называется прямоугольная таблица из
чисел, содержащая m строк и n столбцов:
 a11 a12

a
a
A=  21 22
 

a
 n1 an 2
 a1m 

 a2 m 
 

 anm 
Или, сокращенно (aij), i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.
aij- элементы матрицы.
m  n- размер матрицы.
Пример: Матрица
 5 3 8 1

 6 2 7 9
является матрицей размера 2  4.
Если m  n ,то матрица размера n  n называется квадратной, а число n –ее
A= 
порядком. Элементы а11,а12,…,аnn образуют главную диагональ.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной
диагонали равны нулю, то матрицу называют диагональной.
Если элементы диагональной матрицы равны единице, то матрицу называют
единичной.
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой
или нуль – матрицей.
Две матрицы А и В называются равными, если они совпадают поэлементно,
т.е. аij = bij для любых i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.
Операции над матрицами.
1.Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется
поэлементно:
C=А +В ,если сij = aij + bij; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.
Пример: Найти сумму матриц А и В
 2 6  4
 2 1 3
 , В= 
 .
3 1 0 
 2 1 3
А= 
Решение:
 2 6  4   2 1 3   4 7  1
  
  
 .
 3  1 0   2 1 3  5 0 3 
С=А+В= 
2.Умножение матрицы на число – каждый элемент матрицы умножается на это
число:
B =  A, если bij=  aij; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.
3 6


Пример: Найти 3А, если А=  8 2  .
 4 1


Решение:
 3 6   9 18 

 

3А=3  8 2  =  24 6  .
 4 1   12 3 

 

3.Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц А и В называется
такая матрица С, каждый элемент сij которой равен сумме произведений элементов
i – й строки матрицы А на соответствующие элементы матрицы В:
i
cij =  aisbis ; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.
s 1
Пример: Найти произведение матриц А и В
 0 1
1 2 0
 , В= 
 .
 5 1
3 4 5
А= 
Решение: Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,то
произведение матриц существует и матрицу С=АВ найдём, пользуясь
правилом умножения матриц
 0 1  1 2 0   0  1  1  3 0  2  1  4 0  0  1  5   3 4 5 
 
 = 
 = 
 .
 5 1  3 4 5   5  1  1  3 5  2  1  4 5  0  1  5   8 14 5 
С=АВ= 
4.Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице А Т , в которой
строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка
атij = aji; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.
Пример: Найти А Т , транспонированную к матрице А, если
1 2 


А = 3 4 .
5 6


Решение. По определению поменяем строки и столбцы местами, получим
 1 3 5
 .
 2 4 6
А Т = 
5.Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m>1):
А  А  А.
Am= 



m
раз
Пример: Найти А 2 , если
 1 3 
 .
 2  4
А = 
Решение. Умножим матрицу А на матрицу А два раза, получим по правилу
умножения матриц А 2 .
 15 
  1 3    1 3    1   1  3  2  1  3  3   4   7
 
 = 
 = 
 .
 2  4   2  4   2   1   4  2 2  3   4   4   10 22 
А 2 = 
2 .Определители квадратных матриц.
Определитель – число, характеризующее матрицу.
Определителем квадратной матрицы первого порядка А=(аij), называется
элемент а11:
1 = |А| = aij
Пример: Пусть А = (3),тогда 1 = |А| =3
Определителем квадратной матрицы второго порядка А=(аij), называется
Число, которое вычисляется по формуле:
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12a21.
Определителем квадратной матрицы третьего порядка А=(аij), называется
число, которое вычисляется по формуле:
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23  a11a22a33  a12a23a31  a21a32a13  a13a22a31  a12a21a33  a11a32a23.
a33
Определители третьего порядка вычисляются по правилу «треугольников», где
соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая
схема), либо со знаком «-» (правая схема):
  
  
  
a11 a12
a21 a22
a31 a32
  
  
  
a13
a23
a33
(+)
********************
()
Свойства определителей.
Рассмотрим свойства определителей 2-го и 3-го порядков, но они справедливы
для определителей любого порядка.
1.При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12a21.
Поменяем ролями первую строку и первый столбец.
a11
a21
a12
a22
 a11a22  a21a12.
Пример:
1 3
=2 – 15 = -13.
5 2
1 5
=2 – 15 =-13.
3 2
В определители строки равноправны со столбцами.
2.При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак.
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12a21.
Поменяем местами строки
a21 a22
a11
a12
 a21a22  a22a11 (a11a22  a12a21).
Пример:
1 3
=2 – 15 = -13.
5 2
5 2
=15- 2=13.
1 3
3.Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.
a11 a12
a11 a12
 a11a12  a11a12  0
Пример:
4 3
1 3
 12  12  0
=2 – 15 = -13.
4 3
5 2
4.Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца или строки), можно
выносить за знак определителя.
ka11 ka12
a21
a22
 ka11a22  ka12a21  k (a11a22  a12a21)  k
a11
a12
a21 a22
Пример:
30 50
1
4
=
10  3 10  5
1
4
= 10
3 5
1 4
= 10 ( 12 - 5)= 70.
5.Если все элементы какого-нибудь ряда (столбца или строки) умножить на одно и
то же число k, то значение определителя увеличится в k раз.
ka11 ka12
a21
a22
= ka11a22  ka12a21  k (a11a22  a12a21)  k
a11
a12
a21 a22
.
Пример:
3 2 37
= 6 – 63 = -57.
3
1
3 2 37
2 7
=3
= 3 (2 – 21) = 3  (-19) = -57.
3
1
3 1
6.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или
строки) равны нулю.
0
0
a21 a22
= 0  a22  0  a21  0.
7.Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно
пропорциональны, равен нулю.
 a11 a12 

  ka11a12  ka11a12  0.
ka
ka
12 
 11
Пример:
3
5
 30  30  0.
23 25
8.Если элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сумму
двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух
определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны
соответственным слагаемым.
a11
a12  A
a21 a22  B
 a11(a22  B)  a21(a12  B)  a11a22  a11B  a21a12  a21 A = (a11a22  a12a21) 
 (a11B  a21 A) 
a11
a12
a21 a22

a11
A
a21 B
.
9.Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда
(столбца или строки) прибавить (или от них вычесть) элементы параллельного ряда
(столбца или строки),
предварительно умножив их на один и тот же
произвольный множитель k.
a11
a12
a21 a22
=
a11
a11  ka21 a12  ka22
=
a12
a21 a22
a21
a22
a11
=
a12
a21 a22
+
ka21 ka22
a21
a22
=
a11
a12
a21 a22
+k
a21 a22
a21 a22
=
.
10.Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или
ниже) главной диагонали – нули, равен произведению элементов главной
диагонали.
a11
0
a21 a22
a31 a32
0
a11 a12
0 = 0 a22
a33
0
0
a13
a23 = a11  a22  a33.
a33
Минор.
Минором Мij элемента aij матрицы А n-го порядка называется определитель
порядка n-1,полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой
строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.
Пример: Для определителя  
1 6
минором М11 для элемента a11  1
2 4
Является определитель первого порядка, который получается из исходного
вычеркиванием первой строки и первого столбца, т.е. число 4, М 11  4.
Аналогично М12  2, М 21  6,
1 2 4
Пример: Для   3 0 1 , М 11 
6 3 7
0 1
3 1
3 0
1 2
, М 12 
, М 13 
,, М 33 
.
3 7
6 7
6 3
3 0
Замечание: В определители столько миноров, сколько элементов.
Алгебраическое дополнение.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы А n-го порядка
называется его минор, взятый со знаком (-1)i+ j .
Aij  (1)i  j  M ij , где М ij - минор элемента aij .
1 1 2
Пример:   5 3 4
A11  (1)11
6 2 9
A32  (-1) 3 2
3 4
2 9
= (-1) 2 (27 – 8) = 19.
1 2
= (-1) 5 (4 – 10) = -(-6) = 6.
5 4
Вычисление определителей любого порядка.
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на
их алгебраические дополнения.
=
n
 aij Ais =
s 1
n
a
j 1
sj
Asj
Пример: Вычислить определитель, разлагая его по элементам первого столбца.
2 4 3
5 0
4 3
4 3
+ 1(-1) 21
+ 3(-1)
=
1 5 0 = 2(-1) 11
5 0
6 7
6 7
3 6 7
= 2  35 - (28 – 18) + 3  (15) = 70 – 10 – 45 = 15.
Обратная матрица.
Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если её
определитель равен нулю и невырожденной (неособенной) в противном случае.
Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица
А 1 такая, что АА 1 =А 1 А=Е, где Е- единичная матрица (т.е. такая, на главной
диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю).
Матрица А 1 называется обратной к матрице А.
Если в квадратной матрице
 a11

a
A =  21


a
 n1
a12  a1n 

a 22  a 2 n 
  

a n 2  a nn 
заменить каждый её элемент алгебраическим дополнением и транспонировать, то
получим матрицу
 A11

A
Т
A =  21


A
 1n
A12  An1 

A22  An 2 
,
  

A2 n  Ann 
которая называется присоединённой для матрицы А.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Каждая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.
Правила нахождения обратной матрицы.
1.Вычислим определитель матрицы А. Если он отличен от нуля, то Аневырожденная матрица, следовательно обратная матрица существует. Если же A
=0, то А не имеет обратной матрицы.
2. Находим матрицу А Т , транспонированную к А.
3.Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А Т . Строим
присоединённую матрицу А * .
4.Запишем матрицу
1
А
А* , которая и будет обратной для матрицы А.
Пример: Найти матрицу, обратную матрице
 9 10 11


А = 1 1 1  .
2 3 4 


Решение: Воспользуемся правилом нахождения обратной матрицы и вычислим
9 10 11
 = 1 1 1 = 36 + 20 + 33 – 22 – 27 – 40 = 0.
2
3
4
Так как  = 0,обратной матрицы А не существует.
Пример: Найти матрицу, обратную матрице
1 1 1


А = 2 1 1 .
1 1 2


Решение: Воспользуемся правилом нахождения обратной матрицы
1.Вычислим  матрицы А:
=
1 1 1
2
1
1
1
1 = 5,   0, т.е. матрица А – невырожденная и обратная матрица А 1
2
существует.
2. Находим матрицу А Т , транспонированную к А:
 1 2 1


А = 1 1 1 .
 1 1 2


3.Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А Т .
А 11 = (-1) 11
1 1
= 2 – 1 = 1;
1 2
А 21 = (-1) 21
А 12 = (-1) 1 2
1 1
= -(-2-1) = 3;
1 2
А 22 = (-1) 2 2
А = (-1) 1 3
13
1 1
1
1
= -1-1 = -2;
А 23 = (-1) 2 /  3
= - (4 – 1 ) = -3;
1 2
1 1
= 2 – 1 = 1;
1 2
1 2
= - (1 – 2) = 1;
1 1
2 1
= 2 – 1 = 1;
1 1
А 31 = (-1) 31
1
А 32 = (-1) 3 2
1
= - (1 + 1) = -2;
1 1
1 2
=1 + 2 = 3.
1 1
А 33 = (-1) 3 3
Строим присоединённую матрицу А * .
3  2
 1


А =  3 1
1 .
 1 2 3 


*
4.Вычислим обратную матрицу А 1 =
2 1
1
А
А* :
А 1
 1
3  2
 1
 5


1
=  3 1
1  =   35

5 

 1
 1 2 3 
 5
2 
5
1
1 .
5
5 
3 
2
5
5 
3
5
Ранг матрицы.
Ранг прямоугольной матрицы А определяется как порядок r отличного от нуля
минора этой матрицы при условии, что все миноры (r + 1) – го порядка матрицы
равны нулю. Обозначается ранг матрицы rang A или r (A).
Пример: Найти ранг матрицы
 2

 4

А= 
 2


 4


3
4

5


6
1

2



 
5 3

1



    
6
8
10
2

3

.
0


4 
Решение: Минор второго порядка
М1 =
2 3
,
4 6
стоящий в левом верхнем углу матрицы А, равен нулю. Но, например, минор
второго порядка
М2 =
3 4
= 21,
6 1
имеющий с минором М 1 одинаковый столбец, отличен от нуля. Окаймляя минор М
2 как указано пунктиром в записи матрицы А, получаем минор третьего порядка:
3 4 5
М 3 =  6 1 2 = - 36  0.
5
3 1
Добавляя к М 3 справа 5 –й столбец матрицы А и снизу – три элемента (-6), 8, 10
соответственно второго, третьего, четвёртого столбцов, получаем минор 4-го
порядка
3 4
6 4
М 4
5 3
5
2
1
2
3
= 0.
0
 6 8 10 4
Заметим, что окаймлять минор k-го порядка можно не обязательно элементами
столбцов, соседних к крайним столбцам, и строк, соседних к крайним строкам.
Окаймляя минор М 3 другими способами, также будем получать миноры 4-го
порядка, равные нулю.
Следовательно, ранг матрицы А равен трем, rang A = 3.
3.Системы линейных уравнений.
1.Правило Крамера.
Пусть задана система n-линейных уравнений с m неизвестными вида
a11x1  a12 x2  
a x  a x  
 21 1
22 2

     
an1 x1  an 2 x2  


a1n xn
a2 n xn


b1;
b2 ;
   
 ann xn  bn .
( 1)
Запишем систему (1) в матричной форме, АX = B,где
 a11 a12

a
a
A=  21 22
 

a
 n1 an 2
 a1m 

 a2 m 
,
 

 anm 
 x1 
 
x 
X = 2  ,

 
x 
 n
 b1 
 
b 
B = 2  .

 
b 
 n
Правило Крамера . Если в системе (1) det A =   0, т.е. матрица А имеет
обратную А 1 , то система (1) имеет, и притом единственное, решение
X = А 1 B,
или, в покомпонентной записи,
xi =
i
, i = 1, 2, … , n.

где  i - определитель, получаемый из определителя  заменой i-го столбца на
столбец свободных членов.
Для решения систем линейных уравнений по правилу Крамера используют два
метода:
1.Матричный метод решения систем – заключается в решение матричного
уравнения X = А 1 B******.Для этого необходимо:
1.1. Найти обратную матрицу.
1.2.Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец из свободных
членов.
1.3.Ответ записать в виде X = А 1 B.
2.По формулам Крамера - x i =
i
, i = 1, 2, … , n.

Пример: Решить систему уравнений
 x1 

2 x1 
x 
 1
x2

x3

x2
x2


x3
x3
 11,
 8.
3,
а) матричным методом; б) по формулам Крамера.
Решение: Запишем систему уравнений в следующем виде
1 1 1


А = 2 1 1 ,
1 1 2


 x1 
 
X =  x2  ,
x 
 3
а) Матричный метод.
3
 
B = 11 .
8
 
1. Найдём обратную матрицу.
1.1.Вычислим  матрицы А:
=
1 1 1
2
1
1
1
1 = 5,   0, т.е. матрица А – невырожденная и обратная матрица А 1
2
существует.
1.2. Находим матрицу А Т , транспонированную к А:
 1 2 1


А = 1 1 1 .
 1 1 2


1.3.Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А Т .
А 11 = (-1) 11
1 1
= 2 – 1 = 1;
1 2
А 21 = (-1) 21
А 12 = (-1) 1 2
1 1
= -(-2-1) = 3;
1 2
А 22 = (-1) 2 2
А = (-1) 1 3
13
1 1
1
1
А 23 = (-1) 2 /  3
= -1-1 = -2;
А 33 = (-1) 3 3
= - (4 – 1 ) = -3;
1 2
1 1
= 2 – 1 = 1;
1 2
1 2
= - (1 – 2) = 1;
1 1
2 1
= 2 – 1 = 1;
1 1
А 31 = (-1) 31
А 32 = (-1) 3 2
2 1
1
1
= - (1 + 1) = -2;
1 1
1 2
=1 + 2 = 3.
1 1
Строим присоединённую матрицу А * .
3  2
 1


А =  3 1
1 .
 1 2 3 


*
1.4.Вычислим обратную матрицу А 1 =
А 1
 1
3  2
 1
 5

1 
=  3 1
1  =   35

5 

 1
 1 2 3 
 5
1
А
А* :
2 
5
1
1 .
5
5 
3 
2
5
5 
3
5
2.Найдём произведение обратной матрицы на матрицу-столбец из свободных
членов.
3  2  3 
 3  33  16 
 1
 20   4 
 
 1    
1 
1 
X =  3 1
1  11 =   9  11  8  =  10  =  2  .
5 
5 
 5  5  1
 
 3  22  24 
 1 2 3   8
   
 4
 
3.Ответ запишем в виде
X =  2 .
1
 
б) По формулам Крамера.
Определитель системы
1 1 1
=
2
1
1 = 5  0, поэтому система имеет единственное решение, которое
2
1
1
находим по формулам x i =
i
, для этого сначала находим определители 1 ,

2 , 3 :
3 1 1
1 = 11 1 1 = 20;
8
1
1 1 3
 3 = 2 1 11 = 5.
1 3 1
 2 = 2 11 1 = 10;
2
1
8
2
1
1
8
Тогда
x1 =
20
1
=
= 4;
5

x2=
10
2
=
= 2;
5

x3=
3 5
= = 1.
5

Ответ: (4, 2, 1).
2.Метод Гаусса.
Метод Гаусса используется, когда система имеет большое число уравнений и
заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему
четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:
a11 x1
a x
 21 1

a31 x1
a 41 x1
 a12 x 2
 a 22 x 2
 a13 x3
 a 23 x3
 a14 x 4
 a 24 x 4
 b1 ,
 b2 ,
(1)
(2)
 a32 x 2
 a 42 x 2
 a33 x3
 a 43 x3
 a34 x 4
 a 44 x 4
 b3 ,
 b4.
(3)
(4)
Допустим, что a11  0.
Первый шаг: делим уравнение (1) на а11 , умножим полученное уравнение на а 21
и вычитаем из2-го, затем умножим на а 31 и вычтем из 3-го, наконец умножим на
а 41 и вычтем из 4-го. В результате первого шага приходим к системе
 x1





 b12 x 2
b22 x 2
 b13 x3
 b23 x3
 b14 x 4
 b24 x 4
 c1 ,
 c2 ,
(5)
(6)
b32 x 2
b42 x 2
 b33 x3
 b43 x3
 b34 x 4
 b44 x 4
 c3 ,
 c4 ,
(7)
(8)
a12
;
a11
a
b22 = a 22 - 12
a11
a
b32 = a 32 - 12
a11
a
b42 = a 42 - 12
a11
где b12 =
a13
a
b
; b14 = 14 ; c1 = 1 ;
a11
a11
a11
a
a 21 ; b23 = a 23 - 13 a 21 ; b24 = a 24 a11
a
a 31 ; b33 = a 33 - 13 a 31 ; b34 = a 34 a11
a
a 41 ; b43 = a 43 - 13 a 41 ; b44 = a 44 a11
b13 =
a14
a 21 ;
a11
a14
a 31 ;
a11
a14
a 41 ;
a11
b1
a 21 ;
a11
b
c3 = b3 - 1 a 31 ;
a11
b
c4 = b4 - 1 a 41 .
a11
c2 = b2 -
Отсюда видим, что введенные нами коэффициенты получаются из коэффициентов
системы по следующим формулам:
b1 j =
a1 j
a11
;
bij = a ij -
a1 j
a i1 = a ij - a i1 b1 j ;
a11
b
ci = bi - 1 a i1 = bi - a i1 c1 ; i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4.
a11
Второй шаг: поступаем с уравнениями 6, 7, 8 точно так же, как с уравнениями 1,
2, 3, 4 и т.д. В итоге исходная система преобразуется к «ступенчатому» виду:
 x1





 b12 x 2
x2
 b13 x3

b14 x 4
 c1 ,
 с 23 x3
x3
 с 24 x 4
 d 34 x 4
x4
 d1 ,
 e1 ,
 f1 .
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно
без труда.
На практике удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему
уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.
Пример: Решить систему уравнений
 x1
 x
 1

 2 x1
 3x1
 x2
 x2
 x3
 2 x3
 x2


x3
x3
 x4
 x4
 1,
 2,
 4,
 5.
Решение: Преобразуем матрицу
1

1
А1 = 
2

3

1 1 1 1

1 2 0 2
.
0 1 0 4

1 1 1 5 
Первую строку умножим соответственно на -1, 2, 3, вычтем из второй, третьей и
четвёртой строк:
1
1
1 1

3
1
0 2
А1 ~ 
0  2 1  2

0  2  2  2

1

3
.
2

2 
Вторую строку прибавим к третьей и четвёртой строкам:
1

0
А1 ~ 
0

0

1 1 1 1

2 3 1 3
.
0 2  1 5

0 1  1 5 
Третью строку, умноженную на
1
, вычтем из четвёртой:
2
1

0
А1 ~ 0

0

1 1
2 3
0 2
1
1
1
1
0 0 
2
1

3
5, А =
5

2
1

0
0

0

1 1
2 3
0 2
1
1
1
1
0 0 
2



.



Получим rang A = rang А 1 , следовательно система совместна и имеет
единственное решение. Исходную систему можно теперь записать через
эквивалентную в виде:
 x1







x2
2 x2

x3

x4

1,
 3 x3

x4

5,
2 x3

x4
1
 x4
2

5,
5
.
2

Порядок действий при решении этой системы очевиден. Последнее уравнение
даёт x 4 = -5, подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 0, второе
уравнение даёт x 2 = 4, наконец, из первого уравнения найдём
x1 = 2. Итак, решением данной системы является x1 = 2, x 2 = 4, x3 = 0, x 4 = -5.
Пример: Решить систему уравнений
 x1
2 x
 1

 x1
3x1
 x2
 x2
 x3
 3 x3
 x4
 2 x4
 4,
 1,
 x2


 2 x4
 x4
 6,
 0.
x3
x3
Решение: Запишем матрицу
1 1 1 1

2 1 3  2
А1 = 
1 0 1 2

3 1 1 1

4
1
6
0
6

3
.
8

2 
Здесь 6-ой, так называемый контрольный столбец, каждым элементом которого
является сумма пяти элементов данной строки. Контрольный столбец служит для
проверки правильности элементарных преобразований.
Преобразуем матрицу в эквивалентную
1

0
А1~ 
0

0

0 1 2
1 0 2
0 1
1
0
0
6
2
7
1
4
8 

 2
.
9 

5 
(Преобразование матрицы проведите самостоятельно).
Запишем эквивалентную систему уравнений
 x1






x3
 2 x4

x2
x3


  2,
 7,
 4.
x4
x4
x4
6,
Из 4-го уравнения x 4 = 4, из 3-го уравнения находим x3 = 3, из 2-го x 2 = 2, из 1-го
x1 = 1, т.е. решением данной системы является x1 = 1, x 2 = 2, x3 = 3, x 4 = 4.
Однородные системы.
Система уравнений называется однородной, если свободные члены уравнения
равны нулю.
 a11 x1  a12 x 2  
a x  a x
 
 21 1
22 2


 
  
a m1 x1  a m 2 x 2  


a1n x n
a2n xn


0;
0;
   
 a mn x n  0.
Или в матричной форме AX = B. Однородная система всегда совместна, так как
имеет тривиальное решение x1 = x 2 = …= x n = 0. Для существования
нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы
rang A < n (т.е. ранг матрицы системы меньше числа неизвестных).
Вследствие рассмотренных примеров, можно записать следующие выводы.
Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система приведётся к
треугольной, т.е. к такой, в которой последнее уравнение содержит одно
неизвестное. В случае неопределённой системы, т.е. такой, и которой число
неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, допускающей,
поэтому бесчисленное множество решений, треугольной системы не получается,
так как последнее уравнение содержит более одного неизвестного.
Когда же система уравнений несовместна, то после приведения к ступенчатому
виду, она содержит хотя бы одно уравнение вида 0 = 1, т. е. уравнение, в котором
все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля.
Такая система не имеет решений.
Задачи для самостоятельного решения.
1.Найти произведение матриц АВС, где
 4 3
 ; В =
 7 5
А = 
  28 93 

 ; С =
 38  126 
 7 3

 .
 2 1
2.Вычислить матрицу D = ABC – 3E, где
 1 2  3


А = 1 0 2  ; В =
4 5 3 


1
 
 2  ; С = 2 0 5 ; Е – единичная матрица.
1
 
 1 1  1


3.Вычислить А , если А =  3  1 2  .
 2 1 0 


3
4.Вычислить определители
1
1
2
1 ; б)
3
4 1  5
4
1 1
а) 2  3
2 3 4
3 4 1
.
4 1 2
1 2 3
5.Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то вычислить её:
 4  8  5


А =   4 7 1 .
3 5
1 

6. При каких значениях матрица А не имеет обратной
 4 1 


А =  2 5  1 .
0  1 


7. Найти ранги матриц:
6
2 5


а)  4  1 5  ;
 2  6  1


2 5
1 3 7


б)   1 0 4 8 3  ;
 3 6 10  4 7 


 1 2 1 4


в)  0 5  1 4  .
 1 3 4 6


8. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:
 x1
а)  2 x1
 3x
 1
2 x1
б) 3x2
x
 1
 2 x2

 3x 2
 4 x2
 3 x3
 5 x3

x3

8,
  5,
 10.
x2

x3
 0,
 4 x3
 x3

6
 0,
 1.
9. Решить системы уравнений методом Гаусса:
 x1
а) 2 x1
3x
 1
 2 x2
 3 x3
 6,
 3x 2
 x2
 x3
 4 x3
 4,
 0.
 2 x1
 3x

б)  1
 x1

 x1
 x1
2 x

в)  1
3x1
 x1
 3x2
 x2
 x3
 2 x3
 x4
 4 x4
  3,
 8,
 x2
 2 x2
 3 x3
 3 x3
 2 x4
 5 x4


 2 x2
 3x2
 3 x3
 x3
 6,
 0,
 2 x2
 x2
 4 x3
 3 x3
 5,
 3.
6,
3.
10. Решить матричные уравнения:
2 8 

 4 3 
 =  1 1  ;
б) X 
 1 1 

 0 1
5 4 1


 2 3
1 1 0
 ; В =  1 1 7  ; С = 
 .
в) AXB = C, если А = 
0
1
1
 5 8


6 5 9


 2 1
 X =
а) 
1
1


1 0 7 

 ;
8
1
2


Литература.
1. Кадомцев, С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учеб. пособие/ С.
Б. Кадомцев. [Электронный ресурс] - М.: Физматлит, 2011. - 168 с. - Режим
доступа: http://www.biblioclub.ru/book/69319/
2. Привалов И.И.Аналитическая геометрия:учебник для вузов.-38 изд.,стер.-М.:
Лань,2010.-304 с.
3. Высшая математика: учеб. пособие/ под ред. С. А. Розанова. [Электронный
ресурс] - М.: Физматлит, 2009. - 165 с. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/68379/
4. Михеев, В. И., Павлюченко, Ю. В. Высшая математика: краткий курс/ В. И.
Михеев, Ю. В. Павлюченко[Электронный ресурс]. - М.: Физматлит, 2008. - 195 с.
– Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/69321/
5. Клюшин, В. Л. Высшая математика для экономистов: учеб. пособие/ В. Л.
Клюшин. [Электронный ресурс] - М.: ИНФРА-М, 2009. - 448 с. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/45002/
6. Шафаревич, И. Р. Линейная алгебра и геометрия/ И. Р. Шафаревич.
[Электронный ресурс] - М.: Физматлит, 2009. - 509 с. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/68387/
7. Клюшин, В. Л. Высшая математика для экономистов: учеб. пособие/ В. Л.
Клюшин. [Электронный ресурс] – М.: ИНФРА-М, 2009. - 448 с. – Режим
доступа: http://www.biblioclub.ru/book/45002/
8. Ильи, В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра/ В. А. Ильин, Э. Г.
Позняк[Электронный ресурс]. - М.: Физматлит, 2007. - 275 с. – Режим доступа:
http://www.biblioclub.ru/book/68974/
9. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1,
2. М.: ОНИКС, 2010г.—416с.
10. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. М.: Айрис-пресс., 2008г.--608с.
11. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.- М.: ЮНИТИ, 2000.
12. Шипачев В.С. Основы высшей математике.-М.: Высшая школа,1998.
13. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике.-М.: Высшая школа,1998.
14. Кремер Н.Ш.Практикум по высшей математике для экономистов.- М.:
ЮНИТИ, 2003.
15. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах, ч.1.-ОНИКС, 2003.
Кафедра «Информационные системы, технологии и связь»
Мороз П.С. Полякова Р.И.
Линейная алгебра.
Учебно-методическое пособие
по выполнению самостоятельной работы для студентов
направления 100100.65 "Сервис"
Издательство КМВИС ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»
357500, Ставропольский
край, г.Пятигорска, бульвар Гагарина 1, корпус 1