Master-klass_17-18_oktyabrya_2015x

Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах,
вычислении площадей плоских фигур, объемах и площадях поверхности многогранников
и тел вращения. Все это можно найти в архиве со шпаргалками, то есть необходимыми
материалами:
http://video.ege-study.ru/help_geom.rar
Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии.
1. Сумма углов треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство
треугольника.
2. Определения медианы, биссектрисы, высоты треугольника и их свойства.
3. Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике.
4. Внешний угол треугольника. Его синус, косинус и тангенс.
5. Высота в прямоугольном треугольнике и ее свойства.
6. Площадь треугольника. 5 формул (для произвольного треугольника)
7. Теорема синусов и теорема косинусов.
8. .Признаки подобия треугольников.
9. Отношение площадей подобных фигур
10. Виды четырехугольников, их свойства и формулы площадей..
11. Площадь круга и длина окружности. Площадь сектора.
12. Центральный угол. Вписанный угол и его свойства.
13. Касательная и ее свойство. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной
точки.
14. Теорема о пересекающихся хордах.
15. Теорема о диаметре и хорде.
16. Теорема о секущей и касательной.
17. Когда четырехугольник можно вписать в окружность?
18. Когда четырехугольник можно описать около окружности?
Стереометрия. Необходимо знание формул объемов и площадей поверхности для призмы,
пирамиды, цилиндра, конуса и шара (и конечно, надо знать, как выглядят эти объемные
тела).
Задачи по планиметрии
Площади фигур
1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). В ответе запишите
.
3. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). В ответе запишите
.
4. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют
координаты (1;7), (9;2), (9;4), (1;9).
5. Найти площадь треугольника ABC, если его вершины имеют координаты A(2;1),
B(-1;1) и С(-3;-4).
6. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8).
7. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (8; 4), (8; 8), (2;
10).
8. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите
площадь заштрихованной фигуры.
9. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
10. В треугольнике ABC угол C равен 90°,
11. В треугольнике
,
,
– высота,
12. В треугольнике
угол
равен 90°,
13. В треугольнике
угол
равен 90°,
. Найдите BC.
. Найдите
. Найдите
– высота,
.
.
,
. Найдите
.
14. В треугольнике ABC угол C равен 90°,
угла при вершине A.
15. В треугольнике
не
равен
, тангенс внешнего угла при верши-
,
. Найдите
. Найдите тангенс внешнего
,
.
16. В треугольнике ABC угол C равен 90°,
17. В треугольнике
угол
равен 90°,
18. В треугольнике
вершине .
угол
равен 90°,
. Найдите
– высота,
.
,
. Найдите
.
. Найдите косинус внешнего угла при
Парадокс площадей
Треугольники и их свойства
19. В треугольнике
окружности.
20. В треугольнике
углов
и
,
, угол
угол равен
, угол
. Ответ дайте в градусах.
равен 90°. Найдите радиус вписанной
равен
,
– высота. Найдите разность
21. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен
150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
22. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании
этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
23. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из
вершины прямого угла, равен
. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ
дайте в градусах.
24. В треугольнике
ния
и
угол
– высота,
– биссектриса, – точка пересечеравен
. Найдите угол
. Ответ дайте в градусах.
25. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из
вершины прямого угла, равен
. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте
в градусах.
26. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный
треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.
*Задача с ЕГЭ-Турнира.
27. Можно ли разрезать тупоугольный треугольник на несколько остроугольных? (ответ и
доказательство)
28. В тупоугольном треугольнике
29. В треугольнике ABC
дайте в градусах.
,
– высота,
, AD — высота, угол BAD равен
. Найдите
. Найдите угол C. Ответ
.
Четырехугольники и их свойства
30. Диагональ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника. Верно ли, что этот
четырёхугольник - параллелограмм? (ответ и обоснование)
31. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь
трапеции.
32. Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 24, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
33. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 9. Найдите
ее среднюю линию.
34. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.
35. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность
которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.
36. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту
ромба.
Окружность. Центральный и вписанный угол. Вписанные и описанные многоугольники.
37. Найдите величину угла
. Ответ дайте в градусах.
38. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет
дайте в градусах.
окружности. Ответ
39. Найдите вписанный угол ABC, опирающийся на дугу AC, длина которой равна
окружности. Ответ дайте в градусах.
40. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен
шей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
длины
. Найдите величину мень-
41. Сторона
треугольника
равна 1. Противолежащий ей угол
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
равен
. Найдите
42. К окружности, вписанной в треугольник, проведены три касательные. Периметры
отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
43. Четырехугольник
вписан в окружность. Угол
Найдите угол
. Ответ дайте в градусах.
44. В окружности с центром
Найдите вписанный угол
равен
, угол
равен
и
– диаметры. Центральный угол
. Ответ дайте в градусах.
равен
.
.
45. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 65° и 41°. Найдите больший
из оставшихся углов этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
46. Около окружности, радиус которой равен
, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
47. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36. Найдите
радиус описанной окружности этого треугольника.
48. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая
боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
49. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 24, средняя линия равна
11. Найдите боковую сторону трапеции.
50. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого
равна 33. Найдите его периметр.
51. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен √3.
Найдите сторону этого треугольника.
Задачи по стереометрии
Нахождение объемов и площадей поверхности
1. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
2. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на .
3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
4. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер
параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
5. Площадь основания конуса равна 36π, высота — 10. Найдите площадь осевого сечения конуса.
6. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз?
7. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его
ребра увеличить в два раза?
8. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна
верхности конуса.
Найдите площадь боковой по-
9. От треугольной призмы, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого
основания. Найдите объем оставшейся части.
10. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны
те объем цилиндра, описанного около этой призмы.
. Найди-
Разные задачи по стереометрии
11. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен
дите образующую конуса.
Най-
12. В правильной шестиугольной призме
те угол АС1С. Ответ дайте в градусах.
все ребра равны 43. Найди-
13. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9 , а диаметр основания равен 3. Найдите высоту цилиндра.
14. В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты
14 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в
.
15. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , ,
,
,
прямоугольного параллелепипеда
.
, у которого
, ,
,
16. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой
гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.
17. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
18. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .
19. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
и образует углы 30 , 30 и 45 с
плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
20. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна
плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 60 . Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
21. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить
сосуд доверху?
22. В кубе
найдите угол между прямыми
и
. Ответ дайте в градусах.
23. Объем треугольной пирамиды равен 30. Плоскость проходит через сторону основания
этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в
отношении 7:8, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид,
на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
24. В правильной четырёхугольной призме
ребро
равно 15, а
диагональ
равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью,
проходящей через точки ,
и .
25. В правильной треугольной призме
стороны оснований равны 2,
боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью,
проходящей через середины рёбер
,
,
и
.
26. В прямоугольном параллелепипеде
известны длины
рёбер:
,
,
. Найдите площадь сечения параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки
,
и
27. Какую форму должна иметь пробка, чтобы ею можно было заткнуть отверстия трех
видов: треугольное, квадратное и круглое?
27. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно
3. Найдите объем пирамиды.
29. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите
S
площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите
Задачи на построение сечений
30. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки

.
32.
(Теорема о пересечении двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую,
параллельную другой плоскости: Пусть прямая l параллельна плоскости π. Если плоскость
σ проходит через прямую l и пересекает плоскость π по прямой m, то m параллельна l) .
33. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка K — середина ребра A1D1. Постройте сечение куба
плоскостью ACK.
34. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Точка E — середина ребра B1C1. Найдите
площадь сечения куба плоскостью ABE
35. В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDS (с вершиной S) точка M — середина ребра SC. Постройте сечение пирамиды плоскостью ABM.
36. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Найдите площадь сечения куба плоскостью,
проходя- щей через вершину D1 и середины рёбер AD и CD
37. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 4, а сторона
основания равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через
точки A, B и середину ребра B1C1.