Решения задач МФТИ - Репетитор-по

Подготовка к ЕГЭ и в ВУЗ с репетитором по математике и физике - Абитуриенту 2009–2010.
Математика, физика абитуриентам и студентам - Репетитор по математике и физике.
Подготовка к ЕГЭ, занятия, контрольные работы, подготовка к зачетам и экзаменам.
Любые разделы, вплоть до самых мудрёных. Преподаватель МФТИ, стаж – более 20 лет.
Решение задач, написание курсовых, дипломных работ.
Занятия индивидуальные, групповые, разовые и по собственным оригинальным программам. Подробно – на сайте.
Конкурс абитуриентов 2009/2010 года
по решению задач вступительных испытаний МФТИ
«Конкурс – 63»
ЗАДАЧИ
1. 48–22–1. Дано уравнение х2 + рх + q = 0.
Составить с помощью только коэффициентов р и q квадратное уравнение,
корнями которого были бы
y1 = x12 + x22, y2 = x13 + x23 .
Часть решения:
y1 = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2 = р2 – 2q
y2 = x13 + x23 = – р (р 2 – 3q)
(y – р2 + 2q) (y + р3– 3pq) = 0
Решение стоит 200 руб.
2. 50–3–4. Подсчитать сумму 1 + 3 + 6 + 10 + ... + (n–1)n/2 + n(n+1)/2.
Альтернативное оригинальное (уникальное) решение стоит 500 руб.
Это, демонстрационное, уже «засвечено» и приниматься не будет.
n³–(n–1)³ = 3n²–3n+1
n²–(n–1)² = 2n–1
n – (n–1) = 1
Cразу выразим 3n²+3n, а затем разделим на 6 :
3n²+3n = (3n²–3n+1) + 3·(2n–1) + 2·1 = n³–(n–1)³ + 3·(n²–(n–1)²) + 2·(n–(n–1))
(n²+n)/2 = (n³–(n–1)³)/6 + (n²–(n–1)²)/2 + (n–(n–1))/3 = f(n) – f(n–1),
где f(n) = n³/6 + n²/2 + n/3 .
Когда общий член представлен в виде f(n) – f(n–1),
сумма легко находится:
f(1) – f(0) + f(2) – f(1)+ f(3) – f(2) + ...+ f(n) – f(n–1) = f(n) – f(0).
В данном случае f(0) = 0, поэтому искомая сумма равна
n³/6 + n²/2 + n/3 = (n³+3n²+2n)/6 = n(n+1)(n+2) / 6
3. 51–6–3. Решить уравнение
Решение заменой у = х² + 8х стоит 500 руб.
4. 51–5–3. Решить систему
Решение: x = y или x  xy  y  a
Во 2-ом случае
x  xy  y  ( x2  xy  y 2 ) /( x  xy  y)  b2 / a
Дальше – проще. Это решение полностью стоит 500 руб.
5. 54–16–2. Решить уравнение cos3x·cos3x + sin3x·sin3x = 0.
Решение: (3s – 4s3)·s3 + (4c3– 3c)·c3= 0. Отсюда s2 = c2 или 3 = 4·(s4 + s2 c2 + c4).
cos2x = 0 или sin2x = ±1. Т.о. остаётся только cos2x = 0. Это решение полностью стоит 500 руб.
6. 48–4–1. Несколько человек взялись вырыть канаву, и могли бы окончить работу за 24 часа,
если бы делали ее все одновременно. Вместо этого они приступали к работе один за другим
через равные промежутки времени, и затем каждый работал до окончания всей работы. Сколько
времени они рыли канаву, если первый приступивший к работе проработал в 5 раз больше
времени, чем последний?
Её решение стоит 500 руб.
Аналогичная с решением:
Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу за 6 час, если бы начали
её одновременно, но они приступили к работе один за другим через одинаковые промежутки
времени. Через такой же промежуток времени после выхода на работу последнего участника
канава была вырыта, причем каждый из участников оставался на работе до конца. Сколько
времени они рыли канаву, если приступивший к работе первым проработал в 5 раз больше
времени, чем приступивший последним?
Решение: Так как рабочие приступали к работе через равные промежутки, и вследствие этого
первый проработал в 5 раз больше времени, чем последний, то число рабочих было равно 5.
Если последний работал х час, то общее число человеко-часов было
х + 2х + 3х + 4х + 5х = 15х.
По условию, работая впятером, они могли бы выполнить ту же работу в 6 час.
Следовательно, 15х = 5·6, откуда х = 2.
Работа по прорытию канавы продолжалась столько времени,
сколько работал первый рабочий, т. е. 5х часов.
Ответ: Работа продолжалась 10 часов.
7. 48–17–2. Вычислить sin(2·arctg 1/5 – arcctg 5/12).
Решение стоит 800 руб.
8. 53–1–3. Найти вещественные решения
Решение стоит 1500 руб.
9. 50–4–4. Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы между суммой ее первых х членов
и суммою k х следующих за ними существовало постоянное отношение, независящее от х .
Решение стоит 1500 руб.
Ответ: Прогрессия 1, 3, 5, 7 и т.д.
10. 56–10–4. Решить систему:
Решение стоит 2 тыс. руб.
11. 58–2–1. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона
видна из центра описанной окружности под углом α.
Ответ: h²·ctg α/2
Боковая сторона видна из вершины нижнего основания под углом α/2 ,
а средняя линия равна отрезку от этой вершины до основания высоты,
опущенной из противоположной вершины, т.е. h·ctg α/2.
Следовательно, площадь трапеции
S = h2·ctg α/2.
Альтернативное оригинальное (уникальное) решение стоит 1 тыс. руб.
Это, демонстрационное, уже «засвечено» и приниматься не будет.
12. 47–6–2. Определить угол между боковым ребром и
плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды,
если площадь основания относится к поверхности вписанного в
неё шара как 4 : π.
Решение стоит 2 тыс. руб.
Отрывок: учитывая, что центр впис. окружности лежит на биссектрисе,
можно найти тангенс половинного угла между боковой гранью и основанием,
а тогда и тангенс всего угла, а значит, и отношение высоты к а/2
(а значит, и h/a).
Треугольник, который нам требуется, - прямоугольный.
Высота - это его катет.
Второй катет - половина диагонали квадрата, а гипотенуза - ребро пирамиды.
a = 4r.
Пусть / НЕК = х
1) ОЕ - биссектриса, / НЕО= х/2
tg(x/2) = r/(a/2) = 1/2
2) используем формулу тангенса двойного угла
3) tgx = МН/НЕ = h/(а/2)=2h/a
находим h/a
4) рассматриваем треугольник МНД
тангенс искомого угла равен МН/НД = h/[(a√2)/2]
Подставляем то, что получилось в пункте 3, находим тангенс = 2√2/3.
13. 59–3–2. Показать, что уравнение 2x + 2-x = 2·cos 2х имеет единственное решение. Найти это
решение.
Решение стоит 2 тыс. руб.
14. 59–5–1. Решить систему уравнений
Решение стоит 2 тыс. руб.
15. 77–9–3. В прямоугольном треугольнике ABC катет BC имеет длину а и образует с
гипотенузой AC угол α. Точка D расположена на катете BC и имеет наименьшую по сравнению
с остальными точками отрезка BC сумму квадратов расстояний до прямых AC и АВ . Найти
длину отрезка BD.
Решение стоит 2 тыс. руб.
Высшая математика и эконометрика, ФИЗИКА, МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА
Позвоните мне по 345 20 61, 8-917 531 85 49.
Домашний учитель, репетитор, помощь школьникам, абитуриентам, студентам техникумов и колледжей, слушателям подготовительных отделений вузов.
Подготовка к экзаменам, в том числе к ЕГЭ, к поступлению в престижные технические (МФТИ, МГТУ им. Н.Э. Баумана, МЭИ и др.) и другие вузы.
Выпускник МФТИ, кандидат наук, преподаватель вуза, педагог с большим стажем работы. Занятия индивидуальные, с учётом особенностей ученика.
Решим контрольную работу по математике, физике, информатике. Самый гибкий и современный подход к решению контрольных работ.
Мы сделаем всё, чтобы Вам было приятно и удобно работать с нами.
Репетитор по математике и физике с большим опытом (красный диплом МФТИ, канд. наук, доцент, 20-летний стаж репетиторства)
проводит занятия с абитуриентами МФТИ, МГУ, МГТУ, МИФИ, МИРЭА, МЭИ, МАИ, РЭА, МГИМО, ГУВШЭ, и других ВУЗов,
студентами всех курсов, школьниками (экстернат, подготовка к ЕГЭ). Возможен выезд на дом. Цена
- на сайте
Физика:
16. 47–1–1. Две гири весом в 5 кг и 3 кг висят на концах нити, перекинутой через блок, причем
легкая гиря находится на 1 м ниже тяжелой. Если предоставить гирям двигаться под действием
силы тяжести, то через сколько времени гири окажутся на одной высоте? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
Решение стоит 500 руб.
Ответ: 0,64с.
План решения: Задача на равномерное движение тел под действием силы тяжести.
Каждое из тел проходит путь 0,5м.
Результирующая сил тяжести равна (5кг - 3кг)·g, отсюда находим ускорение а.
Примените формулу связи перемещения с ускорением и временем.
Нужно для каждой гири расписать второй закон Ньютона, соответственно слева будет сумма
всех сил, действующих на гирю, а справа ma. Где a - это то ускорение, с которым гиря будет
двигаться (вверх или вниз, в зависимости от знака полученной суммы).
На одной высоте они окажутся, когда первая опустится настолько же, насколько поднимется
вторая, т.е. h/2. Соответственно, зная ускорение и расстояние, можно будет найти время.
17. 47–1–6. Камень бросают горизонтально с вершины горы, уклон которой равен α градусов.
Определить, с какой скоростью V был брошен камень, если он упал на склон на расстоянии L от
вершины. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение стоит 500 руб.
Удобно выбрать начало координат на вершине горы,
ось х направить горизонтально, а ось у — вертикально вниз.
Тогда координаты точки падения х = L·cos α, у = L·sin α должны
удовлетворять уравнению траектории горизонтально брошенного тела.
Ответ:
18. 49–5–1. Какой длины должна быть веревка, чтобы при вращении в горизонтальной
плоскости с периодом Т подвешенного на ней камня, она отклонялась от вертикали на угол α?
Решение стоит 500 руб.
19. 48–3–2. Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец.
Нижняя часть палочки погружена в воду, причем равновесие достигается,
когда палочка расположена наклонно к воде, и в воде находится половина
длины палочки. Каков удельный вес материала, из которого сделана палочка?
Альтернативное оригинальное (уникальное) решение стоит 500 руб.
Это, демонстрационное, уже «засвечено» и приниматься не будет.
К тому же решена «не совсем та» задача. Удельный вес вещества измеряется в н/м³
20. 52–9–1. Тело с плотностью, равной 0,8 г/см³, погружено на 1 метр под поверхность воды и
отпущено. На какую максимальную высоту над поверхностью воды оно поднимется? Трением
тела о воздух и воду пренебречь.
Решение стоит 1500 руб.
21. 54–12–1. Чему будет равен период обращения искусственного спутника Земли по круговой
орбите на расстоянии в три раза меньшем, чем расстояние от Земли до Луны? Период
обращения Луны равен 27 сут 7 ч.
Решение стоит 1500 руб.
22. 54–2–2. Кубический метр влажного воздуха при относительной влажности 60%,
температуре 20° С и давлении 1 атм весит 1,2 кг.
Определить давление насыщенного водяного пара при температуре 20° С .
Решение стоит 1500 руб.
23. 48–1–1. Определить подъёмную силу наполненного нагретым воздухом воздушного шара,
сообщающегося с атмосферой. Температура наружного воздуха 15°С, температура воздуха
внутри шара 140°С, давление воздуха 600 мм рт. ст. Объем шара 100 м³.
Решение стоит 1000 руб.
24. 50–1–4. Определить давление смеси 2 кг кислорода и 3 кг азота в объёме 2 м³ при
температуре 27°С. Атомный вес кислорода 16, азота 14.
Решение стоит 1000 руб.
25. 50–3–3. N одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала V.
Каков будет потенциал V' большой капли, получившейся в результате слияния этих капель?
Ответ:
3
N 2 V
Решение стоит 500 руб.
26. 54–2–3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено средой с
диэлектрической проницаемостью ε и удельным сопротивлением ρ = Ом · см. Чему равно
сопротивление такого конденсатора, если его ёмкость равна С?
Решение стоит 500 руб.
27. 52–3–3. Милливольтметр, соединенный последовательно с добавочным сопротивлением
800 Ом, показывает напряжение 12 мВ, когда полное приложенное напряжение равно 20 мВ.
Сколько покажет тот же милливольтметр при том же внешнем напряжении,
если соединить его последовательно с добавочным сопротивлением 300 Ом ?
Решение стоит 800 руб.
28. 53–6–3. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них чайник
вскипает через 10 мин. При включении другой – через 15 мин. Через сколько времени чайник
вскипит, если эти обмотки включить вместе: а) параллельно, б) последовательно?
Решение стоит 800 руб.
Ответ: (tпарал.= 10 · 15 /(10 + 15) = 6 мин., tпослед.= 10 + 15 = 25 мин.)
29. 53–4–3. Луч света проходит через плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5),
толщина которой ρ = 1 см. Угол падения 30°. Определить величину смещения луча, т.е.
расстояние между первоначальным и окончательным направлением луча.
Решение стоит 800 руб.
30. 50–8–4. Двояковыпуклая линза дает действительное изображение с увеличением в два раза.
Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением равно 25 см.
Решение стоит 800 руб.