ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП МАТЕМАТИКА

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
10 КЛАСС
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ
1. Ответ: 1/6.
К
Решение 1. Площадь прямоугольника B
C
равна AB·BC, а площадь треугольника
ABK
равна
AB·BK/2.
Отсюда
получаем BK=2BC/3 и СK=BC/3.
Тогда площадь треугольника KCD
составляет
CD·CK/2=
AB·BC/6.
А
D
Решение 2. Проведём отрезок KD и
M
опустим перпендикуляр KM из точки
K на отрезок AD. Тогда исходный прямоугольник разделится на 2
прямоугольника, каждый из которых в свою очередь будет разделён на
два равных треугольника. В силу условия площадь одного из них
(АВКМ) составит 2/3 площади исходного прямоугольника. Тогда
площадь другого (MKCD) равна 1/3 его площади, а площадь
соответствующего треугольника (KCD) равна 1/6 его площади.
Критерии проверки. Любое верное решение – 7 баллов. Во всех
остальных случаях (в том числе один ответ) – 0 баллов.
2. Ответ: x = y = - 1/2.
Решение. В силу неотрицательности подкоренных выражений должны
одновременно выполняться неравенства x  y, x  y, откуда и следует x =
y = - 1/2.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Ответ с проверкой – 2
балла. Равенство переменных утверждается, но не доказывается, а
неизвестные найдены верно – 2 балла. В остальных случаях (в том числе
один ответ без проверки) – 0 баллов.
3. Ответ: Да, могло.
Решение.
Пете
нужно
взять
число
7/4.
Тогда
7
3
3 3 10
1
1 1
1 1  
 2  2   3.
4
4
4 4 4
2
2 2
Критерии проверки. Правильный ответ с проверкой – 7 баллов. В
остальных случаях – 0 баллов.
4. Ответ: 200, 300 и 400 тысяч рублей соответственно.
Решение. Пусть Сидоров вложил в 1-й, 2-й и 3-й банки a, b, c рублей
соответственно. Тогда через год в 1-м банке оказалось 0,2c, во втором
1
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
10 КЛАСС
0,1b, в третьем 0,15a. Следовательно, через два года прибыли от
вложений в 1-й банк составит 0,02c рублей, во 2-й банк – 0,015b и 3-й
банк
–
0,03a
рублей.
В
силу
условия
0,02c=0,015b=0,03a4c=3b=6ac=3/4b, a=1/2 b. Отсюда 9/4b=900000 
a=200000, b=400000, c=300000.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Правильное
соотношение между вложенными изначально суммами получено, но
ответ дан неверный – 5 баллов. Верный ответ с проверкой – 2 балла. В
остальных случаях – 0 баллов.
5. Ответ: Разность арифметической прогрессии π/28.
Решение. Прежде всего, найдём углы треугольника ABC. Пусть
 ABC= . Тогда +(+π/7)+ (+2π/7)=π3=4π/7=4π/21 и можно
считать, что  A= 4π/21, B =π/3,  C= 10π/21. Тогда в треугольнике
ADC: DAC+DCA=1/2(π– π/3) = π/3ADC=2π/3. Аналогично в
треугольнике
ADB:
DAB+DBA=1/2(π–
10π/21)
=
11π/42ADB=31π/42.
И,
наконец,
в
треугольнике
CDB:
DCB+DBC=1/2(π– 4π/21) = 17π/42CDB=25π/42.
Но тогда из
равнобедренного треугольника KDM находим DKM=DMK=1/2(π–
ADC)=π/6. Аналогично, из равнобедренного треугольника KDL
находим
DKL=DLK=1/2(π–ADB)=11π/84.
И,
наконец,
из
равнобедренного треугольника KDM находим DKM=DMK=1/2(π–
CDB)=17π/84. Тогда углы треугольника KLM равны π/6+11π/84=25π/84,
11π/84+17π/84= π/3, π/6+17π/84=31π/84. Легко видеть, что полученные
величины углов действительно составляют арифметическую прогрессию
с разностью π/28.
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Найдены углы
исходного треугольника ABC и углы между его биссектрисами, но
дальнейшее решение ошибочно или отсутствует – 2 балла. Углы
исходного треугольника ABC найдены, но дальнейшее решение
ошибочно или отсутствует – 1 балл. В остальных случаях – 0 баллов.
6. Ответ: 2,5 г.
Пример: 1; 2; 2; 2,5; 2,5.
Решение (оценка). Общий вес гирь 10. Среди всех гирь есть набор
весом 5 г. Тогда набор остальных гирь весит не меньше 5 г. В каком-то
из двух наборов не больше двух гирь, поэтому самая тяжелая из них
весит не менее 2,5 г. Значит, и золотая гиря весит не менее 2,5 г.
2
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015/16 гг.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
МАТЕМАТИКА
10 КЛАСС
Критерии проверки. Верное решение – 7 баллов. Только оценка – 4
балла. Только пример – 2 балла. Только ответ без подробного описания
весов всех гирь или отсутствие ответа – 0 баллов.
3