Векторы и координаты

Вопросы письменного опроса по теме «Векторы и координаты»
1. Основные определения векторной алгебры
Опр.1 Вектором наз. ……………………………………………..
Вектор характеризуется: 1. ………………. 2. ……………………..
Нулевой вектор-……………………………………………………
Опр.2 Длиной ненулевого вектора наз. ………………………………………………
Длина нулевого вектора ………………………
Опр.3 Векторы наз. коллинеарными, если ………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………
Опр.4 Коллинеарные векторы делятся на …………………………………………………..
Сонаправленными наз. векторы, которые …………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Противоположнонаправленными наз. векторы, которые …………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Опр.5 Векторы наз. равными, если выполняются 2 условия
1. …………………………………..……. 2. …………………………….………………..
Опр.6 Векторы наз. противоположными если выполняются 2 условия
1. …………………………………..……. 2. …………………………….………………..
Опр.7 Углом между векторами наз. угол,…………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Опр.8 Разложить вектор с по двум неколлинеарным векторам а и в , это значит
…………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….
Опр.9 Векторы наз. компланарными, если ………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Опр.10 Разложить вектор х по трем некомпланарным векторам а, в и с , это значит
……………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….
2. Действия с векторами
Суммой векторов наз. ……………………………………………………
а). правило треугольника б). правило
в). «по буквам» без чертежа
(откладывать слагаемые
(так складывать можно только
параллелограмма
вектора
…………………………..…)
ПЛАНИМЕТРИЯ
(откладывать слагаемые
вектора
………………………..….)
урок 6
такие векторы, у которых
…………………………………..
…………………………………….
…………………………………)
Векторы и координаты
1
Разностью векторов наз. ……………………………………………………
а). сумма с
б). непосредственно
в). «по буквам» без чертежа
(так вычитать можно только
противоположным
разность
(откладывать вектора
…………………………..….)
(откладывать вектора
…………………………..….)
такие векторы, у которых
…………………………………….
…………………………………….
……………………………………)
Произведением вектора на число наз. ……………………………… длина которого
равна ………………………………………………………………………………. , а
направление зависит от знака числа:………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
Скалярным произведением векторов наз. ………………………………
……………………………………………………………………………….
Формула для нахождения косинуса угла между векторами ( прямыми).
Свойства операции скалярного произведения ненулевых векторов:
1. связь знака скалярного произведения и вида угла между векторами
 ……………т.т.т.к. .…………………
 ……………т.т.т.к. .…………………
 ……………т.т.т.к. .…………………
2. формула для нахождения скалярного произведения
коллинеарных векторов
 если ……………то………………..т.к. .…………………
 если ……………то………………..т.к. .………………….
!!!! 3. ……………………………………………………………
!!!! 4. ……………………………………………………………
…………….………………………………………………………
3. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным
…………….……………………………………………………………………
…………….……………………………………………………………………
С - середина отрезка АВ
O –произвольная точка
пространства
№366.
M – центр тяжести ∆АВС
O –произвольная точка
пространства
№372. Свойство диагонали куба
(проходит через центры тяжести
∆∆, делится этими точками на 3
равные части)
См.рис.выше
Задания открытого банка данных
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
Векторы и координаты
( уровень А)
2
(решить аналогичные задачи с другими числами)
1.
Прототип задания B3 (№ 27707)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите
длину вектора
.
2.
Прототип задания B3 (№ 27708)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите
длину суммы векторов
и
.
3.
Прототип задания B3 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите
длину разности векторов
и
.
4.
Прототип задания B3 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите
скалярное произведение векторов
и
.
5.
Прототип задания B3 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину
суммы векторов
и
.
6.
Прототип задания B3 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину
разности векторов
и
.
7.
Прототип задания B3 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину
вектора
.
8.
Прототип задания B3 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину
вектора
+
.
9.
Прототип задания B3 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину
вектора
.
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
Векторы и координаты
3
10. Прототип задания B3 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину
вектора
.
11. Прототип задания B3 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и
равны 12 и 16. Найдите длину вектора
+
12. Прототип задания B3 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и
равны 12 и 16. Найдите длину вектора
.
13. Прототип задания B3 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и
равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов
и
.
14. Прототип задания B3 (№ 27720)
Стороны правильного треугольника ABC равны
Найдите длину вектора
+
.
.
15. Прототип задания B3 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3.
Найдите длину вектора
.
16. Прототип задания B3 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3.
Найдите скалярное произведение векторов
и
.
4. Схема решения задач на вычисление векторным способом.
1. Ввести базис, состоящий из двух неколлинеарных или трех некомпланарных
векторов. Указать длины базисных векторов и углы между ними (по возможности).
Составить таблицу умножения.
2. Ввести искомые вектора и выразить их через базис
3. Найти длины искомых векторов, их скалярное произведение и углы между ними (по
необходимости)
4. Ответить на вопрос задачи.
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
Векторы и координаты
4
6.
Схема решения задач
на вычисление
координатным
способом.
5. Основные определения метода координат
Прямоугольной системой координат наз. ………………
……………………….. …………………………………..
……………………………………………………………
…………………………………………………….
1. Ввести прямоугольную
……………………………………………………………
систему координат и
указать координаты точек Ось ОХ наз. ………………………………………………,
ось ОУ наз. ……………………….………….
выделенных на чертеже.
ось ОZ наз. ……………………….………….
2. Ввести искомые вектора и Если точка лежит на оси ОХ, то ее координаты имеют вид
вычислить их координаты. ………..
Если точка лежит на оси ОY, то ее координаты имеют вид
………..
Если точка лежит на оси ОY, то ее координаты имеют вид
3. Найти скалярное
произведение векторов, их ………..
Прямоугольную систему координат можно задать
длины и косинус угла
координатными векторами ……………… , которые
между ними (по
являются ……………………………
необходимости)
(т.е. ………………………………………
………………………………………)
4. Ответить на вопрос
Координаты любой точки можно связать с координатами
задачи.
ее радиус-вектора, т.е ………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………………………
7. Действия с векторами, заданными своими координатами.
1. Каждая координата суммы векторов равна …………………………
…………………………………………………………………………….
2. Каждая координата разности векторов равна
………………….………………………………………………….………
3. Каждая координата произведения вектора на число равна …….…
……………………………………………………………………………
Если
а= .....;......;......; в=
.....;......;......
то
а+в= .....;......;......
а-в= .....;......;......
λ а= .....;......;......
Таким образом, каждая координата линейной комбинации равна …………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Упражнение 1:
Дано:
Решение (1 способ)
Решение (2 способ)
а= 1;.  2; 5
в=  0;  6; 3
с=  2; 3;  7
р=2а -
1
в+с
3
Найти:
Ответ
координаты вектора р
4. Скалярное произведение - это число, равное………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
(Если а= .....;.....;..... ; в= .....;.....;..... ,то ав=………………………)
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
Векторы и координаты
5
8. Простейшие задачи в координатах
1. О координатах середины
отрезка.
2. О координатах центра тяжести
треугольника
3. О координатах вектора по
координатам его начала и конца
4. Вычисление длины вектора по
его координатам.
5. Вычисление расстояния между
точками, заданными своими
координатами.
6. Об угле между векторами.
…..  а; в   ……
7. Об угле между прямыми.
…..  а; в   ……
9. Основные факты (в задачах на доказательство)
задание
1.Условие параллельности
двух векторов
Векторное условие
Координатное условие
2.Условие
перпендикулярности двух
векторов
Задания открытого банка данных
1.
Найдите сумму координат вектора
2.
( уровень А)
Прототип задания B3 (№ 27723)
.
Прототип задания B3 (№ 27724)
Вектор
с началом в точке A(2, 4) имеет
координаты (6, 2). Найдите абсциссу точки B.
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
Векторы и координаты
6
3.
Прототип задания B3 (№ 27725)
Вектор
с началом в точке A(2, 4) имеет
координаты (6, 2). Найдите ординату точки B
4.
Прототип задания B3 (№ 27726)
Вектор
с началом в точке A(3, 6) имеет
координаты (9, 3). Найдите сумму координат точки
B.
5.
Прототип задания B3 (№ 27727)
Вектор
с концом в точке B(5, 3) имеет
координаты (3, 1). Найдите абсциссу точки A.
6.
Прототип задания B3 (№ 27728)
Вектор
с концом в точке B(5, 3) имеет
координаты (3, 1). Найдите ординату точки A.
7.
Прототип задания B3 (№ 27729)
Вектор
с концом в точке B(5, 4) имеет
координаты (3, 1). Найдите сумму координат точки
A.
8.
Прототип задания B3 (№ 27730)
Найдите сумму координат вектора
9.
+
.
Прототип задания B3 (№ 27732)
Найдите сумму координат вектора
11.
.
Прототип задания B3 (№ 27731)
Найдите квадрат длины вектора
10.
+
.
Прототип задания B3 (№ 27733)
Найдите квадрат длины вектора
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
.
Векторы и координаты
7
12.
Прототип задания B3 (№ 27734)
Найдите скалярное произведение векторов
13.
и
+
+
Прототип задания B3 (№ 27738)
.
Прототип задания B3 (№ 27739)
Найдите квадрат длины вектора
18.
.
Прототип задания B3 (№ 27740)
Найдите скалярное произведение векторов
19.
.
.
Найдите сумму координат вектора
17.
и
.
Прототип задания B3 (№ 27737)
Найдите квадрат длины вектора
16.
.
Прототип задания B3 (№ 27736)
Найдите сумму координат вектора
15.
.
Прототип задания B3 (№ 27735)
Найдите угол между векторами
14.
и
Прототип задания B3 (№ 27741)
Найдите угол между векторами
и
.
Задача №1: Найдите угол между медианами катетов равнобедренного треугольника.
Задача №2: В ромбе АВСD точки M и Т – середины сторон ВС и DС соответственно. Найти
угол MAТ, если угол BAD равен 600
Задача №3: Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под углом
600. Найти угол при вершине треугольника.
Задача №4: В квадрате АВСD точка М – середина ВС, а точка О- точка пересечения DМ и АС.
Найти величину угла МОС.
Задача №5: На сторонах MN и MQ квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA:MN= 1:2;
QB:MQ=1:3. Найти ∟AРB.
ПЛАНИМЕТРИЯ
урок 6
Векторы и координаты
8