Демо-вариант заданий I этапа

МАЛАЯ СВОШ
Демонстрационные варианты
9 класс
1. Известно, a  b  3, b  c  5. Чему равно a  3b  2c ?
2. Решите уравнение x 4  2 x 3  x 2  4  4( x 2  x) .
3. Найдите расстояние от вершины A до диагоналиBDпрямоугольникаABCD, если
известно, AB= 15,BC = 20.
4. На доске написаны четыре числа. Если их складывать по трое, то получатся числа 3,
10, 13, и 17. Какие числа написаны на доске?
5. Имеется 100 шаров красного, синего и желтого цветов. Известно, что среди любых
90 шаров найдутся хотя бы по одному шару каждого цвета, среди любых 63 – хотя
бы один синий, а среди любых 50 – хотя бы один красный. Сколько шаров каждого
цвета?
Решения
1. a  3b  2c  a  b  2b  2c  a  b  2b  c   3  2  5  13.
2. Заметим, что x 4  2 x 3  x 2  ( x 2  x) 2 . Сделав замену t  x 2  x , получим квадратное
уравнение t 2  4t  4  0 . Последнее уравнение имеет единственный корень t  2 .
Сделав обратную подстановку и решая уравнение x 2  x  2  0 , мы получим корни
исходного уравнения.
Ответ: x1  2, x 2  1.
3. ПустьЕ – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на диагональ BD. Нам
необходимо найти длину отрезка АЕ. В прямоугольном треугольнике ABDпо
теореме Пифагора BD  15 2  20 2  25. Треугольники ABDи EAD прямоугольные и
у них общий острый угол D, следовательно, эти треугольники подобны. Поэтому
BD AB
AB  AD 15  20
, откуда AE 

 12.

BD
25
AD AE
Ответ: 12.
4. Обозначим искомые числа через x,y, z, и t. Тогда имеем:
x  y  z  3 (1), x  y  t  10 (2), x  z  t  13 (3), y  z  t  17 (4).
Сложив
эти
x  y  z  t  14
равенства,
затем
разделив
обе
части
на
получим:
1
(5). Последовательно вычитая из равенства (5) равенства (1), (2),
3
(3) и (4) найдем искомые числа.
2 1
1
1
3 3
3
3
x, y, z обозначим
Ответ:  2 , 1 , 4 , 11 .
5. Через
количество красных, синих и желтых шаров
соответственно. Второе условие означает, что y  38 (1), третье условие, что
x  51 (2). Первое условие означает, что имеется не менее 11 шаров каждого цвета,
значит z  11 (3). Складывая неравенства (1), (2) и (3) получаем x  y  z  100.
Равенство будет выполняться только при x  51, y  38, z  11.
Ответ: 51, 38, 11.
8 класс.
1. Кого больше: котов, кроме тех котов, которые не Васьки, или Васек, кроме тех Васек,
которые не являются котами?
2. Можно ли разбить все натуральные числа от 1 до 21 на несколько групп так, чтобы в
каждой группе самое большое число было равно сумме остальных чисел в этой группе?
3. Сколькими способами можно раскрасить грани тетраэдра (треугольной пирамиды) в
четыре цвета?
4. В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите угол ABC, если AC=2AB.
5. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 20×12. В левом нижнем углу стоит фишка.
Коля и Алеша по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо
вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто
выигрывает при правильной игре?
1.
2.
3.
4.
5.
Решения задач
Коты, кроме тех котов, которые не Васьки, — это коты по кличке Васька. Васьки, кроме тех
Васек, которые не коты, — это Васьки, являющиеся котами. Так что два указанных
множества совпадают.
Нельзя, т.к. сумма чисел в каждой группе будет четной. Т.е. сумма всех чисел должна быть
четной. Но сумма чисел от 1 до 21 равна 231.
Двумя способами. Пусть «низ» раскрашен в цвет 4. Тогда боковые грани можно раскрасить
двумя способами (123) и (132).
Отложим на луче АВ отрезок AD равный отрезку AC. Треугольник DACбудет
равнобедренным. Т.е. биссектриса АЕ будет и медианой для треугольника DAC. Т.к.
AC=2AB,то и отрезок CBбудет медианой. А т.к. AE = CE, то эти медианы будут равны. Т.е.
треугольник DACбудет равносторонним, следовательно, угол ABCравен 90°.
Выиграет Коля. Он первым ходом поставит фишку на поле (9,1). Дальше будет ходить так,
чтобы фишка всегда оставалась на диагонали [(9,1)–(20,12)].
7 класс.
1. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо
снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке
остаться 10 платков?
2. Предложил чёрт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги
удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей». Трижды
перешёл лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря
первоначально?
3. Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число
друзей в этой компании.
4. Длина стороны AC треугольника ABC равна 3,8 см, длина стороны AB — 0,6 см, а длина
стороны BC выражается целым числом сантиметров. Какова эта длина?
5. Есть 12 камней. Два игрока по очереди берут от 1 до 4 камней. Выигрывает тот, кто берёт
последний камень. Кто выиграет при правильной игре?
1.
2.
3.
4.
5.
Решения задач
Не может. Каждый раз, когда девочка снимает или вешает платок, четность количества
платков на вешалке меняется. Значит после ухода девочек количество платков должно
было стать нечетным, а 10 четное число.
Обозначим первоначальное количество денег у лодыря через x. Тогда после трех
переходов количество денег можно найти из соотношения: 2*(2*(2x-40)-40)-40=0. Решив
которое получим x=35.
Пусть в компании Nчеловек. Докажем от противного. Предположим, что в компании нет
двух человек с одинаковым числом знакомых из этой компании. Тогда количество
знакомых у каждого можно выписать в ряд: 0, 1, 2, …, N-1. Но тогда в этой компании есть
человек не знакомый ни с кем (0 знакомых) и человек знакомый со всеми (N-1 знакомый).
Но это невозможно. Противоречие. Значит наше предположение неверно и найдутся хотя
бы два человека с одинаковым числом знакомых.
По неравенству треугольника должны выполняться следующие неравенства: AC+AB>BCи
AB+BC>AC. Из первого неравенства следует, что BC<3,8+0,6, а из второго BC>3,8-0,6. Т.к.
длина BCцелое число, то BC=4.
Выиграет первый. Вначале он берет 2 камня. А дальше дополняет количество взятых
вторым камней до 5. Очевидно, что третьим своим ходом первый выиграет (2+5+5=12).
6 класс
1. Найдите 5 натуральных чисел, сумма и произведение которых равны 10.
2. Чему может быть равно значение произведения СЛОНБЕГЕМОТЫ, если одинаковые
буквы означают одинаковые цифры, а разные – разные? Найти все возможные значения.
3. Может ли сумма 3 последовательных натуральных чисел равняться 2012?
4. Кубик со стороной 3 см. покрашен в синий цвет. На это потребовалось 10 г. краски. Потом кубик
разрезали на кубики со стороной 1 см. Сколько потребуется еще краски, чтобы все маленькие кубики
были покрашены?
5. Баба Яга решила узнать примерное количество тараканов в избушке на курьих ножках. Она поймала
100 тараканов, пометила их белой краской и отпустила. На следующий день она снова поймала 100
тараканов, среди них оказалось 5 помеченных. Каково минимально возможное, максимально
возможное и примерное количество тараканов в избушке на курьих ножках?
Решения задач
1.
2.
Ответ: 5, 2, 1, 1, 1.
Т.к. в произведении содержится 10 разных букв, то все 10 цифр используются, в том числе
и 0. поэтому произведение всегда равно 0. Ответ: 0.
3.
Три последовательных натуральных числа можно записать в виде k – 1, k, k + 1, где k–
натуральное число. Тогда их сумма равна 3k и делится на 3. Но 2012 на 3 не делится, поэтому сумма 3
последовательных натуральных чисел не может равняться 2012. Ответ: нет.
4.
Способ I. После разрезания исходного кубика на маленькие кубики получается 8 маленьких
кубиков с 3 неокрашенными гранями, 12 – с 4 неокрашенными гранями, 6 – с 5 неокрашенными
гранями, 1– с 6 неокрашенными гранями. Т.е. не покрашено 8х3 + 12х4 + 6х5 + 6 = 108 граней. А было
окрашено 54 грани. Поэтому краски потребуется в 2 раза больше, т.е. 20 г. Ответ: 20 г.
Способ II. Исходный кубик можно разрезать на маленькие кубики 6 разрезами, при каждом из
которых появляются неокрашенные участки площадью 2 грани исходного кубика. Поэтому краски
потребуется столько, сколько нужно для окраски площади размером в 12 граней исходного кубика.
Учитывая, что у исходного кубика окрашенных граней было 6, то нужно в 2 раза больше краски, т.е.
20 г. Ответ: 20 г.
5.
Минимально возможное количество тараканов может быть, если Баба Яга во второй раз
поймала всех непомеченных тараканов, т.е. 95 штук. Тогда всего их 95 + 100 = 195 штук. Максимально
возможное число невозможно найти, т.к. непомеченных тараканов может быть сколь угодно много.
Примерное количество можно определить исходя из того, что каждый 20-й таракан во второй раз
оказался помеченным. Поэтому всего тараканов примерно в 20 раз больше чем всех помеченных,
т.е. 2000. Ответ: 195; сколь угодно много; 2000.
5 класс
1. У Кости есть три палочки, каждая длиной 50 сантиметров. Он хочет распилить их так, чтобы
получилось 15 палочек длиной по 10 сантиметров. Сколько распилов ему придется
сделать?
2. Вовочка задумал число, прибавил к нему 5, умножил на 3, поделил на 8, и получил 3.
Какое число задумал Вовочка?
3. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят
десять судаков?
4. Расстояние от Москвы до Владивостока по железной дороге 9288 км. Навстречу друг другу
выезжают два поезда: пассажирский из Москвы со скоростью 60 км/ч и товарный из
Владивостока со скоростью 40км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут за час до
встречи? А за сутки?
5. На острове живут только два племени: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а
лжецы — всегда лгут.Выйдя на улицу, вы встретили на дороге троих аборигенов и
спросили каждого: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?» Первый ответил: «Ни
одного», второй ответил: «Один». Что сказал третий?
1.
2.
3.
4.
5.
Решения задач
Из одной палочки длиной 50 сантиметров можно получить 5 палочек длиной 10
сантиметров сделав 4 распила. Значит для получения 15 палочек по 10 сантиметров
понадобится 4*3=12 распилов.
Найдем число задуманное Вовочкой от обратного. Для этого проделаем все операции в
обратной последовательности. 3 * 8 : 3 - 5=3.
Если пять рыбаков съедают пять судаков за пять дней, то пять рыбаков съедают за один
день одного судака. Значит, десять рыбаков съедают два судака за один день.
Следовательно, десять рыбаков съедят десять судаков за 5 дней.
Расстояние между поездами за час до встречи равно сумме расстояний, пройденных за час
каждым из поездов, то есть 40 + 60 = 100 км. А за сутки до встречи расстояние между
поездами будет в 24 раза больше, то есть 100 · 24 = 2400 км.
Если первый — рыцарь, то второй и третий — лжецы, но тогда второй сказал правду, чего
быть не может. Значит, первый — лжец. Если второй — тоже лжец, то, поскольку он
солгал, лжецов среди его спутников больше одного. Но все трое лжецами быть не могут
(иначе первый сказал бы правду, а мы уже выяснили, что он лжец). Так что второй —
рыцарь. Тогда третий — тоже рыцарь, так как второй сказал правду. Значит, и третий
должен сказать правду. Первый — лжец, второй — рыцарь, значит, третий ответит «один».