Вариант 13-16 - Школа 26 Иркутск

Пояснения
Ключ PDF-версия
13
Вариант № 39422
1. B 1 № 287943. Расположите в порядке возрастания:
1)
,
3)
,
Решение.
Ответы
,
2)
,
4)
,
,
,
,
Упростим заданные числовые выражения:
Заметим, что
Поэтому правильный ответ указан под номером 1.
2. A 1 № 205770. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует
числу
. Какая это точка?
1) точка M
2) точка N
3) точка P
4) точка Q
Решение.
Возведём в квадрат числа
3, 4, 5:
Число 14 лежит между числами 9 и 16 и находится ближе к числу 16, поэтому
ветствует точке N.
соот-
Правильный ответ указан под номером 2.
3. A 2 № 137269. Расположите в порядке убывания числа:
;
; 5,5.
1)
2)
3)
4)
Решение.
Возведём каждое из чисел в квадрат:
Сравним квадраты заданных чисел:
Следовательно,
Правильный ответ указан под номером 2.
4. B 2 № 311443. Решите уравнение
Решение.
.
Последовательно получаем:
О т в е т : 2,5.
5. B 3 № 193093. На одном из рисунков изображен график функции
жите номер этого рисунка.
. Ука-
1)
2)
3)
4)
Решение.
Коэффициент
, поэтому ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины пара-
болы равна:
Правильный вариант ответа указан под номером 1.
6. B 4 № 35. Дана арифметическая прогрессия:
её членов.
Решение.
Найдите сумму первых десяти
Определим разность арифметической прогрессии:
Сумма первых k-ых членов может быть найдена по формуле
Необходимо найти
, имеем:
О т в е т : 50.
7. B 5 № 311396. Найдите значение выражения
Решение.
при
.
Упростим выражение:
Найдем значение выражения про
:
Ответ:-60
8. A 3 № 133. Решите неравенство
изображено множество его решений.
1)
2)
3)
4)
Решение.
Решим неравенство:
и определите, на каком рисунке
Решение неравенства изображено на рис. 4.
Правильный ответ указан под номером 4.
9. B 6 № 63.
Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.
Решение.
Т. к. в треугольнике сумма всех углов равна 180°, то угол ADС равен 180° − 30° − 80° =
70°. В равнобедренной трапеции углы BCD и CDA— односторонние, значит, угол ABC
равен 110°.
О т в е т : 110.
10. B 7 № 311331.
дуг
и
равны 150° и 68° соответственно.
Решение.
Найдите
, если градусные меры
Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем
,а
. В треугольнике EFD ,
.
11. B 8 № 169887. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол
сектора равен
. В ответе укажите площадь, деленную на
Решение.
Площадь сектора равна:
О т в е т : 3.
---------------
В открытом банке ответ с числом
12. B 9 № 311958.
На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.
Решение.
Введем обозначения как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В
прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна
В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы,
т. е. 5 : 2 = 2,5.
О т в е т : 2,5.
13. B 10 № 169939. Какие из следующих утверждений верны?
1) В треугольнике
, для которого
,
,
, угол
наибольший.
2) Каждая сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон.
3) Если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны равны.
4) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «В треугольнике
, для которого
,
,
, угол
неверно, так как против большего угла лежит большая сторона.
наибольший.» —
2) «Каждая сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон.»— верно,
каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
3) «Если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны равны.» — неверно,
если треугольники подобны их соответствующие стороны пропорциональны.
4) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна
половине произведения периметра на радиус вписанной окружности.
14. A 4 № 311429. Бизнесмен Петров выезжает из Москвы в Санкт-Петербург на деловую
встречу, которая назначена на 9:30. В таблице дано расписание ночных поездов Москва —
Санкт-Петербург.
Путь от вокзала до места встречи занимает полчаса. Укажите номер самого позднего (по
времени отправления) из московских поездов, которые подходят бизнесмену Петрову.
1) 038А
2) 020У
3) 016А
4) 116С
Решение.
Поскольку путь от вокзала до места встречи занимает полчаса, поезд должен прибыть на
вокзал не позднее 09:00. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 038А и
016А. Из них позже отправляется поезд под номером 016А.
Правильный ответ указан под номером 3.
15. B 11 № 120. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе
Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмо-
сферного давления во вторник.
Решение.
Из графика видно, что минимальное значение давления во вторник равно 756 мм рт. ст.
О т в е т : 756.
16. B 12 № 121. Чайник, который стоил 800 рублей, продаётся с 5%-ой скидкой. При покупке этого чайника покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
Решение.
Стоимость чайника равна 800 − 0,05 · 800 = 760 руб. Значит, сдача с 1000 рублей составит
240 рублей.
О т в е т : 240.
17. B 13 № 311766. Мальчик прошёл от дома по направлению на восток 550 м. Затем повернул на север и прошёл 480 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?
Решение.
Пусть
— гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, имеем:
Ответ: 730.
18. B 14 № 135. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в
млн км2) стран мира.
утверждений верно?
Какое из следующих
1) Площадь Австралии больше площади Китая.
2)Площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.
3) Площадь территории Индии составляет 4 млн км2
4) Аргентина входит в семерку крупнейших по площади территории стран мира.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Решение.
Обратим внимание на второй вариант ответа:
Очевидно, что площадь России больше площади Бразилии более чем вдвое.
О т в е т : 2.
19. B 15 № 132734. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к
заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
Решение.
Вероятность того, что приедет желтая машина равна отношению количества желтых
машин к общему количеству машин:
О т в е т : 0,2.
20. B 16 № 311537. Площадь треугольника можно вычислить по формуле
,
где
и — стороны треугольника, а — угол между этими сторонами. Пользуясь этой
формулой, найдите площадь треугольника, если
= 30°, = 5, = 6.
Решение.
Подставим известные значения величин в формулу для нахождения площади:
О т в е т : 7,5.
21. C 1 № 311594. Решите уравнение:
Решение.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем
или
Решая квадратное уравнение, находим:
или
за скобки:
Ответ:
22. C 2 № 311617. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л
воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
Решение.
Пусть за минуту в бак накачивается литров воды. Тогда за минуту выкачивается
воды.
По условию задачи составим уравнение:
л
,
откуда
Получаем квадратное уравнение
,
имеющее корни:
и
.
Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 9 л воды.
Ответ: 9.
23. C 3 № 311547. Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается
Решение.
Сумма
принимает наименьшее значение, равное 0, только в
том случае, когда обе слагаемых одновременно равны 0. Получаем систему уравнений
Решим её:
Ответ: 0; (-2;1).
24. C 4 № 50. В прямоугольном треугольнике
,
. Найдите медиану
с прямым углом
известны катеты:
этого треугольника.
Решение.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половние:
О т в е т : 5.
25. C 5 № 311696. В параллелограмме
точка — середина стороны
что
. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.
. Известно,
Треугольники
и
равны по трём сторонам. Значит, углы
и
равны. Так
как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
26. C 6 № 78. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена
прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника
ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT —
средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и
TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника
KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит площадь треугольника CKB равна и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну
высоту, проведённую из вершины С, и равные равные основания), которая в свою очередь
равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак,
Значит,
О т в е т : 0,6.
14
Пояснения
Ответы
Ключ PDF-версия
Вариант № 39423
1. B 1 № 287934. Расположите в порядке возрастания:
1)
2)
3)
Решение.
4)
Поскольку:
;
получаем:
Правильный ответ указан под номером 2.
2. A 1 № 205775. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства
?
1)
2)
3)
4)
Решение.
Приведем исходное неравенство соотвествующему виду:
1)
2)
3)
4)
Неравенство
не следует из исходного неравенства.
Правильный ответ указан под номером 2.
3. A 2 № 137268. Расположите в порядке возрастания числа:
1)
2)
3)
4)
Решение.
Возведём каждое из чисел в квадрат:
Сравним квадраты заданных чисел:
Следовательно,
Правильный ответ указан под номером 4.
4. B 2 № 311370. Решите систему уравнений
Решение.
;
; 5,5.
Решим систему методом подстановки:
Ответ:
5. B 3 № 311394. Установите соответствие между функциями и их графиками.
А)
Б)
В)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном
порядке
А Б В
Решение.
Определим вид графика каждой из функций:
A)
Б)
уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.
уравнение гиперболы, ветви которой лежат во II и IV четвертях.
В)
уравнение прямой, которая проходит через точки (0; −1) и (3; 0).
Таким образом, искомое соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.
Ответ: 142.
6. B 4 № 137308. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; ; –13; –25; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой .
Решение.
Найдем разность арифметической прогрессии:
Поэтому,
О т в е т : −1.
7. B 5 № 88. Упростите выражение
. В ответ запишите полученное число.
Решение.
, найдите его значение при
Упростим выражение:
(при
Найдём значение выражения при
:
О т в е т : 1,5.
8. A 3 № 311905. Решите систему неравенств
На каком из рисунков изображено множество её решений?
и
;
Решение.
Решим систему:
Правильный ответ указан под номером 3.
9. B 6 № 311455. Найдите угол
наль
образует с основанием
равнобедренной трапеции
, если диагои боковой стороной
углы, равные 30° и 80° со-
ответственно.
Решение.
Так как основания трапеции параллельны, то углы CAD и BCA равны как накрест-лежащие. Рассмотрим
. Так как трапеция равнобедренная, то
.
10. @@@@B 7 № 311503. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найди-
те величину угла
Решение.
.
Построим OA и OC радиусы. Найдем центральный угол AOC:
Угол ABC - вписанный и опирается на ту же дугу. Таким образом,
Ответ: 22,5.
11. B 8 № 169867. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен
. Найдите площадь прямоугольника делённую на
.
Решение.
По определению прямоугольника все его углы прямые. Диагональ прямоугольника делит
его на два прямоугольных треугольника. Катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в
, равен половине гипотенузы. Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна 5. По теореме Пифагора найдем вторую строну:
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, имеем:
О т в е т : 25.
---------В открытом банке иррациональный ответ.
12. B 9 № 311958.
На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.
Решение.
Введем обозначения как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна
В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы,
т. е. 5 : 2 = 2,5.
О т в е т : 2,5.
13. B 10 № 145. Укажите номера верных утверждений.
1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.
2) Существует квадрат, который не является ромбом.
3) Сумма углов любого треугольника равна 180° .
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений:
1) "Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают" — верно, т.к. совпадают точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров этого треугольника.
2) "Существует квадрат, который не является ромбом" — неверно; верным будет
утверждение: "Существует ромб, который не является квадратом".
3) Сумма углов любого треугольника равна 180°" — верно, по свойству треугольника.
О т в е т : 1; 3.
14. A 4 № 108. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки)
жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Вещество Дети от 1 года до 14 лет Мужчины Женщины
Жиры
40−97
70−154
60−102
Белки
36−87
Углеводы
170−420
65−117
58−87
257−586
Какой вывод о суточном потреблении жиров 10-летней девочкой можно сделать, если по
подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 102 г жиров?
1) Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.
Решение.
Суточная норма жиров десятилетней девочки лежит в пределах 40−97 г. Потребление
102 г жиров в сутки превышает норму.
Правильный ответ указан под номером 2.
15. B 11 № 206195. В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа
по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать
допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость
натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке.
На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.
Решение.
Из графика видно, что при угле наклона в
Ответ:45.
сила натяжения равна 150 кгс.
16. B 12 № 137260. Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции
принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после выплаты налогов за
год составила 40 млн. р. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Решение.
Один процент от 40 млн равен:
ционерам пошло:
руб. На выплату частным акруб.
Ответ: 16000000.
---------Дублирует задание 137247.
17. B 13 № 122.
Точка крепления троса, удерживающего флагшток
в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса.
Решение.
Задачу можно свести к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника; обозначим её за По теореме Пифагора, гипотенуза ищется следующим образом:
О т в е т : 17.
18. B 14 № 31. Завуч школы подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах. Результаты представлены на круговой диаграмме.
Какое из утверждений относительно результатов контрольной работы неверно, если
всего в школе 120 девятиклассников?
1) Более половины учащихся получили отметку «3».
2) Около четверти учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2».
3) Отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся.
4) Отметку «3», «4» или «5» получили более 100 учащихся.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение.
Рассмотрим каждый вариант ответа.
1) Очевидно, что более половины учащихся получили отметку «3»
2) Сектор в четверть диаграммы отсекается углом в 360°/4 = 90°. Очевидно, что угол,
отсекающий два сектора «отсутствовали» и «отметка «2»» около 90°, значит, около
четверти учащихся отсутствовали на контрольной работе или получили отметку «2»
3) Сектор в одну шестую диаграммы отсекается углом в 360°/6 = 60°. Очевидно, что
угол, отсекающий два сектора «отметка «4»» и «отметка «5»» около 60°, значит, отметку «4» или «5» получила примерно шестая часть учащихся
4) Из утверждения (2) следует, что около одной четверти всех учеников не получали за
контрольную работу таких отметок, как «3», «4» и «5», значит, около трёх четвертей
— получали. Три четверти всех учеников равно 3 · 120 / 4 = 90 , что меньше 100, а не
больше.
О т в е т : 4.
19. B 15 № 311490. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того,
что пирожок окажется с вишней.
Решение.
Всего пирожков 4 + 8 + 3 = 15. Из них не из России 7 спортсменов. Поэтому вероятность того, что выбранный пирожок окажется с вишней равна
20. B 16 № 311543. Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по
формуле
числите
, где
, если
— длины его диагоналей, а
.
угол между ними. Вы-
Решение.
Выразим
:
Подставляя, получаем:
О т в е т : 0,4.
21. C 1 № 311692. Сократите дробь
Решение.
.
Используем свойства степеней:
Ответ: 96.
22. C 2 № 204. Моторная лодка прошла от одной пристани до другой, расстояние между
которыми по реке равно 16 км, сделала стоянку на 40 мин и вернулась обратно через ч
после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.
Решение.
Пусть скорость течения реки равна км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна
км/ч, а против течения
км/ч. Время движения катера от одной пристани
до другой по течению реки равно
занял
примет вид:
4 км/ч.
О т в е т : 4.
ч, а против течения
ч. Составим уравнение:
ч. Весь путь
. После преобразования оно
Корни уравнения 4 и −4. Значит, скорость течения реки равна
23. C 3 № 205. Постройте график функции
и определите, при
каких значениях параметра прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
График функции изображён на рисунке.
Прямая
будет иметь с графиком единственную общую точку при
О т в е т : [0;1).
24. C 4 № 311772. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 16. Найдите её среднюю линию.
Решение.
Пусть в равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O.
Тогда в равнобедренных прямоугольных треугольниках AOD и BOC медианы равны половине основания. Значит, в этих треугольниках высота равна средней линии, и в трапеции
ABCD высота равна средней линии.
Ответ: 16.
25. C 5 № 129.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Решение.
Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны,
таким образом, треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между
ними. Тогда MN=MK=KN, значит треугольник MNK- равносторонний.
26. C 6 № 311713. В треугольнике
биссектриса угла делит высоту, проведённую из
вершины , в отношении
, считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
, если
.
Решение.
проведённая из угла
треугольника
Обозначим
высоту, проведённую из вершины
, делит высоту в отношении, равному отношению
. Биссектриса,
и
. Значит
, поэтому
. По теореме синусов радиус описанной около
окружности равен 13.
Ответ: 13.
15
Пояснения
Ключ PDF-версия
Вариант № 39424
1. B 1 № 287942. Укажите наименьшее из следующих чисел:
1)
Решение.
Заметим что
Ответы
2)
3)
4)
Поскольку
число является наименьшим.
Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.
2. A 1 № 205773. На координатной прямой изображены числа и . Какое из следующих
неравенств неверно?
1)
2)
3)
4)
Решение.
Заметим, что
Проверим все варианты ответа:
— верно,
1)
2)
— верно,
3)
— неверно,
4)
— верно.
Неверным является неравенство 3.
3. A 2 № 137273. Найдите значение выражения
.
1)
2) 3
3)
4)
Решение.
Последовательно получаем:
Правильный ответ указан под номером 1.
4. B 2 № 311393. Решите уравнение
.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Используем свойство пропорции:
О т в е т : 24.
5. B 3 № 86. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые
их задают.
1)
2)
3)
4)
Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном
порядке
А Б В
Решение.
Определим вид графика каждой из функций.
1)
уравнение гиперболы.
2)
уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.
3)
уравнение прямой.
4)
уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.
Тем самым найдено соответствие: A — 3, B — 1, C — 2.
О т в е т : 312.
6.@@@@ B 4 № 137297. Последовательность задана формулой
нов в этой последовательности больше 1?
1) 8
Решение.
2) 9
3) 10
. Сколько чле-
4) 11
Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, больше единицы, если числитель
больше знаменателя. Поэтому, имеем:
Таким образом, правильный
ответ указан под номером 2.
О т в е т : 2.
7. B 5 № 140. Упростите выражение
В ответ запишите полученное число.
Решение.
, найдите его значение при
Упростим выражение:
Найдём значение выражения при
,
:
;
.
О т в е т : 1,5.
8. A 3 № 29. Решите систему неравенств
На каком рисунке изображено множество её решений?
1)
2)
3)
4)
Решение.
Решим систему неравенств:
Решение неравенства изображено под номером 2.
9. B 6 № 132779. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна
вертый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна
.
. Найдите чет-
, то четвертый угол равен
10. @@@@B 7 № 311479.
Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
Решение.
Пусть R-радиус описанной окружности. Так как окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза
равна 2R.
По теореме Пифагора имеем:
11. B 8 № 169845. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых
углов равен
. Найдите площадь треугольника делённую на
.
Решение.
Так как один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен
Катет, лежащий против угла в
, то второй равен
равен половине гипотенузы, таким образом, AC=5.
Найдем второй катет по теореме Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
О т в е т : 12,5.
---------В открытом банке иррациональный ответ.
12. B 9 № 66.
ражённого на рисунке.
Решение.
Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изоб-
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к
прилежащему:
О т в е т : 0,4.
13. B 10 № 169926. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм —
ромб.
3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен
угол, прилежащий к той же стороне, равен
.
4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна
равен
.
, то другой
, то его четвертый угол
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.» — верно, Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
2) «Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм —
ромб.» — верно, Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
3) «Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен
, то другой
угол, прилежащий к той же стороне, равен
.» — неверно, стороны параллелограмма параллельны и образуют односторонние углы, а сумма односторонних углов равна
4) «Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна
, то его четвертый
угол равен
.» — верно, сумма углов выпуклого четырехугольника равна
14. A 4 № 311300.
Учитель математики подвел итоги
контрольной работы по алгебре среди учащихся 9-х классов. Результаты представлены на
диаграмме. Сколько примерно учащихся получили отметку «4» и «5», если всего в этих
классах учатся 200 учащихся?
1) 120
2) 50
3) 60
4) 140
Решение.
Определим доли учащихся, получивших оценки «4» и «5» по диаграмме. Оценку «5» получила примерно половина учащихся, что составляет 100 человек. Доля получивших «4»
составляет примерно половину от оставшихся учащихся то есть 5 человек. Таким образом,
оценки «4» и «5» получило около 150 человек. Наиболее близкий вариант ответа —
140 человек.
Правильный ответ указан под номером 4.
15. B 11 № 311345.
На рисунке изображен график изменения силы тока при подключении цепи, содержащей реостат, к источнику тока.
По вертикальной оси откладывается сила тока (в A), по горизонтальной — время (в
сек). По рисунку определите силу тока через 4 секунды с момента подключения данной
цепи.
Решение.
По графику видно, что через 4 секунды с момента включения цепи сила тока была равна 3
А.
Ответ: 3.
16. B 12 № 311687. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4
взрослых и 12 школьников?
Решение.
Билет на школьника стоит 99 рублей. Таким образом проезд группы стоит:
Ответ:1980.
17. B 13 № 132751. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался маль-
чик?
Решение.
Путь мальчика представляет собой прямоугольный треугольник. Таким образом, расстояние на котором мальчик
О т в е т : 1000.
18. B 14 № 83. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользовате-
лей.
ний неверно?
Какое из следующих утвержде-
1) Пользователей из России больше, чем пользователей из Белоруссии и Украины вместе.
2) Пользователей из Украины больше, чем пользователей Латвии.
3) Примерно две трети общего числа пользователей — из России.
4) Пользователей из Украины больше 3 миллионов.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение.
Разъясним каждый вариант ответа:
1) Очевидно, что пользователей из России больше, чем пользователей из Украины и Белоруссии вместе.
2) Сектор «Украина» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Латвия» включена в «Другие страны», имеем: пользователей из Украины
больше, чем пользователей из Латвии.
3) Сектор в две трети диаграммы отсекается углом в 2·360°/3 = 240°. Очевидно, что угол,
отсекающий сектор «Россия» примерно равен 240°, значит примерно две трети общего
числа пользователей — из России.
4) Видно, что пользователей из Украины меньше четверти всех пользователей, значит,
меньше 12/4=3 миллионов.
О т в е т : 4.
19. B 15 № 311501. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение.
Сергей выучил 25-3=22 билета. Таким образом вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна
20. B 16 № 124. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных
колец рассчитывается по формуле
, где n — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5
колец.
Решение.
Подставим в формулу значение переменной :
О т в е т : 26 500.
21. C 1 № 311618. Решите уравнение
Решение.
.
Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю,
только если они оба равны нулю. Получаем систему уравнений:
Из первого уравнения
или
.
Из второго уравнения
или
.
Системе удовлетворяет единственное значение
.
Ответ: −5.
22. C 2 № 311652. Из пяти следующих утверждений о результатах матча хоккейных команд "Транспортир" и "Линейка" четыре истинны, а одно — ложно. Определите, с каким
счетом закончился матч, и укажите победителя (если матч завершился победой одной из
команд). Ответ обоснуйте.
1) Выиграл "Транспортир".
2) Всего в матче было заброшено менее 10 шайб.
3) Матч закончился вничью.
4) Всего в матче было заброшено более 8 шайб.
5) "Линейка" забросила более 3 шайб.
Решение.
Предположим, что утверждение (3) истинно. Тогда утверждение (1) ложно. В этом случае
утверждения (2) и (4) истинны. Из них следует, что было заброшено 9 шайб. Число 9 нечетно, поэтому матч не мог завершиться вничью. Следовательно, утверждение (3) ложно.
Противоречие.
Значит, утверждение (3) ложно. Остальные утверждения истинны, значит было заброшено
9 шайб, причем выиграл «Транспортир».
Из утверждения (5) следует, что наименьшее число шайб, заброшенных командой «Линейка» равно 4. Больше 4 шайб «Линейка забросить не могла, потому что тогда бы она выиграла. Следовательно, «Линейка» забросила ровно 4 шайбы, а «Транспортир» — 5 шайб.
Ответ: 5:4 в пользу "Транспортира"
23. C 3 № 311576. Известно, что парабола проходит через точку
и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких
точках она пересекает прямую
.
Решение.
Уравнения параболы, вершина которой находится в начале координат:
проходит через точку
, поэтому
, откуда
. Парабола
. Уравнение парабо-
лы:
. Абсциссы точек пересечения с прямой
ния
найдем из уравне-
.
Ответ:
.
24. C 4 № 311698. Прямая, параллельная основаниям
и
трапеции
, проходит
через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны
и
в
точках и соответственно. Найдите длину отрезка
, если
,
.
Решение.
1)
по двум углам:
a)
как вертикальные;
б)
как внутренние накрест лежащие углы при
по двум углам:
2)
а)
б)
и секущей
— общий;
как соответственные углы при
и секущей
.
.
3)
4)
Ответ: 12 см.
25. C 5 № 311669. В треугольнике
угол равен 36°,
кажите, что треугольник
— равнобедренный.
Решение.
Треугольник
— биссектриса. До-
равнобедренный, поэтому
Значит,
= 36°. Таким образом, углы
ник
— равнобедренный.
и
= 72°.
равны, поэтому треуголь-
26. C 6 № 311704. Длина катета
прямоугольного треугольника
равна 3 см. Окружность с диаметром
пересекает гипотенузу
в точке . Найдите площадь треугольника
, если известно, что
.
Решение.
Пусть
см,
см и
см.
Поэтому гипотенуза
см. По теореме Пифагора:
.
По теореме о секущей и касательной
.
Следовательно,
, откуда
Тогда
.
.
Следовательно, площадь треугольника равна
.
Ответ:
.
16
Пояснения
Ответы
Ключ PDF-версия
Вариант № 64863
1. B 1 № 203742. Каждому выражению поставьте в соответствие его значение:
Б.
А.
1) 3,2
2) 1,75
В.
3) 0,45
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А
Б
В
Решение.
Найдём значения выражений:
Искомое соответствие: 1, 3, 2.
Ответ: 132.
2. A 1 № 311392. Одно из чисел
кой
отмечено на координатной прямой точ-
. Укажите это число.
1)
2)
3)
4)
Решение.
По условию
Определим, какой из вариантов ответа попадает в интервал
1) Поскольку
, числа и не попадают в необходимый интервал;
2) Поскольку
3) Поскольку
Таким образом, точка
т. к.
, число
т. к.
не попадае в интервал;
, лежит в интервале
соответствует числу
Правильный ответ указан под номером 3.
3. A 2 № 137281. Вычислите:
.
1)
2)
3)
4)
Решение.
Используя формулы
и
получаем:
Правильный ответ указан под номером 4.
4. B 2 № 137382. Решите уравнение
.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Запишем уравнение в виде
корней равна −3, а их произведение −4.
По теореме, обратной теореме Виета, сумма
Тем самым это числа −4 и 1.
О т в е т : −4; 1.
5. B 3 № 193088. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1)
2)
3)
4)
Решение.
Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут
вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1
Графику соответствует вариант под номером 1.
6. @@@@B 4 № 137294. Последовательность задана формулой
занных чисел является членом этой последовательности?
1) 1
Решение.
2) 2
3) 3
4) 4
Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с
. Какое из ука-
Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.
О т в е т : 3.
7. B 5 № 140. Упростите выражение
В ответ запишите полученное число.
Решение.
, найдите его значение при
;
Упростим выражение:
Найдём значение выражения при
,
:
О т в е т : 1,5.
8. A 3 № 81. На каком рисунке изображено множество решений неравенства
1)
2)
3)
4)
Решение.
Решим неравенство:
и 3. Поэтому
Корнями уравнения
Множество решений неравенства изображено на рис. 1.
являются числа 1
.
Правильный ответ указан под номером 1.
9. B 6 № 132782. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Пусть x- меньший угол четырехугольника. Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна
имеем уравнение:
Таким образом, меньший угол равен
.
10. B 7 № 90.
Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной
6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, т. к. состоит из двух отрезков, равных
радиусу.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обозначим угол AOB буквой
, тогда
, где
. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.
О т в е т : 6.
11. B 8 № 169903. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —
жащий напротив этой диагонали, равен
Решение.
. Найдите площадь ромба деленную на
Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними, имеем:
О т в е т : 50.
, а угол, ле-
---------В открытом банке иррациональный ответ.
12. B 9 № 311388.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1см
× 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом,
Ответ: 10.
13. B 10 № 169934. Какие из следующих утверждений верны?
1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то
второй катет этого треугольника равен 8.
3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго
равного угла.
2) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10,
то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
3) «Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.» — неверно, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих сторон.
4) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.» — верно, по теореме
косинусов.
14. A 4 № 311427. В таблице представлены нормативы по технике чтения в 3 классе.
Какую отметку получит третьеклассник, прочитавший в апреле 68 слов за минуту?
1) «2»
2) «3»
3) «4»
4) «5»
Решение.
Проверка техники чтения происходила во втором полугодии. Из таблицы видно,
что 68 прочитанных за минуту слов попадают в интервал «69 и менее» слов. Это соответствует отметке «2».
Правильный ответ указан под номером 1.
15. B 11 № 206197. Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом
меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление,
тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат — сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя
уменьшился с 8 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?
Решение.
Из графика видно, что при уменьшении тока с 8 до 6 Ампер, сопротивление увеличилось
на 0,5Ом.
Ответ: 0,5.
16. B 12 № 137256. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых.
Вкладчик положил на счет 800 р. Сколько рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
Решение.
Через год вкладчик получит 20 % дохода, что составит
руб.
Таким образом, через год на счете будет:
руб.
Ответ: 960.
---------Дублирует задание 137245.
17. B 13 № 311335.
На карте показан путь Лены от
дома до школы. Лена измерила длину каждого участка и подписала его. Используя рисунок, определите длину пути (в м), если масштаб 1 см : 10000 см.
Решение.
Длина всего пути по карте равна 6+6+2=14 см. Так как масштаб равен 1 см : 10000 см, то
путь равен 140000 или 1400 метров.
18. B 14 № 206050. На диаграмме показано распределение земель Уральского, Приволжского, Южного и Дальневосточного Федеральных округов по категориям. Определите по
диаграмме, в каком округе доля земель сельскохозяйственного назначения наименьшая.
*прочее — это земли поселений; земли промышленности и иного специального назначения; земли особо охраняемых территорий и объектов.
Варианты ответа
1) УРАЛЬСКИЙ ФО
2) ПРИВОЛЖСКИЙ ФО
3) ЮЖНЫЙ ФО
4) ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФО
Решение.
Из диаграмм видно, что наименьшая доля земель сельскохозяйственного назначения в
Дальневосточном ФО. Таким образом, верный ответ указан под номером 4.
19. B 15 № 132738. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что
Миша прокатится в красной кабинке.
Решение.
Вероятность того, что подойдет красная кабинка равна отношению количества красных
кабинок к общему количеству кабинок на колесе обозрения. Всего красных кабинок:
Поэтому искомая вероятность
О т в е т : 0,5.
20. B 16 № 46. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно
можно вычислить по формуле
, где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой
формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.
Решение.
Подставим в формулу значение :
О т в е т : 2,25.
21. C 1 № 311592. Сократите дробь:
Решение.
Имеем:
Ответ: 2.
22. C 2 № 178. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход.
Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В.
Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода,
шедшего из А.
Решение.
Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна км/ч. Тогда скорость туриста
равна
км/ч. Время движения пешехода до места встречи
чем время движения туриста
ч. Составим уравнение:
образования оно примет вид:
пешехода равна 5 км/ч.
ч на полчаса больше,
. После пре-
Корни уравнения 5 и −4. Значит, скорость
О т в е т : 5.
23. C 3 № 311694. Постройте график функции
и определите, при каких
значениях параметра прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Разложим числитель дроби на множители:
При
и
функция принимает вид:
,
её график — парабола c выколотыми точками
и
.
Прямая
имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через
вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых
— выколотая. Вершина параболы имеет координаты
.
Поэтому
,
или
.
24. C 4 № 311968. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности
равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
Решение.
Пусть A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC1 = AB1 и CA1 = CB1 = r.
Периметр треугольника ABC равен 2AC1 + 2BC1 + 2CA1 = 2AB + 2r. Полупериметр p равен
AB + r.
По формуле площади треугольника находим
О т в е т : 28.
25. C 5 № 311773. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что
точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот
треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а точку пересечения
высот через H. Тогда
и
Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.
26. C 6 № 311578. Окружность проходит через вершины и треугольник
и пересекает его стороны
и
в точках и соответственно. Отрезки
и
перпендикулярны. Найдите
, если
= 20°.
Решение.
окружности; следовательно, имеем
нике
имеем
125° − 20° = 35°.
Ответ: 35°.
, так как они опираются на одну дугу
как смежные с ними. В четырёхуголь-
(360° − 90° − 20°)=125°. В
имеем
= 180° −