Задания 25 (C5). Геометрическая задача на доказательство

Задания 25 (C5). Геометрическая задача на доказательство (67)
Критерии оценивания выполнения задания !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Баллы!!!!
Доказательство верное, все шаги обоснованы
2
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
0
Максимальный балл !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 !!!!!!
Четырёхугольники и их элементы (38)
1. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС. Докажите,
что ВFDЕ — параллелограмм.
Дано: АВСD – параллелограмм, АС – диагональ, ВЕ и DF перпендикулярны АС.
Доказать: ВFDЕ — параллелограмм
Доказательство: 1) Рассмотрим треугольники ABE и CDF.
- AB=CD (по свойству параллелограмма).
- Угол BAE= углу DCF (т.к. это внутренние накрест-лежащие углы для параллельных
АB и СD и секущей AC).
- Угол BEA= углу DFC (т.к. оба эти угла прямые по условию).
Если два угла у данных треугольников попарно равны, то и третьи углы равны (по теореме о сумме углов
треугольника).
Следовательно, треугольники ABE и CDF равны (по второму признаку равенства треугольников). Значит,
равны их соответствующие элементы. Отсюда следует, что BE=FD
2) Рассмотрим треугольники BFE и DEF.
BE=FD (из пункта 1), EF-общая сторона, угол BEF= углу DFE (т.к. это прямые углы по условию).
Следовательно, треугольники BFE и DEF равны (по второму признаку равенства треугольников). Значит,
равны их соответствующие элементы. Отсюда следует, что BF=ED.
3) В итоге, BF=ED и BE=FD, следовательно, ВFDЕ — параллелограмм (по свойству параллелограмма).
ч.т.д.
2. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина стороны
BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.
Дано: АВСD – параллелограмм, ВС вдвое больше стороны CD, L — середина стороны BC.
Доказать: DL — биссектриса угла CDA
Доказательство: (ЛЮБОЙ, ПО ЖЕЛАНИЮ)
I способ.
CD = BC /2=CL (по условию задачи). Следовательно, треугольник DCL равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника:
∠CDL∠CLD (Как углы при основании равнобедренного треугольника CDL)
∠CLD=∠ADL (так как это накрест-лежащие углы при параллельных прямых AD и
BC и секущей DL)
Следовательно, что ∠CDL=∠ADL. Значит, DL – биссектриса ч.т.д.
II способ.
Проведём LF параллельно CD . Тогда BL = LC = CD. Следовательно, параллелограмм CDFL является ромбом. Диагональ DL ромба CDFL является биссектрисой угла CDA
ч.т.д.
3. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонам, AB, BC, CD, AD соответственно, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Дано: АВСD – параллелограмм, точки E, F, K и М лежат на сторонах, AB, BC, CD,
AD соответственно; АЕ = CK, BF = DM
Доказать: EFKM — параллелограмм
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники АЕМ и CKF: АЕ = CK (по условию задачи),
∠A=∠C (по свойству параллелограмма). Т.к. AD=BC (по свойству параллелограмма), а BF = DM (по условию), то АМ=CF. Следовательно, треугольники АЕМ и CKF равны (по первому признаку). Значит, равны
соответствующие элементы. Поэтому ЕМ=FK.
2. Рассмотрим треугольники BEF и DKM: BF = DM (по условию задачи), ∠B=∠D (по свойству параллелограмма) Т.к. AB=CD (по свойству параллелограмма), а AE = CK (по условию), то BE=DK.
Следовательно, треугольники BEF и DKM равны (по первому признаку). Значит, равны соответствующие элементы. Поэтому EF=KM.
3. ЕМ=FK (доказано в п.1); EF=KM (доказано в п.2). Т.е. противоположные стороны данного четырехугольника равны. Соответственно, этот четырехугольник - параллелограмм (по свойству параллелограмма).
ч.т.д.
4. В параллелограмме ABCD, точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Дано: АВСD – параллелограмм, точка E—середина стороны AB; EC=ED
Доказать: АВСD – прямоугольник
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники DAE и EBC. AE=EB, т.к. точка E - середина AB по условию, ED =EC (по условию задачи), AD=BC (как противоположные стороны параллелограмма). Следовательно, треугольники DAE
и EBC равны (по третьему признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что равны их соответствующие элементы, значит, ∠DAE=∠EBC.
2. AD||BC (по определению параллелограмма), рассмотрим сторону AB как секущую к этим параллельным сторонам. Тогда получается, что сумма углов DAE и EBC равна 180°, т.к. эти углы являются внутренними односторонними.
3. ∠DAE=∠EBC (доказано в п.1).
∠DAE+∠EBC=180о (доказано в п.2)
Отсюда следует, что каждый из этих углов равен 90°.
4. Теперь рассмотрим стороны AB и CD, они параллельны (тоже по определению параллелограмма). Рассмотрим
сторону
AD
как
секущую
к
этим
параллельным
сторонам.
∠DAE и ∠ADC - внутренние односторонние. Следовательно, их сумма равна 180°. А так как ∠DAE=90°,
то ∠ADC тоже равен 90°.
5. Сумма углов четырехугольника равен 360о .
∠BCD = 360о - ∠DAE - ∠EBC - ∠ADC; ∠BCD = 90°. Параллелограмм, у которого все углы прямые (т.е.
90°) называется прямоугольником (по определению).
ч.т.д.
5. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
Дано: АВСD–параллелограмм, AM–биссектриса ∠A, CK–биссектриса ∠C.
Доказать: AM=CK
Доказательство: 1. Рассмотрю параллелограмм ABCD. ∠BAD=∠DCB (по свойству противоположных углов параллелограмма). Биссектрисы AM и CK делят
равные между собой углы, значит, будут равны и образовавшиеся углы, т.е. ∠BAM=∠MAD=∠DCK=∠KCB.
2. Рассмотрю
: AB=CD (по свойству противоположных сторон параллелограмма);
∠ABM=∠KDC (по свойству противоположных углов параллелограмма);
∠BAM=∠DCK (по доказанному в п.1)
Следовательно, треугольники AMB и CKD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. . Значит,
равны соответствующие элементы, т.е. AM=KC.
ч.т.д.
6. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Дано: АВСD–параллелограмм, точка K—середина стороны AB; точка L—середина стороны BC; точка M—середина стороны DC; точка N—середина стороны AD;MNKL — ромб;
Доказать: АВСD–прямоугольник
Доказательство: Пусть точки K,L,M,N — середины сторон AB, BC, CD и DA
параллелограмма ABCD соответственно (по условию).
Рассмотрю треугольники BLK и CLM:
1) BL=CL т. к. L — середина BC (по условию);
2) KB=MC, т.к. AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, а K и M — середины этих сторон соответственно (по условию);
3) KL=MLкак стороны ромба (по условию)
Тогда треугольники BLK и CLM равны по трем сторонам. Следовательно, равны их соответственные элементы. Это означает, что ∠ KBL=∠MCL. Но эти углы в сумме дают 180°, поэтому каждый из них равен 90°.
Т.к. противоположные углы параллелограмма равны, то ∠A=∠C=90o, ∠D=∠B=90o. Таким образом, углы
параллелограмма прямые. Значит, он прямоугольник.
ч.т.д
7.
Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
Дано: АВСD–параллелограмм, AB=BC=CD, точка K—середина стороны CD; точка L—
середина стороны AB;
Доказать: LK равен четверти периметра параллелограмма
Доказательство: В параллелограмме противоположные стороны равны (по . . .
. . . . . . .), поэтому если равны три стороны (по условию), то все стороны
этого параллелограмма равны между собой, значит, это ромб (по определению). Периметр ромба равен
сумме длин всех сторон, т.к. стороны ромба равны, то P=4*AD.
Отрезки AL и DK равны (по условию, точка K—середина стороны CD; точка L—середина стороны AB) и
параллельны (лежат на противоположных сторонах параллелограмма), следовательно, ADKL — параллелограмм, значит, длина KL равна длине стороны AD.
P=4*AD, AD=4/P и, следовательно, отрезок KL равна четверти периметра параллелограмма ч.т.д
8. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при
этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
Дано: АВСD–параллелограмм, высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно,
BH = BE;
Доказать: ABCD — ромб
Доказательство: Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.
Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с другой стороны, S = CD · BE.
Поскольку BH = BE (по условию), получаем, что AD = CD. Следовательно, все стороны параллелограмма
равны, а значит, ABCD — ромб (по определению).
ч.т.д
9. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая
стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
Дано: АВСD–параллелограмм, O пересечение диагоналей, прямая,
пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно.
Доказать: BP = DT
Доказательство: 1. Проведём через точку O прямую HK перпендикулярную стороне AB. Поскольку стороны AB и CD параллельны,
HK также перпендикулярно и стороне CD. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2. Рассмотрим треугольники AOB и COD: BO=OD, AO=OC, ∠AOB=∠COD (как вертикальные), следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому равны их соответствующие элементы, т.е. OH=OK.
3. Рассмотрим треугольники OPH и OTK – они прямоугольные, OH=OK (по доказанному в п.2),
∠POH=∠KOT как вертикальные, следовательно, прямоугольные треугольники равны, поэтому, равны соответствующие элементы, т.е. OP=OT.
4. Рассмотрим треугольники BOP и TOD, OP=OT (по доказанному в п.3), OB=OD (диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам), ∠ POB=∠TOD (как вертикальные), следовательно, равны
треугольники BOP и TOD. Значит, равны соответствующие элементы, т.е. BP = DT. ч.т.д
10. Два квадрата имеют общую вершину О. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны.
Дано: Два квадрата C общей вершиной О.
Доказать: AB=CE
Доказательство: 1. Пусть общая вершина квадратов — точка O.
∠AOB=∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOE=∠COE, ∠AOC=∠BOE=90о (как углы квадрата).
∠AOB=∠COE.
2. Рассмотрю треугольники AOB и COE: AO=CO (как стороны одного квадрата);
OB=OE (как стороны одного квадрата); ∠AOB=∠COE (по доказанному в п.1).
Тогда треугольники AOB и COE равны по двум сторонам и углу между ними. Значит. равны соответствующие элементы. Следовательно, AB=CE как соответствующие стороны равных треугольников. ч.т.д
11. Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Дано: Трапеция ABCD;биссектрисы углов C и D пересекаются в точке P, P лежит на стороне
AB.
Доказать: Точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Доказательство: По свойству биссектрисы угла точка P равноудалена от прямых AD и CD (так
как лежит на биссектрисе угла D ) и равноудалена от прямых BC и CD (так как лежит на биссектрисе угла C). Значит, точка P равноудалена от всех трёх указанных прямых.
ч.т.д
12. Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника
KAB равна половине площади трапеции.
Дано: Трапеция ABCD; точка K — середина боковой стороны CD.
Доказать: площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
Доказательство: Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию,
углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как
накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.
Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции. ч.т.д
13. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по
площади части.
Дано: Трапеция ABCD; точка E — середина стороны BC, точка F — середина
стороны AD.
Доказать: площади ABEF и DCEF равны.
Доказательство: Проведём построения и введём обозначения как показано на
рисунке. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь треугольника
равна
площади треугольника
поскольку высоты, проведённые к основаниям
и
равны, а основания
и
равны. Аналогично равны площади треугольников
и
Покажем, что площади четырёхугольников
и
равны:
ч.т.д
14. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по
площади части.
Дано: Трапеция ABCD; точка N — середина стороны BC, точка M — середина стороны AD.
Доказать: площади ABNM и DCNM равны.
Доказательство: Пусть ABCD — трапеция, M и N — середины оснований AD и BC соответвенно. Пусть AM = MD = a и BN = NC = b, а h — высота трапеции. Тогда площадь каждой из частей, на которые отрезок MN делит трапецию, равна
равновелики.
ч.т.д
то есть, эти части
15. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что M — середина основания AD.
Дано: Трапеция ABCD; точка M — середина стороны AD.
Доказать: M — середина основания AD.
Доказательство: Треугольник BMC равнобедренный. Поэтому
.
В равнобедренной трапеции
.
Отсюда следует, что
. Значит, треугольники BMA и CMD равны по двум сторонам и углу
между ними. Следовательно, AM=MD.
ч.т.д
16. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь
параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
Дано: Параллелограмм ABCD;диагонали AC и BD пересекаются в точке K .
Доказать: площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
Доказательство: Проведём высоту MN так, чтобы она проходила через
точку K. Углы BKM и NKD равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, BK=KD. Рассмотрим треугольники BMK и KDN, они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки MK и KN. Таким образом,
Площадь параллелограмм равна
а площадь треугольника
ч.т.д
17. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить
отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
Дано: Правильный шестиугольник, его вершины последовательно соединили отрезками
через одну.
Доказать: Треугольник ACF равносторонний.
Доказательство:
Рассмотрим
треугольники
,
следовательно эти треугольники
равны по двум сторонам и углу между ними, значит,
то есть треугольник
— правильный.
ч.т.д
18. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить
отрезками через одну, то получится квадрат.
Дано: Правильный восьмиугольник, его вершины последовательно соединили отрезками через одну.
Доказать: получится квадрат
Доказательство: Вычислим угол восьмиугольника по формуле
Таким образом, угол восьмиугольника равен 1350. Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при
основании которых равны 22,50 . Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют
вершины равен 900. Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и сто.
роны получившегося четырёхугольника равны.
Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
ч.т.д
19. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины
его сторон, то получится правильный шестиугольник.
Дано: Правильный шестиугольник, последовательно соединили отрезками середины его сторон.
Доказать: получится правильный шестиугольник
.
Доказательство:. Рассмотрим маленькие треугольники
и
,
следовательно, эти треугольники равны по
двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно
Любой угол правильного шестиугольника равен
Треугольники
и
— равнобедренные, углы при основаниях равны
Рассмотрим развёрнутый угол
Аналогично все остальные углы шестиугольника
— правильный.
ч.т.д
равны
следовательно шестиугольник
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.
Решение. Проведём FM параллельно AB (см. рисунок). Тогда CD = AM =
MD. Следовательно, параллелограмм DCFM является ромбом. Диагональ
CM ромба DCFM является биссектрисой угла BCD.
Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка K — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Решение.
Проведём FK параллельно AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK
ромба AKFD является биссектрисой угла ADC.
Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны AB. Докажите, что CN — биссектриса угла BCD.
Решение.
Проведём FN параллельно BC (см. рис.). Тогда AD = AN = NB. Следовательно, параллелограмм BCFN является ромбом. Диагональ CN
ромба BCFN является биссектрисой угла BCD.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что
данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.
Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как
их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Решение.
Поскольку угол ABC тупой, основания высот будут лежать
на продолжениях сторон. Так как диагонали четырёхугольника AA1C1C пересекаются, он выпуклый, а поскольку
около него можно описать окружность. Тогда
как
вписанные углы, опирающиеся на дугу CC1, а
как вписанные углы, опирающиеся на дугу CC1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.
Поскольку угол ACB тупой, основания высот будут A1 и B1 лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Так как диагонали четырёхугольникаAA1B1B пересекаются, он выпуклый, а поскольку
около четырёхугольника AA1B1B можно описать окружность. Тогда углы
как вписанные углы, опирающиеся на
дугу A1A, Аналогично,
Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
В параллелограмме
проведены высоты
и
. Докажите, что
подобен
.
Решение.
В треугольниках
ма,
угольников.
и
имеем
как противоположные углы параллелограмкак прямые углы, значит треугольники подобны по первому признаку подобия тре-
В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при
этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с другой стороны, S = CD · BE. Поскольку BH = BE , получаем,
что AD = CD. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а значит, ABCD — ромб.
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь
параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
Решение.
Проведём высоту
так, чтобы она проходила через точку Углы
и
равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно,
Рассмотрим треугольники
и
, они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно эти треугольники равны, а значит равны отрезки
и
. Таким образом,
Площадь параллелограмм равна
а площадь треугольника
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
Решение.
Рассмотрим треугольники
следовательно эти треугольники равны, то есть
следовательно
— ромб.
Любой угол правильного восьмиугольника равен
Каждый их треугольников
— равнобдеренный, следовательно углы при основании этих треугольников
равны
Рассмотрим угол
Следовательно все углы, в ромбе
— прямые, а значит,
— квадрат.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.
Решение.
,
между
но
Рассмотрим
маленькие
треугольники
и
следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны
собой
и
остальные
маленькие
треугольники.
Следователь-
Любой
ки
и
вёрнутый угол
угол
правильного
восьмиугольника
равен
Треугольни-
— равнобедренные, углы при основаниях равны
Аналогично все остальные углы восьмиугольника
восьмиугольник
— правильный.
Рассмотрим раз-
равны
следовательно
Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
Решение.
Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF —
средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF ,
равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей
треугольников BEC и AEDравна половине площади параллелограмма.
Решение.
Проведём через точку E прямые, параллельные сторонам параллелограмма, пересекающие его стороны AB, BC , CD и AD в точках K , L, M и N соответственно. Эти прямые делят параллелограмм ABCD на четыре параллелограмма. Поскольку диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, получаем
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника
пересекаются
в
точке M.
Докажите,
что
треугольники MBC и MDA подобны.
Решение.
Поскольку
четырёхугольник ABCD вписанный,
сумма
углов BAD и BCD равна
180°.
Следовательно, ∠MCB = 180° − ∠BCD = ∠BAD.
Получаем, что в треугольниках MBC и MDA углы MCB и MAD равны, угол M общий, следовательно,
эти треугольники подобны.
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
Решение.
Углы CBD и BDA равны, как накрест лежащие при параллельных прямых. В треугольниках
и
подобных сторон и углу между ними.
следовательно, эти треугольники подобны по двум парам
Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
Решение.
Проведём
что
равна:
Проведём построения и введём обозначения как указано на рисунке.
параллельно
Поскольку
и
по теореме Фаллеса получаем,
Следовательно,
— средняя линия. Пусть — длина высоты трапеции. Площадь трапеции
Откуда получаем, что
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Решение.
В задаче возможны два случая.
Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём построения и введём
обозначения как указано на рисунке. Рассмотрим треугольники OBH и BOK Рассмотрим треугольники OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, треугольники
равны. Откуда OH = OK. Аналогично из треугольников KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.
Второй случай, AD — одна из боковых сторон. Несмотря на другую геометрическую конфигурацию, доказательство полностью повторяет доказательство для первого случая.
В
выпуклом
четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны.
лы ABD и ACD также равны.
Докажите,
что
уг-
Решение.
Рассмотрим треугольники
вертикальные,
ство
следовательно,
можно
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке.
и
углы
и
равны по условию, углы
и
равны как
треугольники
представить
в
и
виде
лы
и
равны как вертикальные и имеется равенство
добны. Поэтому углы
и
равны.
Приведём другое решение.
подобны.
Рассмотрим
Откуда
треугольники
Равени
уг-
следовательно, треугольники по-
Поскольку четырёхугольника ABCD выпуклый и ∠BCA = ∠BDA, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠ABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB иCOD равны.
Решение.
Проведём
высоты
и
они
равны.
Площадь
треугольника
на
Площадь треугольника
равна
Поскольку высоты
и
площади треугольников
и
Покажем, что площади треугольников
и
рав-
равны, равны и
равны:
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
Решение.
Проведём через точку прямую
перпендикулярную стороне
Поскольку стороны
и
параллельны,
также перпендикулярно и стороне
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники
и
равно
,
равно
углы
и
равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому
равны их соответствующие элементы, то есть
Рассмотрим треугольники
и
они прямоугольные,
равно
углы
и
равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны,
поэтому
равно
Рассмотрим
треугольники
и
равно
равно
углы
и
равны как вертикальные.
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по
одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
Решение.
Проведём медиану
Стороны
и
равны как радиусы окружности,
поэтому треугольник
— равнобедренный, следовательно, медиана
является также высотой. Проведём медиану
Стороны
и
равны как радиусы окружности, поэтому треугольник
— равнобедренный, следовательно, медиана
является также высотой. прямые
и
перпендикулярны одной
и той же прямой
, следовательно они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку
значит, они совпадают. Таким образом прямая
перпендикулярна прямой
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Решение.
Проведём высоту
через точку Поскольку
—
ки
и
равны, следовательно, по теореме Фаллеса,
на
Площадь треугольника
равна
средняя линия,
Площадь треугольника
Отрезрав-
Найдём сумму площадей этих треугольников:
Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по
площади части.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке.
Пусть — длина высоты трапеции. Площадь треугольника
равна площади треугольника
поскольку высоты, проведённые к основаниям
и
равны, а основания
и
равны. Аналогично
равны
площади
треугольников
и
Покажем,
что
площади
четырёхугольников
и
равны:
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника
пересекаются
в
точке M.
Докажите,
что
треугольники MBC и MDA подобны.
Решение.
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда
сумма противоположных углов равна 180°, поэтому
Углы
и
образуют
развёрнутый
угол,
значит,
Из
приведённых
равенств
получаем,
что
Рассмотри треугольники
и
угол — общий, углы
и
равны,
следовательно, треугольники подобны.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Так как по условию BD=BE, то треугольник BDE является равнобедренным. Пусть
угол при основании этого треугольника равен x, тогда
Треугольники BEC и
BDA равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB=BC и треугольник ABC - равнобедренный.
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Рассмотрим
лы
и
треугольники
и
они
прямоугольные,
уг-
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда
смотрим треугольники
и
углы
тельно, эти треугольники подобны, откуда
и
равны как вертикальные,
Расследова-
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.
Поскольку угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 будут лежать
на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырёхугольника AA1B1B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, около четырёхугольника AA1B1Bможно описать
окружность. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
В
выпуклом
четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны.
лы DAC и DBC также равны.
Докажите,
что
уг-
Решение.
Поскольку ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольникаABCD можно описать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, опирающиеся на
одну дугу CD.
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат
по одну сторону от прямойCD. Докажите, что CD ⊥ EF.
Решение.
Точка E равноудалена от C и D , поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. То же можно сказать и о F. Значит EF — серединный перпендикуляр к CD, то
есть CD ⊥ EF.
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Поскольку диагонали четырехугольника AB1A1B пересекаются, он является выпуклым, а так
как
, около него можно описать окружность. Тогда углы AA1B1 иABB1 равны как
вписанные, опирающиеся на одну дугу AB1.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Решение.
Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны, таким образом,
треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, значит
треугольник MNK- равносторонний.
На стороне
ли
, то
треугольника
.
отмечены точки
и
так, что
. Докажите, что ес-
Решение.
чит,
Значит,
Треугольник
и треугольники
и
.
— равнобедренный, поэтому
. Знаравны по первому признаку равенства треугольников.
На
то
медиане
.
треугольника
отмечена
точка
.
Докажите,
что
если
,
Решение.
Поскольку треугольник
диана
также является высотой. Значит, в треугольнике
ной. Поэтому треугольник
— равнобедренный, то есть
— равнобедренный, получаем, что его меотрезок
является высотой и медиа.
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Решение.
Имеем:
Докажем, что
.
по стороне и двум прилежащим к ней углам:
1)
а)
— общая;
б)
по свойству углов равнобедренного треугольника;
в)
по определению биссектрисы и равенству углов при основании равнобедренного
треугольника.
2)
как соответствующие элементы равных треугольников.
Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки
и
равны.
Решение.
Рассмотрим
В них
треугольники
и
.
и
60°
треугольники
равны
.
Следовательно,
эти
по
двум
сторонам
Поэтому
как соответствующие стороны равных треугольников.
и
углу
между
ними.
Два равных прямоугольника имеют общую вершину
угольников
и
равны.
(см. рис.). Докажите, что площади тре-
Решение.
другого:
Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам
. Рассмотрим углы между ними:
360°
180°
.
и
Поэтому
.
В параллелограмме
проведены высоты
и
. Докажите, что
подобен
.
Решение.
параллелограмма,
подобия треугольников.
В треугольниках
и
имеем
как противоположные углы
как прямые углы, значит треугольники подобны по первому признаку
Докажите, что у равных треугольников
ны и , равны.
и
биссектрисы, проведённые из верши-
Решение.
Пусть
и
— биссектрисы треугольников
и
ответственно равны стороны
и
, а также углы и ,
ки равны по второму признаку равенства треугольников. Значит,
В треугольнике
угол
ник
— равнобедренный.
равен 36°,
. В треугольниках
и
сои
. Следовательно, треугольни, что и требовалось доказать.
— биссектриса. Докажите, что треуголь-
Решение.
Треугольник
чит,
бедренный.
= 36°. Таким образом, углы
равнобедренный,
и
поэтому
равны, поэтому треугольник
= 72°.
Зна-
— равно-
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной
окружности треугольникаABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а точку пересечения высот через H.
Тогда
и
Таким
образом,
точки A,C, O и H лежат на одной окружности.
Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его
сторон AC и BC за точки A и Bсоответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Решение. Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки касания окружности с прямыми AC, AB и BC соответственно. Радиус OM перпендикулярен AC, а OK перпендикулярен BC. Следовательно,
в четырёхугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. Поскольку OM = OK, прямоугольник OMCK — квадрат. Следовательно,
Отрезки
касательных,
проведённых
из
одной
точки
ны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Периметр треугольника ABC равен
к
окружности,
рав-
P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =
= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Углы
Углы
и
и
равны, поэтому треугольник
— развёрнутые, поэтому:
Рассмотрим треугольники
угольники равны, а значит,
— равнобедренный, то есть
и
то есть треугольник
следовательно, эти тре— равнобедренный.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Углы
и
— развёрнутые, поэтому:
Углы
и
равны, следовательно, треугольник
Рассмотрим треугольники
и
угольники равны, а значит,
то есть треугольник
— равнобедренный, значит
следовательно, эти тре— равнобедренный.
В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Решение.
В треугольнике ABC имеем
Таким образом,
,а
значит,
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной
окружности треугольникаABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной
окружности.
Решение.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а центр
вписанной окружности через I.
Тогда
Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Решение.
Поскольку
четырёхугольник ABCD вписанный,
сумма
уг-
лов ABC и ADC равна 180°.
Следовательно,
∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол Kобщий, следовательно, эти
треугольники подобны.
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны
между собой.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём медиану
высоту
Площадь
ка
треугольника
Отрезки
и
,
площадь
и
треугольни-
равны, следовательно,
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.
Углы
ники
и
и
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольони прямоугольные, углы
и
равны, следовательно, эти треугольники по-
добны, откуда
Рассмотрим треугольники
вертикальные,
следовательно, эти треугольники подобны.
В окружности с
лы АОВ и СОD равны.
что ОК и OL равны.
и
углы
и
равны как
центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные угНа
эти
хорды
опущены
перпендикуляры ОК и OL.
Докажите,
Решение.
Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними
(AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по
одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
Решение.
Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезкуAB. То же можно сказать и о J . Значит IJ — серединный перпендикуляр к AB.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3 : 5 : 10. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 19.
Решение.
Пусть длины дуг AB, BC и AC относятся как 3 : 5 : 10, тогда наименьшая сторона
треугольникаABC — сторона AB = 19. По свойству вписанного угла
Из теоремы синусов находим, что радиус окружности равен
О т в е т : 19.
В окружности с центром проведены две равные хорды
пендикуляры
и
. Докажите, что
и
равны.
и
. На эти хорды опущены пер-
Решение.
Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по
трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось
доказать.
В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
Решение.
Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.
Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. Поскольку AO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.
Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная
к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке.
лы
да
Пусть
и
равны
Рассмотрим
треугольники
и
как
вертикальные,
следовательно,
они
прямоугольные,
угтреугольники
подобны,
отку-