4 Классические теоремы о коллинеарности трех точек

Математика 8-11 классы, выпуск 4.
3
Содержание
Мендель Виктор Васильевич, доцент ДВГГУ
АЛГОРИТМЫ ГЛАЗАМИ МАТЕМАТИКА......................................................................... 4
§ 1.1
Понятие «алгоритм». Свойства алгоритмов ............................................................................................... 4
§ 1.2
Вычислимые функции и разрешимые множества ..................................................................................... 5
§ 1.3
Вопросы для самопроверки и задачи к §1.1 и 1.2 ....................................................................................... 8
§ 1.4
Исчисления алгоритмов ................................................................................................................................ 10
§ 1.5
Марковские подстановки (нормальные алгоритмы) .............................................................................. 11
§ 1.6
Машины Тьюринга (МТ) .............................................................................................................................. 14
§ 1.7
Рекурсивное построение вычислимых функций ...................................................................................... 21
Монина Мария Дмитриевна, преподаватель ДВГГУ
КЛАССИЧЕСКИЕ ИДЕИ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ............................... 24
Тема 1. Элементы теории делимости целых чисел ................................................................................................ 24
Тема 2. Доказательство от противного ..................................................................................................................... 27
Тема 3. Чётность ........................................................................................................................................................... 27
Тема 4. Обратный ход .................................................................................................................................................. 28
Тема 5. Графы ............................................................................................................................................................... 28
Тема 6. Инварианты ..................................................................................................................................................... 29
Тема 7. Метод крайнего ............................................................................................................................................... 30
Тема 8. Принцип Дирихле ........................................................................................................................................... 30
Тема 9. Раскраски ......................................................................................................................................................... 31
Тема 10. Игры ................................................................................................................................................................ 32
Шмарин Сергей Владимирович, преподаватель ПГГПУ
ОЛИМПИАДНЫЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ .................................................... 33
1. ВПИСАННЫЕ УГЛЫ.............................................................................................................................................. 33
2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА .............................................................................................. 37
3. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ........................................................................... 39
Задачи ............................................................................................................................................................................. 43
4. Классические теоремы о коллинеарности трех точек ....................................................................................... 44
Упражнения ................................................................................................................................................................... 48
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ....................................................................................................................................................... 49
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
4
Мендель Виктор Васильевич, доцент ДВГГУ
АЛГОРИТМЫ ГЛАЗАМИ МАТЕМАТИКА
§ 1.1 Понятие «алгоритм». Свойства алгоритмов
Уточнение понятия «алгоритм»
Термин «алгоритм» широко используется в научной и бытовой речи. В самом общем
случае под алгоритмом понимают некоторую хорошо прописанную последовательность
действий (шагов), направленных на решение некоторой, часто возникающей задачи,
выполнение которых должно привести (за конечное число операций) к желаемому
результату.
Заметим, что слово «выполнение» предполагает, что исполнитель алгоритма в состоянии
правильно выполнить каждый его шаг.
Очевидно, что в такой, очень общей интерпретации, изучать алгоритмы и их свойства
практически невозможно. Поэтому необходимо уточнить определение этого понятия, его
свойства, и объекты, к которым применяются алгоритмы.
Итак, алгоритм – это четкая система инструкций. Такая формулировка предполагает,
что каждый шаг алгоритма четко прописан, и, кроме того, указываются точные правила
перехода от одного шага к другому, которые вытекают из тех (входных) условий, при
которых начал выполняться алгоритм и от выполненных ранее шагов. Это условие
называется детерминированностью.
Далее, алгоритм применяется для часто возникающих задач, то есть, речь идет об
массовых однотипных (отличающихся только входными или начальными условиями)
задачах. Такое свойство алгоритма называется массовость.
Алгоритм должен за конечное число шагов на допустимых начальных условиях
приводить к правильному результату. Такое свойство алгоритма называется
результативностью или конечностью.
Из предыдущего также вытекает, что сам алгоритм (его запись) должен состоять из
конечного числа команд, так как бесконечное число команд за конечное время выполнить
нельзя.
Теперь рассмотрим свойства алгоритмов, связанные с исполнителями. Как было
отмечено в начале параграфа, исполнитель должен уметь правильно выполнять все шаги
алгоритма. Также важно, что при выполнении одного и того же алгоритма при одинаковых
начальных условиях, разные исполнители получали один и тот же результат. Такое свойство
называется независимостью (от исполнителя).
Сделаем еще одно важное замечание по поводу исполнителей: как бы ни велико было
желание заполучить в качестве исполнителя очень опытного и умного человека, но
правильнее всего предполагать, что исполнитель – это некоторая машина (автомат), которая
умеет выполнять очень небольшой набор самых простых операций. Например: записать или
стереть букву, перейти к следующей букве слова, сравнить две буквы и т.п. Требовать от
исполнителя сравнить два больших числа, определить, делится одно число на другое или нет,
проверить, сварилась ли в супе картошка - неправильно и нелепо.
Теперь мы можем сформулировать более точное определение понятия «алгоритм».
1.1.1
Определение 1.1.1.
Алгоритм решения массовой задачи это конечная последовательность команд,
доступных для исполнителя. Каждый шаг при выполнении алгоритма однозначно
определяется предыдущими шагами и начальными условиями задачи. Правильное решение
(результат) получается за конечное число шагов. Алгоритмический процесс заканчивается
только с правильным результатом. Если для некоторых начальных условий задача не имеет
решения, то алгоритм работает вечно.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
5
Замечание. Последние два предложения в определении означают, что необходимо
корректно формулировать условия задачи и правила получения результата. Приведем
пример. Рассмотрим две очень похожих задачи:
Задача 1. Вычислить натуральное число, являющееся квадратным корнем данного
натурального числа.
Задача 2. Проверить, является ли квадратный корень из данного натурального числа
натуральным числом. Если да, то вычислить этот корень, если нет, напечатать букву «Н».
Алгоритм решения первой задачи должен останавливаться только тогда, когда
входное значение является квадратом некоторого натурального числа. Во всех остальных
случаях он работает вечно. Алгоритм решения второй задачи должен останавливаться
всегда.
1.1.2 Замечание о кодировке входных и выходных значений алгоритмов
Мы в дальнейшем будем рассматривать в основном алгоритмы, действующие на
множестве натуральных чисел N. В связи с этим возникает проблема записи (кодировки)
таких чисел, так как такая кодировка должна быть понятна исполнителю алгоритма. Кроме
того, от вида кодировки зачастую существенно зависит вид самого алгоритма решения
задачи. Как правило, будут использоваться три кодировки:
 десятичная запись числа;
 двоичная запись числа;
 унарное представление: натуральное число n представляется в виде слова, состоящего
из n+1 палочки 1111
...
111

.
n1 раз
Кроме этого могут использоваться различные служебные значки (маркеры),
символизирующие различные операции или разделяющие пары чисел (если алгоритм
предполагает наличие нескольких входных или выходных значений). Подробно на алфавитах
и кодировках мы остановимся, когда будем рассматривать исчисления алгоритмов.
§ 1.2 Вычислимые функции и разрешимые множества
1.2.1 Вычислимые функции
В этом параграфе мы уточним объекты, к которым применяются алгоритмы.
Теория алгоритмов изучает в основном вычислительные алгоритмы (в широком
смысле этого слова). Действительно, проверку различных условий можно свести к
вычислению значений некоторой логической функции, выполнение каких либо действий
роботом-автоматом предваряется вычислением параметров этих действий и передачей
соответствующих команд периферийным устройствам и т.д.
Заметим, что аргументами вычислительных алгоритмов должны быть конечные
числа, результат вычислений также должен быть конечным числом. Действительно, если
рассматривать числа, являющиеся бесконечными дробями, то за конечное число шагов
нельзя считать данное число, кроме того, результат, являющийся бесконечной дробью,
нельзя вывести за конечное время. Это означает, что алгоритмы не применимы, например, к
иррациональным числам, стандартная десятичная запись которых является бесконечной
дробью.
Читатели имеют опыт арифметических операций над конечными десятичными
дробями, а так же над положительными и отрицательными числами. Этот опыт позволяет
сделать вывод о том, что сначала выполняется действие над натуральными числами, а затем,
по определенным правилам, этот результат превращается в десятичную дробь или число со
знаком. Причем наиболее трудоемка первая часть действий.
В принципе, любые входные значения для алгоритма могут быть заданы (описаны)
конечным набором слов конечной длины, а результат выведен в таком же словесном
формате. Такие входные слова и выходные значения можно интерпретировать как числа,
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
6
записанные в некоторой системе счисления. Тогда процесс работы алгоритма можно
интерпретировать как вычислительный. Таким образом, любой алгоритм, оперирующий с
символьными объектами (числами, словами, предложениями и т.п.) можно рассматривать
как вычислительный.
Все сказанное выше позволяет сузить область применения алгоритмов на множество
натуральных чисел. Мы выделим две группы наиболее важных объектов: вычислимые
функции и разрешимые множества.
Будем рассматривать функцию f ( x1 , x2 ,..., xn ) , принимающую значения из множества
натуральных чисел, аргументы которой xi определены на подмножествах Mi множества
натуральных чисел N. Обозначим
M  M1  M 2  ...  M n , M  N n .
Определение 1.2.1
Функция f : M  N , называется вычислимой, если существует алгоритм,
вычисляющий данную функцию для всех значений из области M. Если M совпадает с Nn, то
она называется тотальной, в противном случае – частичной.
Рассмотрим примеры вычислимых функций.
Пример 1.2.1 Функция следования s( x)  x  1 .
Это, очевидно, тотальная вычислимая функция. Алгоритм ее вычисления
кодировке очень прост: нужно дописать в конце этого числа еще одну палочку.
в унарной
Пример 1.2.2 Аннулятор Z ( x)  0 .
Также тотальная вычислимая функция. Для ее вычисления нужно стереть входное значение
и написать число «Ноль» (в соответствующей кодировке).
Пример 1.2.3 Функция – проектор J in ( x1...xi ...xn )  xi (зависит от n натуральных чисел, на
выходе дает значение, равное i-тому входному аргументу).
Тотальность и вычислимость данной функции также очевидна. Суть алгоритма сводится к
тому, что нужно стереть n - 1 записанное число, оставив только i –тое по счету.

x ,если это натуральное число
Пример 1.2.4 Функция sqrt ( x)  
.
 ( зацикцивае тся),если это не натуральное число
Это вычислимая частичная функция. Коротко опишем алгоритм ее вычисления.
Шаг 1. Вводится число x.
Шаг 2. Числу i присваивается значение 0.
Шаг 3. Вычисляется число y = i2.
Шаг 4. Проверяется условие «y = x». Если условие истинно, то выполняется переход к Шагу
5, иначе числу i присваивается значение i+1 и выполняется переход к Шагу 3.
Шаг 5. Записывается ответ: «корень квадратный из x равен i».
Заметим, что данный алгоритм останавливается только в том случае, когда для
данного входного значения существует квадратный корень, являющийся натуральным
числом. В остальных случаях алгоритм работает вечно.
Рассмотрим пример частичной функции от двух переменных.
q, если q (натуральное), такое, что x  q  y,
Пример 1.2.5 Функция f ( x, y )  x  y  
 , если не q (натуральное), такое, что x  q  y.
Вот схема алгоритма, вычисляющего эту функцию:
Шаг 1. Вводятся числа x и y.
Шаг 2. Числу q присваивается значение 1.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
7
Шаг 3. Вычисляется число z = y q.
Шаг 4. Проверяется условие «z = x». Если условие истинно, то выполняется переход к Шагу
5, иначе числу q присваивается значение q+1 и выполняется переход к Шагу 3.
Шаг 5. Записывается ответ: «x : y равно q».
1.2.2 Разрешимые множества
Еще одним видом стандартных объектов, к которым применяются алгоритмы,
являются разрешимые множества.
Будем рассматривать упорядоченные наборы натуральных чисел ( x1 , x2 ,..., xn ) , где xi
определены на подмножествах Mi множества натуральных чисел N. Как и раньше, обозначим
M  M1  M 2  ...  M n , M  N n .
Определение 1.2.2
Множество M называется разрешимым, если существует алгоритм, который для
любого набора натуральных чисел ( x1 , x2 ,..., xn ) определяет, принадлежит ли данный набор
множеству M.
Приведем примеры разрешимых множеств.
Пример 1.2.6 Множество четных натуральных чисел.
Алгоритм проверки (в десятичной кодировке): если последняя цифра числа четная (0, 2, 4, 6,
8) – то и само число – четное.
Пример 1.2.7 Множество полных квадратов (полный квадрат, это такое число, которое
равно квадрату некоторого натурального числа).
Приведем алгоритм, разрешающий это множество. Он основан на алгоритме из примера
1.2.4.
Шаг 1. Вводится число x.
Шаг 2. Числу i присваивается значение 0.
Шаг 3. Вычисляется число y = i2.
Шаг 4. Проверяется условие «y < x». Если условие истинно, то числу i присваивается
значение i+1 и выполняется переход к Шагу 3, иначе выполняется переход к Шагу 5.
Шаг 5. Проверяется условие «y = x». Если условие выполнено, то записывается результат:
«число x – полный квадрат». Если условие не выполнено, то записывается результат: «число
x – не является полным квадратом».
Следующий пример – множество, состоящее из упорядоченных наборов трех
натуральных чисел.
Пример 1.2.8 Множество пифагоровых троек M  {( x, y, z ) | x 2  y 2  z 2 } .
Алгоритм разрешимости этого множества очевиден: вычисляется сумма квадратов двух
первых чисел и сравнивается с квадратом третьего числа.
Между разрешимыми множествами и вычислимыми функциями существует
очевидная связь, которая реализуется посредством характеристической функции множества.
Определение 1.2.3
Характеристической
функцией
множества
M  M1  M 2  ...  M n
функция  M : N  N , такая что
n
1, ( x1 ,..., xn )  M ,
0, ( x1 ,..., xn )  M .
Для разрешимых множеств выполняется следующая очевидная теорема.
 M ( x1 ,..., xn )  
Хабаровск 2010 г.
называется
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
8
Теорема 1.2.1
Множество M разрешимо тогда и только тогда, когда его характеристическая
функция  M – тотальная вычислимая.
Помимо разрешимых множеств часто рассматриваются
так называемые
перечислимые множества, которые часто называют графиками вычислимых функций.
Определение 1.2.4
Множество M  N называется перечислимым, если все его элементы являются
значениями некоторой вычислимой функции f ( x1 , x2 ,..., xn ) и все значения этой функции
принадлежат множеству M.
Иными словами, перечислимое множество порождается некоторой вычислимой
функцией.
Приведем примеры перечислимых множеств.
Пример 1.2.9 Множество чисел, кратных натуральному числу n0.
Как легко заметить, множество таких чисел порождается вычислимой функцией
f n0 ( x)  x  n0 .
Естественно рассмотреть связь между перечислимыми и разрешимыми множествами.
Эта связь выражается следующей теоремой.
Теорема 1.2.2
Множество M  N является разрешимым тогда и только тогда, когда оно само и
его дополнение до N – перечислимы.
Как следует из теоремы – перечислимость и разрешимость – не эквивалентные
свойства множеств. Приведем пример перечислимого, но не разрешимого множества.
Пример 1.2.10
Пусть M0, …, Mn, … – эффективное перечисление всех перечислимых множеств, то
есть такое перечисление, что по любому заданному числу r можно восстановить само
множество Mr. Рассмотрим теперь алгоритм , который последовательно порождает все
элементы следующего множества U: на шаге с номером C(m,n) этот алгоритм вычисляет
m-тый элемент множества Mn, и если этот элемент совпадает с n, то он относит его к
множеству U:
n U  n  M n .
Таким образом, множество U порождается с помощью алгоритма . С другой стороны,
дополнение этого множества U состоит из всех таких n, что n  M n . Поэтому оно
отличается от любого другого перечислимого множества по крайней мере одним
элементом. Значит, оно не перечислимо, так как не вошло в список M0, …, Mn, …. Но тогда,
согласно теореме 1.2.2, множество U неразрешимо.
Более подробно примеры неразрешимых множеств и невычислимых функций будут
рассмотрены во второй главе.
§ 1.3 Вопросы для самопроверки и задачи к §1.1 и 1.2
1.3.1 Вопросы для самопроверки
1. Перечислите основные свойства алгоритмов.
2. Опишите условия, которым должны удовлетворять исполнители алгоритмов.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
9
3. Какие из приведенных ниже последовательностей действий можно отнести к
алгоритмам, а какие нельзя. Объясните почему?
 Инструкция, направленная из разведцентра резиденту с указанием порядка
встречи с прибывающим к нему на явку агентом.
 Напечатанная на пакете инструкция по приготовлению супа из концентрата.
 Программа для вычисления n!, написанная на одном из языков
программирования.
4. Дайте определение вычислимой функции.
5. Чем частичная функция отличается от тотальной? приведите примеры.
6. Дайте определение разрешимого множества. Приведите примеры.
7. Дайте определение перечислимого множества. приведите примеры.
8. Что такое характеристическая функция множества?
9. При каком условии перечислимое множество является также разрешимым?
1.3.2 Задачи к §1.1 и 1.2
Составьте алгоритмы вычисления следующих функций. (За образец оформления
возьмите решение примеров 1.2.4 и 1.2.5)
1. Функция следования s( x)  x  1 в двоичной системе счисления. (Указание: если
последняя цифра числа равна 0, то ее нужно увеличить на 1 и остановить процесс,
если последняя цифра 1, то ее заменяют на 0 и переходят на одну цифру влево. Чтобы
этот процесс работал корректно, удобно вначале приписать к входному числу слева
цифру 0. Если она не была использована, то по окончании работы алгоритма ее нужно
стереть.)
2. Функция следования в десятичной системе счисления. (Смотри указание к задаче 1.)
3. Характеристическая функция множества четных чисел. (Указание: если последняя
цифра числа четна, то характеристическая функция равна 1, иначе – 0.)
4. Характеристическая функция чисел, делящихся на 5. (Кодировка – десятичная.)
5. Функция s  ( x)  x  1 в унарной кодировке.
6. Функция s  ( x)  x  1 в двоичной кодировке.
7. Функция s  ( x)  x  1 в десятичной кодировке.
 x  y, ( x  y ),
8. Функция min us ( x, y )  
(По аналогии с примером 1.2.5.)
  , ( x  y ).
Составьте алгоритмы распознавания следующих множеств:
9. Множество чисел, кратных 10.
10. Множество простых чисел.
11. Множество троек чисел ( x, y, z ) , таких, что M  {( x, y, z ) | x  y  z} .
12. Множество чисел, являющихся кубами некоторых натуральных чисел.
Укажите функции, порождающие следующие множества (докажите, что
следующие множества перечислимы):
13. Множество натуральных чисел, которые при делении на m в остатке дают число r
(r<m).
14. Множество натуральных чисел, которые являются разностями квадратов двух
натуральных чисел.
15. Множество натуральных чисел, которые являются суммами кубов двух натуральных
чисел.
Хабаровск 2010 г.
10
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
§ 1.4 Исчисления алгоритмов
1.4.1 Необходимость исчислений
В предыдущих примерах мы использовали различные способы записи алгоритмов,
особо не вдаваясь в описание свойств исполнителя, правил останова и другие тонкости. Для
более детально и тщательного исследования свойств алгоритмов (вычислимых функций),
нам необходимо давать детальное описание всех действий алгоритма, используя для этого
специальный язык (исчисление). При этом возникает серьезная проблема:
Нужно показать, что с помощью данного языка (исчисления) можно записать
алгоритм любой алгоритмически разрешимой задачи.
По аналогии с математической логикой, такое свойство исчислений будем называть
полнотой.
На настоящее время ни для одного исчисления алгоритмов на прямую не доказано
свойство полноты. С другой стороны, есть возможность качественного подтверждения этого
факта.
Опять же в курсе математической логики рассматриваются различные модели
некоторой аксиоматической теории и разрешение вопроса о полноте этой аксиоматической
теории сводится к доказательству изоморфности всех ее моделей.
Мы поступим с исчислениями алгоритмов следующим образом. Рассмотрим большое
количество примеров исчислений и покажем их изоморфность. Такой подход даст нам право
предполагать, что все рассмотренные исчисления являются полными (обобщенный тезис
Тьюринга).
В предположении о полноте исчислений алгоритмов мы, во второй главе, продолжим
изучение свойств вычислимых функций.
1.4.2 Методы построения исчислений алгоритмов
Исторически исчисления алгоритмов появились раньше, чем возник сам термин
«исчисление». Это различные способы формальной записи алгоритмов, предложенные
такими выдающимися математиками как А. Тьюринг, А.А. Марков, Э. Пост, А. Черч, К.
Гедель и др. Предложенные ими методы существенно отличаются друг от друга, что
затрудняет изложение общих принципов создания исчислений алгоритмов. Мы попробуем
описать эти принципы.
1. Сначала необходимо указать алфавит A, в котором будут записываться алгоритмы.
2. Затем требуется указать некоторые условия (правила кодирования), которым должны
удовлетворять слова данного алфавита - входные значения задачи.
3. Следующий шаг – описание элементарных шагов, которые может делать исполнитель
алгоритма (передвижение вдоль слова, замена буквы, стирание, замена части слова
другим и т.п.). Такие шаги должны записываться в виде слов языка над алфавитом A.
4. Далее указывается, каким образом осуществляется управление исполнителем. То есть
формулируются правила применения к входному слову тех или иных элементарных
действий.
5. Наконец, формулируются правила останова и извлечения результата (как правило,
результатом работы алгоритма является слово, записанное на некотором носителе ячейка памяти, лента и т. п.) после остановки работы алгоритма.
Алфавит A может быть достаточно сложным и далеко не все его буквы будут
использоваться для записи входных значений и результата. Обычно ту часть букв, которая
используется для записи входного слова и его изменений, называют внешним алфавитом.
Другую часть букв, которая используется для описания различных команд и правил,
называют внутренним алфавитом исчисления. Иногда внутренний алфавит дополнительно
разделяют на несколько составных частей.
Далее мы приступим к изучению примеров исчислений алгоритмов.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
11
§ 1.5 Марковские подстановки (нормальные алгоритмы)
Теория «нормальных алгоритмов» была создана выдающимся советским математиком
А.А. Марковым на рубеже 40–50 - тых годов 20 века. Мы будем рассматривать ее, следуя
схеме, приведенной в пункте 1.4.2.
1.5.1 Алфавит и правила кодирования
Основной состав букв используемого алфавита зависит от того, какая кодировка будет
использована. Это могут быть буквы и цифры русского или любого другого алфавита или их
объединение, можно использовать исключительно цифры некоторой позиционной системы
счисления, унарную кодировку и т.д. Мы будем обозначать основной состав такого алфавита
буквами a1 ,..., an . Кроме этого в алфавит в обязательном порядке включаются три служебных
буквы:
 символ пустого слова  ,
 знак стрелки 
 и знак конечной подстановки  .
Алфавит может также содержать знаки арифметических операций, специальные маркеры и
другие служебные символы, используемые при записи команд алгоритма.
В качестве допустимых начальных условий рассматриваются конечные слова из
основного алфавита, которые могут разделяться маркерами или другими специальными
символами. Результат, как правило, слово из букв основного (внешнего) алфавита.
Иногда используются дополнительные правила, уточняющие, какие именно слова
могут выбираться в качестве входных (например, числа в десятичной кодировке не должны
начинаться с нуля и т. п.).
1.5.2 Элементарные шаги нормального алгоритма – подстановки
Перед тем, как определить, что такое подстановка, необходимо пояснить, что такое
подслово.
Определение 1.5.1
Подсловом некоторого слова P мы будем называть любое слово Q, состоящее из
нескольких идущих подряд букв слова P. Пустое слово является подсловом любого слова.
Например, слово «ранд» является подсловом слова «карандаш», а слово «109» подсловом слова «1109110912».
Как видно из второго примера, иногда подслово может встречаться в данном слове
несколько раз.
Рассмотрим теперь следующую процедуру. Пусть задана пара слов P и Q (будем
обозначать их P  Q ) и некоторое слово R, для которого слово P является подсловом:
R  ai1 ...aim Pain ...ail . Операция, в процессе которой подслово P в слове R заменяется на
подслово Q и называется подстановкой. В результате получается слово R  ai1 ...aim Qain ...ail .
Причем процедура применяется только к первому по порядку вхождению подслова P в слово
R. Примеры подстановок можно увидеть в следующей таблице.
№
Результат
Подстановка
Исходное слово
п\п
подстановки
1.
321231233
323211233
123321
2.
допинг
допонг
пингпонг
3.
_кол
прикол
при
4.
_987
*987
*
5.
*апорт
а*порт
*аа*
Хабаровск 2010 г.
12
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
Обратите внимание на то, что любое слово начинается с пустого (примеры 3 и 4). То
есть, подстановка вида Q фактически означает, что к началу любого слова дописывается
приставка Q.
Кроме этого, в первом примере подслово «123» встречается в исходном слове два
раза, а выполняется она только один раз.
1.5.3 Порядок выполнения подстановок и правила извлечения результатов
Опишем теперь порядок применения подстановок. Итак, пусть задан упорядоченный
список подстановок, среди которых указано несколько конечных.
1. Q1P1,
2. Q2P2,
3. Q3P3,
……….
k. QkPk .
Далее пусть R – некоторое входное слово.
Алгоритмический процесс по данной подстановочной схеме выполняется по
следующим правилам:

к текущему слову применяется первая по порядку допустимая подстановка из
списка,

процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено одно из следующих
условий:
а) применена одна из конечных (заключительных) подстановок (в этом случае
процесс останавливается, полученное слово является результатом работы нормального
алгоритма на входном слове R);
б) ни одна из имеющихся подстановок не может быть применена к текущему
слову (остановка без результата).
Будем говорить, что нормальный алгоритм работает корректно, если на допустимых
входных словах он останавливается результативно, а на недопустимых входных словах
работает вечно.
Естественно требовать составления корректных алгоритмов.
1.5.4 Примеры нормальных алгоритмов
Пример 1.5.1
Найти нормальный алгоритм, вычисляющий функцию Z ( x)  0 в унарной кодировке.
Решение. Унарная кодировка описана в пункте 1.1.2. Будем использовать алфавит
A  {|, ,, } . Наша задача – переработать слово, состоящее из x+1 палочки в слово,
состоящее из одной палочки (символ нуля).
Неформально этот процесс можно описать так: последовательно стирается по одной
палочке в начале слова (подстановка «| »). Затем, когда все палочки будут стерты,
выполняется конечная подстановка «|». Таким образом, весь алгоритм имеет простой
вид:
1. |  ,
2. |.
Пример 1.5.2
Найти нормальный алгоритм, вычисляющий функцию s( x)  x  1 в унарной кодировке.
Решение. По-прежнему используем алфавит A  {|, ,, } . Необходимо к слову,
состоящему из x+1 палочки дописать еще одну палочку. Это можно реализовать, используя
только одну подстановку:
1.
|  ||.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
13
Пример 1.5.3
Найти нормальный алгоритм, вычисляющий проектор J 22 ( x1 , x2 )  x2 .
Решение. Сначала требуется уточнить формат входных слов. Если использовать унарную
кодировку, то составленные из палочек числа x1 и x2 должны быть разделены некоторым
служебным символом – маркером. Поэтому расширим алфавит: A  {|, ,,*, } . Тогда
входные слова имеют вид:
||…||*|||…||.
В результате работы алгоритма должно остаться слово, стоящее справа от маркера.
Для этого надо последовательно удалять символы первого слова, используя подстановку «|*
 *». Когда все палочки слева от маркера будут стерты, выполним заключительную
подстановку «* », удаляющую маркер. Запишем окончательную схему:
1.
|*  *,
2.
*  .
Рассмотрим теперь примеры, в которых используется более сложная кодировка.
Пример 1.5.4
Найти нормальный алгоритм, вычисляющий функцию s( x)  x  1 в двоичной кодировке.
Решение. Дадим словесное описание данного алгоритма.
а) Сначала нужно найти последнюю цифру числа. Под термином «найти» мы подразумеваем
отметку последней цифры числа некоторым маркером.
б) Далее процесс идет по следующим правилам: если отмеченная цифра – ноль, то ее в паре с
маркером заменяют единицей и эта замена – заключительная подстановка. Если же
отмеченная цифра – единица, то она заменяется на ноль, отмечается стоящая слева цифра и
процесс повторяется.
в) Мы должны предусмотреть исключительный случай, когда входное слово состоит только
из единиц: 1111…1111. Тогда на определенном шаге мы получим слово #00000000. В этом
случае потребуется заключительная подстановка «#1».
Кроме того, нам понадобятся два разных маркера: один, чтобы «найти» последнюю
цифру входного числа, а второй – для вычисления.
Перейдем к оформлению решения:
Алфавит A  {0,1, ,, # ,*, } .
Схема подстановок:
1. *  # - замена маркера «поиска» * на маркер «вычисления» #,
2. 0#  1 – заключительная подстановка для случая, когда входное слово имеет хотя
бы один 0,
3. 1#  #0 – замена единицы на ноль и переход к следующей слева цифре,
4. # 1– заключительная подстановка для случая, когда входное слово не имеет ни
одного 0,
5. *0  0* и
6. *1  1* – поиск конца слова, маркер последовательно передвигается на одну
позицию вправо, когда конец слова найден, выполняется постановка №1.
7.   * – эта подстановка будет выполнена самой первой и только один раз, она ставит
маркер «поиска» конца слова перед первой буквой этого слова.
Приведем примеры работы данной схемы. В качестве входного значения возьмем
слово R=10011. (В скобках между стрелками записаны номера подстановок.)
10011(7)*10011(6)1*0011(5)10*011(5)100*11(6)1001*1
(6)10011*(1)10011#(3)1001#0(3)100#00(2)10100.
Теперь возьмем в качестве входного слова слово, состоящее только из единиц: R=1111.
1111(7)*1111(6) 1*111(6) 11*11(6) 111*1(6) 1111*
 (1) 1111#(3)111#0(3)11#00(3)1#000 (3) #0000(2)10000.
Хабаровск 2010 г.
14
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
Замечание. Нормальный алгоритм назовем правильным, если в нем имеется ровно одна
заключительная подстановка, которая стоит первой в списке подстановок. Добавив в алфавит
еще один маркер, легко любой алгоритм сделать правильным. Для этого все заключительные
подстановки исправляются по правилу: вместо QkPk
пишем QkPk
( –
дополнительный маркер), а в начале списка ставим единственную заключительную
подстановку «  ».
Из рассмотренных примеров можно понять, как в нормальных алгоритмах
реализуются различные приемы «традиционного программирования».
Многократное повторение одной и той же подстановки несколько раз подряд можно
рассматривать как цикл с предусловием (она выполняется, пока выполнено некоторое
условие). Условный переход может быть реализован с помощью маркеров.
К сожалению, нумерация подстановок не совпадает с фактическим номером их
выполнения. Как мы увидели в последнем примере, сначала выполняется самая последняя по
порядку подстановка, а в правильном алгоритме подстановка с номером 1 выполняется в
последнюю очередь.
Таким образом комбинирование элементарных нормальных алгоритмов для того,
чтобы получить на их основе более сложный алгоритм является в определенном смысле
творческим процессом.
§ 1.6 Машины Тьюринга (МТ)
В этом параграфе мы подробно рассмотрим исчисление алгоритмов, предложенное
английским математиком Аланом Тьюрингом. Это исчисление играет большую роль в
классической теории алгоритмов, так как с одной стороны в нем используются очень
простые операции, а с другой – существуют понятные и легко реализуемые методы,
позволяющие из простых машин Тьюринга составлять более сложные машины,
вычисляющие новые функции.
Кроме того, машины Тьюринга – очень удобный инструмент метрической теории
алгоритмов, которая изучает сложность вычисления (решения) задач.
1.6.1 Предварительное описание МТ
Любое популярное сочинение о МТ начинается примерно такими словами: «МТ – это
воображаемая машина, состоящая из бесконечной ленты, разделенной на ячейки, и
каретки, которая позволяет считывать буквы из текущей ячейки ленты, записывать в
ячейку новую букву, а также перемещаться вдоль ленты вправо или влево, в зависимости
от того, в каком состоянии находится машина в данный момент…».
Естественно, что подобное описание не очень соответствует нашим представлениям
об исчислениях алгоритмов, но зато оно дает хорошее интуитивное представление о том, что
из себя представляет исполнитель и как он работает.
Продолжим наше описание: «Работа МТ осуществляется в соответствии с
заданной функциональной схемой – программой. В зависимости от того, в каком
внутреннем состоянии находится машина в данный момент и какой символ записан в
текущую ячейку, программа однозначно определяет действия машины: первое – какой
символ нужно напечатать в текущую ячейку, второе – в какое внутреннее состояние
должна перейти машина, третье – к какой из соседних ячеек должна передвинуться
каретка машины…».
В следующем пункте будет рассмотрена строгая реализация МТ.
1.6.2 Описание исчисления МТ
Начнем с алфавита исчисления. Этот алфавит удобно представить в виде
объединения трех специальных алфавитов.
1. A={, a1, …,an} – внешний алфавит. Он используется для записи слов на ленту
машины. Символ  - является маркером пустой ячейки. Естественно, что, несмотря на
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
15
то, что лента машины состоит из бесконечного числа ячеек, алгоритм в своей работе
использует конечное их число (в противном случае он никогда не остановится, так
как за конечное время невозможно обработать бесконечное число ячеек). Для записи
начальных значений и конечного результата иногда может использоваться только
часть символов. Иногда дается описание корректных входных значений (например,
слова, являющиеся десятичной записью натурального числа не могут начинаться с
нуля если само число не есть ноль).
2. Q={q0, q1,…,qm} – алфавит внутренних состояний. Из всех внутренних состояний
выделяют два: q0 – заключительное состояние и q1 – начальное состояние машины.
Неформально каждое внутреннее состояние соответствует некоторому шагу
выполнения алгоритма. Переход в новое внутреннее состояние соответствует новому
этапу работы программы. Если достигнуто заключительное состояние, то машина
останавливает работу.
3. R={r, l, s}- алфавит переходов (сдвигов) каретки: r означает сдвиг каретки на одну
ячейку вправо, l – сдвиг на одну ячейку влево, а s – на данном шаге работы машины
каретка остается в текущей ячейке.
Управление работой МТ осуществляется с помощью функциональной схемы,
которую удобно представить в виде таблицы:
q1
…
qj
…
qm
ak1 j ql1 j st1 j
ak1 1ql1 1 st11
ak1m ql1m st1m
…
…
a1
…
ai
…
aki1 qli1 st i1
…
…
…
akij qlij stij
…
…
…
akim qlim stim
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

в каждую ячейку которой записаны три буквы из алфавитов A,Q и R. Обратите внимание на
то, что в таблице отсутствует столбец для состояния q0 . Это связано с тем, что после
достижения заключительного состояния работа машины прерывается.
Опишем теперь процесс вычисления МТ.
1. На ленту машины записывается некоторое входное слово X  ai1 ai2 ai3 ...aim – в одну
клетку можно записать только одну букву. Считается, что в пустые ячейки записан
символ пустой ячейки «».
2. В начальный момент времени каретка обозревает некоторую ячейку, машина
находится в первоначальном состоянии q1.
3. Очередной шаг работы алгоритма осуществляется по такому правилу: по букве ai
внешнего алфавита, записанной в текущей ячейке и текущему внутреннему
состоянию qj из функциональной таблицы определяется слово akij qlij stij , которое стоит
…
an
в соответствующей ее ячейке. После этого в текущую ячейку записывается буква akij ,
сама машина переходит в новое внутреннее состояние qlij , а каретка перемещается в
соответствии со значением последней буквы st ij (влево, если это l, вправо, если это r
или остается в текущей ячейке, если это s).
4. Машина работает до тех пор, пока не будет достигнуто заключительное внутреннее
состояние q0.
5. Результатом работы машины будет новое слово, записанное на ленте.
Рассмотрим примеры работы машины Тьюринга. Рисовать ленту и каретку не очень
удобно, поэтому будем описывать каждый шаг следующим образом: перед текущей буквой
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
16
ai написанного на ленте слова (той, в которой находится каретка) будем писать букву
текущего внутреннего состояния qj. Если машине придется выйти за границы слова, то
будем добавлять к нему нужное количество символов пустой ячейки.
Пример 1.6.1
Найти результат применения МТ, заданной данной таблицей к слову 0011 (в начальный
момент времени каретка находится в ячейке с первой слева буквой слова).
q1
q2
0
0q1r
0q1l
1
1q1r
1q2l
1q2l
q0r
Решение. Каретка последовательно проходит все буквы слова справа налево, оставаясь во
внутреннем состоянии q1, пока не дойдет до маркера пустой ячейки. Затем она изменяет этот
маркер на 1 и переходит в следующее состояние q2. В этом состоянии каретка возвращается
вправо, пока не «найдет» первый слева маркер пустой ячейки. После этого каретка
возвращается на один шаг вправо и машина завершает свою работу.
q10011 0q1011 00q111 001q11 0011q1  001q211 001q211
 00q2111  0q20111 q200111 q200111 q000111.

1.6.3 Примеры вычисления функций с помощью МТ
Перейдем к построению примеров МТ, вычисляющих функции, имеющие важное
практическое применение. Сначала мы рассмотрим несколько простых примеров, а затем
используем полученные результаты для вычисления более сложных функций.
Пример 1.6.2
Построить МТ, которая находит правый конец слова (кодировка – унарная) и
останавливается на последней его букве.
Решение. В состоянии q1 каретка должна перемещаться вправо до тех пор, пока не
обнаружит маркер пустой ячейки. Найдя маркер пустой ячейки, каретка возвращается на
одну ячейку влево, и машина переходит в заключительное состояние. Весь процесс
описывается следующей функциональной таблицей:
q1
1
1q1r

q0l
Будем называть реализацию МТ правильной, если она начинает работу, находясь в
первой слева букве входного слова и после выполнения основной программы возвращается в
первую слева букву слова – результата. При этом переход в заключительное состояние
выполняется без изменения буквы текущей ячейки и без сдвигов каретки влево или вправо.
Пример 1.6.3
Построить МТ, правильно реализующую вычисление функции следования s( x)  x  1 в
унарной системе счисления (кодировке).
Решение. Шаг 1. Поиск правого конца слова. Он описан в примере 1.6.2. Когда машина
находит первый справа маркер пустой ячейки, она заменяет его на 1 и переходит в состояние
q2.
Шаг 2. В новом состоянии машина ищет начало слова: она последовательно перемещается
влево, не изменяя содержимое ячеек, пока не найдет первый справа маркер пустой ячейки. В
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
17
последнем случае каретка перемещается в ячейку справа, и машина переходит в состояние
q3.
Шаг 3. Состояние предназначено для корректной остановки машины. Независимо от того,
какая буква находится в текущей ячейке, машина из этого состояния переходит в
заключительное состояние q0, не выполняя при этом ни каких других действий.
Заметим, что при корректном вводе входных слов случай, когда каретка в состоянии
q3 обозревает пустую клетку невозможен. Такая конфигурация называется недостижимой. В
ячейках функциональной таблицы, соответствующих недостижимым конфигурациям, можно
записывать любые команды, так как они не влияют на процесс вычисления. Для удобства мы
всегда будем записывать в такие ячейки команды корректной остановки.
q1
q2
q3
1
1q1r
1q2l
1q0s

1q2l
 q3 r
q0s
Пример 1.6.4
Построить МТ, которая корректно вычисляет аннулятор Z(x)=0 в унарной кодировке.
Решение. Неформально машина должна выполнить следующее действие: стереть все буквы,
кроме одной (так как в унарной кодировке нулю соответствует одна палочка). Опишем
алгоритм.
Шаг 1. Первую букву слова оставляем без изменений и переходим к следующей букве
справа.
Шаг 2. Стираем все буквы справа до тех пор, пока не дойдем до пустой ячейки.
Шаг 3. Возвращаемся назад, к первой букве (проходим влево пустые ячейки без изменения,
пока не найдем непустую ячейку).
Шаг 4. Организуем корректную остановку машины.
q1
q2
q3
1
1q2r
q2l
1q0s

q0s
 q3 r
q3l
Как и в предыдущем примере, при корректных начальных условиях невозможен случай
пары:  q1. Поэтому в ячейку таблицы с таким адресом помещена команда корректной
остановки, которая, по сути, никогда не будет выполняться. С целью экономии места и
времени, а так же по другим соображениям, в дальнейшем мы будем оставлять ячейки, в
которых стоит команда корректной остановки, пустыми. Например, приведенная выше
таблица измениться так:
1

q1
q2
1q2r
 q2 r
q3l
q3
q3l
Пример 1.6.5
Построить МТ, реализующую функцию – проектор1 J 21 ( x1 , x2 )  x1 в унарной кодировке.
Решение. Для начала нам потребуется уточнить ряд вопросов, связанных с корректным
видом начальных данных. Мы будем считать, что числа x1 и x2 записаны на ленте в виде двух
последовательностей единиц, разделенных несколькими пустыми ячейками. При этом в
Проекторами называют функции от n переменных, вида J ni ( x1 ,..., xi ,..., xn )  xi . Они
возвращают i-тую координату n-мерного вектора.
1
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
18
начальный момент времени каретка находится в ячейке, соответствующей первой слева
букве первого слова.
При указанных условиях машина должна выполнить следующий процесс: найти
начало второго слова, стереть это слово и вернуться к началу первого слова для корректной
остановки. Опишем шаги алгоритма.
Шаг 1. Поиск конца первого слова (оператор q1).
Шаг 2. Поиск начала второго слова (оператор q2).
Шаг 3. Стирание букв второго слова до тех пор, пока не достигнута первая пустая ячейка за
ним (оператор q3).
Шаг 4. Возвращение с поиском конца первого слова (оператор q4).
Шаг 5. Поиск начала первого слова (оператор q5).
Шаг 6. Корректная остановка работы машины (оператор q6).
q1
q2
q3
q4
q5
1
1q1r
q3r
q3r
1q5l
1q5l

q2r
q2r
q4l
q4l
q6r
q6
Пример 1.6.6
Построить МТ, правильно реализующую вычисление функции следования s( x)  x  1 в
двоичной системе счисления (кодировке).
Решение. Процесс вычисления аналогичен тому, который описан в примере 1.5.4.: к
входному слову слева нужно приписать ноль, затем найти конец слова и инициировать
процесс прибавления единицы по известному правилу. Когда операция прибавления будет
выполнена, машина должна вернуться к началу слова, стереть приписанный ноль, если он не
был использован, и корректно остановиться. Будем считать, что в начальный момент
времени каретка находится в любой ячейке слова.
Шаг 1. Поиск начала слова, приписывание к нему слева нуля.
Шаг 2. Поиск конца слова.
Шаг 3. Процесс прибавления единицы.
Шаг 4. Поиск начала слова.
Шаг 5. Удаление первого нуля, если он есть.
Шаг 6. Корректная остановка.
q1
q2
q3
q4
q5
0
0q1l
0q2r
1q4l
0q4l
q6r
1
1q1l
1q2r
0q3l
1q4l
1q6s

0q2r
q3l
q6
q5r
1.6.4 Операции над машинами Тьюринга
Очевидно, что придумывать для каждой функции новый алгоритм решения – не
самый правильный метод. Более рационален подход, при котором новые алгоритмы
конструируются из уже имеющихся. Для того, чтобы реализовать этот подход, опишем два
метода, с помощью которых можно объединять две машины в одну.
1.6.4.1 Метод первый. Суперпозиция двух МТ
Рассмотрим две машины Тьюринга МТ1 и МТ2, заданные над одним и тем же
внешним алфавитом A, но использующие два разных внутренних алфавита Q и Q’. Запишем
эти таблицы рядом, как показано ниже.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
a1
…
q1
ak1 1ql1 1 st11
МТ 1
…
…
…
aki1 qli1 st i1
…
…
aki1 qli1 st i1
…
19
МТ 2
…
qn
ak1n ql1n st1n
q’1
ak1 1q 'l1 1 st '11
…
akin qlin stin
…
aki1 q 'li1 st 'i1
…
…
akin qlin stin
…
aki1 qli1n st 'i1
…
…
…
akim qlim n st 'im
…
q’m
ak1m q 'l1m st '1m
…
akim q 'lim st 'im
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

Далее перенумеруем внутренние состояния второй Манины, прибавив к их номерам число n
(количество букв внутреннего алфавита первой машины):
q’i = qi+n.
МТ 1
МТ 2
q1
…
qn
q1+n
…
qm+n
ak1m ql1m n st '1m
ak1 1ql1 1 st11
ak1n ql1n st1n ak1 1ql1 1n st '11
…
…
a1
ai
…
an
…
ai
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

Опишем теперь общую идею суперпозиции: В первой части объединенной таблицы имеются
пустые ячейки (они соответствуют командам корректной остановки машины). Эти ячейки
можно использовать для инициализации второй машины после того, как завершила свою
работу первая. Для этого достаточно записать в пустую ячейку первой машины с адресом aiqj
следующую команду: aiq1+ns. Эта команда «запустит» вторую машину, так как q1+n – ее
начальное состояние.
На практике имеет смысл запускать вторую машину не из всех пустых ячеек первой, а
только из определенных. Таким образом, можно задавать суперпозицию двух машин
Тьюринга, накладывая при этом еще и определенные условия.
Рассмотрим пример.
…
an
Пример 1.6.7
Построить
МТ,
которая
в
двоичной
кодировке
вычисляет
следующую
 x  1, если последняя цифра числа x равна 1,
функцию: f ( x)  
 x, если последняя цифра числа x равна 0.
Решение. Данную машину удобно представить в виде суперпозиции двух машин: первая
находит последнюю букву данного числа, а вторая выполняет прибавление 1. Причем вторая
машина запускается только в том случае, когда последняя цифра данного числа равна 1.
Функциональные схемы этих машин приведены ниже.
q1
Хабаровск 2010 г.
0
0q1l
1
1q1l

q2r
q2
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
20
q’1
q’2
q’3
q’4
q’5
0
0q’1l
0q’2r
1q’4l
0q’4l
q’6r
1
1q’1l
1q’2r
0q’3l
1q’4l
1q’6s

0q’2r
q’3l
q’6
q’5r
Объединим эти две таблицы в одну и перенумеруем команды второй машины:
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
0
0q1l
0q3l
0q4r
1q6l
0q6l
q8r
1
1q1l
1q3l
1q4r
0q5l
1q6l
1q8s
q8
0q4r
q5l
q7r
Теперь внесем в таблицу последние изменения, так как прибавлять 1 надо только тогда,
когда последняя цифра числа = 1, то инициализировать вторую машину следует лишь из
ячейки с адресом: 1q2. Запишем в не команду 1q3s.

q2r
q1
0
0q1l
1
1q1l

q2r
q2
1q3s
q3
q4
q5
q6
q7
0q3l
0q4r
1q6l
0q6l
q8r
1q3l
1q4r
0q5l
1q6l
1q8s
0q4r
q5l
q8
q7r
1.6.4.2 Метод второй. Итерация МТ
В некоторых случаях бывает полезно повторно запустить машину для вычислений.
Такой процесс называется итерацией.
Операция итерирования осуществляется по схеме, аналогичной суперпозиции, только
используется одна машина. Как и в предыдущем случае, мы будем рассматривать машину
МТ, которая останавливается в случае, когда соответствующая ячейка функциональной
схемы пуста. Если нам в некоторых случаях (при некоторых условиях) нужно вновь
запустить МТ, то в соответствующую пустую ячейку функциональной таблицы с адресом
aiqj нужно записать команду aiq1s.
Пример 1.6.8
Построить машину Тьюринга, которая увеличивает число на 1, если в его записи есть хотя
бы один ноль, а число, в записи которого использованы только единицы, увеличивает на 2.
Система счисления – двоичная.
Решение. Нужно несколько усовершенствовать машину из примера 1.6.6.,
q1
q2
q3
q4
q5
0
0q1l
0q2r
1q4l
0q4l
q7r
1
1q1l
1q2r
0q3l
1q4l
1q6s
q6
q7
0q2r
q3l
q5r
вычисляющую функцию следования, а именно, добавим еще одно состояние q7, в которое
машина переходит в случае, если приписанный в начале работы к входному слову ноль
приходится стирать. Это означает, что входное слово имеет в своей записи хотя бы один
ноль. В противном случае машина перейдет в состояние q6. Очевидно, что для решения
поставленной задачи нужно из шестого столбца вновь запустить машину.

учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
21
q1
q2
q3
q4
q5
q6
0
0q1l
0q2r
1q4l
0q4l
q7r
0q1s
1
1q1l
1q2r
0q3l
1q4l
1q6s
1q1s

0q2r
q3l
q7
q5r
1.6.5 Операторный язык для синтеза машин Тьюринга
Используя операции итерации и суперпозиции, можно из простых строить более
сложные машины. Рассмотрим, как это делается. Для этого удобно использовать
операторный язык (аналог языка программирования).
Пусть в нашем распоряжении имеется n различных машин Тьюринга (МТi). Далее,
пусть имеется несколько условий. Выделим два типа условий Усл01(МТк) и Усл012(МТк,
МТн).
Условие первого типа работает по правилу: пусть функционирует очередная машина,
пустым ячейкам ее функциональной таблицы приписаны значения 0 или 1 согласно Усл01.
Когда машина остановится в одной из пустых ячеек, то, если значение условия в ней равно 0,
тогда запускается следующая по очереди машина Тьюринга, если же оно равно 1, то
управление передается на машину, имя которой записано в скобках.
Условие второго вида работает аналогично: если оно равно 0, то запускается
следующая по очереди машина Тьюринга, если оно равно 1, то управление передается на
машину, имя которой первой записано в скобках, если оно равно 2, то запускается машина,
имя которой вторым записано в скобках.
Использование условий позволяет выполнять условный переход далее по очереди,
(если вызываемая машина стоит в очереди дальше, чем условие), или задавать циклы (если
вызываемая условием машина уже работала ранее).
Пример 1.6.9
Машина задана на операторном языке последовательностью команд:
МТ1 МТ2 УСЛ01(МТ4) МТ3 МТ4 УСЛ012(МТ1, МТ3) МТ5, описать процесс ее работы.
Решение. Сначала запускается машина МТ1. Затем запускается машина МТ2. После этого
анализируется условие, согласно которому либо запускается машина МТ3, следующая по
очереди, либо управление передается на машину МТ4. В первом случае после выполнения
вычислений машиной МТ3 запускается машина МТ4. Когда отработает машина МТ4,
проверяется условие УСЛ012. Если в текущей ячейке машины МТ4 условие приняло
значение 0, то управление передается на следующую в записи машину, если оно равно 1, то
управление передается машине МТ1, а если значение 2, то машине МТ3.
Процедура передачи управления аналогична той, которая применялась для операций
итерации и суперпозиции: в соответствующую пустую ячейку записывается команда aiqjs,
где ai – текущий символ на ленте машины, а qj – начальное состояние запускаемой из данной
ячейки (в соответствии с условиями) машины.
Альтернативой довольно громоздкому операторному языку для машин Тьюринга
являются два других исчисления, которые будут рассмотрены далее. Это рекурсивные
функции и машины с неограниченным числом регистров.
§ 1.7 Рекурсивное построение вычислимых функций
1.7.1 Базисные функции и операторы
В современной математике и программировании широко используется метод
рекурсии, смысл которого в том, что при вычислении очередных значений некоторого
выражения (функции) используются найденные ранее значения этой функции для
Хабаровск 2010 г.
22
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
предыдущих значений аргументов. Эта идея успешно применяется для построения
исчисления алгоритмов, основанного на некотором метаязыке.
Общая идея такова: выделяются базисные1 функции, определяются операции над
ними, и с помощью этих операций строятся более сложные вычислимые функции.
Базис
 Z(x)=0 – аннулятор, функция, которая равна 0 при всех значениях аргумента;
 S(x)=x+1 – функция следования, которая увеличивает аргумент на единицу;
 J ni ( x1 ,..., xi ,...xn )  xi - функция-проектор, она просматривает набор из n чисел и
выбирает из него (возвращает) число с номером i (таких функций бесконечно много).
Операции
Сначала мы определим только две простых операции: суперпозицию и примитивную
рекурсию.
 Суперпозиция. Если F ( x1 ,..., xi ,...xn ) и g ( y1 ,..., yk ) - вычислимые функции, то их
суперпозиция
F ( x , y )  F ( x1 ,..., g ( y1 ,..., yk ),...xn ) , полученная подстановкой в F
вместо переменной xi – вычисленных значений функции
вычислимая функция.
Рассмотрим примеры суперпозиций.
g ( y1 ,..., yk )
также
Пример 1.7.1
Функция F(x)=S(S(x)) – суперпозиция функции следования, она вычисляет функцию F(x)=x+2.
Пример 1.7.2
Функция Y(x)=S(Z(X)). Легко проверить, что эта функция всегда равна единице.
Из приведенных примеров можно понять, что используя суперпозицию легко реализовать
все константы и прибавление к данному числу любой константы. Однако этого
недостаточно, чтобы организовать сложение или умножение двух различных натуральных
чисел. Для этого мы используем другую операцию.
 Примитивная рекурсия. Пусть f ( x1 ,..., xn ) вычислимая функция от n аргументов, а
g ( x1 ,..., xn2 ) - вычислимая функция от n+2 аргументов. Определим с помощью этих
двух функций новую вычислимую функцию h( x1 ,..., xn1 ) от n+1 аргумента по
следующему правилу:
o h( x1 ,..., xn ,0)  f ( x1 ,..., xn ) ,
o h( x1 ,..., xn , y  1)  g ( x1 ,..., xn , h( x1 ,..., xn , y), y) .
Фактически, указанная операция задает цикл по y, в котором, при фиксированных
значениях первых n переменных вычисляются все значения функции h. Причем каждое
очередное вычисление использует явно или неявно результат, полученный на предыдущем
шаге. Рассмотрим примеры использования примитивной рекурсии.
Пример 1.7.3
Построить рекурсивную функцию, вычисляющую сумму двух чисел: sum(x,y).
Решение. Нетрудно заметить, что x+(y+1)=(x+y)+1, и x+0=x. Поэтому сложение задается
формулами:
o sum(x,0)= I11 ( x) ,- это число x,
o sum(x,(y+1))=S(sum(x,y)) - предыдущий результат увеличивается на единицу.
Обратите внимание на то, что роль функции g в данном примере играет функция S(x),
которая явно зависит только от одной переменной, хотя по определению она должна
зависеть от трех переменных.
1
Это должны быть простейшие вычислимые функции.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
23
Пример 1.7.4
Построить рекурсивную функцию, вычисляющую произведение двух чисел: mult(x,y).
Решение. Так как x∙0=0, x∙(y+1)=x∙y+x, то
o mult(x,0)=Z(x),
o mult(x,y+1)=sum(mult(x,y),y).
Замечание 1. Построенные с помощью суперпозиции и примитивной рекурсии функции в
дальнейшем сами могут быть использованы при построении более сложных функций.
Замечание 2. Так как базисные функции тотальные – то есть определены для любых
натуральных значений аргументов, то и полученные из них рекурсией и суперпозицией
функции также тотальны.
Из этого вытекает, что для построения таких простых частичных функций как,
например корень квадратный, указанных операций недостаточно. Эта проблема решается с
помощью еще одной операции – операции минимизации.
Чтобы понять суть этой операции, вспомним, какой алгоритм был предложен для
вычисления квадратного корня: мы по очереди возводили в квадрат все натуральные числа и
сравнивали их с текущим значением аргумента. Первое число, квадрат которого оказывался
равным аргументу, и являлось искомым корнем. Если же корня не существовало, то
алгоритм работал вечно.
Именно в этом и состоит суть операции минимизации. Перебираются поочередно в
порядке возрастания все значения некоторой переменной y, пока впервые не будет
выполняться некоторое условие. Первое значение (наименьшее из возможных, поэтому и
термин минимизация) и есть искомое значение некоторой функции. Дадим формальное
определение.
 Операция минимизации. Пусть f ( x1 ,..., xn , y) и g ( x1 ,..., xn , y ) - две вычислимых функции
от n+1 аргумента. Определим функцию h( x1 ,..., xn )   y ( f , g ) по следующему правилу:
при фиксированных значениях переменных x1,…,xn она равна наименьшему значению y,
при котором f ( x1 ,..., xn , y)  g ( x1 ,..., xn , y) , а если это равенство не выполняется ни при
каком y, то h на данном наборе аргументов x1,…,xn не определена.
Пример 11. Функция извлечения квадратного корня (определена, если x – полный квадрат).
Пусть f(x,y)=x, g(x,y)=y2. Тогда sqrt(x)=y(f,g).
Задачи. С помощью операторов подстановки, примитивной рекурсии и минимизации
постройте следующие функции:
 x  y, если x  y,
1. Частичную разность x  y  
 0, если x  y.
1, если x  y,
2. Знак разности sign ( x  y )  
0, если x  y.
3. Факториал x! 1 2  ...  ( x  1)  x.
4. Степенную функцию x n .
5. Показательную функцию y x .
6. Характеристическую функцию множества простых чисел: она равна 1, если x - простое
число и 0 в противном случае.
7. Функцию, равную 1, если числа x и y взаимно просты (общий делитель равен единице) и
0 в противном случае.
8. Функцию, вычисляющую остаток от деления x на y.
9. Функцию, вычисляющую неполное частное1 при делении x на y.
Неполное частное и остаток при делении x на y определяются так: если x=ky+r, где r<y, то k – частное, а r –
остаток.
1
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
24
Монина Мария Дмитриевна, преподаватель ДВГГУ
Классические идеи решения нестандартных задач
Тема 1. Элементы теории делимости целых чисел
Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности, произведения и частного
Везде далее будем рассматривать только целые числа.
Определение. Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с,
что
а = b∙c. При этом число c называется частным от деления а на b.
Обозначения: ab - а делится на b или ba – b делит a.
Рассмотрим простейшие свойства делимости.
Для любых целых чисел a, b, c справедливы:
Теорема. Если ab и с – частное от деления, то с – единственное.
Теорема. а а
Теорема. Если ab и b c , то a c .
Теорема. Если ab и b a , то или a=b, или a= -b.
Теорема. Если ab и b  a , то а=0.
Теорема. Если ab и а0, то a  b .
Теорема. Для того чтобы ab необходимо и достаточно чтобы a  b .
Замечание. На основании теоремы в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением
случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных
целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.
Теорема. Если a1 b, a2 b,...an b , то a1  a2   an b .
Теорема. Если сумма чисел и к-1 слагаемое этой суммы делится на некоторое число с, то и
к-ое слагаемое делится на с.
Простые и составные числа. Основная теорема арифметики
В соответствии с замечанием предыдущего пункта будем рассматривать целые
положительные числа.
Определение. Целое положительное число р 1 называется простым, если оно имеет ровно
два положительных делителя: 1 и р.
Определение. Целое положительное число m  1 называется составным, если оно имеет по
крайней мере один положительный делитель отличный от 1 и m.
Пример 1.
1) 3 имеет ровно 2 делителя: 1 и 3, по определению оно простое.
2) 4 имеет своими делителями 1, 4 и 2, по определению число 4 – составное.
Замечание. В соответствии с вышеизложенными определениями все множество целых
положительных чисел можно разбить на три подмножества:
- простые числа
- составные числа
- 1.
Замечание. Существует единственное простое четное число – 2. Все остальные четные
числа являются составными.
Перечислим свойства простых чисел.
Теорема. Если р и р1 – простые числа и р  р1, то р не делится на р1 .
Теорема. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по
меньшей мере один из сомножителей делится на р.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
25
Теорема. (основная теорема арифметики). Всякое целое положительное число, отличное от
единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и при
том единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей).
Таким образом, если m – целое положительное число, а р1, р2, …рк- простые, то
m = p1  p 2    p k .
Если среди чисел р1, р2, …, рк есть одинаковые, то
m = p11  p 2 2   p k k - каноническое представление целого числа.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное и способы их нахождения.
Взаимно-простые числа. Теорема о делении с остатком. Еще один способ нахождения
НОД
Определение. Общим делителем целых чисел a1, a2,…, an называется любое целое число d,
такое что dа1, dа2,…, dаn.
Пример 2. Числа 30, 165,45 имеют общими делителями числа 3, -3, 15, -15.
Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел a1, a2,…, an называется
такой их положительный общий делитель, который делится на любой другой общий
делитель этих чисел.
Обозначение: если d есть НОД чисел a1, a2,…, an , то это записывается следующим образом:
(a1, a2,…, an ) = d
Таким образом, из определения 5.2., если (a1, a2,…, an ) = d, то
1) d 0,
2) dа1, dа2,…, dаn,
3) если существует целое число k, такое что ka1, ka2,…, kan, то kd.
Рассмотрим основные свойства НОД целых чисел.
Теорема. 1) Для любых целых чисел a1, a2,…, an , из которых хотя бы одно отлично от
нуля, существует НОД.




2) Если a1  p1 1    p s s ,..., an  p1 1    p s s , где р1, …, рs – различные простые числа,
то (a1, a2,…, an ) = p1min(1 ,...,  1 )   p smin(1 ,...,  s ) .
Замечание. Из предыдущей теоремы следует способ нахождения НОД целых чисел, а
именно: 1) разложить каждое число на простые множители, записав разложение в
каноническом виде; 2) найти произведение минимальных степеней простых множителей,
входящих в разложения.
Пример 3. Найти НОД чисел 5775, 15246, 399.
1) Разложим числа на простые множители
5775  3  5 2  7  11 15246  2  3 2  7  112
399  3  7 19
2) Найдем произведение минимальных степеней простых чисел, входящих в разложения.
d  2 0  31  5 0  7  110  19 0  3  7  27 , таким образом (5775,15246,399)  27)
a
a
d
Теорема. Если (a1, a2,…, an ) = d, bd и b0, то ( 1 ,..., n )  .
b
b
b
Теорема. (a1,…, an-1, an) = ((a1,…, an-1), an).
НОД n чисел (n 3) можно найти, найдя сначала НОД n-1 чисел, и взяв затем НОД от
полученного таким образом числа d= (a1,…, an) и последнего числа an.
Определение. Пусть a1, a2,…, an – отличные от нуля целые числа. Наименьшим общим
кратным (НОК) называют наименьшее положительное число, делящееся на все эти числа.
Обозначение: m  [a1 ,..., a n ]
Таким образом, если m  [a1 ,..., a n ] , то
1)
m  0,
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
26
2)
3)
Теорема.
a1 m,..., a2 m ,
если M  0 и a1 M ,...an M , то m  M .
Если a1  p 1    p  s , , a n  p  1    p  s - каноническое разложение чисел a1,
a2,…, an на простые множители, то m  [a1 ,..., a n ] = p1max( 1 ,, 1 )   p smax(  n ,, n )
ab
Теорема. Пусть a  0, b  0 - целые, (a, b)  d , [a, b]  m , тогда m 
.
d
Определение. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД этих чисел равен 1.
Теорема. Если a и p – целые числа, причем p-простое, то либо a p , либо числа a и p
взаимно просты.
Теорема. НОК двух взаимно простых чисел равно их произведению.
Теорема. Для того чтобы a делилось на взаимно простые числа b и c, необходимо и
достаточно, чтобы оно делилось на их произведение.
Теорема. Если a  b  c , причем (a, b)  1 , то ab .
Основную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком.
Теорема. Для любого целого а и целого b  0 существуют и единственные целые q и r,
такие что a  b  q  r ,0  r  b .
Замечание. В частности, если r  0 , то a  b  q и a делится на b .
Замечание. Если a  b  q  r ,0  r  b то q называется неполным частным, а r – остатком от
деления a на b.
При фиксированном целом m>0 любое целое число а можно представить в одном из
следующих видов:
a  mq
a  m  q1  1
a  m  q2  2

a  m  q m 1  (m  1)
При этом если a  m, то будем иметь
a  m  0  a , если a  0 и
a  m  (1)  (m  a ) , если a  0 .
Пример 4.
1. Любое целое число можно представить в виде a  2  k или
a  2  k  1.
2. Любое целое число можно представить в виде a  3  k или a  3  k  1 или
a  3 k  2 .
Теорема. Пусть a и b – два целых числа, b  0 и a  bq  r ,
0  r  b тогда (a, b)  (b, r ) .
Этот способ называется алгоритмом Евклида. Задача нахождения НОД чисел a и b
сводится к более простой задаче нахождения НОД b и r, 0  r  b . Если r = 0, то (a, b)  b .
Если же r  0 , то рассуждения повторяем, отправляясь от b и r. В результате получаем
цепочку равенств:
a  bq0  r0 ,
0  r0  b ,
b  r0 q1  r1 ,
r0  r1q2  r2 ,
…………..
rn2  rn1qn  rn ,
0  r1  b ,
0  r2  b ,
………..
0  rn  b ,
……………………(**)
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
27
rn1  rn q n1  rn1 .
Мы получим убывающую последовательность натуральных чисел
r1  r2    rn    0
которая не может быть бесконечной. Поэтому существует остаток, равный нулю: пусть
rn1  0, rn  0 . На основании теоремы из (**) следует, что (a, b)  rn .
Тема 2. Доказательство от противного
Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого
получим противоречие, то исходное утверждение верно».
Пример 1. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
Решение. Предположим противное, пусть p1, p2, . . . ,pn – все простые числа. Рассмотрим
число N = p1p2 ∙…∙ pn+1. Оно не делится ни на одно из чисел p1, p2,…, pn, иными словами, ни
на одно простое число. Получаем противоречие с тем, что любое число имеет хотя бы один
простой делитель.
Пример 2. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли
грибов поровну.
Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по
возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не меньше
одного, третий – не меньше двух, четвёртый – не меньше трёх, пятый – не меньше четырёх.
Всего – не меньше десяти. Противоречие.
Пример 3. Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру
примыкает тупой угол одной из граней.
Решение. Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике против
тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное
ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.
Замечание. Вместе с рассуждением от противного мы использовали «Метод крайнего».
Тема 3. Чётность
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет
определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет
другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать,
например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары,
заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета. Чётность в играх – это
возможность сохранить чётность некоторой величины при своем ходе.
Пример 1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м).
Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо
равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
Пример 2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое
звено ровно один раз?
Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары.
Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.
Пример 3. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за
руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное
число рук, чётно.
Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным – нечётными.
Поскольку руки образуют пары, то общее число рук чётно. Общее число рук у чётных
Хабаровск 2010 г.
28
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже чётно. Следовательно,
число нечётных марсиан чётно.
Тема 4. Обратный ход
Если в задаче задана некоторая операция, и эта операция обратима, то можно сделать
«обратный ход» от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести
шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли.) Анализ с конца используется в играх при поиске
выигрышных и проигрышных ситуаций.
Пример 1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на
двадцатый день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина
озера?
Решение. Начнем с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько
дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.
Ответ: за 19 дней.
Пример 2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько
фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И
наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В
результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?
Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков, а перед этим у Пети и
Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было по 20, а у Толи –80. А перед этим у
Пети и Толи было вдвое меньше, т. е. у Пети было 10, у Толи – 40, у Вани –70. И наконец,
возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернем Пете.
Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.
Тема 5. Графы
Во многих ситуациях удобно изображать объекты точками, а связи между ними –
линиями или стрелками. Такой способ представления называется графом. Например, схема
метро – это граф. Точки называют вершинами графа, а линии – ребрами.
Вершину называют чётной, если из неё выходит чётное число рёбер и нечётной в
противном случае. Граф называют связным, если между любыми вершинами существует
путь, состоящий из рёбер графа, ориентированным – если на каждом ребре указано
направление, плоским – если он нарисован на плоскости и его ребра не пересекаются (во
внутренних точках).
При решении многих олимпиадных задач используются следующие утверждения,
относящиеся к обходу рёбер графа:
1) если в графе больше двух нечётных вершин, то его правильный обход (т. е. обход, при
котором каждое ребро проходится ровно один раз) невозможен;
2) для всякого чётного связного графа существует правильный обход, который можно
начать с любой вершины и который обязательно кончается в той же вершине, с которой
начался;
3) если в связном графе ровно две нечётные вершины, то существует правильный обход,
причём в одной из них он начинается, а в другой – кончается;
4) в любом графе количество нечётных вершин чётно.
Пример 1. В углах шахматной доски 3×3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и два
чёрных. Можно ли за несколько ходов (по шахматным правилам) поставить коней так, чтобы
во всех соседних углах стояли кони разного цвета?
Решение. Отметим центры клеток доски и соединим отрезками пары отмеченных точек, если
из одной в другую можно пройти ходом коня. Мы получим граф, содержащий «цикл» из
восьми точек и одну изолированную точку. Перемещение коней по доске соответствует
движению по ребрам этого цикла. Ясно, что при движении по циклу нельзя изменить
порядок следования коней.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
29
Пример 2. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух
соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.
Решение. Напишем цифры на листе. Соединим стрелками те цифры, которые могут
следовать друг за другом. Теперь ясно, что первой идёт 7, затем 8 и 4. Уберём «лишние»
стрелки, ведущие в уже использованные цифры 8 и 4 . Если из 4 пойти в 2, то несложным
перебором убедимся, что этот путь тупиковый. Значит, после 4 идёт 9. Дальше идёт 1, и
остаток пути определяется однозначно.
Ответ: 784913526.
Пример 3. В стране Радонежии некоторые города связаны между собой авиалиниями. Из
столицы выходит 1985 авиалиний, из города Дальнего – одна, а из остальных городов – по
20 линий. Докажите, что из столицы можно добраться до Дальнего (быть может, с
пересадками).
Решение. Рассмотрим множество городов, до которых можно добраться из столицы. Это
граф: его вершины – города, ребра – авиалинии, их соединяющие. Из каждой вершины
графа выходит столько рёбер, сколько всего авиалиний выходит из соответствующего
города. Граф содержит нечётную вершину – столицу. Поскольку число нечётных вершин в
графе чётно, в нем есть ещё одна нечётная вершина. Этой вершиной может быть только
город Дальний.
Тема 6. Инварианты
Инвариант – величина, которая не изменяется в результате некоторых операций
(например, разрезание и перестановка частей фигур не меняет суммарной площади). Если
инвариант различает два положения, то от одного нельзя
перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться чётность или раскраска.
В задачах про сумму цифр используются остатки от деления на 3 или 9.
Полуинвариант − величина, изменяющаяся только в одну сторону (т. е. которая может
только увеличиваться или только уменьшаться). Понятие полуинварианта часто
используется при доказательствах остановки процессов.
Пример 1. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё
два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если
сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой
это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?
Решение. Чётность числа бананов не меняется, поэтому, если число бананов было чётным, то
оставшийся плод − ананас, если число бананов было нечётным, то − банан.
Пример 2. В одной клетке квадратной таблицы 4× 4 стоит знак минус, а в остальных стоят
плюсы. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной
строке или в одном столбце. Докажите, что, сколько бы мы ни проводили таких перемен
знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.
Решение. Заменим знак «+» на число 1 и знак «−» на число −1. Заметим, что произведение
всех чисел в таблице не меняется при смене знака у всех чисел столбца или строки. В
начальном положении это произведение равно −1, а в таблице из одних плюсов +1, чем и
доказана невозможность перехода.
Пример 3. На прямой стоят две фишки: слева красная, справа синяя. Разрешается
производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между
фишками или с краю) и удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет
других фишек). Можно ли с помощью таких операций оставить на прямой ровно две фишки:
слева синюю, а справа красную?
Решение. Рассмотрим число разноцветных пар (не только соседних), где левая фишка
красная, и заметим, что чётность этого показателя не меняется. Но в исходной ситуации наш
Хабаровск 2010 г.
30
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
показатель равен 1, а в желаемой ситуации |нулю. Поэтому перейти к желаемой ситуации
невозможно.
Тема 7. Метод крайнего
Особые, крайние объекты часто служат «краеугольным камнем» решения. Так, например,
рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, угловую точку, вырожденную
окружность, предельный случай. Поэтому полезно сразу рассматривать особые, крайние
объекты.
В задачах на метод крайнего работает метод минимального контрпримера: допустим,
утверждение задачи неверно. Тогда существует минимальный в некотором смысле
контрпример. И если окажется, что его можно ещё уменьшить, то получится искомое
противоречие.
Пример 1. Плоскость разрезана вдоль N прямых общего положения. Докажите, что к каждой
прямой примыкает треугольник.
Решение. Выберем прямую и рассмотрим точки пересечения других прямых между собой.
Среди этих точек пересечения выберем ближайшую к нашей прямой. Две прямые,
проходящие через эту точку, пересекают исходную прямую и образуют с ней треугольник.
Этот треугольник не могут пересекать другие прямые (подумайте, почему).
Пример 2. В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое число
равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что все числа равны.
Решение. Рассмотрим наибольшее из чисел. Оно равно своим соседям. Поскольку любые два
числа соединяются цепочкой соседних чисел, все числа равны.
Тема 8. Принцип Дирихле
В простейшем виде его выражают так: «Если десять кроликов сидят в девяти ящиках, то в
некотором ящике сидят не меньше двух».
Общая формулировка: «Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдётся ящик, в котором
сидят не меньше чем n/k кроликов, и найдётся ящик, в котором сидят не больше чем n/k
кроликов». Пусть вас не смущает дробное число кроликов − получается, что в ящике не
меньше 10/9 кроликов, значит, не меньше двух.
Доказательство принципа Дирихле простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие
рассуждения часто встречаются.
Допустим, что в каждом ящике сидят меньше чем n/k кроликов. Тогда во всех ящиках
вместе кроликов меньше чем n/k ∙ k = n. Противоречие.
Принцип Дирихле кажется очевидным, однако, чтобы его применить, бывает не просто
догадаться, что считать кроликами, а что − ящиками.
Зная принцип Дирихле, можно догадаться, в каких случаях его применять. Например, если
каждому элементу множества A соответствует ровно один элемент множества B, то
элементы A можно назвать кроликами, а элементы B − ящиками.
Принцип Дирихле бывает непрерывным: «Если n кроликов съели m кг травы, то какой-то
кролик съел не меньше m/n кг и какой-то съел не больше m/n кг» (а если кто-то съел больше
среднего, то кто-то съел меньше среднего).
Заметим, что в последней формулировке кролики играют роль ящиков для травы, а трава
− роль кроликов, сидящих в ящиках.
Пример 1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день
года.
Решение. Всего в году бывает 366 дней. Назовём дни ящиками, а учеников − кроликами.
Тогда в некотором ящике сидят не меньше 400/366 кроликов, т. е. больше одного.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
31
Следовательно, не меньше двух.
Можно рассуждать от противного. Допустим, что каждый день отмечают день рождения
не больше одного ученика, тогда всего учеников не больше 366. Противоречие.
Пример 2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит
чудесный квадрат 6× 6 из чисел +1, −1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по
большим диагоналям были различны. Помогите Буратино.
Решение. Допустим, что квадрат составлен. Тогда суммы чисел могут меняться в пределах от
−6 до +6. Всего 13 значений. Строк в квадрате 6, столбцов 6, диагоналей 2. Получаем 14
различных сумм. Противоречие, значит составить такой квадрат невозможно.
Пример 3. На Земле океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что
в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.
Решение. Отразим океан симметрично относительно центра Земли. Поскольку сумма
площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности, то существует точка,
принадлежащая океану и его образу. Возьмём эту точку вместе с противоположной к ней.
Пример 4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные
работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что
найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?
Решение. Рассмотрим множество наборов из трёх оценок за соответствующие контрольные.
Количество таких наборов равно 43 или 64 (4 возможности за каждую из трёх контрольных).
Поскольку число учащихся больше 64, по принципу Дирихле каким-то двум учащимся
соответствует один набор оценок.
Тема 9. Раскраски
Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан
определённый цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например, для шахматной
доски, бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают
задачи, где раскраска используется как идея решения.
Пример 1. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите,
что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток
Решение. Каждая фигура «домино» содержит одну белую и одну чёрную клетку. Но в нашей
фигуре 32 чёрных и 30 белых клеток (или наоборот).
Пример 2. Можно ли все клетки доски 9 × 9 обойти конем по одному разу и вернуться в
исходную клетку?
Решение. Каждым ходом конь меняет цвет клетки, поэтому, если существует обход, то число
чёрных клеток равно числу белых, что неверно.
Пример 3. Дан куб 6 × 6 × 6. Найдите максимально возможное число параллелепипедов 4× 1
× 1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без
пересечений.
Идея решения. Легко поместить 52 параллелепипеда внутрь куба. Докажем, что нельзя
больше. Разобьем куб на 27 кубиков 2× 2 × 2. Раскрасим их в шахматном порядке. При этом
образуется 104 клетки одного цвета (белого) и 112 другого (чёрного). Осталось заметить, что
каждый параллелепипед содержит две чёрных и две белых клетки.
Ответ: 52.
Пример 4. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного
цвета, расстояние между которыми равно 1.
Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1. По принципу Дирихле по
крайней мере две из его трёх вершин должны быть покрашены в один цвет.
Хабаровск 2010 г.
32
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
Тема 10. Игры
Под понятием математической игры мы понимаем игру двух соперников, обладающую
следующим свойством. В каждый момент игры состояние характеризуется позицией,
которая может изменяться только в зависимости от ходов игроков. Для каждого из игроков
некоторые позиции объявляются выигрышными. Добиться выигрышной для себя позиции и
есть цель каждого. Иногда игры допускают ничью. Это означает, что ни один из игроков не
может добиться выигрышной для него позиции, или некоторые позиции объявлены
ничейными. Например, шахматы, шашки, крестики{нолики являются математическими
играми. А игры в кости, домино, большинство карточных игр математическими играми не
являются, так как состояние игры зависит не только от ходов соперника, но и от расклада
или результата бросания кости.
В математических играх существуют понятия выигрышной стратегии, т. е. набора правил
(можно сказать, инструкции или алгоритма), следуя которым, один из игроков обязательно
выиграет (не зависимо от того, как играет его соперник), и ничейной стратегии, следуя
которой один из игроков обязательно добьётся либо выигрыша, либо ничьей.
В любой математической игре существует либо выигрышная стратегия для одного из
игроков, либо ничейные стратегии для обоих (если игра допускает ничью). В зависимости от
этого игра называется выигрышной для первого или второго игрока, или ничейной.
Например, крестики-нолики (на доске 3 × 3) являются ничейной игрой. К какому из
перечисленных случаев относятся шахматы и шашки неизвестно. Хотя стратегия (либо
выигрышная, либо ничейная) в этих играх существует, она не найдена, поэтому
соревнования по этим играм пока представляют интерес.
Соответствие. Наличие удачного ответного хода (может обеспечиваться симметрией,
разбиением на пары, дополнением числа).
Решение с конца. Последовательно определяются позиции, выигрышные и проигрышные
для начинающего. Очередная позиция являются выигрышной, если из неё можно получить
ранее определённую проигрышную позицию, и является проигрышной, если любой ход из
неё ведёт к попаданию в ранее определённую выигрышную позицию.
Передача хода. Если мы можем воспользоваться стратегией противника, то наши дела не
хуже чем у него. Например, выигрыш (или ничья) обеспечивается, когда можно по своему
желанию попасть в некоторую позицию либо заставить противника попасть в неё.
Пример 1. Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет
положить очередной пятак. Кто выигрывает?
Решение. Выигрывает первый. Он кладёт пятак в центр стола, после чего на любой ход
второго у первого всегда есть симметричный ответ.
Пример 2. В куче 25 камней. Игроки берут по очереди 2, 4 и 7 камней. Проигрывает тот, у
кого нет хода. Кто победит?
Идея решения. Случаи 0 и 1 камня проигрышны для начинающего. Поэтому случаи 2, 3, 4, 5,
7, 8 камней для начинающего выигрышны: своим ходом он переводит игру в позицию,
проигрышную для противника. Аналогично, 6 и 9 камней проигрышны для начинающего,
поскольку из них можно перейти только в позицию, выигрышную для противника.
Рассуждая аналогично, легко установить периодичность выигрышных и проигрышных
позиций и получить ответ.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
33
Шмарин Сергей Владимирович, преподаватель ПГГПУ
ОЛИМПИАДНЫЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Данный курс содержит некоторые важные планиметрические вопросы,
которые пригождаются при решении планиметрических олимпиадных задач.
1. ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
Хабаровск 2010 г.
34
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
1.4 Секущие к окружности Секущей называется прямая, пересекающая
прямую в двух точках.
Хабаровск 2010 г.
35
36
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
1.9. В окружности с центром O проведены два перпендикулярных диаметра AB
и CD. Точка E —середина радиуса OA. На луче EB отложен отрезок EK,
равный отрезку CE. Докажите, что отрезок KC равен стороне правильного
пятиугольника, вписанного в данную окружность.
1.10. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и
касающуюся заданной прямой.
1.11. Постройте прямую, параллельную основаниям трапеции, которая делит
эту трапецию на две подобные трапеции.
1.12. Постройте квадрат, одна сторона которого служит хордой данной
окружности, а противоположная ей сторона принадлежит касательной к этой
окружности. Найдите отношение стороны квадрата к радиусу окружности.
1.13. В прямоугольном треугольнике ABC опущена высота CD на гипотенузу
AB. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны r1 и
r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
1.14. В треугольнике ABC проведена высота BK и медиана BM, причем AM =
BM. Найдите косинус угла KBM, если AB = 1, BC = 2.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
37
2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Расстояние между центрами O и I описанной и вписанной окружностей и
радиусы R и r этих окружностей связаны замечательной формулой:
называемой формулой Эй л е р а. Вот доказательство этой формулы.
Доказательство. 1. Пусть биссектриса угла C треугольника ABC пересекает
описанную около него окружность в точке D (рис. 34). Проведем диаметр DP
этой окружности и перпендикуляр IK из центра I вписанной окружности на
сторону AC. Тогда IK = r, DP = 2R. Пусть прямая OI пересекает окружность в
точках M и N. По теореме о секущих (п. 2.5) CI · ID = IM · IN = (R + d)(R − d) =
R2− d2 , где d = OI. Это же произведение CI · ID вычислим иначе. Из подобия
прямоугольных треугольников PAD и CKI (по равным острым углам при
вершинах P и C) имеем CI/2R = r/AD. Но AD =ID Поэтому CI · ID = 2Rr.
Следовательно, R2 − d2 = 2Rr.
Окружность девяти точек
Хабаровск 2010 г.
38
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
39
3. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
3.1 Критерии вписанного четырехугольника
Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать
окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных
углов была равна 180◦ (т. е. суммы его противоположных углов были равны).
Н е о б х о д и м о с т ь этого условия очевидна: сумма углов A и C вписанного
четырехугольника ABCD измеряется полусуммой дуг BCD и BAD,
составляющих полную окружность, и потому равна 180о
3.1 Критерии описанного четырехугольника
Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать
окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов
пересекались в одной точке.
Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами.
Хабаровск 2010 г.
40
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
Еще критерии описанности четырехугольника:
Теорема. Пусть BD —внешняя диагональ невыпуклого четырехугольника
ABCD и его противоположные стороны пересекаются в точках B1 и D1. Для
того, чтобы в четырехугольник A B1C D1 можно было вписать окружность,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
1) суммы противоположных сторон четырехугольника ABCD равны
2) B B1 + D B1 = D D1 + B D1
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
41
.
Хабаровск 2010 г.
42
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
43
Задачи
3.1. Дан четырехугольник ABCD, отличный от трапеции и параллелограмма. Через вершины
A и C проведены прямые, параллельные соответственно CD и AB и пересекающие прямые
BC и AD соответственно в точках B1 и D1. Если четырехугольник ABCD является
описанным, то и четырехугольник AB1CD1 описанный. Если же четырехугольник ABCD является вписанным, то вписанным будет и четырехугольник AB1CD1.
3.2. В четырехугольнике ABCD сумма углов BAC и ACD равна сумме углов BCA и CAD и
равна 90◦. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.
3.3. Около окружности описана равнобочная трапеция. Докажитечто ее высота есть среднее
геометрическое оснований.
3.4. Докажите, что в описанном четырехугольнике равны суммыуглов, под которыми видны
из центра вписанной окружности противоположные стороны.
3.5. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности,
вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются.
3.6. Каждая из четырех окружностей внешне касается двух других. Докажите, что точки
касания лежат на одной окружности.
3.7. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках D и E.
Докажите, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов B и C лежат на одной
окружности с точками B и C.
3.8. Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого
четырехугольника, перпендикулярны. Докажите, что около этого четырехугольника можно
описать окружность.
3.9. В треугольник ABC вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная
стороне AB. Найдите длину отрезка, отсекаемого на этой касательной сторонами
треугольника, если известны длины a, b, c сторон данного треугольника.
3.10. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать
окружность, равна произведению ее оснований.
3.11. Докажите, что площадь равнобочной трапеции, в которую можно вписать окружность,
равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.
3.12. Докажите, что квадраты расстояний центра окружности, вписанной в четырехугольник,
до двух его противоположных вершин относятся как произведения сторон, сходящихся в
этих вершинах.
3.13. В окружность вписан четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Основания
перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются
вершинами второго четырехугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность и
около него можно описать окружность.
3.14. Из основания каждой высоты треугольника опущены перпендикуляры на две другие
его стороны. Докажите, что основания всех шести перпендикуляров лежат на одной
окружности.
3.15. Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что
ортогональные проекции точки их пересечения на стороны лежат на одной окружности.
Докажите обратное утверждение.
3.16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что в четырехугольник,
вершинами которого служат ортогональные проекции точки пересечения диагоналей на
стороны, можно вписать окружность.
3.17. Четырехугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что
точки касания вписанной окружности делят противоположные стороны четырехугольника в
равных отношениях.
3.18. Четырехугольник вписан в окружность и описан около окружности. Докажите, что
прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, перпендикулярны.
Хабаровск 2010 г.
44
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
4 Классические теоремы о коллинеарности трех точек
Из теоремы Менелая следует, что
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
Хабаровск 2010 г.
45
46
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
Хабаровск 2010 г.
47
48
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
Упражнения
4.1. Биссектрисы двух внутренних углов треугольника и биссектриса внешнего
угла, не смежного с ними, пересекают прямые, содержащие соответственные
стороны треугольника в трех коллинеарных точках. Докажите.
4.2. Докажите, что биссектрисы внешних углов неравнобедренного
треугольника пересекают прямые, содержащие противоположные стороны, в
трех точках одной прямой.
4.3. Прямая пересекает прямые BC, CA, AB, содержащие стороны треугольника
ABC, соответственно в точках A1, B1, C1. Точки A2, B2, C2 симметричны точкам
A1, B1, C1 соответственно относительно середин сторон BC, CA, AB. Докажите,
что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой (прямые A1B1C1 и A2B2C2
называются изотомически сопряженными относительно треугольника ABC).
4.4. Докажите теорему Симсона (§8), пользуясь теоремой Менелая.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
49
4.5. Докажите, что середина высоты треугольника, центр вписанной в него
окружности и точка касания стороны, на которую опущена высота, с
соответствующей вневписанной окружностью лежат на одной прямой.
4.6. Серединные перпендикуляры к биссектрисам треугольника пересекают
прямые, содержащие его соответственные стороны, в точках, лежащих на
прямой. Докажите.
4.7. Вычислите отношения (4.3) и (4.9), пользуясь теоремой Менелая.
4.8. Докажите, что во вписанном шестиугольнике AB1CA1BC1 диагонали AC и
A1B1, BB1 и CC1, AB и A1C1 пересекаются в точках одной прямой.
4.9. Если A, B, C —три произвольные точки одной прямой и A1,B1, C1 —три
произвольные точки другой прямой, M = (AB1) ∩ (A1B), N =(AC1)∩(A1C),
P =(BC1)∩(B1C), то точки M, N, P лежат на одной прямой (теорема П а п п а).
4.10. Докажите, что прямые, соединяющие основания чевиан точки P в
треугольнике, пересекают его соответственные стороны (прямые) в трех
коллинеарных точках.
4.11. Теорема Брианшона. В описанном четырехугольнике прямые,
соединяющие точки касания противоположных сторон, проходят через точку
пересечения его диагоналей.
4.12. В описанном четырехугольнике ABCD прямые AA1 и CC1, соединяющие
две противоположные вершины A и C с точками A1 и C1 касания сторон BC и
AB, пересекаются на диагонали BD.
4.13. Середина основания трапеции соединена с вершинами другого основания.
Эти прямые пересекают диагонали трапеции в точках Pи Q. Докажите, что
прямая PQ параллельна основаниям и ее отрезок, заключенный между
боковыми сторонами трапеции, делится точками P и Q на три равные части.
4.14. Даны две параллельные прямые и не принадлежащая им точка. Пользуясь
только одной линейкой (без циркуля), проведите через данную точку прямую,
параллельную данным прямым.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1.
Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O
описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите,
что BAH = OAC.
2.
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены
перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK
на отрезок PQ. Докажите, что PAK = MAQ.
3.
В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что
если CAA1 = CBB1, то AC = BC.
4.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности
проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C.
Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.
5.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена
касательная AB к окружности S1, а через точку P- прямая CD, параллельная AB
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
50
(точки B и C лежат на S2, точка D- на S1). Докажите, что ABCD- параллелограмм.
6.
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает
прямую BC в точке E; AD- биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.
7.
В треугольнике ABC угол B равен 60°, биссектрисы AD и CE пересекаются в
точке O. Докажите, что OD = OE.
8.
На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке. M- середина дуги AB.
Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите,
что KECD- вписанный четырехугольник.
9.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в
точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной
окружности треугольника APB.
10.
На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке; A1,B1,C1 и D1- середины
дуг AB,BC,CD и DA соответственно. Докажите, что A1C1B1D1
Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка
11. MN, концы которого делят стороны AB и CD в отношении
AM : MB = DN : NC = p : q.
12.
На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает
прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что AK2 = LK · KM.
13.
Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b.
Вычислите радиус его описанной окружности.
На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок
14. MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите
длину MN, если BC = a и AD = b.
15.
Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам
треугольника площади S, равна 3S / 4.
16.
Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон
выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь
17. равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных
сторон.
Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B- точки касания).
Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в
18.
точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей
касательной.
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а
19. вневписанная- в точке L. Докажите, что CK = BL = (a + b – c)/2, где a,b,c- длины
сторон треугольника.
20. Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекающихся окружностей,
проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
51
Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный.
Точки
A1
и B1
делят
стороны BC
и AC
треугольника ABC
21. в отношениях BA1 : A1C = 1 : p и AB1 : B1C = 1 : q. В каком отношении отрезок AA1
делится отрезком BB1?
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Через точку P медианы CC1 треугольника ABC проведены прямые AA1 и BB1 (точки
A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA). Докажите, что A1B1AB.
В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла.
Докажите, что AD : DC = AB : BC.
Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит
биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + с) : a, где a, b, c — длины сторон
треугольника.
Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1, и C1 — на другой. Докажите,
что если AB1BA1 и AC1CA1, то BC1CB1.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Из точки A к этим окружностям
проведены касательные AM и AN (M и N- точки окружностей). Докажите, что
ABN + MAN = 180°;
Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b.
Вычислите радиус его описанной окружности.
Углы треугольника ABC связаны соотношением 3 + 2 = 180°. Докажите, что a2
+ bc = c2.
Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB
и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в
точках B и D. Докажите, что ACBD.
Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что
прямые AO,BO и CO проходят через центры описанных окружностей
треугольников BCO,ACO и ABO. Докажите, что O- центр вписанной окружности
треугольника ABC.
В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что
если CAA1 = CBB1, то AC = BC.
Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем ABDE и BCEF. Докажите,
что CDAF.
Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную
окружность в точке M; O- центр вписанной окружности, Ob- центр вневписанной
окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A,C,O и Ob лежат на
окружности с центром M.
Внутри треугольника ABC взята точка P так, что
BPC = A + 60°,
APC = B + 60° и APB = C + 60°. Прямые AP,BP и CP пересекают описанную
окружность
треугольника ABC
в
точках A,B
и C.
Докажите,
что
треугольник ABC правильный.
На окружности взяты точки A,C1,B,A1,C,B1 в указанном порядке. Докажите, что
если прямые AA1,BB1 и CC1 являются биссектрисами углов треугольника ABC, то
они являются высотами треугольника A1B1C1.
На окружности взяты точки A,C1,B,A1,C,B1 в указанном порядке. Докажите, что
если прямые AA1,BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC, то они являются
биссектрисами углов треугольника A1B1C1.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена
касательная AQ к окружности S1 (точка Q лежит на S2), а через точку B касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на S1). Прямые BQ и AS пересекают
окружности S1 и S2 в точках R и P. Докажите, что PQRS - параллелограмм.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая,
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
52
пересекающая S1 в точке B, S2 в точке C. В точках C и B проведены касательные к
окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от
выбора прямой, проходящей через A.
На продолжениях сторон треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что
 

 

39.
AB1 = 2 AB, BC1 = 2 BC, CA1 = 2 CA. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если
известно, что площадь треугольника ABC равна S.
Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60°. На этой
40. дуге взята точка M. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков
MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1. Отрезки AA1 и BB1
пересекаются в точке D. Пусть a1, b1, c и d - расстояния от точек A1, B1, C и D
41.
1
1
1
1

 
до прямой AB. Докажите, что
.
a 1 b1 c1 d 1
Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырехугольника ABCD
42. с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Докажите,
что она делит пополам и сторону BC.
43.
На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что AP : AD = 1 : n; Q —
точка пересечения прямых AC и BP. Докажите, что AQ : AC = 1 : (n + 1).
Одна из диагоналей вписанного в окружность четырехугольника является
44. диаметром. Докажите, что проекции противоположных сторон на другую
диагональ равны.
Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1 таковы, что AB1BA1,
45.
AC1CA1 и BC1CB1. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
На высотах BB1 и CC1 треугольника ABC взяты точки B2 и C2 так, что
46.
AB2C = AC2B = 90°. Докажите, что AB2 = AC2.
В трапецию ABCD (BCAD) вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB
47. и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N. Пусть
Q — точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что KQAD.
Прямая l пересекает стороны AB и AD параллелограмма ABCD в точках E и F
соответственно. Пусть G — точка пересечения прямой l с диагональю AC.
48.
AB AD AC


Докажите, что
.
AE AF AG
Пусть AC — бóльшая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C
49. на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF
соответственно. Докажите, что AB · AE + AD · AF = AC2.
Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC
50. выбраны точки M и K соответственно так, что BK · AB = BO2 и AM · AB = AO2.
Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.
Все углы треугольника ABC меньше 120°. Докажите, что внутри его существует
51.
точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120°.
На окружности даны точки A,B,M и N. Из точки M проведены хорды MA1 и MB1,
52.
перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что AA1BB1.
В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причем вершины треугольника T2
являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами
53. треугольника T1. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением
треугольников T1 и T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины,
параллельны сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке.
54. Две окружности пересекаются в точках A и B. Из точки A к этим окружностям
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
55.
56.
57.
58.
53
проведены касательные AM и AN (M и N- точки окружностей). Докажите, что
BM/BN = (AM/AN)2.
В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°; BD- биссектриса угла B.
Докажите, что BD + DA = BC.
На хорде AB окружности S с центром O взята точка C. Описанная окружность
треугольника AOC пересекает окружность S в точке D. Докажите, что BC = CD.
Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAC = MCD = . Найдите
величину угла ABM.
Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в
точке P, а продолжения сторон BC и AD- в точке Q. Докажите, что точки
пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника
являются вершинами ромба.
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD,BE и CF являются
59. диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF
равна удвоенной площади треугольника ACE.
На продолжениях сторон DA, AB, BC, CD выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки A1,B1,C1,D1 так, что
 
 
 

60.
AB1 = 2 AB, BC1 = 2 BC, CD1 = 2 CD, DA1 = 2 DA.
Найдите площадь получившегося четырехугольника A1B1C1D1, если известно, что
площадь четырехугольника ABCD равна S.
На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что AE = BC. Отрезки CA и CE
61. пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно. Докажите, что если
BO = PD, то AD 2 = BC 2 + AD · BC.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что расстояние
62. от любой точки M отрезка A1B1 до прямой AB равно сумме расстояний от M
до прямых AC и BC.
Пусть M и N — середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении
63. отрезка DC за точку D взята точка P; Q — точка пересечения прямых PM и AC.
Докажите, что QNM = MNP.
На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K
64. и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD
в точках O и P. Докажите, что если KM = NL, то KO = PL.
В трапецию ABCD (BCAD) вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB
65. и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
Докажите, что AK · KB = CL · LD.
Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S2 касается
66. прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность S1 она пересекает в
точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2; B- точка
окружности S, а K1 и K2- вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с
67.
окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2 касается окружности S1, то
она касается и окружности S2.
68. Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а
вершина C- внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S,
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
54
причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина
отрезка EC равна радиусу окружности S.
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O;
69. точки B и C симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC.
Докажите, что CAC = BDB.
70.
Дан треугольник ABC. Найдите все такие точки P, что площади
треугольников ABP,BCP и ACP равны.
Внутри данного треугольника ABC найдите такую точку O, что площади
71. треугольников BOL,COM и AON равны (точки L,M и N лежат на сторонах AB,BC
и CA, причем OL BC, OM AC и ON AB).
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD существует такая точка O, что
72. площади треугольников OAB,OBC,OCD и ODA равны. Докажите, что одна из
диагоналей четырехугольника делит другую пополам.
73.
Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите
площадь трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.
74.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник
единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.
В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую
75. вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади
прямоугольника ABCD.
В треугольнике ABC точка E- середина стороны BC, точка D лежит на стороне AC,
76. AC = 1, BAC = 60°, ABC = 100°, ACB = 20° и DEC = 80°. Чему равна сумма
площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?
На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P,
пересекает окружность в точках A и B. Докажите, что произведение PA · PB не
77. зависит от выбора прямой (эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне
окружности и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется
степенью точки P относительно окружности S).
78.
Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S, ее степень относительно S
равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки.
Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d2 – R2, где Rрадиус S, d- расстояние от точки P до центра S.
На плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что
геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени
относительно S2, является прямая (эту прямую называют радикальной осью
79. окружностей S1 и S2).
Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через
точки их пересечения.
80. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой.
Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
55
три радикальные оси пересекаются в одной точке.
Пусть K,L,M
и Nсередины
сторон AB,BC,CD
и DA
выпуклого
81. четырехугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O. Докажите, что
SAKON + SCLOM = SBKOL + SDNOM.
Точки K,L,M и N лежат на сторонах AB,BC,CD и DA параллелограмма ABCD,
причем отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки
82.
пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO
равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так,
что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN
и CM- в точке L. Докажите, что SKMLN = SADK + SBCL.
Даны
параллелограмм ABCD
и
некоторая
точка M.
Докажите,
что SACM = SABMSADM.
На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом построены
параллелограммы; P- точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB
и BC. На стороне AC построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и
параллельна BP. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух
параллелограммов.
Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами.
Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и
синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме
площадей синих.
Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его
площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков,
проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD,
равны a и b. Докажите, что MN2 = (ab + c2)/2, где c = CD.
Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO,BO и CO пересекают его
OA1 OB1 OC1
стороны в точках A1,B1 и C1. Докажите, что


1
AA 1 BB1 CC1
Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO,BO и CO пересекают его
AC1 BA 1 CB1
стороны в точках A1,B1 и C1. Докажите, что


1
C1 B A1C B1 A
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки
пересечения любых двух из них проведена прямая. Докажите, что эти три прямые
пересекаются в одной точке или параллельны.
Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что множеством
центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом,
является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются)
выброшена их общая хорда.
Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся
кругам лежат на одной прямой.
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1; l- прямая,
проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите,
что прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а
продолжения сторон BC и AD- в точке E. Докажите, что окружности с
диаметрами AC,BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат
ортоцентры треугольников ABE,CDE,ADF и BCF.
Три окружности попарно пересекаются в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2.
Докажите, что A1B2 · B1C2 · C1A2 = A2B1 · B2C1 · C2A1.
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
56
96.
97.
98.
99.
100.
Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причем
коэффициент подобия равен 3. Найдите углы треугольника ABC.
Катет BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C разделен точками D
и E на три равные части. Докажите, что если BC = 3AC, то сумма углов AEC, ADC
и ABC равна 90°.
Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC
в отношении AL : LC = 3 : 1. Докажите, что угол KLD прямой.
Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его
стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти
прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.
На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны
точки D и E так, что CD = CE. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек
D и C на прямую AE, пересекают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что
KL = LB.
На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1 и B1, а на стороне CD101. точки C1 и D1, причем AA1 = BB1 = pAB и CC1 = DD1 = pCD, где p < 0,5. Докажите,
что SA1B1C1D1/SABCD = 1 – 2p.
Точки K и M- середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD,
точки L и N расположены на сторонах BC и AD так, что KLMN- прямоугольник.
102.
Докажите, что площадь четырехугольника ABCD вдвое больше площади
прямоугольника KLMN.
Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка
103. пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих
частей равны, то равны и площади всех четырех частей.
Через точку O, лежащую внутри треугольника ABC, проведены отрезки,
параллельные сторонам. Отрезки AA1,BB1 и CC1 разбивают треугольник ABC на
104. четыре треугольника и три четырехугольника. Докажите, что сумма площадей
треугольников, прилегающих к вершинам A,B и C, равна площади четвертого
треугольника.
Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта
105. прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l,
в отношении, не превосходящем 1  2 .
106.
Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника,
проходит через центр вписанной окружности.
Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть
107. фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет
площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояние от
108. точек A,B и P до прямой CD равны a,b и p. Докажите, что площадь
четырехугольника ABCD равна ab · CD/2p.
Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями
109. проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные
хорды.
110. На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1;
l- прямая,
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
57
проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите,
что
прямая l тогда и только тогда проходит через точку C,
когда AB1 : AC = BA1 : BC.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом
111. правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL
правильный.
112.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите,
что их центры образуют квадрат.
На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены
113. равнобедренные треугольники с углами 2, 2 и 2 при вершинах A, B и C,
причем  +  +  = 180°. Докажите, что углы треугольника ABC равны ,  и .
На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные
114. равнобедренные треугольники AB1С и AC1B внешним образом и BA1C внутренним
образом. Докажите, что AB1A1C1 — параллелограмм.
На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены
115. прямоугольные треугольники ABC1 и AB1C, причем C1 = B1 = 90°, ABC1 =
ACB1 = ; M — середина BC. Докажите, что MB1 = MC1 и B1 M C1 = 2.
На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD внешним образом построены
подобные ромбы, причем их острые углы  прилегают к вершинам A и C.
116.
Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны,
а угол между ними равен .
Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H
117. опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно.
Докажите, что  MNCABC.
118.
В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что касательная
в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1.
На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что
отрезки
AA1,
BB1
и CC1
пересекаются
в точке H.
Докажите,
что
119.
AH · A1H = BH · B1H = CH · C1H тогда и только тогда, когда H — точка пересечения
высот треугольника ABC.
На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1
соответственно.
Докажите,
что
B1A1C = BA1C1,
A1B1C = AB1C1
120.
и A1C1B = AC1B1, тогда и только тогда, когда точки A1, B1 и C1 являются
основаниями высот треугольника ABC.
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и
соответствующие точки противоположных сторон соединены - получилось
121. разбиение исходного четырехугольника на 25 маленьких выпуклых
четырехугольника. Докажите, что площадь центрального четырехугольника в 25
раз меньше площади исходного.
122. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с
вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите,
Хабаровск 2010 г.
Мендель В.В., Монина М.Д., Шмарин С.В.
58
что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне
параллелограмма.
123.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно
перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
124.
Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр описного
многоугольника, проходит через центр вписанной окружности.
На стороне BC треугольника ABC взята точка A1. Серединный перпендикуляр к
отрезку A1B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к
125. отрезку A1C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная
точке A1 относительно прямой MN, лежит на описанной окружности
треугольника ABC.
Внутри
выпуклого
многоугольника
расположено
несколько
попарно
непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник
126.
можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были
выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.
Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения
противоположных сторон в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки A1, B1 и C1
127.
лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Даны четыре окружности S1, S2, S3 и S4, причем окружности Si и Si + 1 касаются
внешним образом для i = 1,2,3,4 (S5 = S1). Докажите, что радикальная ось
128.
окружностей S1 и S3 проходит через точку пересечения общих внешних
касательных к S2 и S4.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1 и CC1. Прямые AB и A1B1, BC
129. и B1C1, CA и C1A1 пересекаются в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки A1, B1
и C1 лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырехугольника ABCD, длины которых
130. равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d,
с×а и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причем
AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных
131.
окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются
вершинами правильного треугольника со стороной R.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные
132. треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причем
его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC
В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD. На отрезке AB
133. взяли точку М так, что АМ = АС. На отрезке СD взяли точку N так, что DN = DB.
Доказать, что MN || AD.
Через точку S, лежащую вне окружности с центром O, проведены две касательные.
Касающиеся окружности в точках А и В, и секущая, пересекающая окружность в
134.
точках М и N. Прямые SO и AB пересекаются в точке К. Доказать, что точки M, N,
K и О лежат на одной окружности.
учебные материалы к элективным курсам
Математика 8-11 классы, выпуск 4.
59
На сторонах AB, BC и CA треугольника АВС взяты точки P, Q и R соответственно
так, что PQCR – параллелограмм. Пусть отрезки AQ и PR пересекаются в точке М,
135. а отрезки BR и PQ – в точке N. Доказать, что площадь треугольника
S AMP S BNP S CQR .
В окружность вписан равносторонний треугольник АВС. На малой дуге АВ
выбрана точка М. Пусть прямые АС и ВМ пересекаются в точке К, а прямые ВС и
136.
АМ - в точке L. Доказать, что произведение отрезков АКВL не зависит от выбора
точки М.
На стороне АВ равнобедренного треугольника АВС (А=СВ) взята точка Е, а
137. на продолжении стороны Ас за точку А – точка D так, что BDC=ECA. Доказать,
что S DEC  S ABC .
На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N
AM CN

  . Найти , если известно, что точки B, M и
138. соответственно такие, что
AC CE
N лежат на одной прямой.
AL – биссектриса остроугольного  ABC. AL пересекает описанную около  ABC
окружность в точке N. Из точки L на стороны AB и BC опущены перпендикуляры
139.
LK и LM соответственно. Доказать, что площади четырехугольника AKNM и
треугольника ABC равны.
140.
Четырехугольник ABCD – вписанный. Некоторая окружность с центром на стороне
AB касается остальных трех сторон. Доказать, что AD + BC = AB.
Хабаровск 2010 г.