На стороне AB квадрата ABCD со стороной длины a вне его

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
На стороне AB квадрата ABCD со стороной длины a вне его построен равносторонний треугольник ABE. Найти радиус окружности, проходящей через точки C, D и E.
Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам
AB и CD пересекаются на биссектрисе угла E.
Пусть BC – наибольшая сторона треугольника ABC. На ней взяты точки K и L такие, что BK =
BA и CL = CA. На стороне AB взята точка M такая, что BM = BL, а на стороне AC взята точка
N такая, что CN = CK. Докажите, что точки A, N, K, L и M лежат на одной окружности.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC, на гипотенузе AB взяты точки M и N
(N между M и B) такие, что MCN=45. Докажите, что MN2=AM2+ NB2.
Треугольники АВС и ОВС оба равносторонние. Точка М лежит на окружности с центром О
и радиусом ОВ. Докажите, что МВ2 + МС2 = МА2.
В треугольнике АВС одна из трисектрис угла В пересекается с одной из трисектрис угла С в
ортоцентре этого треугольника. Докажите, что другие трисектрисы этих углов пересекаются в
центре описанной окружности.
В равнобедренном треугольнике ABC углы B и C равны по 72. Проведена биссектриса BD.
Докажите, что на прямой BC найдется такая точка E, что AD=DE=EC.
Дан треугольник ABC. На сторонах AВ и ВС взяты точки D и Е таким образом, что
ACB = 2BED. Докажите, что AC + ЕC > AD.
Все стороны выпуклого пятиугольника ABCDE равны, а BCD = 2ACE. Найдите ACE.
10. Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки E и F таковы, что
середина отрезка DE лежит на отрезке AB, середина отрезка DF лежит на отрезке BC и
EDA = FDC. Середина отрезка EF – точка K – лежит внутри треугольника ABC. Докажите,
что ABD = CBK.
11. Через вершину А параллелограмма ABCD провели прямую l, пересекающую сторону ВС. Докажите, что расстояние от точки D до прямой l равно сумме расстояний от точек В и С до этой же
прямой.
12. Углы при основании равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равны 20 градусам. D – основание биссектрисы угла С. Серединный перпендикуляр отрезка ВС пересекает прямую АВ в
точке Е. Докажите, что AD = BE.
13. На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и E такие, что AD =
BE. Отрезки CD и AE пересекаются в точке O. Серединный перпендикуляр к отрезку CO пересекает прямую AO в точке K. Докажите, что BK и CO параллельны.
14. Пусть M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Известно, что
серединные перпендикуляры к MN, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что
AB=CD.
15. В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы тупого и острого углов. Оказалось,
что одна из них вдвое больше другой. Найдите углы этого треугольника.
16. На сторонах треугольника ABC построены как на основаниях равнобедренные треугольники
AKB, BLC и AMC с равными углами при вершинах K, L и M. При этом треугольники AKB и BLC
построены наружу, а точка M оказалась внутри треугольника ABC. Докажите, что KBLM – параллелограмм.
17. На сторонах треугольника ABC наружу построены как на основаниях равнобедренные треугольники AKB и BLC с равными углами при вершинах K и L. Точка M такова, что KBLM – параллелограмм. Докажите, что MA=MC.
18. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр стороны AB в
точке X, серединный перпендикуляр стороны AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что AX=YZ.
19. В трапеции ABCD с основанием AD AB = BC, AC = CD и BC+CD = AD. Найдите углы трапеции.
20. В треугольнике АВС ВС = 2АС, а D – такая точка на стороне ВС, что DAC = ABC. Прямая
AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М. Докажите, что АМ = АВ.
21. Внутри квадрата АВСD взята такая точка Р, что АР = АВ. Прямая АР пересекает отрезок ВС в
точке K. Прямая ВР пересекает отрезок СD в точке L. Докажите, что a) BK > CL. б) BK > 2CL.
22. Юра нарисовал на доске квадрат АВСD и провел прямую l, проходящую через точку В и середину стороны CD, а затем стер всё, кроме точки А и проведенной прямой. Как циркулем и линейкой восстановить квадрат?
23. В выпуклом четырёхугольнике АВСD выполнены равенства CBD = 2ADB, АBD = 2СDB
и АВ = СВ. Докажите, что CD = AD.
24. Точки E и F – середины сторон BC и CD квадрата ABCD. Отрезки AE и BF пересекаются в точке K. Что больше – площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF?
25. В треугольнике АВС медиана АМ равна стороне АВ, а угол MAC равен 30. Найдите углы треугольника.
26. D, E и F – основания перпендикуляров, опущенных из внутренней точки М на стороны остроугольного треугольника АВС. Найдите геометрическое место таких точек М, что DEF = 90.
27. В остроугольном треугольнике ABC BH – высота. Прямые, симметричные AC относительно AB
и BC пересеклись в точке K. Докажите, что угол KBC равен углу ABH.
28. В круге какого наименьшего диаметра могут найтись четыре точки A, B, C, D такие, что AB=3,
BC=2, CD=4, DA=5?
29. В треугольнике ABC проведены биссектриса BL и медианы AM и CK. Оказалось, что треугольник MКL – равносторонний. Докажите, что и треугольник ABC – равносторонний.
30. В треугольнике АВС на стороне АВ выбраны такие точки K и L, что AK = BL. Точки M и N – середины сторон АС и ВС соответственно. Оказалось, что KM = LN. Докажите, что либо АС = ВС,
либо KL=AC/2.
31. В треугольнике АВС точки M и N – середины сторон АС и ВС соответственно. На стороне АВ
выбраны такие точки K и L, что AK = BL, а отрезки KM и LN пересекаются и равны. Докажите,
что АС = ВС.
32. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, а затем проведены биссектрисы LN и LM углов
ALB и ALC (точки N и M лежат на отрезках AB и AC). Оказалось, что LN=LM. Докажите, что или
AB=AC, или угол BAC – прямой.
33. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена медиана СМ. Оказалось, что биссектрисы треугольников АМС и ВМС, проведенные из точки М, равны. Докажите,
что треугольник АВС – равнобедренный.
34. Пусть M и K - точки на сторонах AC и BC треугольника ABC, O - точка пересечения отрезков
AK и BM. Найдите площадь треугольника ABC, если SAMO=SBKO=8, SKMO=4.
35. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны, и каждая из них делит
шестиугольник на две части равной площади. Докажите, что каждая из них делит шестиугольник на две части равного периметра.
36. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны и пересекаются в одной
точке. Оказалось, что АВ = DE, a BC = EF. Докажите, что CD = FA.
37. В треугольнике ABC B = 120. BL – биссектриса этого треугольника. K и M – основания перпендикуляров, опущенных из точки L на стороны AB и AC соответственно. Докажите, что
2KM < AC.
38. В треугольнике ABC BL – биссектриса, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки L
на сторону AB. Докажите, что 2KL < AC.
39. C1 и A1 –середины сторон AB и BС тр-ка ABС. На стороне AC отмечена точка M такая, что MA1
> CA1. Доказать, что MС1 < AС1.
40. Может ли медиана, проведенная из острого угла прямоугольного тр-ка, быть вдвое короче гипотенузы?
41. На сторонах AB, BC и AС тр-ка ABС отмечены точки K, L и M так, что AL – биссектриса, а AK =
AM. Лучи KM и BC пересекаются в точке X. XAC = ABC. Д/ч прямая KM делит отрезок AL
пополам.
42. На сторонах AB, BC и AС тр-ка ABС с прямым углом А отмечены точки K, L и M так, что AKLM
– квадрат. Лучи KM и BC пересекаются в точке X. Д/ч XAC = ABC.
43. Вершину A прямоугольника ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Мог ли
один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
44. Как разрезать квадрат на несколько различных прямоугольных тр-ков?
45. В равнобедренном тр-ке ABC (AB = AC) A  120. На сторонах AB и AC выбраны точки K и
L. На отрезках BK и CL наружу построены равносторонние треугольники BKP и CLQ. Д/ч PQ 
BС.
46. В 4-угольнике ABCD ABD = ACB и CAD = BDC. Д/ч ADC = ABC.
47. BL – биссектриса тр-ка ABC, BLA = 60, CL2 = ALBL. Д/ч BL = AC.
48. Углы выпуклого 5-угольника равны a, b, c, d и е. Всегда ли из этих 5 чисел можно выбрать 3
так, чтобы они были длинами сторон некоторого тр-ка?
49. M – середина основания AB равнобедренного тр-ка ABC. Внутри тр-ка ABC отмечена точка P
так, что PAB = PBC. Д/ч APM + CPB = 180.
50. Через точку Y на стороне AB правильного тр-ка ABC проведена прямая, пересекающая сторону
BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку А – в точке X. XY = YZ, AY = BZ. Д/ч XZ 
BC.
51. Правильный тр-к расчерчен сеткой на 36 одинаковых правильных тр-чков. Для каких k его по
линиям сетки можно раз резать на k одинаковых частей?
52. В тр-ке ABC B = 60. На стороне AB выбрана такая точка D, что AD = BC. На продолжении
стороны CB выбрана такая точка E, что BE = BC. Д/ч AC = DE.
53. AD и CE – биссектрисы тр-ка ABC. AE + CD = AC. Чему может равняться угол B ?
54. Из вершины равнобедренного прямоугольного тр-ка вылетел бильярдный шар, который отразился от гипотенузы, затем от точки M на катете и залетел в вершину острого угла. Д/ч M – середина катета.
55. Из вершины B прямоугольного тр-ка ABC с прямым углом A вылетел бильярдный шар, который
попал в середину AC, потом – в точку на гипотенузе, а затем – в вершину A. Найти углы тр-ка.
56. 2 тупых угла расположены так, что 2 их стороны образуют развернутый угол, а 2 другие – прямой. Чему равна сумма этих тупых углов?
57. Найти углы прямоугольного тр-ка, у которого один угол в 3 раза больше другого.
58. В тр-ке АВС (ВС = a, CA = b, AB = c) проведена медиана CМ1, в тр-ке ВСМ1 – медиана М1М2, в
тр-ке СМ1М2 – медиана М2М3, в тр-ке М1М2М3 – медиана М3М4 и т.д. Чему равна длина отрезка
М2001М2002?
59. 3. Дан прямоугольник ABCD. На продолжении стороны АВ за точку А отмечена такая точка Р,
что АР = АВ, а на продолжении стороны CD за точку D отмечена такая точка Q, что РQ = PD.
Докажите, что PC = AQ.
60. В треугольнике ABC B > C. На стороне BC отмечена точка D, а на продолжении стороны
AB за точку B отмечена точка P, так что APD = DAC = ½(B –C). Докажите, что BP/AC =
BD/DC.
61. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки K, L и M соответственно, а на биссектрисе угла А – точка N. Оказалось, что CLKN и MLNA – параллелограммы. Докажите, что
AB = AC.
62. На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Прямая, параллельная BC, проходящая через точку D, пересекает отрезок AE в точке K.
Прямая, параллельная AB, проходящая через точку E, пересекает отрезок CD в точке L. Докажите, что BD  DK  BE  EL.
63. На сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Прямая, параллельная BC, проходящая через точку D, пересекает отрезок AE в точке K.
Прямая, параллельная AB, проходящая через точку E, пересекает отрезок CD в точке L. Оказалось, что BD  DK  BE  EL. Докажите, что KL параллельна AC.
64. В треугольнике АВС проведена биссектриса АL. Докажите, что АВ>BL.
65. Может ли каждая из диагоналей выпуклого пятиугольника быть меньше противоположной стороны?
66. На продолжении стороны BC треугольника ABC за точку B отмечена точка D таким образом,
что BD=BA. Точка M – середина стороны AC. Биссектриса угла ABC пересекает прямую DM в
точке P. Докажите, что BAP = ACB.
67. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на боковую сторону BC опущена высота AH.
Точка L – основание перпендикуляра из H на сторону AB. Оказалось, что AL = AB/4. Найдите углы треугольника ABC.
68. Разрежьте квадрат на выпуклые пятиугольники.3. В треугольнике АВС отрезок серединного
перпендикуляра к стороне ВС, заключенный внутри треугольника, равен половине высоты, опущенной из вершины А. АВ=2АС. Найдите углы треугольника АВС.
70. На медиану BM треугольника ABC опустили перпендикуляр AL и перпендикуляр DK из некоторой точки D на стороне AB (L и K –различные точки, лежащие внутри ВМ). Оказалось, что
BK = LM. Докажите, что CD = BD+BA.
71. Дан треугольник. Каждую минуту самая большая его сторона заменяется на сумму двух других
сторон, уменьшенную на длину этой стороны, и из двух старых сторон и этой новой составляется новый треугольник (если это, конечно, возможно). Оказалось, что такой процесс можно
продолжать бесконечно долго. Найдите углы исходного треугольника.
72. Дан треугольник со сторонами a, b и c, причем сторона а больше стороны b на 5 см. Каждую
минуту самая большая сторона треугольника заменяется на сумму двух других сторон, уменьшенную на длину этой стороны (если это, конечно, возможно). Можно ли такой процесс продолжать бесконечно долго?
73. На сторонах AB, BC и CD выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки P,Q и R. соответственно такие, что PQ AC и QR BD. Точка M – середина отрезка PR. Докажите, что прямая MQ
проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD тогда и только тогда,
когда BC AD. .
74. В треугольнике АВС угол A – наименьший. На продолжении стороны АС за точку С отмечена
точка Х, а на продолжении стороны АВ за точку В – точка Y. Докажите, что AX+AY  BX+CY.
75. На стороне BC квадрата ABCD выбрана точка M. На стороне CD выбрана такая точка P, что
APMD. На стороне AB выбрана такая точка Q, что DQMA. Докажите, что прямая PQ проходит через центр квадрата.
76. В треугольнике АВС AB < AC. Прямые, проходящие через вершины В и С параллельно прямым АС и АВ, пересекают биссектрису внешнего угла при вершине А в точках D и Е соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку DE пересекает сторону АС в точке F. Докажите,
что FC = AB.
77. AK– высота треугольника ABC, точка M – середина стороны AC. На сторону AB опустили перпендикуляр KL и перпендикуляр MN. Оказалось, что LN = AB/4. Докажите, что C=2B.
78. В треугольнике АВС выбрали точку А1 на стороне ВС и точку В1 на АС. Отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О, причем AO  BO  2 . Докажите, что АА1 и ВВ1  медианы треугольника
A1O
АВС.
B1O