Математический анализ - Московский государственный

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»
Кафедра ___________Высшей математики___________________
(название кафедры)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИ ПЛИНЫ
__
_Математический анализ___________
(наименование дисциплины)
основной образовательной программы по направлению подготовки (специальности)
_________080700
Бизнес-информатика___________
(код, наименование направл ения (специальности))
Москва 2010
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель Министра образования и науки
Российской Федерации
А.Г.Свинаренко
12 мая
2005 г.
Номер государственной регистрации
734 гум / бак
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАПРАВЛЕНИЕ 080700 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА
Степень (квалификация) — бакалавр бизнес-информатики
Вводится с момента утверждения
Москва 2005
ЕН.Ф.01
ЕН.Ф.02
ЕН.Ф.03
Математический анализ
Понятие множества и подмножества. Операции над
множеством.
Отношение.
Отображение.
Композиция
отображений. Действительные числа и их множества. Предельное
значение функции натурального аргумента. Дифференциальное
исчисление функций одной и нескольких переменных. Правило
Лопиталя. Понятие эластичности. Градиент и его геометрическая
интерпретация. Экстремумы функций. Непрерывность функций
одной переменной и их предельные значения. Производная
дифференциальная функции одной переменной. Свойства
дифференцируемых
функций.
Множества
точек
и
последовательности в n-мерном пространстве. Функции
нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких
переменных.
Классические
методы
оптимизации.
Неопределенный и определенный интеграл. Функциональные
ряды. Кратные интегралы.
Числовые ряды.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теоремы о
существовании
единственности
и
дифференцируемой
зависимости решений от начальных данных. Классы
дифференциальных уравнений и их характеристики. Комплексные
числа. Методы решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений.
Приближение функций. Численное дифференцирование и
интегрирование. Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Линейная алгебра
Матрицы и их преобразования. Определитель матрицы. Ранг
матрицы. Алгебра матриц. Линейные векторные пространства.
Линейные операторы. Линейные, билинейные и квадратичные
формы. Структура множества решений системы линейных
уравнений. Элементы аналитической геометрии. Евклидовы
пространства. Сопряженные операторы. Линейные отображения.
Аффинные пространства. Численные методы линейной алгебры.
Дискретная математика
Множества, функции, отношения. Комбинаторика
Элементы общей алгебры. Основные алгебраические
структуры:
полугруппы,
группы,
решетки.
Элементы
математической логики.
Основные понятия логики:
высказывания и рассуждения. Алгебраический подход к логике.
Функциональная полнота. Булева алгебра и ее законы.
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Логика
предикатов.
Теория
графов.
Основные
определения:
неориентированные и ориентированные графы, мультиграфы и
кратные ребра. Смежность и инцидентность. Способы
представления графов. Матрица смежности. Графы и бинарные
отношения. Изоморфизм графов. Полные графы и клики. Пути,
циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. диаметр
графа. Обходы графов.
351
162
189
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГОУ ВПО «Московский государственный университет
природообустройства»
УТВЕРЖДАЮ
Декан _______экономического______факультета
Ф.И.О
(подпись)
«______»____________________200 __г
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
Дисциплины
_Математический анализ_______
для специальности __080700-«Бизнес-информатика»____
Кафедра __высшей математики______________________
семестры
I
II
Виды учебной работы
часов
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия:
Лекции
Практические занятия, семинары
Самостоятельная работа
Курсовая работа (проект) (КР, КП),
Расчетно-графическая работа (РГР)
Домашнее задание (ДЗ)
Реферат (Р)
Вид итогового контроля
351
136
68
68
215
68
34
34
110
68
34
34
105
160
80
80
55
зачет
экзамен
Москва 2010г.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина «Математика» относится к математическому и естественнонаучному
циклу. Её изучение не требует предварительных знаний, выходящих за пределы
программы общеобразовательной средней школы. Студент должен уметь проводить
алгебраические преобразования, решать уравнения и неравенства, знать основные
тригонометрические формулы, проводить тригонометрические преобразования, решать
тригонометрические уравнения, знать основные геометрические фигуры, и уметь
находить их площади, знать основные виды многогранников и тел вращения и уметь
вычислять их площади поверхностей и объёмы. У него должно быть сформировано
понятие функции, ее графика и основных ее свойств (монотонность, четность,
периодичность).
Овладение основными понятиями дисциплины «Математика» необходимо для
последующего изучения механики, материаловедения, электротехники, финансов,
геологических изысканий, водоснабжения, механики грунтов, изучаемых в рамках
направления «Природообустройство и водопользование».
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
способность использовать
основные законы естественнонаучных дисциплин, методы
математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при решении профессиональных задач (ПК- 1);
владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК–1);
умением логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь
(ОК - 3);
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основы линейной алгебры и аналитической геометрии, методы математического анализа в
части дифференциального и интегрального исчисления; теорию дифференциальных уравнений и
рядов; основы теории вероятностей и математической статистики.
Уметь: решать системы линейных уравнений, вычислять производные и интегралы, решать
дифференциальные уравнения, обращаться к информационным системам (Интернет, справочная
и другая математическая литература) для пополнения и уточнения математических знаний.
Владеть: математическими понятиями и символами для выражения количественных и
качественных отношений, математическими методами и алгоритмами в приложениях к
техническим наукам.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
п/п
1
2
Раздел
дисциплины
Ведение в
математичес
кий анализ.
Дифференци
альное
Лекци
и
Практичес
кие
занятия,
семинары
Трудоемкость (час)
Вид самостоятельной
Лабораработы*
торные
Л
ПЗ
ЛР
Р
КП,
работы
КР
РГР
ДЗ
10
10
40
14
14
50
3
4
5
6
7
исчисление
функции
одной
переменной.
Интегрально
е исчисление
функции
одной
переменной.
Дифференци
альное
исчисление
функции
нескольких
переменных.
Кратные,
криволинейн
ые и
поверхностн
ые
интегралы.
Ряды.
Обыкновенн
ые
дифференци
альные
уравнения.
ИТОГО
30
12
12
10
10
20
4
4
20
8
8
20
10
10
68
68
35
* подготовка к лекциям (Л), практическим занятиям (ПЗ), лабораторным работам (Л),
подготовка реферата (Р), раздела КП, КР, РГР, ДЗ
3.2
Содержание разделов дисциплины
№
п/п
Наименование
раздела
дисциплины
Содержание раздела
1.
Ведение
в Символика математической логики и ее использование.
математический
Множество действительных чисел. Комплексные
анализ.
числа, действия с ними. Изображение комплексных
чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного
числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы
записи комплексного числа. Формула Эйлера.
Показательная форма записи комплексного числа.
Корни из комплексных чисел. Функция. Область ее
определения.
Способы
задания.
Основные
элементарные функции, их свойства и графики.
Сложные и обратные функции. Класс элементарных
функций. Числовые последовательности и их пределы.
Свойства сходящихся последовательностей. Предел
функции. Бесконечно малые величины и их свойства.
Бесконечно большие величины. Связь бесконечно
215
больших и бесконечно малых. Основные теоремы о
пределах функций. Первый и второй замечательные
пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные
бесконечно малые и их использование при вычислении
пределов. Определение непрерывности функции.
Классификация
точек
разрыва
функции.
Непрерывность суммы, произведения и частного двух
функций.
Непрерывность
сложной
функции.
Непрерывность элементарных функций. Свойства
функций, непрерывных на отрезке: ограниченность,
существование наибольшего и наименьшего значений,
существование промежуточных значений.
2.
Дифференциальное
исчисление
функции
одной
переменной.
Определение производной функции. Геометрический и
механический
смысл
производной.
Уравнения
касательной и нормали к кривой. Производная
постоянной, суммы, произведения и частного двух
функций. Производная обратной функции. Таблица
производных. Дифференцируемость функции. Связь
понятий дифференцируемости и непрерывности.
Производная сложной функции. Дифференциал
функции. Связь дифференциала с производной.
Геометрический
смысл
дифференциала.
Приближенные
вычисления
с
помощью
дифференциала. Производные функции, заданной
параметрически. Производные и дифференциалы
высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши. Раскрытие неопределенностей и правило
Лопиталя. Формула Тейлора. Условия возрастания и
убывания функции. Локальный экстремум функции.
Необходимые и достаточные условия существования
локального экстремума. Отыскание наибольшего и
наименьшего значений непрерывной на отрезке
функции. Исследование на экстремум функции с
помощью производных второго порядка. Исследование
графика функции на выпуклость и вогнутость. Точки
перегиба.
Асимптоты
кривых.
Общая
схема
исследования функции и построения графика функций.
3.
Интегральное
исчисление
функции
одной
переменной.
Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства
неопределенного интеграла. Таблица основных
интегралов. Основные приемы интегрирования: замена
переменной и интегрирование по частям. Комплексные
числа.
Интегрирование
дробно-рациональных
функций. Интегрирование выражений, содержащих
тригонометрические
функции.
Интегрирование
некоторых иррациональных выражений. Задача,
приводящая к понятию определенного интеграла.
Определение определенного интеграла, как предела
интегральных сумм. Основные свойства определенного
интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена
переменной
в
определенном
интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла. Несобственные
интегралы.
4.
Дифференциальное
исчисление
функции
нескольких
переменных.
Понятие функции нескольких переменных. Область
определения. Геометрический смысл функции двух
переменных. Предел функции. Непрерывность.
Основные свойства непрерывных функций. Частные
приращения и частные производные функции.
Дифференцируемость функции. Полное приращение и
полный
дифференциал
функции
нескольких
переменных.
Геометрический
смысл.
Частные
производные сложных и неявных функций. Уравнения
касательной плоскости и нормали к поверхности.
Частные производные и дифференциалы высших
порядков. Применение полного дифференциала для
приближенных
вычислений.
Скалярное
поле.
Производная по направлению. Градиент. Необходимые
и достаточные условия существования локального
экстремума функции двух переменных. Классические
методы оптимизации.
5.
Кратные,
криволинейные
поверхностные
интегралы.
6.
Ряды.
7.
Обыкновенные
Основные понятия и определения. Дифференциальные
дифференциальные уравнения
первого
порядка.
Задача
Коши.
уравнения.
Формулировка
теоремы
существования
и
Понятие двойного и тройного интегралов, их свойства.
и Геометрический
смысл
двойного
интеграла.
Вычисление кратных интегралов последовательным
интегрированием. Замена переменных в двойном и
тройном интегралах. Полярные, цилиндрические и
сферические координаты. Криволинейные интегралы
двух видов. Поверхностные интегралы. Формулы
Грина,
Гаусса-Остроградского,
Стокса.
Геометрические
и
физические
приложения
интегрального исчисления.
Числовой ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся
рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов с положительными
членами: признаки сравнения, признак Даламбера,
радикальный и интегральный признаки Коши.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимости. Теорема Лейбница. Степенные ряды.
Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости
степенного ряда. Свойства степенных
рядов.
Почленное дифференцирование и интегрирование
степенных рядов. Разложение функций в ряды Тейлора
и Маклорена. Применение рядов к приближенным
вычислениям. Понятие о рядах Фурье. Формула
Эйлера-Фурье. Приложение функциональных рядов.
единственности решения задачи Коши. Уравнения с
разделяющимися
переменными.
Однородные
дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка. Дифференциальные уравнения высших
порядков, допускающие понижение порядка. Линейные
дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейная зависимость и линейная независимость
функций. Определитель Вронского. Структура общего
решения линейного однородного уравнения и
линейного
неоднородного
уравнения.
Решение
линейного однородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами. Характеристическое
уравнение. Отыскание частного решения линейного
неоднородного
уравнения
с
постоянными
коэффициентами методом подбора по виду правой
части. Вариация произвольных постоянных (метод
Лагранжа). Приложение дифференциальных уравнений
в различных областях науки и техники. Понятие о
системах дифференциальных уравнений. Приближение
функций. Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература
1. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1998.
2. . Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2006.
3 . Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 2006.
4. . Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 2002.
5. . Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. – М.: Высшая школа, 2004.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа,
2004.
7.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. – М.: Наука, 1984.
8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. –
М. : Наука, 1988.
9.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. ФПК.- М.: Наука, 1985.
10. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. – М. : Наука, 1997.
11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. I,II, М.: Наука,
1985.
12. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. –
М. : Наука.- ч.1-2, 1981.
13. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей, М.: Высшая школа, 1994.
б) дополнительная литература
1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М. : Наука, 1999.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. – Альфа, 1998.
3. Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения,
М.: Наука, 1988.
Программа разработана в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по направлению (специальности)
____080700-«Бизнес-информатика»_____________________________________
Программу разработал (а): ______________________________ доцент кафедры высшей
математики Денисова О.И.
( должность, Ф.И.О, подпись)
Программа рассмотрена на заседании
_______________________________________________________
Заведующий кафедрой _______________________
заведующий кафедрой высшей
математики, доктор физико- ма
тематических наук, профессор
Успенский С. В. (подпись)
Программа утверждена на заседании учебно-методической комиссии цикла естественнонаучных дисциплин, протокол № ____ от _____________ 20___г.
Председатель УМК цикла ЕНД
к.т.н. доцент Снежко В.А.
/ Снежко В.А./
Вопросы к зачету по математическому анализу
для студентов 1 курса экономического факультета (147 гр.)
1 семестр, 2010-2011 учебный год
Лектор – доцент Денисова О.И.
1. Предел последовательности. Доказать, что lim
n
1
 0.
n
2. Бесконечно малые и бесконечно большие и связь между ними. Свойства бесконечно
малых.
3. Предел функции. Основные теоремы о пределах.
4. Первый и второй замечательные пределы.
5. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые и их
использование при вычислении пределов.
6. Непрерывные функции. Арифметические действия над непрерывными функциями.
7. Основные свойства непрерывных на отрезке функций.
8. Производная функции, ее геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали.
9. Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и
непрерывностью функции.
10. Производные суммы, произведения и частного.
11. Обратная функция и ее производная. Производная сложной функции.
12. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
13. Теорема Ферма.
14. Теорема Ролля.
15. Теорема Лагранжа.
16. Теорема Коши.
17. Раскрытие неопределенностей и правило Лопиталя.
18. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение функций
y  sin x , y  e x по формуле Маклорена.
19. Условия монотонности функции.
20. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
21. Достаточное условие экстремума (с использованием первой производной).
22. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
23. Исследование направления выпуклости кривой. Точки перегиба.
24. Асимптоты кривой.
25. Понятие функции двух переменных. Предел функции двух переменных. Не
прерывность функции двух переменных.
26. Частные производные функции двух переменных.
27. Полный дифференциал функции двух переменных.
28. Частные производные второго порядка функции двух переменных.
29. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.
30.Экстремум функции двух переменных. Достаточное условие экстремума
Экзаменационные вопросы по математическому анализу
для студентов 1 курса экономического факультета (147 гр.)
2 семестр, 2010-2011 учебный год
Лектор – доцент Денисова О.И.
1. Понятие функции двух переменных. Предел функции двух переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
2. Частные производные функции двух переменных.
3. Полный дифференциал функции двух переменных.
4. Частные производные второго порядка функции двух переменных.
5. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.
6. Экстремум функции двух переменных. Достаточное условие экстремума.
7. Первообразная. Теорема о первообразных.
8. Неопределенный интеграл и его свойства.
9. Замена переменной в неопределенном интеграле.
10. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
11. Интегрирование выражений вида
mx  n
,
ax 2  bx  c
mx  n
ax  bx  c
2
.
12. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
13. Интегрирование рациональных дробей.
14. Интегрирование
выражений,
содержащих
тригонометрические
функции.
Универсальная подстановка.
15. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
16. Определенный интеграл: определение и геометрический смысл.
17. Свойства определенного интеграла.
18. Интеграл с переменным верхним пределом, его производная по верхнему пределу.
19. Формула Ньютона-Лейбница.
20. Замена переменной в определенном интеграле.
21. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
22. Несобственные интегралы.
23. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Теорема существования и
единственности решения для уравнения первого порядка.
24. Дифференциальное уравнение первого порядка. Общее и частное решения
дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделяющимися
переменными.
25. Однородное уравнение первого порядка. Линейное уравнение первого порядка.
26. Дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение дифференциального
уравнения второго порядка.
27. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка.
28. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами (корни характеристи-ческого уравнения
действительные и различные).
29. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами (корни характеристи-ческого уравнения
действительные и совпадают).
30. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами (корни характеристи-ческого уравнения
комплексные).
31. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка. Выбор частного решения в случае, когда правая часть уравнения
f ( x)  Pn ( x) e a x .
32. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка. Выбор частного решения в случае, когда правая часть уравнения
f ( x)  Pn ( x) cos b x  Vm ( x) sin b x  e a x .
33. Числовые ряды. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимое
условие сходимости ряда.
34. Интегральный признак сходимости ряда. Обобщенный гармонический ряд.
35. Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак.
36. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
37. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
39. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
ГЛОССАРИЙ
Асимптота
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой
до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю.
Векторное поле

Если в каждой точке М(x,y,z) области G пространства определен вектор a (M ) , то

говорят, что в области G задано векторное поле a(M )  P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z).
Градиент функции
Градиентом функции u  u ( x, y, z ) в точке M называется вектор, координатами которого
являются частные производные функции u  u ( x, y, z ) в точке M , т.е. grad u  ux , uy , uz .
Дивергенция

Дивергенцией векторного поля
a(M )  P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) называется


выражение Px  Qy  Rz и обозначается div a , т.е. div a  Px  Qy  Rz .
Дифференциал
Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции. Если f дифференцируемая функция одной или нескольких переменных, то справедливо (для
функций двух переменных) равенство
 f

f
f x0  x; y0  y   f x0 ; y0    x0 ; y0 x  x0 ; y0 y    x; y  x 2  y 2
y
 x

где  x; y  величина, стремящаяся к 0 при приближении точки x; y  к точке 0;0.
Первое слагаемое в приведённой формуле и есть дифференциал. Дифференциал функции
обозначают df и коротко записывают так: df  f  x dx для функции одной переменной,
df 
f
f
dx  dy  ... для функции двух и более переменных. Последняя формула
x
y
называется также формулой полного дифференциала.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F ( x, y, y )  0, где x -независимая переменная; y -искомая функция;
y  - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Локальный максимум функции
Значение f ( x0 ) называется локальным максимумом функции f (x) на ( a,b) , если
существует окрестность U ( x0 ) точки x0 такая, что U ( x0 )  (a, b) , и для всех
x U ( x0 ) \ {x0 } выполнено неравенство f ( x)  f ( x0 ).
Локальный минимум функции
Значение f ( x0 ) называется локальным минимумом функции f (x) на ( a,b) , если
существует окрестность U ( x0 ) точки x0 такая, что U ( x0 )  (a, b) , и для всех
x U ( x0 ) \ {x0 } выполнено неравенство f ( x)  f ( x0 ).
Локальный экстремум функции
Максимум или минимум функции f (x) называется локальным экстремумом функции
f (x) на ( a,b) .
Неопределённый интеграл
Неопределённым интегралом функции называется на интервале называется множество
первообразных функции на этом интервале. Все эти первообразные отличаются друг от
друга на постоянную величину. Например
x3
1
 x dx  3  C на  ;  или  x dx  ln  x   C на  ;0 .
2
Первообразная
Функция, производная от которой равна данной функции в каждой точке интервала
называется первообразной функции на интервале.
Расходящийся числовой ряд

Числовой ряд
 an
называется расходящимся, если предел его частичной суммы
n 1
lim S n  lim a1  a 2  ...  a n  не существует или равен бесконечности.
n 
n 
Решение обыкновенного дифференциального уравнения
Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется всякая функция
y   x  , которая, будучи подставлена в это уравнение, обратит его в тождество.
Ротор
Ротором (или
вихрем)
векторного
поля
a  P, Q, R
называется
вектор
 R Q P R Q P 
 .
rota  

,

,

  y  z  z x x y 
Скалярное поле
Пусть задана некоторая область в пространстве. Говорят, что в этой области задано
скалярное поле u M  , если каждой точке M в этой области поставлено в соответствие
некоторое число u M  .
Степенной ряд
Выражение вида
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...,
где a0 , a1 , a2 ,..., an ... - постоянные числа, а x - переменная величина, называется
степенным рядом.
Сходящийся числовой ряд

Числовой ряд
 an
n 1
последовательности
называется сходящимся, если существует конечный предел
S n 
его частичных сумм: lim S n  lim a1  a 2  ...  a n   S . В
n
n 
этом случае указанный предел называется суммой ряда.
Точка перегиба
Точка перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости
от участка вогнутости.
Частная производная по x
Частная производная по х для функции двух переменных f(x,y) называется функция
f
f ( x  x, y)  f ( x, y)
( x, y)  lim
x
x
x 0
Частная производная по y
Частная производная по х для функции двух переменных f(x,y) называется функция
f
f ( x, y  y )  f ( x, y )
( x, y )  lim
y
y
y  0
Числовой ряд
Числовой ряд - выражение вида
a1  a2  a3  ...  an  ...
или

a
n 1
n
где a1, a2, a3  R , an – числовое выражение, зависящее от n
Карта обеспеченности дисциплины учебной литературой
Учебная дисциплина: _________ Математический анализ___________________
Кафедра: ____________Высшей математики_________________________________
Специальность: 080700 Бизнес-информатика
Общее количество часов по дисциплине: __300__часов, в том числе:
Лекции _68_ часов;. практические занятия (семинары): _68_ часов, самостоятельная
работа: 134 часов
Автор, название,
город,
издательство, год.
Объем
(п.л.)
Среднее
количество
студентов,
чел
Количество
экземпляров в
библиотеке
университета,
на кафедре
Обеспеченность
студентов
литературой
%
29,4
15
20
100
18,62
15
20
100
Шипачёв В.С. Высшая
математике, М. :
Высшая школа, 2005.
Шипачев В.С.
Задачник по высшей
математике, М.:
Высшая школа, 2009.
Преподаватель кафедры
доц. Васильева Е.Н.
Заведующий кафедрой
проф. Успенский С.В.
«_09_»_декабря_2010 г.