Сәлем! Алда келе жатырған қорытынды аттестация нәтижесі

Сәлем! Алда келе жатырған қорытынды аттестация нәтижесі сен
үшін де, мен үшін де қуантарлық болсын! Тек сәттіліктер! Жүре
бермей дайындал. Лафа жизнь өмір сүріп үлгересің. Біреулер
күшті-күшті универлерге түсіп жатқанда аузынның аңқайып
қалғаны жарамайды. Мәскеу де бір мезетте салынып болған жоқ.
Сондықтан, қалған санаулы күндеріңді арам терлеріңді шығаруға
жұмса! Осылай ащы айтпаса, қозғалмасың анық.
Сборник стереометрических задач 2001-2012
1. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро 3см. Найдите
объем пирамиды(6 см3).
2. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 9см, а сторона основания 8. Найдите
высоту пирамиды (7).
3. Боковая поверхность конуса вдвое больше площади его основания. Найдите угол в развертке
боковой поверхности конуса. (180).
4. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно L и составляет с плоскостью основания
угол α. Найдите объем пирамиды. ((√3L³sin2αcosα)/8).
5. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения,
проведенного через них, равны 75. Чему равен объем призмы (375).
6. Боковая поверхность правильной четырёхугольной призмы 32 м2, а полная поверхность 40м2.
Найдите высоту (4м).
7. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 300. Основание пирамиды –
треугольник со сторонами √3см, 2см и 3см. Найдите объём пирамиды(0,5см3).
7. Боковая поверхность правильной четырёхугольной призмы равна 720 см^2, а полная поверхность
1008 см^2. Найдите высоту призмы. (15 см).
7. Боковая поверхность конуса 100π см², образующая 20см. Определите площадь основания конуса.
(25π см²)
8. Вершина треугольной пирамиды с высотой 12, проектируется в центр вписанной в основание
окружности радиуса 5. Найти площадь боковой грани с основанием 10 (65).
9. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8см, а стороны оснований – 5 и 6см.
вычислить площадь сечения, проведенного через меньшую сторону нижнего основания и
противоположную ей сторону верхнего основания (50 см2).
10. В трехгранном угле два плоских угла по 450, третий плоский угол 600. Найди двугранный угол,
противолежащей третьему углу (900).
11. Высота конуса 15м, объем 320п м3. Найдите радиус конуса (8м).
12. Высота пирамиды 16м. площадь основания равна 512 м2. На каком расстоянии от основания
находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50м2 (11м).
13. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80см, сторона основания – 120см.
вычислить площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани
пирамиды (4500 см2).
14. Внутри прямого двугранного угла взята точка M на расстоянии 12 и 16см от его граней. Найти
расстояние этой точки от ребра двугранного угла (20см).
15. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность(3 h√3)/2).
16. В прямоугольном параллелепипеде основание – квадрат. Диагональ основания равна 4см.
Sбок=8см2. Найдите высоту параллелепипеда (√2/2см).
17. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 5см, стороны оснований 6см и
8см. найдите площадь диагональных сечений (35√2см2).
18. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 16см. Ширина на 6см меньше длины. Найти
большую сторону основания, если объем параллелепипеда равен 880 см (11см).
19. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань – прямоугольники, площади которых
соответственно равны 20 дм2 и 24 дм2, а угол между их плоскостями рамен 300. Одна из боковых
граней параллелепипеда имеет площадь 15 дм2. Найдите объем параллелепипеда (60 дм3).
20. В наклонном параллелепипеде перпендикулярное к основанию сечение, площадь которого
340см2, проходит через диагональ лежащего в основании прямоугольника, со сторонами 8 и 15см.
Вычислите объем параллелепипеда (2400).
21. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а, две соседние боковые грани
перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к основанию под углом 600. Найти полную
поверхность пирамиды ( а2).
22. В основании пирамиды равнобедренная трапеция с вписанной окружностью радиуса равного 12
см. Определите высоту пирамиды, если высоты боковых граней равны 37см (35).
23. В основании пирамиды трапеция со сторонами 10, 15,20 и 15см. Вершины пирамиды, с высотой
равной 5 , проектируется на середину высоты трапеции, проходящей по оси симметрии трапеции.
Определите площадь боковой поверхности пирамиды (600см2).
24. Высота конуса 20см, радиус основания 15см. определите площадь боковой поверхности (375π
см2).
25. Высота конуса 7см. осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь
(49 см2).
26. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро, равное 2 наклонено к основанию в 45°.
Найдите объем пирамиды (16/3).
27. В правильной треугольной призме с высотой h прямая, соединяющая центр верхнего основания с
серединой стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом α. Тогда
площадь боковой поверхности данной призмы равна (6 h2ctga).
28. В прямом круговом цилиндре боковая поверхность равна 150П. Определите площадь осевого
сечения цилиндра (150см).
29. В основании треугольной пирамиды FABC лежит правильный треугольник АВС со стороной,
равной √3, FA=√3. Если боковые грани пирамиды имеют равные площади, то объем пирамиды равен
( ).
30. В основании наклонной призмы ромб с диагональю равной 24см и стороной равной 37см.
Определите объем призмы, если перпендикулярное сечение, проходящее через большую диагональ
ромба, имеет площадь 1400см2 (16800см3).
31. В основании наклонной призмы ромб с диагональю равной 40см и стороной равной 25см.
Определите объем призмы, если перпендикулярное сечение, проходящее через меньшую диагональ
ромба, имеет площадь равную 360см2 (7200см3).
32. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а боковая грань образует с плоскостью
основания угол 60°. Найдите объем пирамиды (24 см³).
33. Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой равной 10√3см и стороной
основания равной 10см (1500см³).
34. В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 100П см. Вычислите объем куба
(1000см³).
35. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами 10см,17см и 21см, а
боковое ребро 18см. Найти объем призмы (1512см³).
36. В основании пирамиды треугольник со сторонами 13см, 14см и15см. Найти высоту пирамиды,
если все высоты боковых граней равны 14см (6 √5см).
37. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой,
равной 8 √2см. Диагональ боковой грани, проходящей через катет, равен10см, тогда объем призмы
будет равен (192см³).
38. В основании прямой призмы равносторонний треугольник с медианой равной 4 см. Найдите
объем призмы, если площадь боковой поверхности равна 360 (240√3).
39. В основании прямой призмы ромб со стороной равной 12см и острым углом 60 . Через меньшую
диагональ ромбы проведено перпендикулярное сечение и его площадь равна 180см. Определить
объем этой призмы (1080 √3см3).
40. В основании прямой призмы ромб с диагоналями равными 14 и 48. определите площадь боковой
поверхности призмы, если ее объем равен 5040см (1500).
41. В основании пирамиды трапеция со сторонами 10 см, 15 см, 20 см и 15 см. Вершины пирамиды, с
высотой равной 5 см, проектируется на середину высоты трапеции, проходящей по оси симметрии
трапеции. Определить площадь боковой поверхности пирамиды (600 см2).
42. В основаниях усеченной пирамиды правильные треугольники со сторонами 2см и 6см.
Определите высоту этой пирамиды, если ее объем 52 √3см (12см).
43. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде площадь оснований равны 72 см2 и 242см2.
Определите длину бокового ребра, если ее высота равна 12см (13см).
44. В прямой треугольной призме стороны основания 10, 17 и 21, а высота призмы 20. Найти объем
призмы(1680).
45. Внутри двугранного угла взята точка М на расстоянии 12 см и 16 см от его граней. Найти
расстояние от этой точки до ребра двугранного угла (20см).
46. В прямом параллелепипеде боковое ребро 1м, стороны основания 23дм,11дм, а диагонали
относятся 2:3. Найти площади диагональных сечений (2м ,3м).
47. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b и острый угол α. Большая
диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда
(2sinα√(a3b3cosα)).
48. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA¹B¹C¹D¹E¹F¹ диагонали B¹F и B¹E равны
соответственно 8 и 10, тогда площадь основания этой призмы равна (54 ).
49. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами 10,17,21, а боковое ребро
18см. Найти объем призмы (1512см3).
49. Высоты разных цилиндров пропорциональны числам 9:16. Найдите соотношение площадей
боковых поверхностей цилиндров, если их объемы равны
( 3 : 4).
50. В наклонной треугольной призме расстояние боковых ребер друг от друга равны 13, 14, 15.
Боковое ребро равно 8см, высота призмы 4см, тогда площадь полной поверхности призмы равна
(672).
51. Высота конуса равна 12, а образующая -13. Найдите боковую поверхность конуса(65п).
52. В круге с радиусом, равным 5см, проведены две параллельные хорды по разные стороны от
центра длиною 6 и 8. Найти расстояние между ними (7).
53.В конус вписан шар объемом 4/3π. Найдите объем конуса, если его высота 3см (3π).
54. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 и 4 образуют угол=30º, боковое ребро равно 7.
Найдите полную поверхность этого параллелепипеда (164).
55. В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпендикулярны. Площадь этих граней
равны P и Q, а длина их общего ребра а. Определите объем пирамиды(2PQ/3а).
56. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 3 и 4, а высота параллелепипеда 6.
Найдите площадь диагонального сечения (30).
57. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное 6, наклонено к основанию под углом
30º. Найдите объем пирамиды ( ).
58. В трехгранном угле два плоских угла содержат 60º. на их общем ребре от вершины отложен
отрезок, равный 2. найти проекцию этого отрезка на плоскость третьего угла, равного 90º (√2).
59. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 , 24 ,а высота 8. найдите площадь
диагонального сечения (2).
60. В прямой треугольной призме стороны основания и все ребра равны. Боковая поверхность равна
27. найдите высоту (3).
61. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:3, а диагональное сечение
есть квадрат с площадью 169, тогда объем параллелепипеда равен (1014).
62. Высота конуса равна 12, а образующая -13. Найдите боковую поверхность конуса (65п).
63. В наклонной треугольной призме одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости
основания и представляет собой ромб, диагонали которого равны 3 и 4; основанием призмы служит
равносторонний треугольник. Найдите объем призмы(15√3/4).
64. В конусе образующая равна 5, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса
(15п).
65. В конусе образующая равна 5, высота равна 4. Найдите объем конуса (12п).
66. В шаре радиуса 41 см на расстоянии 9 см от центра проведено сечение. Найдите площадь этого
сечения (1600π см2).
67. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 , а стороны основания – 4. Найдите объем
пирамиды (24).
68. Высота правильной треугольной пирамиды равна 10 см, сторона основания – 10 см. вычислить
площадь сечения, проведенного через одну из сторон основания перпендикулярно к
противолежащему ребру (37,5 см2).
67. Высота цилиндра 2м, радиус основания 3 м. определите объем (18π м3).
68. Высота конуса равна радиусу основания. Объём конуса равен 9П см3. Найдите образующую
конуса (3√2 см).
69. В пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, делит высоту в отношении 1:1.
Найдите площадь основания, если площадь сечения равна 2 м2. (8 м2).
70. В прямой треугольной призме стороны основания и все рёбра равны. Боковая поверхность равна
27 м2. Найдите высоту (3 м).
71. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота прамиды равна 4.
Найдите объём пирамиды (48).
72. В кубе ABCDA1B1C1D1 через вершиныA1C1 и середину D1D проведено сечение. Найдите ребро
куба, если площадь сечения равна 50 √6 см2 (10 см).
73. В конусе образующая равна 4 и наклонена под углом 600. Найдите объём конуса.
(8√3П/3).
74. В Δ ABC сторона BC=a, и известны углы B и C. Определить объём тела, полученного от
вращения треугольника около данной стороны (П/3a3sin2Bsin²C)/sin2(B+C).
75. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 2см, а сторона основания – 4 см. Найдите
боковое ребро. (2√3 см).
76. В усечённый конус вписан шар радиуса R.Образующая конуса наклонного к основанию под
углом ά. Найти боковую поверхность усечённого конуса.(4 ПR2/sin2ά).
77. В усеченном конусе площадь боковой поверхности равна 360π см2, а площадь осевого сечения
288см2. Определите объем усеченного конуса, если его высота равна 16см (1488π см2).
78. Во сколько раз увеличится радиус, если площадь круга увеличится в два раза? (√2раз).
79. В прямоугольном параллелепипеде S(AA1B1B) = 20 см2, S(ABCD) = 45 см2, AB = 5 см. Найдите
объём и полную поверхность параллелепипеда (180 см3, 202 см2).
80. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность((3h2√3)/2).
81. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 9 см, а боковое ребро 12 см. Найдите
объём пирамиды. (378 см3).
82. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 5 см, а сторона основания – 6 см. Найдите
боковое ребро (√43 см).
83. В конус вписан шар. Найти объём шара, если образующая конуса равна L и наклонена к
плоскости основания под углом ά. ((4 П /3)L3cos3άtg3(ά/2)).
83. В конус, имеющий осевое сечение – равносторонний треугольник, вписаны два разных шара так,
что они касаются друг друга и боковой поверхности конуса. Найдите объём большего шара, если
площадь поверхности малого шара равна 16πсм2. (288πсм3 ).
84. В конус с образующей равной 39 и площадью основания 225П вписан цилиндр с высотой равной
24. Определите объем цилиндра (600П).
85. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное 6, наклонено к основанию под углом
300. Найдите объём пирамиды ((81√3)/4).
86. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 4 м образует угол 300, боковое ребро 7 м.
Найдите полную поверхность этого параллелепипеда. (164 м2).
87. В конус вписан шар объёмом (4П)/3 см3. Найдите объём конуса, если его высота 3см.
(3Псм3).
88. В цилиндре с высотой 20, на расстоянии 8 от оси симметрии перпендикулярно основанию
проведено сечение, площадь которого 600. Определите объем этого цилиндра (5780П).
89. Высота конуса 20см, радиус основания 15см. определите площадь боковой поверхности (375π
см2).
90. Высота конуса 7см. осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь
(49 см2).
92. Во сколько раз увеличится объем куба, если его грань увеличить в 2 раза? (8 раз).
93. Все ребра прямой треугольной призмы имеют одинаковую длину. Площадь полной поверхности
призмы равна 12+24√3, тогда площадь ее основания будет равна (6).
94. В пирамиде плоскость сечения параллельного основанию делит высоту в отношении 1:1. Найдите
площадь сечения, если площадь основания равна 60. (15).
94. В пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, делит высоту в отношении 1 :1.
Найдите площадь основания, если площадь сечения равна 2 м2. (8м2).
95. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10м. Стороны одного основания равны 27,29 и
52, а периметр другого основания равен 72м. Определите объем усеченной пирамиды (1900).
96. В основаниях усеченной пирамиды лежат прямоугольные треугольники с острым углом 60°.
Гипотенузы этих треугольников равны 6 и 4. Высота данной пирамиды , тогда ее объем будет равен.
(9,5).
97. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. найдите
диагональ призмы (22см).
98. Высота конуса равна радиусу основания. Объем конуса равен 9п см3. Найдите образующую
конуса (3 ).
99. Высота правильной четырехугольной пирамиды 7, стороны основания 8. Определите боковое
ребро (9).
100. Все ребра прямой треугольной призмы равны 2√3. Найдите объем призмы (18).
101. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию, если она делит
высоту в отношении 3:2. (27:98).
102. В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и b и острый угол α. Большая диагональ
основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
(2sinα√(a³b³cosα)).
103. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 12. вычислите
радиус шара. ( ).
104. Вычислите сумму всех ребер куба, если площадь полной поверхности равна 486 см2 (108).
104. В треугольнике с вершинами А(-7;-3), В(14;0) и С(-4;6) проведена медиана СК. Во сколько раз
медиана короче стороны АВ (в 2).
104. В наклонной треугольной призме расстояние боковых ребер друг от друга равны 13см, 14см,
15см. Боковое ребро равно 8см, высота призмы 4см, тогда площадь полной поверхности призмы
равна: (672см).
104. В параллепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите вектор равный сумме AB+B1C1+DD1+CD+D1B.
(AB).
104. В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпендикулярны. Площадь этих граней
равны P и Q , а длина их общего ребра равна а. Определить объем пирамиды. ( ).
104. В шар с объемом 36п см3 вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Найдите боковую
поверхность цилиндра.
( 18п см2).
104. В основании пирамиды прямоугольный треугольник с катетами а и в. А каждое боковое ребро
наклонено к основанию под углом 60°. Определите площадь большей боковой грани. ( ((а^2+d^2)
корень из 3)/4 см^2).
104. В прямоугольном треугольнике АВС из прямого угла С проведена биссектриса СК. На какие
отрезки она разбивает сторону АВ, если известны координаты вершины: А(13;-4), В(-11;-11) и С(1;5).
(10*5/7 и 14*2/7).
104. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой,
равной 8 корень из 2 см. Диагональ боковой грани, проходящей через катет, равной 10 см, тогда
объем призмы будет равен : (192 см ^3).
104. Все стороны ромба с диагоналями 30 см и 40 см касаются поверхности шара радиуса 20 см.
Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба (16 см).
104. В основании пирамиды ромб с большей диагональю равной 18 см и острым углом 60градусов.
Все грани пирамиды наклонены под углом 45градусов. Определите объем пирамиды (81√3).
104. В шар вписан конус в осевом сечении которого равносторонний треугольник. Найдите площадь
поверхности шара, если объем конуса равен 8 /3 (64П/3).
104. Высота правильной четырехугольной пирамиды 7 см, стороны основания 8 см. Определите
боковое ребро (9 см).
104. В цилиндре через образующую проведены два взаимно перпендикулярных сечения с площадью
80 см2 150 см2. Вычислите площадь осевого сечения цилиндра. (170 см2).
104. В двух конусах равные образующие, а углы между образующей и высотой равны соответственно
2ф и ф. Найдите отношение объёмов этих конусов. (4 cosф*cosф).
104. В двух конусах равные образующие L, а углы между образующей и высотой равны
соответственно 2β и β. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих конусов. (2cosβ).
104. В кубе с ребром 12 см проведено сечение через середины ребер от одной вершины. Найдите
площадь полученного сечения. (18 см)
104. Высота МО правильной четырехугольной пирамиды МАВСDравна 7, а боковое ребро равно 14,
тогда скалярное произведение векторов МО и МС равно (49)
104. В основании наклонной призмы ромб с диагональю равной 40 см и стороной равной 25см.
Определите объем призмы, если перпендикулярное сечение, проходящее через меньшую диагональ
ромба, имеет площадь 360см. (7800см)
104. Высота конуса равна его радиусу. Определите объём конуса если площадь осевого сечения
равна 100см. (1000/3 П см)
104. В прямоугольной треугольной призме стороны основания 10, 17 и 21 а высота призмы 20. Найти
объем призмы. (1680)
104. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде площади оснований равны 72 см2 и 242
см2. Определите длину бокового ребра пирамиды, если ее высота равна 12 см. (13)
104. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см, 21 см, а высота призмы 18
см. найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания. (144
см²)
104. В правильной четырехугольной пирамиде угол между высотой равной 12 см и боковым ребром
равен 60 градусов.Найдите площадь полной поверхности пирамиды (288(3+√15)см^2)
104. В кубе с ребром равным h , определите расстояние от середины боковой грани куба до одной из
вершин противоположной грани. (h* √6/2)
104. Высота конуса 15 м, объем 320π м3. Найдите радиус конуса. (12 м)В шаре на расстоянии 7 см от
центра проведено сечение, площадь которого 576π см2. Определите площадь полной поверхности
шара. (2500π см2)
104.Высота прямоугольного параллелепипеда равна 13 см. Ширина на 5 см меньше длины. Найдите
наименьшую из сторон основания, если объём параллелепипеда равен 1092 см³. (7 см)
104. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80 см, сторона основания 120 см.
Вычислите площадь сечения, проходящего черех центр основания параллельно боковой грани. (4500
см2)
104.В прямоугольном параллелепипеде длины ребер равны: 125 мм, 165 мм и 225 мм. Во сколько раз
уменьшится объём параллелепипеда, если все его измерения уменьшить в 5 раз. (в 125 раз)\
104. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:3, а диагональное
сечение есть квадрат с площадью 169, тогда объем параллелепипеда равен (1014).
104. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 12 см.
Вычислите радиус шара. (6√2)
104. В основании прямой призмы равносторонний треугольник с медианой равной 4√3 см. Найдите
объем призмы, если площадь боковой поверхности равна 360 см2. (240√3 см3).
104. В наклонном параллелепипеде перпендикулярное к основанию сечение, площадь которого 340
см2, проходит через диагональ лежащего в основании прямоугольника, со сторонами 8 см и 15 см.
Вычислите объем параллелепипеда. (2400 см3).
104. В шаре радиусом 17 см проведено сечение на расстоянии 8 см от центра шара. Вычислите
площадь сечения. (225 π см²)
105. Город A находится на земном шаре на 600 северной широты. Определите на сколько км город А
переместился в пространстве за сутки, если радиус земли 6370км (6370П).
105. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости Альфа , а плоскость
треугольника АВС образует с плоскостью Альфа угол в 30 . Найти расстояние от вершины С до
плоскости альфа , если АС=6 см , ВС =8 см. (2,4 см).
106. Два шара с радиусами 6 и 8 пересекаются так, что расстояние между их центрами 10см
определите длину окружности, полученной при таком пересечении (9,6П).
107. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна . Боковое ребро составляет с
плоскостью основания 60°. Найдите радиус описанного около пирамиды шара. (1см).
108. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6, 6 и 7см. определите длину
диагонали параллелепипеда. (11см).
109. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1, в котором АВ=1,ВС=СС1=2. Вычислите
угол между векторами DB1 и BC1. (90°).
110. Дан правильный тетраэдр, центры его граней служат вершинами нового тетраэдра, тогда
площади их поверхностей относятся как (9:1).
111. Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды равновелико основанию. Найти
площадь основания пирамиды, если ее боковое ребро равно 5 (10).
112. Диагональ куба равна 8√3см. Найти площадь полной поверхности куба.(384см²).
113. Диагональ куба равна 4 √3см. Определите объем куба (64).
114. Диаметры основания усеченного конуса 3м, 6м, а высота 4м. Определить образующую
усеченного конуса. (√(18,25)).
115. Длина прямоугольного параллелепипеда 7,7см, высота 1,2см, площадь всей его
поверхности 86,12см². Определить его ширину. (3,8 см).
116. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 25, высота 15см, сторона основания 12см.
Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. (840 см²).
117. Диагональ осевого сечения цилиндра 13, высота 5. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндр. (60π).
118. Длина образующей конуса равна 2√3, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120.
Найдите площадь основания конуса. (9π).
119. Длина бокового ребра правильной пирамиды равна √3. Боковое ребро составляет с плоскостью
основания угол 60º. Найдите радиус описанного около пирамиды шара. (1).
120. Диагональ куба равна 8√3. Найдите площадь полной поверхности куба. (384).
121. Диагональ куба равна 3. Найдите площадь полной поверхности куба. (18).
122. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 300.
Вычислить угол наклона ее к основанию. (450).
123. Диагональ осевого сечения цилиндра равна √61 см, а радиус основания – 3см. Найдите высоту
цилиндра. (5см).
124. Диаметр основания цилиндра равен 4см, высота 3см. Найдите диагональ осевого сечения. (5см).
125. Длины диагоналей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину,
равны 2√10см, 2√17см и 10см. Найдите диагональ параллелепипеда.
(2√26 см).
126. Диагональ куба 9см. Найдите площадь его полной поверхности. (162 см2).
127. Двугранный угол, образованный полуплоскостями ά и β, равен 900. Точка A удалена от граней
двугранного угла на 8см и 6см. Найдите расстояние от точки A до рёбер двугранного угла. (10см).
128. Два равнобедренных треугольника ABC и ACD имеют общее основание AC, двугранный угол
при AC равен 600, а угол, образованный стороной BC с плоскостью ACD, равен 450. Найти площадь
треугольника ABC, если BC = 6см. (12√2 см2).
129. Диагональ осевого сечения цилиндра равна √61 см, а радиус основания – 3см. Найдите высоту
цилиндра. (5см).
130. Длина ребра куба равна a. Найти расстояние между непересекающимися диагоналями двух его
смежных граней. ((a√3)/3).
131. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 300.
Вычислите угол наклона её к основанию. (450).
132. Длина трех измерений в прямоугольном параллелепипеде равна 6см, 6см и 7см. определите
длину диагонали параллелепипеда. (11см).
133. Дан прямой параллелепипед ABCDA'B'C'D'. Угол между прямыми АС и ВD равен 900. Что
лежит в основании параллелепипеда? (Ромб)
134. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2см и высотой грани 6см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. (24см2).
135. Диаметры основания усеченного конуса 3м, 6м, а высота 4м. Определите образующую
усеченного конуса. ( ).
136. Диагональ куба равна 9. Найдите площадь его полной поверхности. (162).
137. Диагональ куба равна 12. Найдите объем куба. (192 ).
137. Диаметр окружности МК, где М(-1;-4) и К(7;2). Найдите ординаты точек пересечения
окружности с осью ОУ (-3 и 5).
137. Диогонали граней параллелепипеда , проведенные из одной вершины равны 13 см , 20 см и
корень 281 см . Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда. (132 см).
137. Дан правильный тетраэдр, центры его граней служат вершинами нового тетраэдра, тогда их
объёмы относятся как: (27:1)
137.Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба. (192 см3)
138. Если увеличить радиус основания цилиндра в 2 раза, во сколько раз увеличится его объем? (4).
139. Если полная поверхность правильной треугольной призмы равна 8 , то объем этой призмы равен
(3).
140. Из вершины М прямоугольника МСКР к его плоскости проведен перпендикулярен МА найдите
его длину если АС=5см АК=11см АР=10см. (2см)
140. Из конуса вырезали шар наибольшего объема. Найти отношение объема срезанной части к
объему шара, если осевое сечение конуса – равносторонний треугольник(5/4).
141. Из одной точки на прямую опущены перпендикуляр и наклонная. Если перпендикуляр равен
9см, а наклонная – 15см, то длина проекции наклонной равна (12см).
142. Из точки на ребре прямого двугранного угла проведены на гранях две прямые, наклоненные
каждая под углом в 45º к ребру. Найти угол между этими прямыми. (60º).
143. Из точки, взятой вне плоскости, проведены к плоскости две наклонные, каждая под углом 300 к
плоскости. Проекции этих наклонных образует между собой угол в 1200. Найти расстояние от точки
до плоскости, если расстояние между основаниями наклонных равно 60см. (20см).
144. Из центра круга, описанного около прямоугольного треугольника с острым углом в 300,
восстановлен к его плоскости, перпендикуляр, длина которого 6см. Конец перпендикуляра, лежащий
вне плоскости треугольника, удалён от большого катета на 10см. Найти гипотенузу треугольника.
(32см).
145. Из шара вырезали кубик наибольшего размера. Найдите отношение объемов шара и куба ( ).
146. Из трех шаров с радиусами 3,4,5 сплавили один шар. Найдите площадь поверхности нового
шара (144П).
146. Из трех шаров радиусом 3см, 4 см и 5 см выплавили четыре новых одинаковых шара. Найдите
объем одного из полученных шаров. ( 72 пи см^3).
146. Из одной точки к плоскости проведены две наклонные, проекции которых равны 15 см и 5 см.
Найдите длины наклонных, если одна из них образует с плоскостью угол, в два раза больший, чем
другая наклонная. (10 10 см).
146. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АМ. Найдите
расстояние от точки М до прямой ВС, если ВС= 16,а АМ=2 см. (14 см)
146. Из шара вырезали кубик наибольшего размера. Найдите отношение объемов шара и куба.(5/4 )
146. Из сектора площадью 15П см² с градусной мерой 216° свернули конус, объем которого
необходимо найти. (12П см³)
146. Из точки удаленной от плоскости треугольника на расстоянии 15 см,проведены три равные
наклонные к вершинам треугольника.Определите их длину,если площадь круга,описанного около
треугольника равна 64 Пи см^2.(17 см)
146. Из середины стороны квадрата с площадью 144 см2 к его плоскости проведен перпендикуляр.
Найдите длину перпендикуляра, если расстояние от его вершины до противоположной стороны
квадрата равно 13 см. (5 см)
146.Из точки вне плоскости правильного шестиугольника, имеющего площадь равную 96√3 см², к его
вершинам проведены наклонные длиной 10см. Определите, на каком расстоянии от шестиугольника
удалена точка. (6 см)
147. Каким должен быть радиус окружности, чтобы длина ее была в два раза больше суммы длин
окружностей с радиусами 11см и 47см? (116).
148. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 15 и 20м. Из вершины прямого угла C
проведён к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD = 35м. Найдите расстояние от точки D
до гипотенузы AB. (37м).
149. Квадрат вписан в круг. Найдите площадь меньшего сегмента, отсекаемого стороной BC, если
радиус круга равен 4см. (4 П-8 см2).
149. Квадрат со стороной 12 см лежит на плоскости. Из одной вершины восстановлен перпендикуляр
длиной 12 корень из 6 см. Определите угол наклона отрезка, соединяющего вершину перпендикуляра
с противоположной вершиной квадрата. ( 60°).
149. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 6 см. найдите площадь проекции этого
треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости под углом. (60.
7,5см).
149. Куб для двух шаров является вписанной и описанной фигурой. Объем внешнего шара равен 36П
см³. Найдите поверхность внутреннего шара. (12П см³)
149. К боковым ребрам наклонного параллелепипеда равным 21 см перпендикулярно проведено
сечение площадью 55 см². Найдите объем параллелепипеда. (1155 см³)
149. Медный шар с радиусом 3см переплавили в цилиндр с высотой 9см. найдите полную
поверхность цилиндра. (44П см).
150. Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в
плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной. (
=60°).
151. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 4 см, а
сторона основания равна 2 см. ( см).
152. Найдите площадь сектора радиуса 3см, если соответствующий этому сектору центральный угол
равен 300 (3П/4).
153. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6см и
боковое ребро 30см. (21√2 см).
154. Найти объем конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с
гипотенузой 3√2см вокруг своего катета. (9Псм³).
155. Найти объем куба, если его ребро равно 6см. (216см³).
156. Найти площадь сектора радиуса 3см, если соответствующий этому сектору центральный угол
равен 30º. (3П/4см²).
157. Найти расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата, если расстояние от этой точки до
всех его сторон равно 4см, а сторона квадрата равна 2см. (√15см).
158. На поверхности конуса можно провести три взаимно перпендикулярные образующие длиной
3см каждая. Боковая поверхность конуса равна (3√6Псм²).
159. На поверхности шара лежат три точки С, D и E такие, что CD=7см, DE=8см, CE=9см.
Расстояние от центра шара до плоскости треугольника CDE равно 1см. Найдите площадь
поверхности шара (92,2П).
160. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по см, а стороны основания
равны 10 см, 10см и 12см. ( см).
161. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6см и
боковое ребро 30см (21 см).
162. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 3см, а радиус окружности основания
см. (6π см).
163. Найдите объем куба, если его площадь поверхности равна 150. (125)
164. Найти объем правильного тетраэдра с ребром, равным, а. ( ).
165. Найдите объем усеченной пирамиды , площади оснований которой 16 см2 и 4 см2 , а высота
равна 3 см. (28 см3)
166. Найдите боковую поверхность цилиндра, высота которого равна 5см, если известно, что при
увеличении его высоты на 4см, объем увеличится на 36п. (30п).
167. Найдите объем шара, если радиусы его внутренней и внешней поверхности равны 3 и 6. (252п).
168. Найдите объем куба, если его площадь поверхности равна 150. (125).
169. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро 3см, а сторона
основания равна 4см. (5 ).
170. Найдите боковую поверхность цилиндра, высота которого равна 5см, если известно, что при
увеличении его высоты на 4см, объем увеличивается на 36п. (30п).
171. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 6см и
боковое ребро 30см. (21 см).
172. Найдите объем конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольника с
гипотенузой 3√2 вокруг своего катета. (9п).
173. Найдите площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, если его образующая равна
18, а площадь основания равна 36п. (108п).
174. Наклонная образует угол 45º с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в
плоскости под углом 45º к проекции наклонной. Найдите угол α между этой прямой и наклонной.
(60º).
175. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если радиус шара равен 8, а радиус
сечения равен √15. (7).
176. Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит параллелограмм с диагоналями 4 и 2√3,
если угол между ними равен 30º, а высота пирамиды равна меньшей стороне основания. (2/√3).
177. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 7см, 4см, и 3см. (84 см3).
178. Найдите объем куба, если площадь поверхности равна 150 см2. (125см).
179. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3см и
4см вокруг меньшего катета. (16π см3).
180. На плоскости дан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12см, в пространстве
дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на расстояние 10см, вычислить расстояние
от точки до плоскости. (8см).
181. Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро AB и
середину ребра C1C, если ребро куба равно 4см. (8√5 см2).
182. Найдите площадь поверхности шара, если объём его равен 32 П/3. (50,24).
183. Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3см и
4см вокруг меньшего катета. (16 см3).
184. Найдите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания 6см и боковое
ребро 30см. (21√2 см).
185. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника
с гипотенузой 3√2 см вокруг своего катета. (9Псм3).
186. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все её боковые рёбра по √40 см, а стороны
основания равны 10см, 10см и 12см. (√15/4см).
187. Найдите расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата, если расстояние от этой точки
до всех его сторон равно 4см, а сторона квадрата равна 2см. (√15 см).
188. Найдите расстояние от некоторой точки до плоскости правильного треугольника, если
расстояние от этой точки до всех его сторон равно 3см, а сторона треугольника равна 2√3 см. (2√2
см).
189. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром а. ((a√6)/12).
190. Найдите объём полого шара, если радиусы его внутренней и внешней поверхности равны 3см и
6см. (252 см3).
191. Найти объём правильной четырёхугольной призмы, если угол между диагональю призмы и
боковой гранью равен 300, а сторона основания равна a. (√2 a3).
192. Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, у которой высота √3, а плоский угол при
вершине равен 300. (2(2- √3)).
193. Найдите площадь поверхности шара, если объем его равен 32π/3. (26).
194. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 7см, 4см и 3см.
(84 см3).
195. Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами 2см, см и
углом между ними 300, если высота пирамиды равна меньшей диагонали основания. (1/ см3).
196. Найдите объем конуса, если его высота равна 6см, площадь боковой поверхности 24п см2 (24п
см3).
197. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым
ребром угол 300, тогда объем призмы будет равен (72см3).
197. Найдите сумму длин медиан треугольника АВС, если его вершины А(-6;2), В(6;6), С(2;-6) ( 4 ).
197. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой равной 6 корень из 6, если
боковое ребро наклонено к основанию под углом 60. (288 ).
197. Найдите длину образующей усечённого конуса, если радиусы оснований равны 2 см и 10 см, а
его высота 15 см. (17 см)
197. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина 7 см, а
диагональ 11 см. (252 см3)
197.Найдите площадь сечения проведенного в призме через высоту прямоугольного треугольника,
лежащего в ее основании. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см, а высота
призмы равна 9 см. (108 см²)
197. Найдите площадь сечения проведенного в прямой призме через высоту прямоугольного
треугольника, лежащего в ее основании. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см, а
высота призмы равна 20 см. (288 см²)
198. Определить длину бокового ребра пирамиды, если ее высота равна 12 см (13).
199. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 9см и высотой 10см описан
шар. Найдите радиус шара. (6,35см).
200. Образующая конуса, вписанного в шар равна 8см, а радиус шара 5см. Найти объем конуса
(49,152П см).
201. Образующая конуса, вписанного в шар равна 8см, а радиус шара 5см. Найдите радиус основания
конуса (4,8).
202. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30º.
Найти объем конуса (8Псм³).
203. Объем шара 10 2/3Псм3. Определите площадь полной поверхности шара. (16πсм2).
204. Объем прямого кругового цилиндра равен 112П, а его высота равна 28. Найдите длину
диагонали осевого сечения (20√2).
205. Около куба описан цилиндр. Найти полную площадь поверхности цилиндра, если поверхность
куба равна S ((SП(1+√2))/6).
206. Определите угол наклона отрезка к плоскости, если длина наклонной 22см, а длина ее проекции
11см. (60º).
207. Определите объем правильной четырехугольной пирамиды, зная угол ее бокового ребра с
плоскостью основания α и площадь ее диагонального сечения S. (2/3 S ).
208. Осевым сечением конуса служит прямоугольный треугольник, площадь которого равна 9. Найти
объем конуса (9П).
208. Определите расстояние от вершины правильной треугольной пирамиды до сторон основания,
если высота пирамиды равна 24см, а площадь круга, вписанного в основание равна 49П (25см).
209. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Найти
радиус сферы, касающейся основания конуса, его основания и боковой поверхности. ((√3-1)/4).
210. Основанием пирамиды служит ромб со стороной 14см и острым углом 60º. Двугранные углы
при основании пирамиды по 45º. Найти объем (343см).
211. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого β. Найти объем
цилиндра, вписанного в этот параллелепипед, если объем параллелепипеда равен V. (ПVsin β/4).
212. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом α при вершине.
Диагональ грани, противоположной данному углу, равна l и составляет с плоскостью основания угол
β. Найти объем призмы (1/8l 3sin2βcosβctgα/2).
213. Объем куба равен 16 . Найдите радиус окружности, описанной вокруг грани куба (2см).
214. Образующая прямого конуса равна 4см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Найдите объем конуса. (8п см).
215. Основание прямой призмы - треугольник, у которого одна сторона равна 2м, а две другие 3м,
боковое ребро равно 4м. Чему равно ребро равновеликого призме куба? (2 ).
216. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 6м и 8м, высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей ромба и равна 1м. Найдите боковую поверхность пирамиды (26м²).
217.Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Каждое боковое ребро
пирамиды равно 13см. Найдите высоту пирамиды (12см).
218. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите радиус
основания цилиндра. (5 см).
218. Осевое сечение усеченной пирамиды с высотой равной 8 см прямоугольные треугольники с
гипотенузами 4 см и 9 см а также с острыми углами 60 градусов. Вычислите объем усеченной
пирамиды. (133 ).
219. Основанием правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами а и b(а>b).
Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Определить величину двугранных
углов при сторонах оснований. (arctg( tg )).
220. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 4 и 6. Каждое из боковых ребер
равно 7. (48).
221. Образующая конуса 5см, радиус основания 4см. Определите площадь полной поверхности. (36п
см).
222. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 20см. Найдите радиус
основания цилиндра. (5 см).
223. Основание прямого параллелепипеда ромб, площадь которого равна 3 см2, а площади
диагональных сечений 3 и 2. Найдите объем параллелепипеда. (6 см3).
224. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом α при вершине.
Диагональ грани, противоположной данному углу, равен ℓ и составляет с плоскостью основания угол
β. Найдите объем призмы. ((ℓ³sin2βcosβctg(α/2))/8).
225. Основанием пирамиды служит со стороной 12 и острым углом 60º. Двугранные углы при
основании пирамиды по 45˚. Вычислите объем пирамиды. (343).
226. Основание пирамиды - квадрат, ее высот проходит через одну из вершин основания. Найдите
боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20, а высота 21.
(10).
227. Основание прямоугольного параллелепипеда - квадрат. Найдите объем параллелепипеда, если
высота его равна 4, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45º. (32).
228. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого α. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если площадь
боковой поверхности параллелепипеда рана S. ((πSsinα)/4).
229. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами a и b (a>b).
Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60. Определите объем усеченной
пирамиды ( ).
230. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усеченного конуса равны
соответственно 13, 11, 6. Вычислить объем этого конуса. (892п).
231. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 3, высота равна 1. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды. (3√13).
основание круга, если высота пирамиды равна 12 см. (36π см2).
232. Осевым сечением конуса служит прямоугольный треугольник, площадь которого равна 9.
Найдите объем конуса. (9π).
233. Образующая конуса равна 10см, а высота 8см. Найдите объем конуса. (96π см3).
234. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 10 и 14 см. каждое из боковых ребер
пирамиды наклонено к основанию под углом 450. Вычислить объем пирамиды. (70 см3).
235. Образующая конуса 5см, радиус основания 4см. Определите площадь полной поверхности
конуса. (36π см2).
236. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300 и равна 8см. Найдите
площадь осевого сечения конуса. (16√3 см2).
237. Образующая конуса наклонена под углом α к основанию и равна b. Найдите объем конуса (1/6 П
b3cosαsin2α).
238. Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 20см. Найдите радиус
основания цилиндра. (5 √2 см).
239. Основанием прямой призмы служит ромб, диагонали призмы равны 8 и 5см, высота – 2см.
Найдите сторону основания. (9/2 см).
240. Образующая прямого кругового конуса равна 6см и наклонена к плоскости основания под углом
600. Найдите площадь полной поверхности конуса. (27П см2).
241. Отрезок длиной 10см пересекает плоскость, причём концы его находятся на расстоянии 3см и
2см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
(300).
242. Основание прямого параллелепипеда ромб, площадь которого равна 3 см2, а площади
диагональных сечений 3 см2 и 2 см2. Найдите объём параллелепипеда. (3 см3).
243. Определите объём правильной четырёхугольной пирамиды, зная угол её бокового ребра с
плоскостью основания ά и площадь её диагонального сечения S. ((2/3)S√S√ctgά).
244. Определите объем треугольной пирамиды, если стороны основания равны 10, 17,21,а высоты
боковых граней равны 3,7 (33,6).
245. Определите тангенс двугранного угла, образованного боковой гранью и основанием тетраэдра (2
).
246. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см, а
боковая сторона 10см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие
по 600. Найдите высоту пирамиды. (3√3 см).
247. Основание пирамиды равнобедренный треугольник со сторонами 5см, 5см и 6см. Высота
пирамиды 9см. Найдите объём пирамиды. (36 см3).
248. Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 м и 8 м, высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей ромба и равна 1м. Найдите боковую поверхность пирамиды (26м2).
249. Объём правильной треугольной призмы равен 27√3 см3. Радиус окружности, описанной около
основания, равен 2см. Найдите высоту призмы. (9см).
250. Объём цилиндра равен 63 см3, а площадь осевого сечения 18 см2. Найдите радиус основания
цилиндра. (7см).
251. Объем правильной треугольной пирамиды равен 300 см3. определите площадь вписанного в
основание круга, если высота пирамиды равна 12см (25П).
252. Образующая усечённого конуса L составляет с плоскостью нижнего основания угол ά и
перпендикуляр к прямой, соединяющей верхний конец её с нижним концом противоположной
образующей. Найти боковую поверхность усечённого конуса.
(ПL2tgάsinά).
253. Основанием правильной усечённой пирамиды служат квадраты со сторонами a и b (a>b).
Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом ά. Определить величину двугранных
углов при сторонах оснований. (arctg(√2tgά)).
254. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого ά. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если площадь
боковой поверхности параллелепипеда равна S. ((П*S*sinά)/4).
255. Около шара описана правильная четырёхугольная пирамида, у которой длины сторон оснований
относится, как m:n. Определите отношение объёмов пирамиды и шара.
((2 / П)((m2+n2mn) / mn)).
256. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 3 см3, высота равна 1 см. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды. (√13 см2).
257. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 1. Найдите радиус
сферы, касающейся оси конуса, его основания и боковой поверхности.
((√3-1) / 4).
258. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один их углов которого β. Найдите объём
цилиндра, вписанного в этот параллелепипед, если объём параллелепипеда равен V. ((ПVsin β)/4).
259. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300 и равна 8см. Найдите
площадь осевого сечения конуса. (16√3 см2).
260. Основанием пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Все двугранные
углы при основании пирамиды равны 600. Найдите высоту пирамиды.
(2√3 см).
261. Основанием пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Каждое ребро
пирамиды равно 13см. Найдите высоту пирамиды. (12см).
262. Основание прямого параллелепипеда ромб, площадь которого равна 3 см2, а площади
диагональных сечений 3 см2 и 2 см2. Найдите объём параллелепипеда. (6 см3).
263. Основанием призмы служит правильный треугольник, вписанный в круг радиуса 6см. боковые
грани призмы – квадраты. Чему равен объем призмы (486 см3).
264. Образующая конуса 5см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Определите высоту
конуса. (2,5см).
265. Образующая конуса равная 12 дм наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите
высоту. (6 дм).
266. Один из углов параллелепипеда равен 400. Найдите неравный ему угол. (1400).
267. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит прямоугольник, вписанный в круг
радиуса R, причем меньшая сторона этого прямоугольника стягивает дугу окружности равную (2а)0.
Найти объем этого параллелепипеда, зная его боковую поверхность S. (1/ ).
268. Основанием пирамиды служит ромб со стороной 14см и острым углом 600. Двугранные углы
при основании пирамиды по 450. Вычислить объем пирамиды. (343 см3).
269. Образующая конуса 5см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Определите высоту
конуса. (2,5см).
270. Определите объем правильной четырехугольной пирамиды, зная угол ее бокового ребра с
плоскостью основания α и площадь ее диагонального сечения S. ( ).
271. Определите процент отхода материала, после того, как из деревянного шара радиусом 6см
вырезали кубик наибольшего размера. %)
272. Определите высоту конуса, объем которого π, а площадь осевого сечения 100 (10 ).
273.Определить во сколько раз объем конуса больше объема цилиндра, если высота
конуса равна30см, а радиус цилиндра 3см. (в 14,4 раза).
274. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна , составляет с
одной гранью угол 300, а другой 450 ( ).
275. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см, а
боковая сторона 10см. Высота пирамиды 3см. Найдите объем пирамиды. (48 см3).
276. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8,
высота призмы 7. Найдите площадь поверхности этой призмы. (216).
277. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 и 8. Каждое боковое ребро пирамиды
равно 13. Найдите высоту пирамиды. (12).
278. Объем куба равен 16√2. Найдите радиус окружности, описанной вокруг грани куба. (2 см).
279. Объем правильного тетраэдра равен 2√2/3. Найдите его ребро (2см).
280. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 6 и 8, высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей ромба и равна 1. Найдите боковую поверхность пирамиды. (26).
281. Основание пирамиды – параллелограмм, у которого стороны 3см и 7см, а одна из диагоналей
6см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4см. Найдите
боковые ребра пирамиды (5см,6см).
282. Около куба описан цилиндр. Найдите полную площадь поверхности цилиндра, если поверхность
куба равна S. (Sп(1+√2)/6).
282. Объем шара 228 Пи. Вычислить площадь поверхности шара (144 Пи).
282. Объем правильной, со всеми равными ребрами, шестиугольной призмы равен 324 . Найти
площадь большего диагонального сечения призмы. (72).
283. Образующая конуса наклонена под угломA к основанию b. Найдите объем конуса. (1/6
Пb^3*cosa*sin2a).
283. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см, 8 см. Каждое боковое ребро 13 см.
Определите высоту пирамиды. (12 см)
283. Основание пирамиды –прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, все боковые ребра равны 5√5
см. Найдите объем пирамиды. (160)
283. Объём конуса, имеющего осевое сечение – равносторонний треугольник, равен (8√3π)/3 см³.
Вычислить полную поверхность конуса. (12π см²).
283. Объем конуса с радиусом 12 см увеличился на 125%, при этом высота осталась неизменной.
Найдите новый радиус конуса. (18 см)
283. Объем конуса равен 320π см3,а радиус основания 8 см.Найдите длину образующей конуса. (17
см)
283. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6см, 10 см и 14 см. Каждое из боковых
ребер пирамиды наклонено к оснаванию под углом 45°. Вычислите объем пирамиды. (70 см³)
283. Объем цилиндра 40π см3, а боковая поверхность равна 40π см2 . Найдите отношение длин
высоты цилиндра к его радиусу. (5:1)
283. Одна наклонная длиной 18 см образует с плоскостью угол 30°, другая наклонная угол 45°.
Вычислите длину второй наклонной, если они обе выходят из одной точки. (9 см)
283. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найдите площадь его боковой
поверхности (24п).
284. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна
16√3.Вычислите объем призмы, если площадь боковой поверхности равна 360√3 (720см3).
285. Полукруг свернут в коническую поверхность. Сколько градусов содержит угол между
образующей и высотой конуса? (30).
286. Полукруг радиуса 6 см свернут в конус. Найдите объем конуса (9 ).
287. Прямоугольник со сторонами вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной
поверхности фигуры вращения. (72).
288. Площадь диагонального сечения куба равна 8 . Найдите площадь поверхности куба. (48).
290. Площадь диагонального сечения куба 25 . Найдите объем куба (125).
291. Площадь поверхности шара 100 п. Вычислите объем шара. (500п/3).
283. Площадь поверхности шара 36 П. Найдите объем шара (36П).
284. Правильная четырехугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара
5см, а ребро основания призмы 6см. (2 см).
285. Площадь поверхности одного шара равна 18. Найдите площадь поверхности другого шара,
объем которого в 8 раз больше объема данного шара. (72).
286. Площадь круга, описанного около шестиугольника равна 36Псм. Найдите площадь правильного
шестиугольника. (54√3см).
287. Площади осевых сечений двух разных шаров равны 144Псм и 64Псм. Найти отношение их
объемов. (3,375).
288. Площадь основания конуса в 36 раз больше площади основания цилиндра, вписанного в конус.
Определите во сколько раз объем конуса больше объема цилиндра, если высота конуса 30см, а
радиус цилиндра равен 3см. (в 14,4 раза).
289. Площадь основания тетраэдра 97 см. Определить площадь полной поверхности тетраэдра
(388см).
290. Площадь большей боковой грани прямой призмы, в основании которой прямоугольный
треугольник равна 208. Определите объем призмы, если катеты прямоугольного треугольника равны
5см и 12см (480).
291. Плоскость , параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его в точках А1 и В1,
лежащих на прямых АС и ВС соответственно. Найдите А1С, если АС = 15см, А1 В1=4см. (3 см).
292. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Площадь боковой
поверхности пирамиды равны 192. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани
пирамиды (8см).
293. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найдите площадь его боковой
поверхности. (24п).
294. Правильная 4-угольньая призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара 5, а
ребро основания призмы 6. (2√7).
295. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найдите площадь его боковой
поверхности. (24п).
296. Прямоугольник со сторонами √(3/п) и √(27/п) вращается вокруг меньшей стороны. Найдите
площадь полной поверхности фигуры вращения. (54).
297. Площадь осевого сечения цилиндра относится к площади его основания, как 4:π. Чему равен
угол между диагоналями осевого сечения? (900).
298. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найдите площадь его боковой
поверхности. (24П).
299. Площадь поверхности одного шара равна 18 см2. Найдите площадь поверхности другого шара,
объём которого в 8 раз больше объёма данного шара. (72 см2).
300. Площадь поверхности сферы 324 П м2. Найдите радиус сферы. (9м).
301. Периметр правильного треугольник, вписанного в окружность, равен 54см. Найдите периметр
квадрата, вписанного в эту окружность. (24√6 см).
302. Площадь основания правильной треугольной призмы равна 12 √3 см2. Найдите объём призмы,
если её высота в 2 раза больше стороны основания. (288 см3).
303. Прямоугольник со сторонами √3/ П см и √27/ П см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите
площадь полной поверхности фигуры вращения. (72 см2).
304. Прямые AB,AC,AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если ВD =с, ВС =а, AD=m.
( ).
305. Площадь основания правильной треугольной призмы равна 4 см2, площади боковых граней 9
см2, 10 см2 и 17 см2. Определите объём призмы. (12 см3).
306. Площадь осевого сечения цилиндра равна 6 √ П дм2, а площадь основания цилиндра равна 25
дм2. Найдите высоту цилиндра. (0,6 дм).
307. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 2√13 см2, сторона
основания равна 2см. Найдите объём пирамиды. (2 см2).
308. Площадь боковой поверхности конуса вдвое больше его основания. Найдите угол в развертке
боковой поверхности конуса. (1800).
309. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 900. Площадь боковой
поверхности пирамиды равны 192 см2. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани
пирамиды. (8см).
310. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 136√Псм2, а его объём равен
17 см3. Найдите высоту цилиндра. (272см).
311. По данной стороне основания 9 см и боковому ребру 11см. Найдите высоту правильной
треугольной пирамиды. (√94 см).
312. Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны 6 см2, 2 см2 и 3 см2. Найдите его
объём. (6 см3).
313. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 2√13 см2, сторона
основания равна 2 см. Найдите объём пирамиды. (2 см2).
314. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24. Найдите площадь его боковой
поверхности. (24П).
315. Прямоугольная трапеция MKPN (MN || KP и угол N равен 900) вращается вокруг оси,
содержащей сторону KP. Найдите объём фигуры вращения, если KP = 2 см, диагональ MP=6 см и
угол MPK = 600. (72П см3).
316. Правильная треугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара – (√7
/ √3) см, а ребро основания призмы – 2см. (2см).
317. По данной стороне основания 9см и боковому ребру 11см найдите высоту правильной
треугольной пирамиды. (√94см).
318.Полукруг свернут в коническую поверхность. Сколько градусов содержит угол между
образующей и высотой конуса (300).
319. Площадь боковой поверхности цилиндра 60 Псм2, высота 6см. Найдите объём цилиндра (150
Псм3).
320. Площадь боковой поверхности конуса вдвое больше площади его основания. Найдите угол в
развертке боковой поверхности конуса (1800).
321. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, площади боковых граней 9 см2, 10
см2 и 17 см2. Определите объем призмы. (12 см3).
322. Плоскость, проходящая, через сторону основания правильной треугольной призмы и середину
противолежащего ребра образует с основанием угол 450. Сторона основания m. Найдите боковую
поверхность призмы. (3 m2 ).
323. Правильная треугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шар √(7/3),
а ребро основания призмы 2. (2).
324. Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен 18см, а угол, образованный
высотой пирамиды с боковой гранью равен 30. Определите объем пирамиды. (9√3).
324. Прямоугольник со сторонами 6см и 12см свернули двумя способами в цилиндр. Найдите
отношение их объёмов. (2:1).
324. Правильная четырехугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара
5 см, а ребро основания призмы 6 см. (2√7 см).
324. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около гипотенузы. Найдите
объём полученного тела вращения. (9,6π см³)
324. Площадь основания пирамиды 37 см , а все грани наклонены под углом 60 . Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды . (74 см).
324. Площадь осевого сечения цилиндра 70см, высота 7 см. Найдите площадь полной поверхности
цилиндра. (120П см)
324.Площадь основания цилиндра 36 π см2, высота 8 см. Найдите объем цилиндра.(288 π см3)
324. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна 16 см2
.Вычислите объем призмы, если площадь боковой поверхности равна 360 см2 . (720 см³)
324. Ребро куба равно а. Найдите угол наклона диагонали куба к плоскости основания куба. (arcsin
/3).
325. Расстояние между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной
треугольной призмы 2, 3, 4, а боковые ребра 6 см. Найдите боковую поверхность призмы. (54).
326. Радиус основания конуса 3 м, образующая 5 м. Найдите высоту. (4 м).
327. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2, тогда площадь квадрата составляет. (16).
328. Радиусы трех шаров равны 3 см, 4 см, 5 см. чему равен радиус шара, объем которого равен
среднему арифметическому их объемов? (2 ).
329. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольника, одна из сторон которого
вдвое больше другой. Боковая поверхность цилиндра равна 20 дм. Определите полную поверхность
цилиндра. ( ).
330. Радиус кругового сектора 6, его угол-30º, сектор свернут в коническую поверхность. Найдите
площадь основания конуса (П /4 см2).
331. Радиусы оснований усеченного конуса 12 и 9, образующая наклонена к основанию под углом
45º. Найдите высоту. (3).
332. Радиусы оснований усеченного конуса 10 и 4, а образующая наклонена к плоскости под углом
450. Найдите площадь осевого сечения конуса. (84).
333. Радиусы оснований усеченного конуса 7 и 4, образующая наклонена к основанию под углом 600.
Найдите образующую. (6).
334. Радиусы шаров раны 25м и 29м, а расстояние между их центрами 36м. Найдите длину линии, по
которой пересекаются их поверхности. (4п м).
335. Радиус основания конуса равен 12см, образующая – 40 см, найти угол развертки конуса. (1080).
336. Радиусы шаров равны 6 см и 5 см, а расстояние между их центрами 8 см. Найдите длину линии,
по которой пересекаются их поверхности. (7П).
337. Расстояние от точки O отрезка CD, пересекающего плоскость ά, до плоскости ά равно 18см, а
расстояние от D до плоскости ά равно 16см. Найдите расстояние от середины отрезка CD до
плоскости ά. (17см).
338. Ребро правильного тетраэдра равно a. Чему равен радиус полусферы, касающейся боковых
граней тетраэдра, центр которой лежит на основании тетраэдра? (a/3)(√2 /√3).
339. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 3см. Найдите расстояние от этой
точки до его вершин, если оно одинаковое для всех вершин, а сторона квадрата равна 4см. (√17см).
340. Расстояние от вершин A, B, C параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость ά, до
плоскости ά равны соответственно 14см, 11см и 4см. Найдите расстояние от вершин D до плоскости
ά. (7см).
341. Радиус основания цилиндра 5 см, высота 6 см. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра. (60П см2).
342. Радиус основания конуса равен 4 см, а высота – 8 см. Найдите площадь сечения конуса
плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины. (6,25
Псм2).
343. Ребро куба равно a. Найдите длину диагонали. (а ).
344. Радиусы оснований усеченного конуса 9 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую. (5м).
345. Радиус основания 6 см, высота 8 см. найдите образующую. (10 см).
346. Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого
сечения. (30 дм2)
347. Радиус шара 3см. найдите объем шара. (36п см3).
348. Радиусы оснований усеченного конуса 12 см, 9 см, образующая наклонена к основанию под
углом 450. Найдите высоту. (3см).
349. Радиус кругового сектора равен 6см, а его угол-30º. Сектор свернут в коническую поверхность.
Найти площадь основания конуса. (П/4 см).
350. Радиус основания конуса равен 12см, образующая – 40см. Найти угол развертки конуса. (108º).
351. Радиус трех шаров равны 3см, 4см, 5см. Чему равен радиус шара, объем которого равен
среднему арифметическому их объемов? (6).
352. Радиус шара 3 см. Найти объем. (36П см).
353. Расстояние от некоторой плоскости до плоскости квадрата равно 3см. Найти расстояние от этой
точки до его вершин, если оно одинаковое для всех вершин, а сторона квадрата равна 4см. (√17см).
353. Ребро куба равно 6 см , ВМ:МС=1:2.Определите площадь треугольника A1MD1 ( 18√2).
353. Радиус шара, вписанного в куб равен 3 см. найти разность объёмов куба и шара. (36(6-П) см³)
354. Сечение цилиндра квадрат – с периметром 32см определите полную поверхность цилиндра.
(96π)
354.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, площадь полной
поверхности 3а2, тогда объем этой пирамиды равен. ((а3√3)/6).
355. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6см и 8см. Боковое ребро
параллелепипеда 5/2см. Найти объем параллелепипеда. (120см).
356. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4см и 6см.
Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол,
равный 45°. (10).
357. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, двугранные углы при
боковых ребрах –1200. Найти боковую поверхность пирамиды. (400 см2).
358. Стороны основания правильной треугольной пирамиды а, боковое ребро в. Определите высоту
пирамиды. ( ).
359. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и 4 см, а синус угла между ними равен
√7/4. Найдите угол, который образует меньшая диагональ параллелепипеда с основанием, если её
длина 4√2 см. (600).
360. Стороны основания наклонного параллелепипеда 2 дм и √3 дм, а угол между ними 300.
Меньшее диагональное сечение, являющееся ромбом, перпендикулярно основанию. Найдите объём
параллелепипеда, если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным 600. (1,5
дм3).
361. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 10 см, 17 см, 21см, а высота 18 см.
Найдите объём этой призмы. (1512см3).
362. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранные углы при
боковых ребрах составляют 120. Найдите объем пирамиды. ( ).
363. Сторона BC треугольника ABC равна 5 см и лежит в плоскости P, а вершина A удалена от
плоскости P на 6 см. Найти площадь треугольника ABC, если его плоскость наклонена к плоскости P
под углом 600. (10√3 см2).
364. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а угол между ними 300.
Боковое ребро параллелепипеда 5 см. Найдите объём параллелепипеда. (120см3).
365. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см. Боковое ребро
параллелепипеда 5/2 см. Найдите объём параллелепипеда. (120 см3).
366. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4см и 6см.
Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол,
равный 450. (10 см2).
367. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 14 см и 48 см, а высота равна 8 см.
Найдите площадь диагонального сечения. (400 см2).
368. Сумма ребер правильного тетраэдра равна 54см. Вычислите площадь полной поверхности
тетраэдра. (81√3).
368. Стороны основания правильной треугольной пирамиды a, боковое ребро b. Определите высоту
пирамиды. Корень квадратный √ ( 3b2-a2/3)
368. Сумма всех ребер в правильной шестиугольной призме (высота равна стороне основания) равна
180 см.Определите объем призмы. (1500 см3)
369. Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки, соединяющие их центры, образуют
прямоугольный треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6
и 4. (2).
370. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности,
а две другие удалены от него на 6 см и 4√3 см. Найдите площадь треугольника. (48√3см2).
371. Треугольник ABC c прямым углом ACB и катетом AC, принадлежащим плоскости ά, образует с
этой плоскостью двугранный угол, равный 450. Найдите расстояние от вершины B до плоскости ά,
если AC = 20см и AB:BC = 3:1. (5см).
372. Три линейных размера прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Найдите длину
диагонали. (7 см).
373. Три измерения прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам 2:3:5. Найдите
сумму всех ребер, если его объем равен 1920 (160).
374. Три шара с радиусом 3см, 4см и 5см сплавили в один шар. Найти радиус нового шара. (6см).
375. Три шара с радиусами 3 см, 4 см,5см сплавили в один шар. Найдите среднее арифметическое
объемов трех шаров. (96П).
375. Три шара с радиусами 3 см, 5 см и 12 см попарно касаются друг друга. Найдите поверхность
шара, проходящего через все центры данных шаров. (289п см2).
375. Точка М удалена от плоскости правильного многоугольника на расстоянии 15 см. Найдите
расстояние от этой точки до вершин многоугольника, если площадь круга, описанного около него
равна 64 см². (17 см)
376. Угол между высотой и образующей конуса равен 30º. Вычислить объем конуса, если
образующая конуса 12см. (72√3П см).
377. У параллелограмма, лежащего в основании наклонного параллелепипеда стороны 20см, 32см и
острый угол 60º. Через меньшую диагональ параллелограмма, в призме
объема 6400 √3 см, проведено перпендикулярное сечение, площадь которого необходимо найти.
(560см).
378. Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды 45°.
Объем пирамиды равен 1/3. Найти сторону основания пирамиды. (2).
379. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и боковой гранью равен 30º. Найдите
длину стороны основания, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 1. (6).
380. Через вершину прямого угла C прямоугольного треугольника ABC параллельно гипотенузе на
расстоянии 10 см от неё проведена плоскость. Проекции катетов на эту плоскость равны 30 см и 50
см. Найдите проекцию гипотенузы на эту же плоскость.
(60см).
381. Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания 4см, а
боковые ребра взаимно перпендикулярны. (16 см3).
382. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная его
плоскости. Расстояние от точки K до других вершин прямоугольника 12, 14 и 18. Найдите отрезок
AK (4).
383. Шар, радиус которого 13 см пересечен плоскостью на расстоянии 12см от центра. Найдите
площадь сечения. (25Псм2).
384. Шар, радиус которого 17 см пересечен плоскостью на расстоянии 15см от центра. Найдите
площадь сечения. (64Псм2).
384. Через вершину прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости
прямоугольника. KD = 4√10, KB = 5, KC = 13. Найти AK. (4)
1. АВ-диаметр окружности. А(5;-2) В(7;-4). Найдите координаты центра окружности. (6;-3)В
параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ сумма векторов ̄AD + ̄D₁C₁+ ̄BB₁ равна ̄AС₁
2. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 720,а полная поверхность
1008.Найдите высоту призмы.(15см)
3. В прямоугольном треугольнике ABC (угол С = 90⁰) CK – биссектриса, угол А = 15⁰, АС = √3.
Найти АК (√2). 4. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки 4 см и 5см. Определить площадь треугольника. (54 см²)
5. В правильный шестиугольник со стороной 12 см вписана окружность, площадь которой
необходимо найти. (108π см²).
6. В правильной четырёхугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ диагонали B₁F и B₁E равны
соответственно 8 см и 10 см, тогда площадь основания этой призмы равна : 54√3 см²
7. В равнобедренной трапеции с углом равным 135 градусов,большее основание равно 18 см,а
высота-5см.Найти среднюю линию трапеции(13см)
8. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20 см, а основание относится к высоте как
8:3. найдите радиус вписанной окружности. (5 ⅓)
9. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота равны 4. Найти радиус
описанной окружности. (2,5)
10. В равностороннем треугольнике сумма всех биссектрис равна 33√3 см. Найдите площадь
треугольника. (121√3 см²).
11. В треугольнике ABC AB=BC. Высота АК делит сторону ВС на отрезки ВК=24см и КС=1см.
Найдите площадь треугольника АВС.(87,5)
12. В треугольнике ABC: AC = DC = 10, угол B = 60⁰. Прямая BD перпендикулярна плоскости
треугольника, BD = 5. Чему равно расстояние от точки D до прямой AC? (10)
13. В четырёхугольнике ABCD, вписанном в круг ‹ ABD= 52 ̊, ‹ADC = 84˚. Найдите ‹B
четырёхугольника. 96 ̊
14. В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB=15 см, BC=20 см, CD=17 см.
Какое из следующих утверждений верно? Длина стороны AD = 12 см
15. В четырёхугольнике ABCD, вписанном в круг ‹ ABD= 52 ̊, ‹ADC = 84˚. Найдите ‹B
четырёхугольника. 96 ̊
16. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность. (3 h²√3)/2
17. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность. (3 h²√3)/2
18. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее
основание на отрезки 7 см и 19 см. Вычислите среднюю линию трапеции. (19 см)
19. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна
4√3. Один из катетов равен 8. Найдите площадь исходного треугольника. 32√3
20. Высота цилиндра 2 м, радиус основания 3 м. Определите объем. (18π м³.)
21. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите его катеты, если один из них на 4
см больше другого. (12 см, 16 см)
22. Двугранный угол, образованный полуплоскостями α и β, равен 90˚. Точка А удалена от граней
двугранного угла на 8 см и 6 см. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла. 10 см
23. Диагональ осевого сечения цилиндра равна корень из 61см,а радиус основания 3см.Найдите
высоту цилиндра(5см)
24. Диаметр окружности МК где М(-1; -4) и К (7;2). Найдите ординаты точек пересечения
окружности с осью ОУ. (-5 и 3)
25. Дан треугольник со сторонами 10 см, 24 см и 26 см. Чему равен угол треугольника
противолежащий большей стороне? (90)
26. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды равновелико основанию. Найти
площадь основания пирамиды, если её боковое ребро равно 5. (10) 27. Если в треугольнике один
внешний угол острый, то этот треугольник: тупоугольный
28. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Найдите проекции этих
наклонных на эту плоскость, если точка находится на расстоянии 8 см от плоскости. ( 6 см, 15 см)
29. Из точки удаленной от плоскости треугольника на расстоянии 15 см, проведены три равные
наклонные к вершинам треугольника. Определите их длину, если площадь круга, описанного около
треугольника равна 64 π см². (17 см)
30. К двум касающимся внешним образом окружностям с радиусами 10 см и 6 см, проведены две
прямые, касающиеся каждой из окружностей. Определите расстояние от точки пересечения этих
касательных до центра большей окружности (40 см).
31. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Чему равна сумма радиусов вписанной и
описанной окружностей. 7
32. Катет прямоугольного треугольника равен 21 см, а гипотенуза 35 см. Определите высоту этого
треугольника. 16, 8 см
33. Катет прямоугольного треугольника равен 5 см, гипотенуза равна 13 см. Найдите площадь
треугольника. 30 см²
34. Катет прямоугольного трегольника равен 24 см,а гипотенуза 40см.Определите высоту этого
треугольника,проведенную к его гипотенузе. (19,2см)
35. Квадрат со стороной 12 см лежит на плоскости. Из одной вершины восстановлен перпендикуляр
длиной 12 см. Определите угол наклона отрезка, соединяющего вершину перпендикуляра с
противоположной вершиной квадрата. (600)
36. Квадрат ABCD вписан в круг. Найдите площадь меньшего сегмента, отсекаемого стороной ВС,
если радиус круга равен 4 см. ((4π – 8) см²)
37. Найдите площадь круга, вписанного в многоугольник, лежащий в основании пирамиды, если
высоты боковых граней равны 25 см, а высота пирамиды 24 см (49 см
38. Найдите площадь правильного треугольника, если диаметр вписанной в него окружности, равен
10 см. 75 √3 см²
39. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 1300. ( 650, 1150, 650, 1150 )
40. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 4 дм и 3
дм. 5π дм
41. Найдите отношение площади ромба со стороной а и острым углом альфа к площади квадрата со
стороной, равной диаметру вписанного в ромб круга.(1:sinальфа)
43. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 9 см, 10 см, 17 см (10
⅝)
44. Найдите сторону АС треугольника АВС, если сторона АВ равна 6 см, угол С = 60⁰, а угол В = 45⁰
(2√6 см).
45. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника,если угол между боковыми
сторонами равен 80.(50)
46. Найти длину высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла, если
она делит гипотенузу на отрезки, равные 3 и 27 см. (9 см)
47. Найти площадь треугольника по двум сторонам 12 см, 6 см и углу между ними, равному 300. (18
см2 )
48. Найти площадь сектора радиуса 3 см, если соответствующий этому сектору центральный угол
равен 300 м2
49. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А (1;-1) и В (2;3). (4)
50. От листа жести, имеющего форму квадрата, отрезают полосу шириной 3 см, после чего площадь
оставшейся части листа стала равной 10.Определите первоначальные размеры листа жести(5см)
51. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100˚. Найдите остальные углы.40˚; 40˚
52. Одна сторона прямоугольника равна 6 см, вторая сторона в 2 раза меньше. Вычислить периметр
прямоугольника. 18
53. Окружность радиуса 15 см, разогнута в дугу, измеряющую центральный угол в 300˚. Радиус дуги
равен 18 см
53. Определите длину вектора ¯AB, если известны координаты точек A(-5;4) и B (3;-2) 10
54. Определите вид треугольника ABC, если даны точки А (-1;1), В (7;1) и С (3;7) остроугольный,
равнобедренный
55. Определить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна l составляет с
одной гранью угол 30˚, а с другой 45˚. (L³√2)/8
56. Основания трапеции относятся как 4:7. Найдите верхнее основание, если средняя линия равна
28,6 см. (20,8 см)
57. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 6 м и 8 м, высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды. 26 м²
58. Основания трапеции относится как 5:6,а высота трапеции равна 10см.Найдите меньшее
основание трапеции,если ее площадь равна 110.(10см)
59. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке М и делится ею пропорционально числам 8:5. Найдите
длины АМ и МВ, если длина проекции отрезка на плоскость равна 85 см, а точка А отстоит от
плоскости на расстоянии равном 24 см (40 см и 25см).
60. Периметр параллелограмма равен 30 см, а одна из сторон составляет 2/3 другой стороны.
Определите большую сторону. 9 см
61. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². Найдите стороны
прямоугольника. 6 см, 7 см
62. Полукруг радиуса 6 см свёрнут в конус. Найдите объём конуса. 9√3 π см³
63. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Сколько градусов содержит угол между
образующей и высотой конуса? 30˚
64. Площадь круга, вписанного в ромб равна 64 см2, а сторона ромба 22 см. Найдите площадь ромба.
352 см2
65. Площадь одного правильного шестиугольника в 9 раз больше другого. Найдите площадь
большего шестиугольника, если сторона меньшего равна 4 см. (216 см2 )
66. Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковыми
сторонами 5 см, равна (2,25π см²)
67. Площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см, равна: (100π см2)
68. Площадь прямоугольного треугольника 24 см², а гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус
вписанной окружности 2 см
69. Периметр параллелограмма равен 30 см, а одна из сторон составляет 2/3 другой стороны.
Определите большую сторону. 9 см
70. Радиусы оснований усеченного конуса 3дм и 7дм,образующая 5дм.Найдите площадь осевого
сечения.(30)
71. Радиусы оснований усеченного конуса 3дм и 7дм,образующая 5дм.Найдите площадь осевого
сечения.(30)
72. Разность оснований трапеции равна 4,высота равна 10,а площадь равна 40,тогда меньшее
основание трапеции равно:2
73. Среди прямоугольников, сумма длин которых равна 20, периметр прямоугольника наибольшей
площади равен (30)
74. Стороны треугольника относятся как 3:4:5.Найти меньшую сторону треугольника, если его
периметр равен 47см.(12см)
75. Сумма боковых сторон равнобедренного треугольника равна 52 см, а один из углов равен 150˚.
Найдите площадь треугольника. 169 см²
76. Сумма катетов прямоугольного треугольника 14 см, а площадь треугольника 24 см². Найдите
длины катетов. 6 см и 8 см.
77. Сумма внешних углов треугольника ABC при вершинах A и B, взятых по одному для каждой
вершины 240˚, тогда угол C равен 60˚
78. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон проходит через центр окружности,
а две другие удалены от него на 6 см и 4√3 см. Найдите площадь треугольника. (48√3 см²)
79. Трапецию с периметром 20 см можно разделить двумя прямыми на три равносторонних
треугольника. Найдите высоту трапеции. (2√3 см).
80. Угол между высотой и образующей конуса равен 30°. Вычислить объем конуса, если образующая
конуса 12 см. (72√3π см³)
81. Чему равен объём правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания 4 см,
боковые рёбра взаимно перпендикулярны. (8√2)/3 см
82. Чему равна длина окружности, описанная вокруг прямоугольного треугольника с углом 30˚ и
прилежащим катетом √3 м? 2π м
83. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 30 см, а боковая сторона
25 см? 300 см²
84. Чему равна площадь прямоугольника, если его диагональ 6см образует со стороной угол 60(9√3)
Четырехугольник ABCD-параллелограмм с периметром 10см.Найдите длину диагонали BD, зная ,что
периметр треугольника ABD равен 8см.(3см)
85.Чему равна площадь четырехугольника, отсеченного от треугольника средней линией, если
стороны треугольника 13см,14см и 15см.(63)