СД.Ф.3. ТФКП

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО−МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
СД.3. Теория функций комплексного переменного
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
050201.00 − «математика – с дополнительной специальностью»
Утверждено на заседании кафедры
математического анализа и методики
преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № 1 от 25 сентября 2008 г.)
Зав. кафедрой
_______________________________
Раздел 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: Локоть Вадим Владимирович
1.2 Рецензенты: Зотиков Сергей Васильевич, Мартынов Олег Михайлович
1.3 Пояснительная записка
Цель курса − вооружить будущего учителя строгими обоснованиями изученного им курса
математического анализа и познакомить его с такими важными для преподавания и изучения
математики понятиями, какими являются комплексные числа, функции комплексного переменного, производная и интеграл функции комплексного переменного. Завершается курс знакомством с приложениями теории функций комплексного переменного.
Студенты должны знать свойства комплексных чисел, определения и свойства основных

z
элементарных функций (e ,sin z ,cos z , tgz,ctgz,Arcsin,Arccosz,Arctgz,Arcctgz, Lnz, z ) ,
производную и интеграл функции комплексного переменного, числовые и степенные ряды,
классификацию особых точек.
Студенты должны уметь производить действия над комплексными числами, находить значения элементарных функций комплексного переменного, вычислять интегралы функций комплексного переменного, применять вычеты к нахождению несобственных интегралов.
Учебная программа составлена в полном соответствии с требованиями государственного
стандарта высшего образования от 11.02.2005г.
1.4 Извлечение из ГОС ВПО
ДПП. Ф.03 Теория функций комплексного переменного − 90
Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцирование функции комплексного переменного. Понятие аналитической
функции. Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши. Ряды Тейлора и
Лорана. Вычеты и их приложения.
1.5 Объём дисциплины и виды учебной работы
№
п/
п
Шифр и
наименование
специальности
Курс
1.
050201.00
−
«математика –
с
дополнительной специальностью»
Итого
3
Семестр
6
Виды учебной работы в часах
Трудоёмкость
Всего
аудиторных
Лекции
Практические
Сам.
раб.
Вид
итогового
контроля
90
56
30
26
34
2 к/р
экзамен
90
56
30
26
34
1.6 Содержание дисциплины
1.6.1 Распределение дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/
п
Наименование раздела, темы
I
1.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
II
Функции комплексного переменного
Комплексные числа и действия над ними
Последовательности комплексных чисел
Числовые ряды. Абсолютная сходимость
Элементарные функции комплексного переменного
e z ,sin z, cos z. Определение. Область сходимости
Теоремы сложения, формулы Эйлера, периодичность
Логарифмическая функция
Степень с произвольным комплексным показателем
Обратные тригонометрические функции
Гиперболические функции, их связь с тригонометрическими
Предел и непрерывность функции комплексного
переменного
Производная функции комплексного переменного
Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера)
Гармонические функции
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
2.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши. РядыТейлора и Лорана
Определение интеграла. Формулы для вычисления
Теорема Коши для односвязной области и сложного контура
Интегральная формула Коши
Интегрирование функциональных рядов
Разложение аналитической функции в степенной
ряд
Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля
Почленное дифференцирование степенного ряда
Ряд Тейлора. Ряд Лорана
Классификация особых точек
Определение вычета. Основная теорема о вычетах
Применение вычетов
Всего
ауди
т.
III
28
Количество часов
ЛекПракСамоции
тичестояские
тельная
работа
IV
V
VI
14
14
24
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
28
1
1
1
1
2
2
16
12
1
1
2
1.6.2 Содержание разделов дисциплины
1. Функции комплексного переменного
Комплексные числа и действия над ними.
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
28
Последовательности комплексных чисел.
Числовые ряды. Абсолютная сходимость.
Элементарные функции комплексного переменного.
e z ,sin z , cos z. Определение. Область сходимости.
Теоремы сложения, формулы Эйлера, периодичность.
Логарифмическая функция.
Степень с произвольным комплексным показателем.
Обратные тригонометрические функции.
Гиперболические функции, их связь с тригонометрическими.
Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).
Гармонические функции.
2. Интегрирование функции комплексного переменного.
Теорема Коши. РядыТейлора и Лорана
Определение интеграла. Формулы для вычисления.
Теорема Коши для односвязной области и сложного контура.
Интегральная формула Коши.
Интегрирование функциональных рядов.
Разложение аналитической функции в степенной ряд.
Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры.
Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля.
Почленное дифференцирование степенного ряда.
Ряд Тейлора. Ряд Лорана.
Классификация особых точек.
Определение вычета. Основная теорема о вычетах.
Применение вычетов.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения
№
п/
п
Наименование
раздела
дисциплины.
Тема.
1.
Функции
комплексного
переменного
2.
Форма самостоятельной работы
Домашние задания
Коллоквиум
Контрольная работа
Интегрирование
функции комплекс- Домашние задания
Коллоквиум
ного переменного.
Теорема Коши. Ря- Контрольная работа
дыТейлора и Лорана
Количество
часов
24
(8)
(10)
(6)
28
(8)
(12)
(8)
Форма контроля
выполнения самостоятельной
работы
Проверка домашних заданий
Индивидуальное собеседование
Проверка и анализ результатов
контрольной работы
Проверка домашних заданий
Индивидуальное собеседование
Проверка и анализ результатов
контрольной работы
Экзамен
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Планы проведения практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Комплексные числа и действия над ними.
Вопросы для обсуждения:
1. Модуль и аргумент комплексного числа.
2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
3. Сложение, умножение и деление комплексных чисел. Возведение в степень. Формула Муавра
4. Корень n - ой степени из комплексного числа.
5. Множество точек в комплексной области, удовлетворяющих соответствующему равенству.
6. Множество точек в комплексной области, удовлетворяющих соответствующему неравенству.
Литература: [1], стр. 4 – 13, [2] стр. 8 – 17.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], № 2664(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13), № 2665(1, 3, 5), № 2673(1), № 2675, № 2677, № 2679, № 2681,
№ 2683, № 2685, № 2687, № 2689, № 2691, № 2693, № 2695. [1], № 78(а, в, д), № 79(а, в).
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], стр. 13 – 19.
Последовательности комплексных чисел. Числовые ряды.
Практическая часть:
[3], № 2664(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), № 2665(2, 4, 6), № 2673(2), № 2676, № 2678, № 2680, № 2682,
№ 2684, № 2686, № 2688, № 2690, № 2692, № 2694, № 2696. [1], № 78(б, г), № 79(б).
Практическое занятие № 2
Тема: Числовые последовательности и ряды.
Вопросы для обсуждения:
1. Определение предела числовой последовательности.
2. Бесконечный предел.
3. Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности
комплексных чисел.
4. Необходимые и достаточные условия сходимости рядов с комплексными членами.
5. Признаки сходимости числовых рядов.
Литература: [1], стр. 13 – 19.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], № 2697, № 2699, № 2703, № 2705, № 2706, № 2707, № 2709, [1] № 17(а, в).
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], стр. 80-81, 85-87, 92-105, [2] стр. 85-99.
Элементарные функции комплексного переменного.
Практическая часть:
[3], № 2698, № 2700, № 2702, № 2704, № 2708, № 2710, [1], № 17(б, г).
Практическое занятие № 3
Тема: Элементарные функции комплексного переменного.
Вопросы для обсуждения:
z
1. Определение функций e ,sin z,cos z .
2. Показательная форма комплексного числа.
3. Формулы Эйлера.
4. Логарифмическая функция.
5. Степень с произвольным комплексным показателем.
Литература: [1], стр. 80-81, 85-87, 92-105, [2] стр. 85-99.
Элементарные функции комплексного переменного.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], № 2747(1, 3, 5, 7), № 2748(1, 3, 5, 7, 9), № 2750, [1], № 80(а, в), № 81(а, в, д, ж), № 82(а, в),
[2], № 4(б, г), № 7(б, г).
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], стр. 80-81, 85-87, 92-105, [2] стр. 85-99.
Практическая часть:
[3], № 2747(2, 4, 6, 8), № 2748(2, 4, 6, 8, 10), № 2749, [1], № 80(б, г), № 81(б, г, е), № 82(б),
[2], № 4(а, в), № 7(а, в).
Практическое занятие № 4
Тема: Элементарные функции комплексного переменного.
Вопросы для обсуждения:
1. Обратные тригонометрические функции.
2. Гиперболические функции.
3. Связь гиперболических функций с тригонометрическими функциями.
4. Связь обратных тригонометрических функций с логарифмической функцией.
Литература: [1], стр. 80-81, 85-87, 92-105, [2] стр. 85-99.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], № 2745(1, 3, 5, 7), № 2746(1, 3), № 2750, № 2751, № 2752(1, 3), № 2753(1, 3), № 2754(1, 3),
[1], № 87(а, в, д, ж), № 90(а, в, д, ж).
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], стр. 25-40, [2], стр. 25-30, 38-42.
Практическая часть:
[3], № 2745(2, 4, 6, 8), № 2746(2, 4), № 2749, № 2752(2), № 2753(2), № 2754(2), № 2755,
[1], № 87(б, г, е), № 90(б, г, е).
Практическое занятие № 5
Тема: Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Производная функции комплексного переменного.
Вопросы для обсуждения:
1. Определение предела функции в точке, бесконечного предела, предела на бесконечности.
2. Свойства функций, имеющих предел. Необходимые и достаточные условия существования
предела.
3. Определение непрерывности функции в точке.
4. Свойства непрерывных функций. Условия непрерывности функции комплексного
переменного.
5. Существование производной и дифференцируемость.
6. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Понятие аналитической функции.
Литература: [1], стр. 25-40, [2], стр. 25-30, 38-42.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], № 2713, № 2715, № 2717, № 2719, № 2721, № 2723(а, в), № 2757, № 2759, № 2761,
[1], № 34(а, в, д), № 35, № 37, № 39(а, в).
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], стр. 108-114, 133-137, [2], стр. 101-106, 116-118.
Практическая часть:
[3], № 2714, № 2716, № 2718, № 2720, № 2722, № 2723(б), № 2756, № 2758, № 2760,
[1], № 34(б, г), № 36, № 38, № 39(б).
Практическое занятие № 6
Тема: Интеграл функции комплексного переменного.
Вопросы для обсуждения:
1. Определение интеграла.
2. Свойства интеграла.
3. Формулы для вычисления интеграла.
Литература: [1], стр. 108-114, 133-137, [2], стр. 101-106, 116-118.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3], № 2770(1, 3), № 2771(1, 3), № 2772(1, 3), № 2773(1),
[1], № 105(а, в, д), № 106(а, в), № 107(а, в), № 108(а, в), № 109(а, в).
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], стр. 138-146, [2], стр. 74-81.
Практическая часть:
[3], № 2770(2), № 2771(2), № 2772(2), № 2773(2),
[1], № 105(б, г, е), № 106(б), № 107(б, г), № 108(б), № 109(б, г).
Практическое занятие № 7
Тема: Разложение аналитической функции в степенной ряд.
Вопросы для обсуждения:
1. Интегральная формула Коши.
2. Разложение аналитической функции в степенной ряд.
3. Теорема Лиувилля.
4. Основная теорема алгебры.
Литература: [1], стр. 138-146, [2], стр. 74-81.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3] [1]
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], [2]
Практическая часть:
Практическое занятие № 8
Тема: Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля. Ряд Тейлора.
Вопросы для обсуждения:
1. Теорема Коши-Адамара. Радиус сходимости степенного ряда.
2. Теорема Абеля.
3. Равномерная сходимость степенного ряда.
4. Ряд Тейлора.
Литература: [1], [2]
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3] [1]
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], [2]
Практическая часть:
Практическое занятие № 9
Тема: Ряд Лорана.
Вопросы для обсуждения:
1. Классификация особых точек.
2. Характеризация устранимой особой точки.
3. Характеризация полюса.
4. Связь между нулём и полюсом.
5. Существенно особые точки. Теорема Сохоцкого.
6. Разложение функций в ряд Лорана.
Литература: [1], [2]
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3] [1]
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], [2]
Практическая часть:
Практическое занятие № 10
Тема: Основная теорема о вычетах.
Вопросы для обсуждения:
1. Определение вычета.
2. Основная теорема о вычетах.
3. Вычисление вычета в случае полюса.
4. Вычет в бесконечно удалённой точке.
Литература: [1], [2]
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[3] [1]
Домашнее задание:
Теоретический материал: [1], [2]
Практическая часть:
Практическое занятие № 11
Тема: Применение вычетов.
Вопросы для обсуждения:
1. Применение вычетов для вычисления интегралов в комплексной области.
2. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов в действительной области.
3. Применение вычетов к суммированию рядов.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература:
Основная
1. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. – М.
Просвещение, 1977.
2. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ: Теория аналитических
функций. – М.: Просвещение, 1985.
3. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.
- М.: Просвещение, 1973.
Дополнительная
4. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Физматгиз, 1961.
5. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Физматгиз,
1960.
6. Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного. – М.: Просвещение, 1965.
7. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1968.
8. Гончаров В.Л. Теория функций комплексного переменного. – М.: Учпедгиз, 1955.
9. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. – М.: Физматгиз, 1958.
10. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения.
- М.: Физматгиз, 1959.
11. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука,
1967.
12. Балк М.Б., Петров В.А., Полухин А.А. Задачник практикум по теории аналитических
функций. – М.: Просвещение, 1960.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины
1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
Контрольная работа № 1 (два варианта)
1. Данные числа z1 и z 2 представить в тригонометрической и показательной формах и
2
z 
выполнить указанные действия: z1  3  i; z2  2  2i; a) z1  z2 ; b)  1  .
 z2 
2. Найти все значения a ) 3 27  27i ; b) 4 16i и изобразить их на комплексной плоскости.
1
2
2
3. Найти образ a ) x  y  2 x  1  0; b) y  x  1 при отображении w 
.
z 1
1
4. Вычислить: a) Arccos ; b) Arctg(1).
2
5. Проверить выполнение условий Коши-Римана (Даламбера-Эйлера) и найти
f ( z ) : a) z 6  5 z 2 ; b) sin 2 z  cos3 z.
6. Проверить, что функция  ( x; y ) гармоническая, и построить соответствующую ей
аналитическую функцию: a )
 ( x; y )  x 6  15 x 4 y 2  15 x 2 y 4  y 6  3x  2;
b)  ( x; y )  e 2 y cos 2 x.
Контрольная работа № 2 (два варианта)
1. Определить радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда:
 2

n0
a)
n

n
 3n  z  2  i  ; b)


n0

1   1
  z  3 .
n n
n
2. Вычислить интеграл:
  z  3dz по отрезку прямой, соединяющей точки z  1  i и
a)
z  2  6i;
C
2
  2 z  z  dz по дуге параболы
b)
y  x 2 от точки z  1  i до точки z  2  4i.
C
3. Разложить функцию f в ряд Лорана и указать область, в которой это разложение имеет
место:
2z  3
в окрестности точек z  i, z  2, z  ;
( z  i)( z  2)
z 1
в окрестности точек z  2i, z  1, z  .
b) f ( z ) 
( z  2i)( z  1)
a) f ( z ) 
4. Найти изолированные особые точки аналитической функции и выяснить их характер:
a)
1
tgz
z 1 1 z
,
;
b
)
,
.
z2  9 z
z3  z ez
5. Определить нули функции и указать их кратность:
 e  1
z
a)
z
2
; b) z ( z  3)sin z 2 .
6. Вычислить интегралы: a)
dz
 3 z  z 2  4
|z i|
dz
 ( z  3)( z  1)2 .
|z 1|1
; b)
2
1.11 Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Алгебраическая форма комплексного числа (к.ч.).
2. Изображение к.ч. на плоскости. Тригонометрическая форма к.ч.
3. Свойства модуля и аргумента к.ч.
4. Формула Муавра. Извлечение корня n  ой степени из к.ч.
5. Последовательности к.ч.
6. Числовые ряды. Геометрическая прогрессия.
7. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
8. Действия над рядами.
9. Функции комплексной переменной. Геометрический смысл.
z
10. e , sin z , cos z (определение, область сходимости).
11. Формулы Эйлера.
12. Теорема сложения для показательной функции.
13. Теоремы сложения для тригонометрических функций.
z
14. Действительные и мнимые части e , sin z , cos z .
15. Периодичность показательной и тригонометрических функций.
16. Особенности поведения cos z в комплексной плоскости.
z
17. Особенности поведения e в комплексной плоскости. Поверхность Римана.
18. Логарифмическая функция.
19. Парадокс Бернулли. Логарифмы положительных и отрицательных чисел.
20. Степень с произвольным комплексным показателем.
21. Arcsin z , Arcctgz.
22. Arccos z , Arctgz.
23. Гиперболические функции, их связь с тригонометрическими.
24. Предел функции комплексного переменного.
25. Непрерывность функции комплексного переменного.
26. Производная функции комплексного переменного, её связь с дифференцируемостью.
27. Условия Коши – Римана (Даламбера – Эйлера). Необходимость.
28. Условия Коши – Римана (Даламбера – Эйлера). Достаточность.
29. Понятие аналитической функции.
30. Гармонические функции.
31. Конформные отображения. Лемма. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
32. Отображение с помощью линейной функции. Отображение с помощью функции
33. Отображение с помощью дробно-линейной функции.
34. Определение интеграла. Формулы для вычисления.
35. Свойства интеграла.
36. Теорема Коши для односвязной области.
37. Теорема Коши для сложного контура.
38. Интегральная формула Коши.
39. Интегрирование функциональных рядов.
40. Разложение аналитической функции в степенной ряд.
41. Оценка коэффициентов разложения аналитической функции в степенной ряд.
Теорема Лиувилля.
42. Основная теорема алгебры.
43. Первообразная функции комплексного переменного. Интеграл с переменным
верхним пределом интегрирования.
44. Верхний предел последовательности, его свойства.
45. Теорема Коши-Адамара для действительной области.
46. Теорема Коши-Адамара для комплексной области. Теорема Абеля.
Равномерная сходимость степенного ряда.
47. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда.
48. Ряд Тейлора.
49. Свойство единственности аналитических функций.
50. Ряд Лорана.
51. Единственность разложения аналитической функции в ряд Лорана.
52. Классификация особых точек.
53. Характеризация устранимой особой точки.
54. Характеризация полюса.
55. Связь между нулём и полюсом.
56. Теорема Сохоцкого.
57. Целые функции.
58. Мероморфные функции.
R2
w
.
z
59. Определение вычета. Вычисление вычета в случае полюса.
60. Основная теорема о вычетах.
61. Применение вычетов к вычислению интегралов.
1.12 Комплект экзаменационных билетов
Раздел 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192
- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64
- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107
- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16
- Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах непрерывных
функций 48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач
1. Данные числа z1 и z 2 представить в тригонометрической и показательной формах и
2
z 
выполнить указанные действия: z1  3  i; z2  2  2i; a) z1  z2 ; b)  1  .
 z2 
2. Найти все значения a ) 3 27  27i ; b) 4 16i и изобразить их на комплексной плоскости.
1
2
2
3. Найти образ a ) x  y  2 x  1  0; b) y  x  1 при отображении w 
.
z 1
1
4. Вычислить: a) Arccos ; b) Arctg(1).
2
5. Проверить выполнение условий Коши-Римана (Даламбера-Эйлера) и найти
f ( z ) : a) z 6  5 z 2 ; b) sin 2 z  cos3 z.
6. Проверить, что функция  ( x; y ) гармоническая, и построить соответствующую ей
аналитическую функцию: a )
 ( x; y )  x 6  15 x 4 y 2  15 x 2 y 4  y 6  3x  2;
b)  ( x; y )  e 2 y cos 2 x.
7. Определить радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда:
 

n0
a)

n
2n  3n  z  2  i  ; b)


n0

1   1
  z  3 .
n n
n
8. Вычислить интеграл:
  z  3dz по отрезку прямой, соединяющей точки z  1  i и
a)
z  2  6i;
C
2
  2 z  z  dz по дуге параболы
b)
y  x 2 от точки z  1  i до точки z  2  4i.
C
9. Разложить функцию f в ряд Лорана и указать область, в которой это разложение имеет
место:
2z  3
в окрестности точек z  i, z  2, z  ;
( z  i)( z  2)
z 1
в окрестности точек z  2i, z  1, z  .
b) f ( z ) 
( z  2i)( z  1)
a) f ( z ) 
10. Найти изолированные особые точки аналитической функции и выяснить их характер:
a)
1
tgz
z 1 1 z
,
; b) 3
,
.
z 9 z
z  z ez
2
11. Определить нули функции и указать их кратность:
a)


ez  1
z
2
; b) z ( z  3)sin z 2 .
12. Вычислить интегралы: a)
dz
 3 z  z 2  4;
|z i|
2
dz
.
2
(
z

3)(
z

1)
|z 1|1
b)

РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы
Характер
изменений в
программе
Номер и дата протокола
заседания кафедры, на
котором было принято
данное решение
Подпись заведующего кафедрой,
утверждающего
внесённое изменение
Подпись декана факультета, утверждающего данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О. учёное звание и степень преподавателя
Локоть Вадим Владимирович – кандидат
физико-математических наук, доцент
Туканова Лариса Егоровна
Учебный
год
2007/08
Факультет
Специальность
Физико050201.00 − «маматематический тематика – с дополнительной
специальностью»