Задачи повышенной трудности и нестандартные

МБОУ СОШ № 45
Программа и Сборник задач
Элективного курса по математике
«Задачи повышенной трудности
и нестандартные задачи по планиметрии»
Автор–составитель: учитель математики
МБОУ СОШ №45 Липская К.И.
Г. Челябинск
2014 год
-1Пояснительная записка
Цель курса - формирование математической культуры, развитие
пространственного, словесно-логического мышления учащихся.
Задачи курса:
- развивать потенциальные творческие способности
и интуицию учащихся;
- развивать основы геометрического аппарата для решения задач
на вычисление значений геометрических величин, доказательство и
построение;
- повысить уровень математичкой подготовки учащихся;
- подготовить базу для успешного изучения учебных дисциплин
в ВУЗе, требующих глубоких знаний по геометрии.
Данный курс предназначен для учащихся 9-х классов, как
предпрофильная подготовка. Курс позволит дополнить и углубить знания
учащихся по планиметрии, так как геометрические задачи вызывают
наибольшую трудность у школьников. Таким образом, общая
математическая подготовка учащихся будет более полной и достаточной для
продолжения образования в 10 и 11 классе.
Программа курса рассчитана на 17ч. В программе предложено
тематическое планирование рассматриваемого материала, отражено
содержание курса.
К программе прилагается Сборник задач, содержащий 79 задач
повышенной трудности, распределенных по восьми разделам в соответствии
с программой.
Конечный результат изучения данного курса предполагает следующее.
Учащиеся должны знать:
 многочисленные соотношения между элементами геометрических
фигур;
 разделы теории, отсутствующие в базовом школьном курсе,
необходимые для решения нетривиальных задач;
 различные методы решения нестандартных задач и задач повышенной
трудности.
Учащиеся должны уметь:
 анализировать условие задачи, установить, к какому разделу
планиметрии относится задача и какие теоремы и свойства фигур
можно использовать для ее решения;
-2



грамотно построить чертеж по условию задачи;
различать комбинацию различных геометрических элементов;
выполнять дополнительные построения, облегчающие анализ задачи;
применять изученные методы решения для самостоятельного решения
задач;
 пользоваться дополнительной учебной литературой в поисках
необходимой информации.
Тематическое планирование учебного материала
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Содержание материала
Задачи на свойства треугольника и
четырехугольников.
Задачи на пропорциональные отрезки в треугольнике и
признаки подобия треугольников.
Задачи на взаимное расположение треугольника и
окружности.
Задачи на взаимное расположение четырехугольника и
окружности.
Задачи на применение теорем.
Задачи на нахождение площади треугольника и
четырехугольника.
Задачи, решаемые с помощью проведения
вспомогательной окружности.
Задачи на взаимное расположение окружностей.
Контрольная работа.
Итого
Количество
часов
2
2
3
3
2
2
1
1
1
17 ч
Содержание изучаемого курса
Задачи на свойства треугольника и четырехугольников
Свойства смежных углов, внешнего угла треугольника, угла между
биссектрисами внутренних и внешних углов. Свойства равнобедренного,
равностороннего, прямоугольного треугольников. Ортоцентр и центр
тяжести треугольника. Медиана, биссектриса, высота треугольника, свойство
медиан треугольника.
Свойства квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба,
трапеции. Свойства диагоналей четырехугольника.
-3–
Задачи на пропорциональные отрезки в треугольнике и признаки
подобия треугольников
Свойство медиан треугольника о делении на пропорциональные части.
Свойство биссектрисы угла треугольника о делении противолежащей
стороны. Свойство треугольника, отсекаемого основаниями двух высот,
проведенных в данном треугольнике. Свойство катетов и высоты
прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
Задачи на применение теорем
Терема о свойстве касательной и секущей. Теорема Пифагора. Теоремы
синусов и косинусов. Теорема о свойстве диагоналей параллелограмма.
Теорема о свойстве пересекающихся хорд окружности. Теорема о свойстве
угла между биссектрисами треугольника.
Задачи на взаимное расположение треугольника и окружности
Окружность, вписанная в треугольник, положение центра.
Соотношение между радиусом вписанной окружности и элементами
треугольника. Окружность, описанная около треугольника, положение
центра. Соотношение между радиусом описанной окружности и элементами
треугольника. Свойство касательных к окружности. Окружность, касающаяся
двух сторон треугольника и пересекающая третью сторону. Свойство
вписанных и центральных углов. Угол между касательной и хордой.
Задачи на взаимное расположение четырехугольника и окружности
Четырехугольники, в которые можно вписать окружность, критерий
вписываемости четырехугольника в окружность. Четырехугольники, около
которых можно описать окружность, критерий описываемости
четырехугольника около окружности. Взаимное расположение окружности и
квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, трапеции,
произвольного четырехугольника.
Задачи на нахождение площади треугольника и четырехугольника
Алгебраический метод решения задач. Метод дополнительного
построения для нахождения площади. Равновеликие треугольники,
образованные медианами треугольника. Отношение площадей подобных
многоугольников и свойство медиан треугольника. Формулы для
нахождения площади произвольного, равнобедренного, равностороннего,
прямоугольного треугольников. Формулы для нахождения площади
четырехугольника.
-4Задачи, решаемые с помощью проведения вспомогательной
окружности
Использование критерия вписываемости четырехугольника в
окружность для построения вспомогательной окружности. Свойства
элементов, позволяющих установить возможность описать окружность около
четырехугольника. Проведение дополнительного построения для проведения
вспомогательной окружности.
Задачи на взаимное расположение окружностей
Внутреннее и внешнее касание окружностей. Пересечение окружностей.
Концентрические окружности. Окружности, вписанные в угол. Внешнее
касание трех окружностей. Общая касательная к окружностям.
Используемая литература
1. Погорелов А.В. Геометрия, учебник для 7 – 11 кл. сред. шк. М.
Просвещение, 1990г.
2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, учебник
для 7-9 кл. средней общ. Школы. М., Просвещение, 2005г.
3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач:
Учеб. Пособие для 10 кл. сред. Шк. - М. : Просвещение, 1989. – 252с.
4. И.Г. Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических
задач, М., «Просвещение», 1996г.
5. В.Н.Руденко, Г.А.Бахурин, Геометрия, учебник для 7-9 кл. М.,
Просвещение, 1994г.
-5-
Сборник задач
Введение
Данный Сборник задач является приложением к Программе курса по
выбору для 10 класса по теме «Задачи повышенной трудности и
нестандартные задачи по планиметрии». Сборник содержит 79 задач
повышенной трудности, распределенных по восьми разделам в соответствии
с программой. Задачи подобраны таким образом, что один раздел дополняет
другой, таким образом, охвачен весь курс планиметрии. Задачи взяты из
различных источников: заданий ЕНТ, из разделов для самостоятельного
решения в сборниках для поступающих в вузы, материалов олимпиад,
предлагается также несколько авторских задач. После условия каждой задачи
указан порядковый номер источника из списка используемой литературы.
В пособии предлагается справочный материал, содержащий краткий
перечень основных понятий, свойств и формул, используемых при решении
задач повышенной трудности.
В каждом разделе предложены задачи с решением, а также предлагаются
задачи для самостоятельного решения. Всего приведены 31 задача с
подробными решениями и чертежами и предложены все основные методы
решения нестандартных задач и задач повышенной трудности. Для
самостоятельного решения предложено 48 задач, к каждой из них даны
ответы, а для более трудных задач даны также методические указания. В
сборнике также предлагается примерная контрольная работа, содержащая 7
задач по различным разделам планиметрии, к каждой задаче дается ответ.
-6–
Некоторые свойства геометрических фигур
Помимо известных теорем планиметрии и свойств геометрических
фигур, использующихся при решении стандартных программных задач,
есть свойства геометрических фигур, которые необходимо помнить и
применять при решении задач повышенной сложности. Эти свойства
рекомендуется использовать при решении предложенных в Сборнике
задач.
Треугольники
Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противолежащую сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам, т.е.
АК: КС=АВ:ВС.
1. Медианы треугольника, пересекаются в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, считая от вершины.
2. Каждая медиана треугольника делит его на два равновеликих
треугольника, т.е. имеющих равные площади.
3. Три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.
4. Если в треугольнике АВС проведены биссектрисы углов А и С, то угол
между биссектрисами равен 90°+
В
.
2
5. Если в треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1, то
треугольник А1ВС1 будет подобен данному с коэффициентом подобия,
равным cos B.
6. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника,
равен половине гипотенузы и медиане, проведенной к гипотенузе.
7. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
вычисляется по формуле r 
abc
.
2
8. Если в прямоугольном треугольнике АВС с
прямым углом С проведена высота СК, то
справедливы следующие соотношения:
СК2 = АК·КВ; АС2 = АВ·АК; ВС2= АВ·ВК.
10. В произвольном треугольнике длина биссектрисы lB выражается
формулой l B 
2ac cos
ac
B
2 ,
а и с – длины сторон ВС и АВ.
-711. В произвольном треугольнике медианы ma , mb и mc вычисляются по
формулам ma 2 
b2 c2 a2


2
2
4
, mb 2 
a2 c2 b2
,


2
2
4
mc 
2
a2 b2 с2

 .
2
2
4
Четырехугольники
1. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов длин его сторон, т.е.
АМ2 + ВС2= 2(АВ2 + АС2).
2. Если в четырехугольник вписана (или можно вписать) окружность, то
суммы длин его противоположных сторон равны.
3. Наоборот, если суммы длин противоположных сторон
четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность или его
можно описать около окружности.
4. Из всех параллелограммов около окружности можно описать только
ромб и квадрат.
5. Трапецию можно описать около окружности тогда, когда сумма ее
боковых сторон равна сумме оснований.
6. В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных
углов равна 180°.
7. Обратно, если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных
углов равна 180°, то около него можно описать окружность.
8. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата
можно описать окружность.
9. Около трапеции можно описать окружность тогда, когда она
равнобокая.
10. Если два противоположных угла четырехугольника прямые, то около
него можно описать окружность.
11. В равнобокой трапеции перпендикуляр, опущенный из вершины
меньшего основания на большее, делит его на части, большая из
которых равна по длине средней линии трапеции.
12. Если диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, то
длина высоты трапеции равна длине средней линии, а площадь равна
квадрату ее высоты.
-8Окружность
1. Если через точку, взятую внутри круга, проведены две произвольные
хорды, то произведения длин отрезков каждой из хорд равны.
2. Если из точки, взятой вне окружности, проведены к ней касательная и
секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей
на длину ее внешней части.
3. Если из точки, взятой вне окружности, проведены к ней секущие, то
произведения секущих на их внешние части равны.
Формулы площадей геометрических фигур
Площадь
произвольного
треугольника
1
1
1
a  ha  b  hb  c  hc
2
2
2
1
1
1
S  a  b sin C  a  c sin B  b  c sin A
2
2
2
S  p( p  a)( p  b)( p  c)
1
где p  (a  b  c) - формула
2
S=
Герона
Площадь
прямоугольного
треугольника
Площадь
равностороннего
треугольника
1
1
ab
S  c  hc
2
2
1
1
1
S  a  b sin C  a  c sin B  b  c sin A
2
2
2
S
S
a2 3
4
Площадь
прямоугольника
S  ab
S
Площадь
квадрата
Sa
d2
S
2
2
1 2
d  sin 
2
-9Площадь ромба
Площадь
параллелограмма
S  a 2  sin 
S
S  a  ha  b  hb
1
d1  d 2
2
S
d1  d 2
 sin 
2
S  a  b  sin A
Площадь
трапеции
Площадь
четырехугольника
S
ab
h
2
S
S
1
d1  d 2  sin 
2
1
d1  d 2  sin 
2
Площадь
треугольника,
вписанного в
окружность
S
abc

4R
Площадь
треугольника,
описанного около
окружности
S
2S
1
r  (a  b  c)  r 
2
PABC
Площадь четырехугольника, вписанного в
окружность
Площадь четырехугольника, который может
быть вписан и описан около окружности
R
abc
4S
S  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d ) , где
р -периметр четырехугольника
S  abcd
- 10 1. Задачи на свойства треугольника и четырехугольников
1. Найти углы равнобедренного треугольника, если его высота вдвое
меньше биссектрисы угла при основании. [1]
Решение.
1. Проведем дополнительное
построение. Отложим на высоте
ВМ от ее основания отрезок МЕ,
равный высоте ВМ, тогда получим,
что ВЕ = 2 ВМ, т.е. отрезок ВЕ
будет равен биссектрисе АК.
2. Так как треугольник АВС –
равнобедренный, то
четырехугольник АВСЕ будет ромбом, значит ВС||АЕ и
четырехугольник АВКЕ –трапеция. Так как, по построению, диагонали
трапеции АК и ВЕ равны, то трапеция будет равнобедренной и
 ВАК =  ВЕК, а  ВАЕ =  АЕК.
3. Если  ВЕК = х, то и  ВАК = х, тогда  ВАМ = 2х и  ВАЕ = 4х.
Так как  АЕВ =  АЕК -  ВЕК = 4х – х = 3х, значит и  АВМ = 3х (по
свойству диагоналей ромба).
4. В прямоугольном треугольнике АВМ сумма острых углов ВАМ и
АВМ будет равна 5х, значит х = 18º, отсюда  АВМ = 2х = 36º. Значит,
углы равнобедренного треугольника АВС будут равны 36º, 108ºи 36º.
Ответ. 36º, 108º, 36º.
2. Один из углов треугольника равен 18º. Найти угол между
биссектрисами двух других углов треугольника. [1]
Решение.
1. Проведем биссектрисы углов А
и С, М – точка пересечения
биссектрис.
2. По свойству биссектрис углов треугольника  ВМС = 90º+
ВАС
, то
2
есть  ВМС = 90º+9º = 99º. Так как углом между двумя прямыми
считается острый угол, то искомый угол будет равен 81º.
Ответ. 81º.
- 11 –
3. Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что
найдется прямая, проходящая через вершину угла и делящая
исходный треугольник на два равнобедренных. [1]
Решение.
Задача имеет несколько решений.
Рассмотрим 1 случай.
Пусть прямая проходит через вершину угла при
основании. Это возможно, если треугольник АВС
треугольник – остроугольный. Пусть АМ – прямая,
делящая равнобедренный треугольник АВС на два
равнобедренных треугольника АМВ и САМ, где
АМ = МВ и АС = АМ.
1. Пусть  ВАС =  С = х и  В = у, тогда
 ВАМ = у,  АМС = х , а  МАС = х – у.
2 х  у  180
.
3х  у  180
Составим систему уравнений 
Решая систему, получим х = 72º, у = 36º, т.е. углы исходного
треугольника равны 72º, 36º, 72º.
Случай 2. Прямая также проходит через вершину угла при основании, но
делит треугольник иначе.
1. Пусть  ВАС =  С = х и  В = у, тогда  ВАМ = у,
 МАС = х – у и  АМС = х –у . Составим систему
2 х  у  180
. Решая систему, получим
3х  2 у  180
1
5
х  77  , у  25 .
7
7
уравнений 
1
7
5
7
1
7
Углы треугольника равны 77  , 25  , 77  .
Случай 3.
Прямая проходит через вершину
равнобедренного треугольника. В этом
случае треугольник может быть только
тупоугольным. Задача решается
аналогично, углы треугольника равны 36º,
108º, 36º.
1
7
5
7
1
7
Ответ. (72º, 36º, 72º),(36º, 108º, 36º), 77  , 25  , 77  .
- 12 –
4. В треугольнике АВС известны стороны а, в и угол С между ними.
Чему равна длина биссектрисы, исходящей из вершины С? [1]
Решение.
1. Пусть ВС = а и АС = в,  АСВ = С. Так как
СК – биссектриса, то  АСК =  КСВ.
2. S∆АСВ = S∆АСК + S∆КСВ, т.е.
1
1
C
1
C
а  в  sin C =
 в  CK  sin
+ а  CK  sin . Решая уравнение, получим
2
2
2
2
2
2ab
C
ав sin C
cos . Таким образом, решая задачу, мы вывели
СK 
=
C
ab
2
(a  b) sin
2
формулу для нахождения биссектрисы треугольника.
Ответ.
2ab
C
cos .
ab
2
Задачи для самостоятельного решения
1. В трапеции АВСD сторона АВ параллельна СD. Диагонали трапеции
ВD и АС пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС –
равносторонний. Найти длину стороны ВС, если длина стороны АВ
равна 5 см, а длина стороны СD равна 3 см. [5]
Ответ. 15/7 см.
2. Внутри треугольника АВС взята точка К. Известно, что длина отрезка
АК равна 1, длина отрезка КС равна √3, а величины углов АКС, АВК и
КВС равны 120º, 15º и 15º соответственно. Найти длину отрезка ВК. [5]
Ответ. 3(2  3) .
3. В квадрате АВСК точка М – середина стороны ВС, а точка О – точка
пересечения КМ и АС. Найти величину угла МОС. [6]
Ответ. 3π/4 – arctg 2.
4. Стороны треугольника 13см, 14см, 15см. Две из них, равные 13см и
14см, служат касательными к кругу, центр которого лежит на третьей
стороне. Определить радиус круга. [9]
2
9
Ответ. 6 .
5. Дана трапеция АВСD с основанием АD. Обозначим точку пересечения
биссектрис внешних углов А и В через М и точку пересечения биссектрис
внешних углов С и D через N. Доказать, что длина отрезка МN равна
половине периметра трапеции. [8]
- 13 6. Найти углы остроугольного треугольника АВС, если известно, что его
биссектриса АD равна стороне АС и перпендикулярна отрезку ОН, где О –
центр описанной окружности, Н – точка пересечения высот треугольника
АВС. [8]
Ответ. 60º, 75º, 45º.
2. Задачи на пропорциональные отрезки в треугольнике и подобие
треугольников
1. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС. Прямая,
проведенная через вершину прямого угла С, перпендикулярна
медиане ВD и пересекает гипотенузу в точке М. Найдите
отношение АМ : МВ. [1]
Решение.
1. Проведем МЕ  АС и МК  ВС,
тогда из подобия равнобедренных
прямоугольных треугольников
ВКМ и МЕА следует, что АМ : МВ
= МЕ : ВК = КС : КМ .
2. Треугольники МКС и ВОС
подобны, также подобны и
треугольники ВОС и ВСD, значит
подобны и треугольники МКС и
ВСD. Из подобия треугольников
МКС и ВСD следует, что
КС : КМ = СD : ВС. Так как , по условию, ВD – медиана
равнобедренного прямоугольного ∆ АВС, то СD : ВС = 1 : 2 = 0,5.
Ответ. 0,5.
2. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника,
делит его на два треугольника, площади которых соответственно
6см2 и 54см2. Найти гипотенузу треугольника. [2]
Решение.
1. Треугольники АКС и
СКВ подобны, 
S1
 k2,
S2
 k = 3.
2. Пусть АК = х, тогда
- 14 СК = 3х. S∆АКC = 6см2,  х∙3х = 12, отсюда х = 2см, т.е. АК = 2см.
3. S∆ВКC = 54см2 ,  СК∙КВ/2 = 54, отсюда КВ = 18см.
АВ = АК + КВ = 20см.
Ответ. 20см.
3. В треугольнике АВС точка N лежит на стороне АС, АN = 2/5 АС,
медиана АМ перпендикулярна ВN. Найти площадь треугольника
АВС, если АМ = m, ВN = n. [1]
4.
Решение.
1. Достроим ∆АВС до
параллелограмма АВКС, тогда
S∆АВC = S∆АВК, 
S∆АВC = 1/2∙АК∙ВЕ = АМ∙ВЕ.
2. Проведем NО|| АМ.
∆АМС и ∆NОС подобны, 
МО : МС = АN : АС = 2:5,  МО : МВ = 2 : 5,
значит ВМ : ВО = 5 : 7.
3. ∆NВО и ∆ЕВМ подобны,  ВЕ : ВN = ВМ : ВО = 5 : 7,
5
5
ВN = n .
7
7
5
5
4. S∆АВC = m∙ n =
m n.
7
7
значит ВЕ =
Ответ.
5
m n.
7
4. Две стороны треугольника а и в. Медианы, проведенные к этим
сторонам взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону. [2]
Решение.
1. Пусть АВ = а, АС = в, МО =х, ОК =у, тогда
ОС = 2х ,ОВ = 2у, ВМ = а/2, КС = в/2.
2. Учитывая, что треугольники МОВ и СОК –
прямоугольные, получим систему уравнений
 2
а2
2
х

4
у

,

4

2
4 х 2  у 2  в

4
- 15 Решая систему, получим 5(х2 + у2)= (а2 + в2 )/4,
(х2 + у2)= (а2 + в2 )/20, 4х2 + 4у2 = (а2 + в2 )/5.
3. Так как ∆ВОС - прямоугольный, то ВС2 = ВО2 – ОС2 , т.е.
ВС = 4х + 4у = (а + в )/5, отсюда ВС =
2
2
2
2
2
а2  в2
.
5
Ответ.
а2  в2
.
5
5. В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна √2
см, угол при основании равен 30º. Найти длину биссектрисы АD. [1]
Решение.
1. В прямоугольном треугольнике
СМВ угол В равен 30º и катет ВМ
= 1/2∙АВ = √2/2см., тогда
ВС = ВМ/cos30º = √6/3см.
2. Так как ∆АВС – равнобедренный, то АС = ВС = √6/3см. Пусть СD=х,
тогда ВD=√6/3 - х. По свойству биссектрисы треугольника АС : СD =
АВ : ВD, т.е. √6/3 : х = √2 : (√6/3 - х). Решая уравнение, получим
СD = (3√2 - √6)/6.
3. Применяя к ∆АСD теорему косинусов и выполнив преобразования,
найдем сторону АD, АD= 1см. Отрезок АD – искомая биссектриса
∆АВС.
Ответ. 1см.
6. Один из углов треугольника в два раза больше другого. Стороны,
лежащие против этих углов, равны соответственно 12 и 8. Найти
третью сторону треугольника. [3]
Решение.
1. Пусть  ВАС = α и  АВС = 2α, тогда ВС
= 8 и АС = 12. Проведем биссектрису угла
АВС, получим подобные треугольники
ВАС и КВС.
2. Используя подобие, получим
КС:ВС = ВС:АС, отсюда КС = 64: 12 = 16:3, тогда АК = 20:3.
3. По свойству биссектрисы угла треугольника АВ:АК = ВС : КС, отсюда
АВ=10.
Ответ.10.
- 16 7. В треугольнике АВС длины сторон СВ, СА и АВ соответственно
равны 4, 3 и 2см. Найти отношение, в котором точка пересечения
биссектрис делит биссектрису угла (считая от вершины В). [1]
Решение.
1. По свойству биссектрисы угла В
треугольника ∆ АВС имеем АВ : ВС = АК
: КС, т.е. АК : КС = 2 : 4 или 1 : 2, а т.к.
АС = 3, то АК = 1.
2. Применяя свойство биссектрисы АО
∆ ВАК, получим ВО : ВК = АВ : АК,
т.е. ВО : ВК = 2 :1.
Ответ. 2 : 1.
Задачи для самостоятельного решения
1. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от
катетов на расстояния 6 и 8. Найти расстояние от этой точки до
гипотенузы. [5]
Ответ. 24/5.
2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВК и АЕ.
Прямая КЕ делит площадь треугольника пополам и образует с прямой
АВ угол 15º. Найти углы треугольника АВС. [5]
Указание. Треугольник КСЕ подобен треугольнику АВС.
Ответ. 45º, 60º, 75º.
3. В треугольник периметром 20 вписана окружность. Отрезок
касательной, проведенной к окружности параллельно основанию,
заключенный между сторонами треугольника, равен 2,4. Найти
основание треугольника. [5]
Ответ. 4 или 6.
4. В тупоугольном треугольнике АВС на стороне АВ длиной 14 выбрана
точка Е, равноудаленная от прямых АС и ВС, а на отрезке АЕ – точка К,
равноудаленная от вершин А и В. Найти синус угла АСВ, если КЕ = 1, а
угол САВ = 45º. [5]
Указание. Из условия задачи видно, что тупым является угол В и
Точка Е лежит на биссектрисе угла С. По свойству
биссектрисы АЕ : АС = ВЕ : ВС.
Ответ.
4 2
.
6
- 17 –
3. Задачи на взаимное расположение треугольника и
окружности
1. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30º. Найдите
площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности
равен 4см. [1]
Решение.
1. Пусть ВС = а, тогда АС = а√3,
АВ = 2а.
Для прямоугольного треугольника
справедлива формула
r=
abc
.
2
Подставляя значения сторон треугольника
и радиуса вписанной окружности, получим
Отсюда
а=
8
3 1
а  а 3  2а
 4.
2
8 3
. Тогда АС =
3 1
и S∆ =
1
ВС∙АС = 48 + 32√3.
2
Ответ.(48 + 32√3)см.
2. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания
делит гипотенузу на отрезки, равные 2 и 3. Найти радиус этой
окружности. [4]
Решение.
1. По условию АМ = 2 и ВМ = 3, значит,
по свойству касательных к окружности,
ВЕ =3 и АК = 2.
1. Пусть х – радиус окружности, тогда
СЕ = СК = х и АС = х + 2, ВС = х + 3,
АВ = 5.
Получим уравнение (х + 2)2 + (х + 3)2 = 25.
Решая уравнение, получим х = 1.
Ответ. 1.
- 18 3. Дан прямоугольный треугольник АВС(  С = 90º), ВС = 6, АС = 8.
Найти расстояние от центра вписанной окружности до
вершины С. [3]
Решение.
1. Гипотенуза треугольника равна
10см, а радиус вписанной окружности
вычисляется по формуле
r
abc
,
2
r = 2см.
2. Четырехугольник СКОЕ – квадрат,
СО – его диагональ,  СО = r√2 , т.е.
СО = 2√2см.
Ответ. 2√2см.
Задачи для самостоятельного решения.
1. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и площадью 30
точка О – центр вписанной окружности. Площадь треугольника АОВ
равна 13. Найти стороны треугольника АВС. [5]
Указание. Выразить сумму катетов треугольника через
гипотенузу и радиус вписанной окружности.
Ответ. 5, 12, 13.
2. Точка О лежит на отрезке АВ так, что АО = 13, ОВ = 7. С центром в
точке О проведена окружность радиуса 5. Из точек А и В к не
проведены касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки
касания лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите радиус
окружности, описанной вокруг треугольника АМВ. [5]
Ответ.
91(6  6 )
.
30
3. В прямоугольном треугольнике величина острого угла равна α, а
радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R.
Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу. [5]
Ответ. Rsin2α.
4. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС,
пересекает сторону АВ в точке D и строну ВС в точке Е. Найти
величину угла АСВ, если СЕ = 1, ВЕ = ЕD = 4, АD : ВD = 4 : 1. [5]
Указание. Если из одной точки проведены две секущих к
окружности, то произведения этих секущих на их
внешние части равны. По теореме косинусов
находим угол.
1
4
Ответ. arccos .
- 19 5. На дуге АС окружности, описанной около правильного треугольника
АВС, взята точка М; Р – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды
ВМ, К – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на МС.
Докажите, что треугольник АNК – правильный. [8]
4. Задачи на взаимное расположение четырехугольника и
окружности
1.Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит
каждую из сторон на отрезки, равные 2см и 23см. Найти радиус
окружности. [2]
Решение.
1. Из условия задачи следует, что сторона
квадрата равна 25см, К и М - точки касания
окружности и смежных сторон квадрата и
Р – точка, делящая сторону квадрата на отрезки
2см и 23см.
2. Пусть х см- радиус окружности, тогда
ОМ = ВМ = х см, МС = (25 – х)см,
РС = 2см, ОР = х см.
3. Проведем РЕ  ОМ, тогда РЕ = (25 – х)см и ОЕ = (х – 2)см.
Получим уравнение х2 = (25 – х)2 + (х – 2)2. Решая его, получим х = 17см.
Ответ. 17см.
2. Найти среднюю линию равнобедренной трапеции с высотой h, если
боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 120º.
[1]
Решение.
1. Из условия следует, что
центральный  СОD = 120º, 
вписанный  САD = 60º, а т.к.
трапеция равнобедренная, то и
 ВDА = 60º.
2. Средняя линия трапеции равна
(ВС + АD)/2.
3. Проведя диагонали трапеции,
получим два равносторонних
треугольника АКD и ВКС, т.к.
 КАD =  КDА =  КВС =
 ВСК= 60º, 
- 20 и  ВКС =  АКD = 60º. Значит ВК + КD = ВС + АD.
4. Проведя высоту трапеции ВМ, получим прямоугольный треугольник
ВМD, в котором ВМ = h,
значит (ВС + АD)/2 =
h
3
ВD =

2h
3
. Но ВD = ВК + КD = ВС + АD,
h 3
.
3
Ответ.
h 3
.
3
Задачи для самостоятельного решения.
1. Около круга радиусом 2 описана равнобедренная трапеция с площадью
20. Найти стороны трапеции. [5]
Ответ. 2, 5, 5, 8.
2. В равнобочной трапеции основания ВС и АD равны соответственно
а и в. Найти периметр выпуклого четырехугольника, вершинами
которого являются точки касания вписанной в трапецию
окружности. [10]
Ответ.
2(а в  в а )
.
ав
3.В окружность вписан четырехугольник с углами 120º, 90º, 60º и 90º.
Площадь четырехугольника равна 9√3см2. Найти радиус окружности,
если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. [7]
Ответ. 3см.
4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 4см, а
острый угол при основании равен 30º. Найти площадь трапеции. [10]
Ответ. 96см2.
5. Окружность, построенная на стороне АD параллелограмма АВСD как
на диаметре, проходит через середину диагонали АС и пересекает
сторону АВ в точке М. Найти отношение АМ : АВ, если АС = 3ВD. [7]
Указание. Если О – точка пересечения диагоналей
параллелограмма, то отрезки АО и DМ являются
высотами треугольника АВD, значит треугольники
АВD и МВО подобны, причем k = cosАBD.
Ответ. 4/5.
6. Трапеции АВСD и АСDЕ с равными большими основаниями
соответственно АD и АС, вписаны в одну окружность. Найти радиус этой
окружности, если площадь треугольника АDЕ равна 1+ √3, а угол СОD
равен 60°,где О - точка пересечения диагоналей трапеции АВСD. [5]
Ответ. 2.
- 21 7.В равнобедренную трапецию АВСD (АВ = СD) вписана окружность.
Пусть М – точка касания окружности со стороной СD, К - точка
пересечения окружности с отрезком АМ, L - точка пересечения
окружности с отрезком ВМ. Вычислить величину
АМ ВМ

.[1]
АК
ВL
Ответ. 10.
8.В четырехугольник ABCD можно вписать окружность и около него
можно описать окружность. Вычислить площадь четырехугольника ABCD,
если известно, что АВ = CD = 5√2 и расстояние между серединами
диагоналей четырехугольника равно 5. [6]
Ответ. 25√2.
9.В окружность радиусом 7 вписан выпуклый четырехугольник АВСD.
Длины сторон АВ и ВС равны. Площадь треугольника АВD
относится к площади треугольника ВСD как 2 : 1. Величина угла
АDС равна 120º. Найти длины всех сторон четырехугольника АВСD.
Ответ. 7√3, 7√3, √21, 2√21.
5. Задачи на применение теорем
1. Внутри острого угла, равного  , взята точка М, удаленная от его
сторон на расстояния k и n. Найти расстояние от вершины угла
до точки М. [4]
Решение.
1. Пусть  ВАС = α , МЕ = k ,
МК = n, т.е. МЕ  АВ и МК  АС.
2. В четырехугольнике АЕМК сумма
углов АЕМ и АКМ равна двум
прямым,  около него можно
описать окружность, диаметр
которой равен искомому расстоянию
АМ.
Кроме того, сумма углов ЕАК и ЕМК также равна 180º, 
 ЕМК =180º - α.
3.По теореме косинусов в ∆ЕМК найдем сторону ЕК:
ЕК  k 2  n 2  2kn cos  .
5. Применяя теорему синусов для ∆ЕАК, получим:
 АМ 
k 2  n 2  2kn cos 
.
sin 
Ответ.
КЕ
 2 R  АМ ,
sin 
k 2  n 2  2kn cos 
.
sin 
- 22 2.Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника,
равны а и в. Найти гипотенузу треугольника. [3]
Решение.
1. Пусть МС = х, тогда АС = 2х и
СЕ = у, тогда СВ = 2у.
2. Применив к треугольникам АСЕ и
ВСМ теорему Пифагора, получим
систему двух уравнений
4 х 2  у 2  а 2
. Решая систему,
 2
 х  4 у 2  в 2
получим 5(х2 + у2) = а2 + в2,  4(х2 + у2) = 4 (а2 + в2)/5.
Значит, гипотенуза треугольника АВС равна 2
а2  в2
.
5
Ответ. 2
а2  в2
.
5
3. Дан треугольник АВС.  ВАС = α, ВС = а. Найти радиус
окружности, описанной около треугольника ВОС, где О – центр
окружности, вписанной в треугольник АВС. [3]
Решение.
1.Проведем биссектрисы углов В и С, тогда
точка О пересечения биссектрис будет
центром вписанной в треугольник АВС
окружности.
2.По свойству биссектрис углов треугольника  ВОС = 90º+
то есть  ВОС = 90º+

.
2
ВАС
,
2
3.По теореме синусов радиус окружности, описанной около ∆ВОС равен
ВС
, т.е. R 
2 sin ВОС
a
2 sin( 90 

2

)
a
2 cos

.
2
Ответ.
a
2 cos

2
.
- 23 4. Основание равнобедренного треугольника √32, а медиана боковой
стороны равна 5. Найти длины боковых сторон треугольника. [1]
Решение.
1. Достроим ∆АВС до параллелограмма АВМС,
тогда АМ = 10, АС = ВС = √32.
2. По свойству диагоналей параллелограмма
АМ2 + ВС2 = 2(АС2 + АВ2), а так как ВС = АВ,
то АВ2 = АМ2 – 2АС2 = 100 – 64 = 36, 
АВ = 6 и ВС = 6.
Ответ. 6.
Задачи для самостоятельного решения.
1. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам,
равны √52 и √73. Найдите гипотенузу треугольника. [1]
Ответ. 10.
2. Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной угла при
основании равнобедренного треугольника, а другой принадлежит
этому основанию. Найти радиус полуокружности, если она касается
одной боковой стороны и делит другую на отрезки длиной 5см и 4см,
считая от основания. [7]
Ответ.
15
см.
11
3. Полуокружность, построенная на меньшем катете прямоугольного
треугольника, как на диаметре, делит биссектрису острого угла,
прилежащего к этому катету, в отношении 1 : 3. Найти углы
треугольника. [7]
Указание. Применить теорему о свойстве касательной и
секущей.
Ответ. 30º и 60º.
4. В окружности радиусом R хорда АВ равна а . Хорда РQ,
перпендикулярная к диаметру АС, пересекает хорду АВ в точке М.
Найти АМ, если РМ : QМ = 3. [7]
Указание. Применить свойство хорд окружности,
пересекающихся в одной точке и свойство
пропорциональных отрезков в прямоугольном
треугольнике.
Ответ.
4R2  a
.
16 R 2  3a 2
- 24 6. Задачи на нахождение площади треугольника и
четырехугольника
1. На стороне ВС треугольника АВС как на диаметре построена
окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках М и N.
Найти площадь треугольника АМ N, если площадь треугольника
АВС равна S и  ВАС = α. [7]
Решение.
1. Углы ВМС и ВNС – прямые, так как
являются вписанными и опираются на
диаметр. Значит отрезки ВМ и СN –
высоты треугольника АВС.
2. Треугольник АМN подобен
треугольнику АВС, так как две его
вершины являются основаниями высот треугольника АВС и
коэффициент подобия равен cosA,  k2 = cos2 A.
3. По условию S∆ABC = S ,  S∆AMN = S∙ cos2 A = S∙ cos2α.
Ответ. S∙ cos2α.
2.Высота и диагональ равнобедренной трапеции равны
соответственно 5 и 13. Найти площадь трапеции. [1]
Решение.
1. Проведем высоты ВК и
СЕ. Так как трапеция
равнобедренная, то
отрезки АК и ЕD
равны.
2. Из прямоугольного треугольника ВКD найдем отрезок КD, он равен 12.
3. На нижнем основании трапеции от точки А отложим отрезок МА,
равный верхнему основанию трапеции ВС, тогда площадь трапеции
будет равна площади треугольника МВD.
4. Так как МА = КЕ и АК = ЕD, то МD = 2 КD, 
S∆МВD = 1/2∙ МD∙ВК = 60.
Ответ. 60.
- 25 –
3. Найти площадь равнобе6дренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую
сторону, равна 12. [3]
Решение.
1. Пусть МС – высота,
опущенная на боковую
сторону АВ и ВЕ – высота,
опущенная на основание
АС, тогда точка Е –
середина АС.
2. Проведем ЕК || МС, тогда ЕК = МС/2 = 6, а из прямоугольного
треугольника ВКЕ катет ВК = 8.
3. По свойству катета прямоугольного треугольника АВЕ имеем:
ВЕ2 = АВ∙ВК, отсюда АВ = 12,5.
4. S∆АВC = АВ∙СМ/2 = 75.
Ответ.75.
4. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны.
Найти площадь трапеции, зная, что длина диагонали равна 10см. [3]
Решение.
1. Для решения этой задачи нет необходимости строить чертеж. Так как
трапеция – четырехугольник, то ее площадь вычисляется по формуле
S=
1
d1 d 2 sin  = 50см2.
2
Ответ. 50см2.
5. Стороны треугольника АВС равны 13см, 14см, 15см. О - точка
пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОВ. [2]
Решение.
1. Медианы треугольника делят его на 6
равновеликих треугольников, значит
площадь треугольника АОВ составляет
третью часть от треугольника АВС.
2. По теореме Герона
S∆АВС = 21  8  7  6 =84,  S∆АОВ = 28см2.
Ответ.28см2.
- 26 6. Медианы треугольника равны 5м, 6м, 5м. Найдите площадь
треугольника. [2]
Решение.
1. По свойству медиан треугольника
ОМ = 1/3 ВМ = 2м и АО = 2/3 АЕ = 2/3∙5м.
2. Так как две медианы треугольника равны, то
он является равнобедренным и медиана ВМ
является высотой, а это значит, что ∆АМО –
прямоугольный, тогда
АМ = АО 2  ОМ 2 = 8/3(м).
3. Площадь ∆АМО равна 1/2∙8/3∙2 = 8/3(м2 ).
По свойству медиан треугольника площадь
∆АМО составляет 1/6 часть площади ∆АВС, значит, площадь ∆АВС
равна 16м2.
Ответ. 16м2.
7. Периметр ромба содержит 2p см, сумма диагоналей его равна m см.
Найти площадь ромба.[9]
Решение.
1. По условию АС + ВD = m и периметр ромба
равен 2p,  АВ = p/2.
2. Возведем в квадрат обе части равенства
АС + ВD = m, получим
АС2 + 2АС∙ВD + ВD2 = m2.
3.Площадь ромба равна АС∙ВD/2. Из полученного равенства
АС∙ВD/2 = [m2 – (АС2 + ВD2)]/4.
4. Из прямоугольного треугольника АВО получим АВ2 = АО2 + ВО2 или
(p/2)2 = (АС/2)2 + (ВD/2)2. Отсюда АС2 + ВD2 = p2.
5. Таким образом, площадь ромба равна (m2 - p2)/4 см2.
Ответ. (m2 - p2)/4 см2.
8.Найти площадь треугольника, если две его стороны равны 4см и 3см,
а медиана третьей стороны равна 2,5см. [2]
Решение.
1.Достроив ∆АВС до параллелограмма
АВСК, получим, что стороны треугольника
КВС равны 5см, 3см и 4см, т.е. он
является прямоугольным, значит и ∆АВС –
прямоугольный.
Ответ. 6см2.
- 27 Задачи для самостоятельного решения.
1. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС является хордой
окружности радиуса 10. Вершина С лежит на диаметре окружности,
который параллелен гипотенузе. Угол САВ составляет 75º. Найти
площадь треугольника АВС. [5]
Ответ. 40.
2. Дан ромб с острым углом φ. Найти отношение площади ромба к
площади вписанного в него круга. [5]
Ответ.
4
.
 sin 
3. В четырехугольник АВСК можно вписать окружность и около него
можно описать окружность. Диагонали этого четырехугольника
перпендикулярны, АВ = СК, а радиус вписанной окружности равен 1.
Найти площадь четырехугольника АВСК. [5]
Ответ. 4.
4. Стороны прямоугольника относятся как 1 : 4, на большей из них, как на
диаметре проведена окружность, отсекающая от противоположной
стороны прямоугольника отрезок, равный а. Найдите часть площади,
общую для прямоугольника и круга. [5]
Ответ.
а 2 (2  3 3 )
.
36
5. В прямоугольной трапеции, высота которой равна h, на боковой
стороне, не перпендикулярной основанию, как на диаметре, описана
окружность, касающаяся противоположной стороны трапеции. Найти
площадь треугольника, катеты которого равны основаниям трапеции.
[7]
Ответ.
h2
.
8
6. Вычислить площадь четырехугольника, вершины которого являются
точками касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию,
если основания трапеции равны а и в. [10]
Ответ.
ав ав
.
ав
7. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на
отрезки длиной 4см и 5см. Вычислить площадь треугольника. [1]
Ответ. 54см2.
- 28 –
7. Задачи, решаемые с помощью проведения вспомогательной
окружности
1. В треугольнике NMF медиана МА делит угол М так, что  NMА =
20º и  АMF= 30º. Из точки А опущены перпендикуляры АК и АС на
стороны NM и MF соответственно. Вычислить площадь
треугольника АКС, если АК = 5 и КС = 7. [5]
Решение.
1. В четырехугольнике АКМС сумма
противоположных углов АКМ и АСМ равна
180º, значит он может быть вписанным и
через его вершины можно провести
вспомогательную окружность. Тогда
вписанные углы АКС и АМС будут равны,
так как опираются на одну и ту же дугу АС,
поэтому  АКС = 30º.
2. S∆АКС =
1
АК∙КС∙sin30º = 8,75.
2
Ответ. 8,75.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Через точку О проведены три прямые, попарные углы между которыми
равны 60º. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки А на эти прямые, служат вершинами правильного
треугольника.[6]
Указание. Если точки В,С,К – основания перпендикуляров,
то точки А,О,В,С,К – лежат на одной окружности
с диаметром ОА.
2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АМ, ВК и СЕ.
Доказать, что эти высоты являются биссектрисами углов треугольника
МКЕ. [6]
3. Два угла пересекаются так, что стороны их взаимно перпендикулярны.
Найти расстояние между их вершинами, если расстояние между
точками пересечения сторон равно 8 и величина одного из углов равна
45º.[10]
Ответ.8√2.
4. В тупоугольном треугольнике большая сторона равна 16см, а высоты,
проведенные из ее концов на другие стороны, пересекают продолжения
этих сторон в точках, отстоящих от вершины тупого угла на расстояния
2см и 3см. Найти меньшие стороны треугольника. [7]
- 29 Указание. Пусть АС – большая сторона треугольника и АЕ и
СМ – высоты, проведенные из ее концов на стороны
АВ и ВС, тогда АС – диаметр окружности,
проходящей через точки А, М, Е, С.
Ответ. 8см и 12см.
5. Дан остроугольный треугольник АВС. На сторонах АВ и АС во
внешнюю сторону построены равные прямоугольники АВМN и LВСК
так, что АВ = КС. Докажите, что прямые АL , NК и МС пересекаются в
одной точке. [5]
6. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и С. Пусть
К и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки В на эти
биссектрисы. Докажите, что прямая КL параллельна АС. [5]
8. Задачи на взаимное расположение окружностей.
1. Стороны угла АСВ , равного 60º, касаются двух окружностей с
центрами О1 и О2, касающихся одна другой. (О2 – центр меньшей
окружности), СО1 = 12см. Найдите радиус окружности с центром
О2.. [4]
Решение.
1. Центры окружностей лежат на
биссектрисе  АСВ,   О1СВ = 30º,
значит О1К = 1/2∙СО1 = 6см и
О2М = 1/2∙СО2. Тогда, если О2М = х,
то СО2 = 2х.
2. СО1 = СО2 + О2О1,  2х + х + 6 = 12,
отсюда х = 2(см).
Ответ. 2см.
2. Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки, соединяющие
их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найти радиус
меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4. [4]
Решение.
1. Пусть точка С- центр меньшей
окружности, тогда точки А и В – центры
двух других окружностей, а точки Е,М и
К – точки их попарного касания.
2. Если х – радиус меньшей окружности,
то ЕС =СК =х, АЕ = АМ =4 и
ВК = ВМ = 6.
- 30 Получим уравнение (х+4)2 + (х + 6)2 = 102. Решая его, найдем х = 2.
Ответ. 2.
Задачи для самостоятельного решения
1. Окружность радиуса 2 касается окружности радиуса 4 в точке В.
Прямая, проходящая через точку В, пересекает окружность меньшего
радиуса в точке А, а большего радиуса – в точке С. Найдите длину
отрезка ВС, если длина отрезка АС равна 3√2. [5]
Ответ. 2√2.
2. Даны две концентрические окружности. Касательная к меньшей
окружности делит длину дуги большей окружности в отношении 1 : 5.
Найти отношение площадей кругов, ограниченных этими
окружностями. [5]
Ответ. 4 : 3.
3. Две окружности радиусов 4 и 5 пересекаются в точках В и С. Через
центры О1 и О2 окружностей проведена прямая; А1 и А2 две из четырех
точек пересечения этой окружности с окружностями, причем точка А2
лежит на окружности с центром О2, а длина отрезка А1А2 равна 15.
Найти площадь выпуклого четырехугольника А2ВА1С. [5]
Ответ.
75 7
.
4
4. Определить радиусы двух внешне касающихся кругов, если расстояние
между их центрами равно d, а угол между общими касательными
равен φ. [9]
d
2

d
2

Ответ. R  (1  sin ); r  (1  sin ) .
2
2
5. Две окружности касаются внутренним образом. Через точку М касания
окружностей проведена их общая касательная, а через
противоположную точку большей окружности проведены касательные
к меньшей окружности. Определить отношение радиусов данных
окружностей, если касательные образуют равносторонний треугольник.
[10]
Ответ. 2 : 3.
6. Две окружности радиусом 9см и 4см внешне касаются друг друга и
прямой. Найдите радиус окружности, вписанной в образовавшийся
криволинейный треугольник. [5]
Ответ.
36
.
25
- 31 7. Окружность радиусом 2 касается внешним образом другой окружности
в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через
точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найти
радиус второй окружности, если длина отрезка АВ равна 4. [5]
Ответ 8.
Примерная контрольная работа
1. В равнобедренную трапецию, меньшее основание которой равно 1,
вписана окружность радиуса 1. Найти площадь трапеции. [9]
Ответ. 5см2.
2. Стороны треугольника относятся как 5:4:3. Найти отношение отрезков
сторон, на которые они делятся точками касания вписанной
окружности. [9]
Ответ.1:2; 1:3; 2:3.
3. Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его
сторон на расстояния b, c, d. Найти высоту треугольника. [9]
Ответ. b+ c+ d.
4. В параллелограмме острый угол 60°. Определить отношение длин
сторон, если отношение квадратов диагоналей равно 19/7. [9]
Ответ. 2/3.
5. Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСD делят продолжение
стороны СD на три части. Определить каждую часть, если стороны
параллелограмма равны 5 и 12. [9]
Ответ. 7см, 5см, 7см.
6. Перпендикуляр, опущенный из вершины угла прямоугольника на ее, не
проходящую через эту вершину диагональ, делит ее в отношении 1:3.
Зная, что диагональ равна 6см, найти расстояние от точки пересечения
диагоналей до большей стороны. [9]
Ответ. 1,5см.
- 32 Список используемой литературы
1. О.Ю. Черкасов. Планиметрия на вступительном экзамене,
«Московский лицей», 1996г.
2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач:
Учеб. Пособие для 10 кл. сред. Шк. - М. : Просвещение, 1989. – 252с.
3. И.Г. Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических
задач, М., «Просвещение», 1996г.
4. Материалы математических конкурсов и олимпиад.
5. Задачи, предложенные автором.
- 33 Заключение
На усмотрение учителя, распределение часов на решение задач по тем
или иным темам может быть изменено. Также, в зависимости от уровня
подготовленности учащихся, учитель может рассматривать на уроке
задачи, предложенные для самостоятельного решения, а для домашней
работы предлагать задачи из тех, которые приведены с решениями.
Объем заключительной контрольной работы предполагает 3 - 4 задачи,
таким образом, учитель может предложить учащимся задачи на выбор из
списка приведенных задач.