Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края Государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и молодежной политики
Ставропольского края
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Региональный многопрофильный колледж г. Ставрополя
Методические указания
по выполнению практических работ
по дисциплине ЕН 01 Математика
Выполнила: преподаватель Фатьянова Т. П.
г. Ставрополь 2014 г
Автор Т. П. Фатьянова
преподаватель ГБОУ СПО РМК
Пояснительная записка
Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине
ЕН 10 Математика для обучающихся по специальностям 030912 Право и организация
социального обеспечения (базовой), входящей в укрупненную группу направлений подготовки и
специальностей 030000 Гуманитарные науки, по направлению подготовки 030900
Юриспруденция
Содержание практических работ позволяет освоить:
- практические приемы вычисления производной сложной функции, производной
произведения и частного;
- практические приемы вычисления производных второго и высших порядков;
- практические приемы исследования степенных функций методами дифференциального
исчисления;
- практические приемы непосредственного интегрирования;
-практические приемы интегрирование методом замены переменной;
- практические приемы интегрирования по частям;
- практические приемы вычисление определенного интеграла и приложение определенного
интеграла для решения прикладных задач;
В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с четким
алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал,
примеры задач и набор заданий.
Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы студентов.
Ход выполнения практической работы
Практические работы необходимо выполнять в специальных тетрадях с указанием номера, темы,
целей работы.
1.
2.
3.
4.
Ход работы:
Познакомиться с теоретическим материалом
Если пропущена лекция, сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих
тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу или решить номера,
которые указаны в работе.
Сдать преподавателю тетради для практических работ.
Критерии оценивания практических работ
Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий,
допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.
Оценка «4» ставится при безошибочном решении 80% предлагаемых заданий.
Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.
Оценка «2» - решено мене 70% предлагаемых заданий.
Литература:
1. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. Учебник 2010 Физматлит
2. Гусак А.А. Высшая математика. Учебник 2011 Тетра Системс
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М: Высшая школа. 2010.
Перечень практических работ
№ работы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема
Вычисление
производной
сложной
функции,
производной
произведения и частного
Вычисление производных второго и высших порядков
Исследования степенных функций методами дифференциального
исчисления
Непосредственное интегрирование
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование по частям
Вычисление определенного интеграла и приложение определенного
интеграла для решения прикладных задач
Практическая работа №1
Вычисление производной сложной функции,
производной произведения и частного.
Цель работы:
Уметь находить производные элементарных и сложных функций, производные произведения и
частного.
Содержание работы:
Формулы дифференцирования
n
n-1
1. (x )'=nx
2.
13. (xu)'=uxu-1·u'
(e x )  e x
3. (
a )  a
x
4. (ln x ) 
u
u
14. (e )   e  u 
u
u
15. (a )  a  ln a  u 
1
16. (ln u )    u 
u
1
 u
17. (log a u) 
u  ln a
18. (sin u)  cos u  u 
 ln a
x
1
x
1
x  ln a
5. (log x ) 
a
(sin х )  cos х
7. (cos х )   sin х
6.
8. (tgх ) 
9.
19.
20.
1
2
cos
( ctgх )   
х
sin
10. (arctgх ) 
(tgu) 
1
2
cos u
 u
1
21. ( ctgu)   
1
2
(cos u )   sin u  u 
х
sin
1
1 х
11. (arcsin х )  
22.
2
1
1 х
12. (arccos х )   
 u
u
1
1  u2
1
1  u2
24. (arccos u )   
1
1 х
(arcctgu)  
23. (arcsin u)  
2
2
2
 u
u
1
1 u
 u
2
.
Правила дифференцирования
1. (с)  0, (сu)  cu ;
2. х   1
3. (u  v)  u   v;
4. (uv)  u v  vu;
u
uv  vu
5. ( ) 
2
v
v
Примеры вычислений :
1) f(x)=3x4+2x2-5x+3; используя формулы (xn)'=nxn-1 , x'=1 , с'=0
и правила (cu)'=cu' , (u  v)  u   v; получаем
f'(x)=(3x4+2x2-5x+3)')=(3x4)'+(2x2)'-(5x)'+(3)'=3(x4)'+2(x2)'-5(x)'+(3)'=3·4х3+2·2х1-5·1+0=12х3+4х-5
2) f(x)=x3cosx ; используя формулы (xn)'=nxn-1 и (cosx)'=-sinx и правило
(uv)  u v  vu; получаем
f'(x)=(x3cosx)'= (x3)'cosx+ x3 (cosx)'=3х2соsx+x3(-sinx) =3х2соsx-x3sinx
3) f(x)=x4 /cosx ; используя формулы (xn)'=nxn-1 и (cosx)'=-sinx и правило
u
uv  vu
( ) 
получаем
2
v
v
f'(x)=(x4 /cosx)'= ((x4)'cosx- x4 (cosx)')/cos2x=(4х3соsx-x4(-sinx))/ cos2x =(4х3соsx+x4sinx)/ cos2x
4) f(x)=cos(3x2+2) ; используя формулы (cos u )   sin u  u  ,
а потом (xn)'=nxn-1 ,
x'=1 , с'=0
получаем f'(x) =cos'(3x2+2)· (3x2+2)'= -sin(3x2+2)·6x=-6х·sin(3x2+2)
u
u
5) f(x)=e 7x+8; используя формулы ( (e )   e  u  , а потом
(xn)'=nxn-1 , x'=1 , с'=0
получаем f'(x) = (e 7x+8)'= e 7x+8·(7х+8)'= e 7x+8·7=7e 7x+8·
Вариант 1.
Найдите производную
1. f(x)=3x8+6x3-7x+1;
2. f(x)=5x3sinx;
3. f(x)=6x2lnx
x2  2x
4. f’ (х) =
;
x 1
5. f(x) = sin(2x2 – 3x + 1);
6. f(x) = cos3(2x – 1);
7. f(x)=6 4x+1
8. f(x)=(5x+7)3
9.f(x)=log 24x
10. f(x)=ln3x
Вариант 2.
Найдите производную
1. f(x)=2x6-9x2+5x-8;
2. f(x)=6x4cosx;
3. f(x)=2x3lnx
3x  x 2
4. f’ (х) =
;
x2
5. f(x) = cos(3x2 – 4x + 2);
6. f(x) = sin3(2 - 3x)
7. f(x)=6 4x+1
8. f(x)=(5x+7)3
9.f(x)=log 24x
10. f(x)=ln3x
Практическая работа №2
Вычисление производной второго и высших порядков
Цель работы:
Уметь находить производные второго и высших порядков
Примеры вычислений
Чтобы найти производную второго порядка, нужно найти производную от производной первого
порядка.
Чтобы найти производную третьего порядка, нужно найти производную от производной второго
порядка
Чтобы найти производную n-го порядка, нужно найти производную от производной n-1-порядка
Примеры решений
1) Найти производную второго порядка функции
f(x)=sin(3x-2)
Решение:
f'(x)=sin'(3x-2)· (3x-2)'=cos(3x-2)·3=3cos(3x-2)
f''(x)=3cos'(3x-2)· (3x-2)'=-3sin(3x-2)·3=-9sin(3x-2)
2) Найти производную третьего порядка функции
f(x)=6x
Решение:
f'(x)=(6x)'=6xln6
f''(x)=(6xln6)'=ln6(6x)'= ln6·6xln6= (ln6)2·6x
f''(x)=( (ln6)2·6x)'=(ln6)2 (6x)'= (ln6)2 6xln6= (ln6)3·6x
3) Найти производную второго порядка функции
f(x)=etgx
Решение:
f'(x)=(etgx)'= etgx·(tgx)'= etgx·1/cos2x
f''(x)= (etgx·1/cos2x)'= (etgx)'·1/cos2x +etgx·(1/cos2x)'=( etgx·1/cos2x) ·1/cos2x+ etgx·(cos-2x)'=
etgx·1/cos4x+ etgx ·(-2cos -2-1x·(cosx)')= etgx·1/cos4x+ etgx·(-2cos -3x·(-sinx))= etgx·(1/cos4x+2sinx/cos3x)
Вариант 1.
Вариант 2.
1. Найдите производную второго порядка
1. f(x)=2x3+3x2-3x+2;
2. f(x)= sin(4x+5);
3. f(x)=esinx
4. f(x)= ln(3x2+2);
2. Найдите производную третьего порядка
5. f(x)=3x
1.Найдите производную второго порядка
1. f(x)=4x4-5x2+6x-9;
2. f(x)= sin(5x-2);
3. f(x)= ecosx
4. f(x)= ln(6x2-9);
2. Найдите производную третьего порядка
5. f(x)=4x
6. f(x)=3x6+4x3-6x+7
6. f(x)=8x5-9x4-3x+5
7. f(x)= ln3х
7. f(x)= ln3х
Практическая работа №3
Исследования степенных функций методами
дифференциального исчисления
Цель работы:
Используя схему исследования функции уметь строить графики функций.
Содержание работы:
Общая схема исследования функции и построение её графика.
1. Найдите область определения функции.
2. Исследуйте функцию на четность или нечетность.
3.Найдите точки пересечения графика функции с осями координат
4. Найдите промежутки монотонности функции, её экстремумы.
5. Найдите промежутки выпуклости графика функции, её точки
перегиба.
6. Постройте график функции, используя полученные результаты
исследования.
Пример исследования
Построить график функции: f(x)= x3+x2-5x+3
Исследование
1. D(y) = R
2. Исследование на четность
f(-x)=(- x)3+(-x)2-5(-x)+3= -x3+x2+5x+3≠ f(x)-четной не является
f(-x)=-( x3-x2-5x-3) ≠ -f(x)-нечетной не является
Вывод: функция ни четная, ни нечетная; график не симметричен
3. Точки пересечения графика функции с осями координат
С осью ОУ: х=0, у= 03+02-5·0+3=3 А(0;3)
С осью ОХ: у=0, x3+x2-5x+3=0- уравнение имеет корни, но его решение представляет трудность.
4. Найдите промежутки монотонности функции, её экстремумы.
Найдем производную: f'(x)= (x3+x2-5x+3)' =3x2+2x-5
Найдем критические точки f'(x)=0, 3x2+2x-5=0
D=b2-4aс, D=22-4·3·(-5)=4+60=64=82
х1,2=(-b±√D)/2a
х1.2


b

2а
D
x1=(-2+8)/2·3=1, x2=(-2-8)/2·3=-5/3-критические точки
Нанесем критические точки на числовую ось
+
+
-5/3
1
Так как старший коэффициент у производной положительный (при х 2 3x2+2x-5 равен 3, а 3 больше
нуля), то знаки на оси расставляем как всегда справа, но начиная с плюса.
Исследуемая функция на промежутке (-5/3; 1) убывает, а на промежутках (-∞;-5/3)  (1;+ ∞)
возрастает. Точка х = -5/3 – точка максимума, х = 1 – точка минимума
Найдем значения функции в критических точках..
Для этого подставим значения критических точек в функцию f(x)= x3+x2-5x+3
f(-5/3)= (-5/3)3+(-5/3)2-5(-5/3)+3=-125/27+25/9+25/3+3=(-125+75+225)/27+3=175/27+3≈6,5+3≈9,5
В(-5/3; 9,5)-максимум
f(1)= 13+12-5·1+3=2-5+3=0
С(1;0)-минимум
5. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости функции.
Для этого найдем вторую производную данной функции:
f ''(x)=(3x2+2x-5)'=6х+2
f ''(x)=0; 6х+2=0; 6х=-2; х=-2/6; х=-1/3-точка подозрительная на перегиб
у   0
+

-1/3
для х  ( ;1 / 3)  у   0 ,

у   0
для х  ( 1 / 3;)  у   0
следовательно, график
функции на этом
интервале выпуклый
вверх.
следовательно, график
функции на данном
интервале выпуклый
вниз.
х = -1/3 - точка перегиба,
f(-1/3)= (-1/3)3+(-1/3)2-5(-1/3)+3=-1/27+1/9+5/3+3=(-1+3+45)/27+3=47/27+3≈1,74+3≈3,7
D=(-1/3; 3,7)
6. По полученным данным строим график
у
В
9,5
3,7
3
А
х
-5/3
-1/3
0
1С
Задания для практической работы:
Вариант 1
Вариант 2.
Построить график функции:
Построить график функции:
1.
y  x  3x  4;
3
2
1.
2
х 4
2. y =
y   x3  3x 2  2;
2. y =
2
2
х 4
2
Практическая работа №4
Непосредственное интегрирование
Цель работы:
Уметь находить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования
Содержание работы:
Таблица интегралов
n 1
x  C, (n  1)
1.  x dx 
n 1
2.  dx  x  C
n
7. 
dx
2
sin x
 ctgx  C
8.  tgxdx  ln cos x  C
13.

dx
1
 arctgx  C
2
a x a
2
3. 
9.  ctgxdx  ln sin x  C
dx
 ln x  C
x
4.  sin xdx   cos xdx
5.  cos xdx  sin xdx
dx
 tgx  C
6. 
2
cos x
14. 
x
x
10.  e dx  e  C
15. 
x
a C
11.  a dx 
ln a
x
12. 
dx
1  x2
16. 
 arctgx  C
dx
1
ax

ln
C
2
a  x 2a a  x
2
dx
1  x2
 arcsin x  C
dx
2
2
a x
 arcsin
x
C
a
1. Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции,
которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
При непосредственном интегрировании применяются свойства неопределенного интеграла, таблица
неопределенных интегралов и, если это необходимо, алгебраические преобразования
Пример вычисления 1:
3
Вычислите  ( x  3x  sin x)dx
Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного
интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:
31
11
3
3
x
x
 ( x  3x  sin x)dx   х dx  3   xdx   sin xdx  3  1  3  1  1  cos x  C 
4
3
 х   х 2  cos x  С
4
2
Пример вычисления 2:
3  2 x  x2
dx
Вычислите 
x
Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на
знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3
табличные интегралы
2
3  2 x  x2
3
2x
x dx  3  dx  2  dx  xdx  3 ln x  2 x  1  2  c
dx

dx

dx

x

x
 x
 x
 x


x
2
Задания для практической работы:
Вариант 1
Вычислите интегралы
Вариант 2.
Вычислите интегралы
1.
 1  5 x  6 x
5
 7 x 6  dx
1.
  7  8x  4 x
3

 6 x5 dx
∫
(4sinx+8ех –log 5 x)dx
2.
2. ∫ (4сosx+3ех –log 3 x)dx
7  x  4 x2
dx
3. 
5x2
4 x3  6 x  2
dx
3. 
3x
Практическая работа №5
Интегрирование методом замены переменной
Цель работы:
Уметь находить неопределенный интеграл методом замены переменной
Содержание работы:
Таблица интегралов
n 1
dx
dx
1
n
x  C, (n  1)
 ctgx  C
 arctgx  C
7. 
13.  2
dx

2
1.  x
2
sin x
n 1
a x a
dx
1
ax
8.  tgxdx  ln cos x  C
2.  dx  x  C

ln
C
14.  2
2
a  x 2a a  x
dx
9.  ctgxdx  ln sin x  C
 ln x  C
3. 
dx
x
x
x
 arcsin x  C
10.  e dx  e  C
15. 
2
sin
xdx


cos
xdx
1 x
4. 
x
x
a
dx


C
11.  a
dx
x
5.  cos xdx  sin xdx
ln a
 arcsin  C
16.  2
2
a
dx
a x
dx

tgx

C
6. 
 arctgx  C
2
12. 
cos x
1 2
x
2. Метод замены переменной (метод подстановки)
Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования,
позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что
путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу,
который легко вычисляется непосредственным интегрированием.
Пример вычисления 1: С развернутым оформлением
Вычислите  (3x  4) dx
3
Решение:
dt
Введем новую переменную t = 3x-4, тогда dt  t   dx  (3x  4)   dx  3dx , откуда dx  . Подставим
3
новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо dx подставим
3
 (3x  4) dx   t 
3
dt
3
).
4
dt
 t C
3 12
Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t
подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.
 (3x  4) dx 
3
(3х  4)
12
4
С
Пример вычисления 2:
С кратким оформлением
Решение:
Задания для практической работы:
Вариант 1
Вариант 2.
Вычислите интегралы
4
1.  (2x1) dx
Вычислите интегралы
3
1.  (3x 4) dx
2. ∫ сos8xsinxdx
2. ∫ sin6xsinxdx
2dx
2)
3. 
cos 2 1  4 x 
8)
3. 
3xdx
sin 2  5  2 x 2 
Практическая работа №6
Интегрирование по частям
Цель работы:
Уметь находить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям
Содержание работы:
Формула интегрирования по частям
∫ udv = uv - ∫ vdu.
Таблица интегралов
n 1
x  C, (n  1)
1.  x dx 
n 1
2.  dx  x  C
n
3. 
dx
 ln x  C
x
4.  sin xdx   cos xdx
dx
9.  ctgxdx  ln sin x  C
dx
1
 arctgx  C
2
a x a
dx
1
ax

ln
C
14.  2
2
a  x 2a a  x
x
x
10.  e dx  e  C
15. 
7. 
2
sin x
 ctgx  C
8.  tgxdx  ln cos x  C
13.

2
dx
1  x2
 arcsin x  C
5.  cos xdx  sin xdx
dx
 tgx  C
6. 
2
cos x
x
x
a C
11.  a dx 
ln a
dx
 arctgx  C
12. 
1  x2
16. 
dx
2
2
a x
 arcsin
x
C
a
Пример вычисления 1:
С развернутым оформлением
Вычислить
Решение. Полагая, что
находим
Пример вычисления 2:
С кратким оформлением
Вычислить ∫ (3х+2)lnxdx
∫ (3х+2)lnxdx=
(
u=lnx, du=(lnx)'=1/xdx
dv=(3x+2)dx, v=∫(3x+2)dx=3x2/2+2x
)
=(3x2/2+2x)lnx-∫(3x2/2+2x) 1/xdx=
(3x2/2+2x)lnx-∫(3x2/2+2x) 1/xdx=(3x2/2+2x)lnx-∫(3x/2+2) dx= (3x2/2+2x)lnx-3x2/4-2x+C
=
Вариант 1
Вариант 2.
Вычислите интегралы
1. ∫ (4х-5)lnxdx
Вычислите интегралы
1. ∫ (5х+7)lnxdx
2. ∫ 2хsinxdx
3. ∫ (6х-3)exdx
2. ∫ 3хcosxdx
3. ∫ (6х-3)exdx
Практическая работа №7
Вычисление определенного интеграла и приложение определенного интеграла
для решения прикладных задач
Цель работы:
Уметь вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница и вычислять
криволинейную трапецию.
Содержание работы:
Определенный интеграл вычисляется по следующей формуле:
Формула Ньютона-Лейбница
Пример вычислений 1:
3
3
 34
  14

x 31
x4

 x  5 dx  3  1  5 x  4  5 x   4  5  3    4  5  1 
1

 

1
1
1
81  1
80
 81
 1
 81
   15     5    15   5 
 10 
 10  20  10  10
4
4
4
4
 4
 4
3

3

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y =
f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), двумя прямыми х=а и х=b и
осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:
Пример вычислений 2:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у   х 2  2 х  3 , осями координат и прямой х=2.
Решение: Построим данные линии
2
Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: у   х 2  2 х  3 ,  х  2 х  3  0 , х1  1, х 2  3
1
1
2
0
1
S   (  х 2  2 х  3)dx   ( x 2  2 x  3)dx  (
3
2
3
x
x
 x 2  3 x)  (  x 2  3 x) 
3
3
0
1
1
8
1
5 2 5 12
   1  3  (  4  6)  (  1  3)    
 4(кв.ед.)
3
3
3
3 3 3 3
Задания для практической работы:
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вычислите определенный
интеграл
Вычислите определенный интеграл
Вычислите определенный
интеграл
3
 (4 x
1
 x
2
3
 2)dx
Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями
у = х2+4х,
прямой х=3 и осями
координат
2
 3dx
0
Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями
у = 2-х2 , прямой
х=-1 и осями координат
2
 3x  2 x dx
2
1
Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями
у = 4х - х2, прямой
х=1 и осями координат