Sillabus

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Прикладная физика» для
студентов КазНТУ имени К.И.Сатпаева по специальности 050724
«Технологические
машины
и
оборудование
нефтяной
и
газовой
промышленности".
Составители: ст. препод. Балгожина Г.А., к. т. н. , доцент Ниязова Ш.В.
Алматы: КазНТУ, 2014. – 187с.
Аннотация:
Учебно-методический комплекс дисциплины «Прикладная
физика» разработан
в соответствии с содержанием ГОСО
РК,квалификационной характеристикой, типовым и рабочим учебными
планами специальностей и направлений подготовки и отражает основное
содержание преподаваемой дисциплины. Дисциплина «Прикладная физика»
является дополнением к общему курсу физики, учитывающим специфику
данной специальности.
Студенты получают более углублённые знания по механике,
гидродинамике, физическим свойствам жидкостей, реальным газам,
электричеству и магнетизму. УМК позволяет сформировать у студентов
знания и умения использования фундаментальных законов, теорий
классической и современной физики, а также навыки проведения
физического исследования как основы будущей профессиональной
деятельности.
© Казахский национальный технический университет
имени К.И.Сатпаева, 2014
РЕЦЕНЗИЯ
на силлабус и учебно-методический комплекс дисциплины «Прикладная
физика» для студентов специальности 050724 – «Технологические машины и
оборудование нефтяной и газовой промышленности»
составленные преподавателями
кафедры общей и теоретической физики КазНТУ им. К.И.Сатпаева
(Балгожиной Г.А., Ниязовой Ш.В.)
Силлабус и учебно-методический комплекс дисциплины «Прикладная
физика» составлены для студентов, обучающихся по кредитной системе и
рассчитаны на 4 кредита. Силлабус и УМК составлены в соответствии с
методическими указаниями КазНТУ и включают в себя краткое описание
дисциплины, перечень и виды заданий, график их выполнения, список основной и
дополнительной литературы. Практические занятия, занятия самостоятельной
работы студентов под руководством преподавателя (СРСП), а также выполнение
самостоятельной работы студентов (СРС) служат для глубокого усвоения
теоретического материала студентами, обучающимися по специальности 050724.
Темы и сроки их последовательного выполнения согласуются с самостоятельной
работой студентов.
Обучаемые получают углублённые знания по тем разделам физики, которые
особенно востребованы их специальностью. Кроме теоретического материала они
получают обширный объём практических занятий в виде решения задач. В
течение семестра студенты выполняют поисково-познавательную работу по
прикладным вопросам физики и нефтегазовой отрасли и представляют её в виде
рефератов.
Доцент кафедры ОиТФ,
канд. ф.-м. н.
1.
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ –SYLLABUS
1.1 Данные о преподавателях:
Преподаватель, ведущий занятия: ст. преподаватель Балгожина Гульшат
Абдулгафаровна.
Контактная информация: тел. 257-71-68, ГУК 911
Время пребывания на кафедре – по расписанию.
1.2 Данные о дисциплине:
Название: «Прикладная физика»
Количество кредитов: 4
Место проведения: аудитория ГМК
Выписка из учебного плана
Формааа
Таблица 1
Академических часов в неделю
Лекции
Практ.
СРС
Всего
Форма
контроляя
конт
занятия
2
4
4
1
3
1
5
Письменный
экзамен
1.3 Пререквизиты: Механика, гидродинамика, электродинамика.
1.4 Постреквизиты: специальные дисциплины.
Краткое описание дисциплины.
Дисциплина «Прикладная физика» является дополнением к общему курсу
физики, учитывающим специфику данной специальности.
Цели и задачи дисциплины
Сформировать у студентов современное физическое и научное
мировоззрение. Внести вклад в формирование образованного бакалавранефтяника, способного успешно работать по своей специальности.
Специальные задачи
Раскрыть сущность основных представлений, законов, теорий классической
и современной физики и их внутреннюю взаимосвязь. Для будущего инженера
важна не только широта круга физических явлений, но и иерархия физических
законов и понятий, границ их применимости, что позволяет эффективно
использовать их в конкретных ситуациях.
1.5 Перечень и виды заданий и график их выполнения:
Виды заданий и сроки их выполнения
Таблица 2
Виды
Вид
контроля работы
Практ.
занятие
Текущий Практ.
контроль занятие
Практ.
занятие
СРС
Практ.
занятие
Практ.
занятие
СРС
Практ.
занятие
Тема работы
Ссылки на
Сроки
рекомендуемую
сдачи,
литературу с указанием
№
страниц
недели
Кинематика
Осн. лит.: 1[11-33]; 2[81
материальной точки.
17]; 3[11-28]; 4[19-46];
Решение задач 1-1[13], 7[24-25]; 8[14-18].
1- 22[7]; 1-29[8];1-30[7]; Доп. лит.: 12[4-13]; 14[31-40[8]; 1-51[8]; 1-59[8]; 4]; 15[18-46]; 13[14].
1-22[8] .
Динамика
Осн. лит.: 1[34-46]; 2[192
материальной точки.
46;59-64]; 3[32-51]; 4[69Решение задач 2-1[7]; 89;129-136;
143-175];
2-8[8];
2-58[8];
1- 7[32]; 8[31-38].
108[13]; 1-121[13]; 2- Доп. лит.: 12[14-33]; 14[476[8]; 2-83[8].
5]; 15[47-126]; 13[33;35].
Вращательное
Осн. лит.: 1[94-117]; 2[473
движение твёрдых тел. 58;65-67];
3[73-88];
Решение задач 3-11[8]; 4[182-199]; 7[62]; 8[513-15[8]; 3-17[8] ;3-25[8]; 57].
3-45[8]; 3-51[8]; 3-44[7]. Доп. лит.: 12[34-41]; 14[68]; 15[164-237].
Домашнее задание № 1. Осн.лит.: 11[4-14].
Силы трения. Сухое и Осн. лит.: 1[51-56]; 3[954
вязкое трение. Число 99]; 4[472-480]; 10[124Рейнольдса.
128].
Решение
задач1- Доп.лит.:12[18-19];
235[10]; 1-236[10]; 1- 15[127-140;238-249; 355237; 1-239; 1-240; 1- 360].
241;1-242[10].
Реферат № 1.
Упругие деформации. Осн. лит.: 1[47-51]; 3[895
Закон Гука для разных 95]; 4[404-414; 420-425];
видов деформации.
7[127-128]; 8[68-69].
Решение задач 8-16[7]; Доп.лит.: 12[46]; 13[68];
8-17[7]; 8-22[7]; 8-29[7]; 15[266-281].
4-41[8]; 4-42[8]; 1317[13].
Домашнее задание № 2. Осн. лит.: 11[16-18].
Реферат № 2.
Энергия
упругой Осн.
лит.:
3[89-95]; 6
деформации. Кручение. 4[404-414;420-425]; 7[129Решение задач 8-31[7]; 130]; 8[69-71].
8-37[7];4-51[8];4Доп. лит.: 12[46]; 13[7152[8];1-334[13];172]; 15[282-284] .
Практ. зан
Практ.
занятие
СРС
Практ.
занятие
Практ.
занятие
СРС
Практ.
занятие
336[13];4-49[8].
Реферат № 3.
Гармонические
колебания. Маятники.
Решение задач 6-9[8];
6-10[8]; 6-11[8]; 1383[13]; 6-33[8]; 636[8];6-44[8];6-46[8].
Реферат № 4.
Затухающие и
вынужденные
колебания. Волны.
Звук.
Решение задач 6-57[8];
6-58[8]; 6-62[8]; 6-65[8];
6-70[8]; 1-426[13]; 71[8]; 7-4[8]; 7-12; 7-14;
7-22; 7-51; 7-53; 7-54[8].
Домашнее задание № 3.
Реферат № 5.
Гидростатика.
Гидродинамика.Движен
ие тел в жидкостях и
газах.
Решение задач 1-211; 1212; 1-213; 1-214; 1-219;
1-220; 1-226; 1-227; 1231; 12-48; 12-55.
Рефераты № 6, 7.
Лобовое
сопротивление.
Поверхностное
натяжение.
Капиллярные явления.
Решение задач 1-244;
1-245; 1-246; 12-29; 1230; 12-31; 12-32; 12-34;
12-37;12-38; 12-39.
Домашнее задание № 4.
Реферат № 8, 9.
Молекулярнокинетическая теория
газов. Уравнение
состояния идеального
газа.
Осн. лит.: 2[358-369];
3[146-163];4[435450];8[89;92-93].
Доп. лит.: 12[243-248];
14[34-37];15[401-414].
13[79].
Осн. лит.:2[371-379; 396400]; 3[163-171]; 4[468505]; 8[94-95;103-105; 108].
Доп. лит.: 12[253-260];
14[34-37]; 15[414-427; 459498] ; 13[87].
7
8
Осн. лит.: 11[18-23;16-18].
Осн.
лит.:
1[131-152];
3[358-362];8[158-159];
10[114-122].
Доп.лит.:12[57-66]; 14[1012]; 15[307-345; 355-361].
9
Осн.
лит.:
1[331-342];
3[306-316];
4[262-289];
8[157]; 10[129-130].
Доп.лит.:12[126-132];
14[19-20]; 15[361-366].
10
Осн. лит.: 11[23-29].
Осн. лит.: 1[207-227; 250289]; 3[175-184; 194-220];
4[108-112;126-143]; 7[ ]; 8[
].
Доп.
лит.:
12[81-107];
11
Решение задач 8-5[8], 87[8]; 8-12[8], 8-23[8],
9-3[8],9-8[8],9-17[8], 920[8],9-27[8].
Реферат № 10, 11.
Практ. Первое начало
занятия термодинамики.
Тепловые машины.
Реальные газы.
Решение задач ……….
СРС
Домашнее задание № 5
Реферат № 12.
Практ. Электростатика.
занятие Напряжённость,
потенциал, разность
потенциалов.
Электроёмкость.
Конденсаторы.
Постоянный ток. Закон
Ома. Законы Кирхгофа.
Решение задач …….
Реферат № 13.
Практ. Магнитное поле.Закон
занятие Био-Савара-Лапласа.
Магнитные поля разной
конфигурации.
Электромагнитная
индукция.
Решение задач ……..
СРС
Домашнее задание № 6.
Реферат № 14.
Практ. Электромагнитные
занятие колебания.Закон Ома
для цепи переменного
тока.Мощность
переменного тока.
Решение задач ……
14[13-16].
Осн. лит.: 1[227-250; 289325], 2[182-201; 217-230];
3[186-192;222-228;248263;279-287],4[113-125;144175]; 7[ ]; 8[ ].
Доп.
лит.:12[108-125];
14[16-20].
Осн. лит.: 11[29-45].
12
Осн.
]; 8[
13
лит.:2[234-254];
].
7[
Доп. лит.: 12[146-176];
12[177-185];14[20-25]; [2527].
Осн. лит.: 2[270-297; 328343], 7[ ], 8[ ].
Доп. дит.:
14[27-32].
12[204-230],
Осн. лит.: 11[45-60].
Осн. лит.: 2[363-365; 379383; 402-407], 7[ ], 8[ ].
Доп. лит.:
14[34-39].
Практ. Рефераты № 15, 16, 17: Осн. лит.: ……
занятие Виды радиоактивного
излучения.
14
15
12[262-270],
16
Рубеж Тестир
ный
ование
контр 1.
оль
1.
Взаимодействие
излучения с веществом.
Источники
ионизирующего
излучения.
Современные способы
неразрушающего
контроля
в
нефтегазовой отрасли.
Темы 1-8.
Кинематика и динамика
поступательного
движения. Кинематика
и
динамика
вращательного
движения.
Силы
трения.
Упругие
деформации.
Колебания и волны.
Доп. лит.: ……
Осн. лит.: 1[11-46; 51-56; 8
94-117], 2[8-58; 65-67; 8995; 358-379; 396-400], 3[1151; 73-88; 95-99;146-171,
4[19-46; 69-89; 129-136;
143-199; 215-224; 404-425;
435-450; 472-480], 7[ ], 8[
], 10[124-128], 11[ ].
Доп. лит.: 12[4-46; 243-260],
15[18-140; 164-249; 266306; 401-427; 459-498],
14[3-10; 34-37].
Рубеж Тестир Темы 9- 15.
Осн. лит.: 1[131-152; 207- 15
ный
ование Гидростатика
и 227; 262-326; 331-341],
контр 2.
гидродинамика.Поверх 3[358-362; 306-316; 175оль 2.
ностное
натяжение. 228; 248-263; 279-287],
Молекулярно4[468-505; 108-175], 7[
],
кинетическая
теория 8[ ], 10[ ], 11[ ].
газов.
Законы
идеального газа. Первое Доп. лит.: 12[57-66; 126начало термодинамики. 132; 81-125; 146-185; 204Реальные
газы. 230; 262-270], 14[10; 13-39].
Электростатика.
Постоянный
ток.Электромагнетизм.
Электромагнитные
волны.
Переменный
ток.
Итого Экзаме Согласно
Осн. лит.: 1-11;
17
вый
н
тематическому плану Доп. лит.: 12-15;
контр
курса
Конспекты лекций
оль
1.7. Список литературы
Список основной литературы
1.
1. Савельев И.В. Курс физики: Учебник для втузов: В 3-х т. Т.1:
Механика. Молекулярная физика.– М.: Наука. 1989. – 352 с.
2. Детлаф А.А.,Яворский Б.М. Курс физики. М.: Учебник для втузов: М.:
Высшая школа, 2002. –719 с.
3.
Детлаф А.А., Яворский Б.И., Милковская Л.Б. Курс физики. Учебник
для втузов: В 3-х т. Т.1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. М.:
Высшая школа, 1973.– 384 с.
4.
Сивухин Д.В. Курс общей физики: Учебник для ун-тов:
В 5-и т. Т. 1: Механика. – М.: Наука, 2005.– 560 с.
5.
Сивухин Д.В. Курс общей физики: Учебник для ун-тов:
В 5-и т. Т. 2: Термодинамика и молекулярная физика. – М.: Наука, 2005.– 544 с.
6.
Сивухин Д.В. Курс общей физики:
Учебник для ун-тов:
В 5-и т. Т.3: Электричество и электромагнетизм.– М.: Наука, 2004. – 654 с.
7.
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, М.:
Высшая школа, 2002 г.
8.
Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: Учебное пособие, 4-е
изд. – М.: Высшая школа, 2002 г.
9.
Трофимова Т.И. Сборник задач по физике для втузов.М.: ОНИКС 21
век: Мир и Образование, 2005.–384 с.
10. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с
решениями: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2004.– 591 с.
11. Бедельбаева Г.Е. Семестровые задания по курсу общей физики. 2003 г.
Список дополнительной литературы
12. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для вузов – М.: Изд.
центр «Академия», 2006.– 560 с.
13.
Иродов И.Е., Савельев И.В., Замша О.И. Сборник задач по общему
курсу физики: М.: Наука, 1972.– 256 с.
14. Трофимова Т.И. Физика: 500 основных законов и формул: Справочник
для студентов вузов. Изд. 3-е – 63 с. М.: Высшая Школа, 1999 г.
15. Стрелков С.П. Механика: Учебное пособие для ун-тов, М.: Наука, 1965.
1.8 Контроль и оценка знаний
Распределение рейтинговых процентов по видам контроля
Таблица 3
№
Вид итогового контроля
Виды контроля
Баллы
вариантов
1
Письменный экзамен
Итоговый контроль
100
Рубежный контроль
100
Текущий контроль
100
Календарный график сдачи всех видов контроля по дисциплине «Прикладная
физика»
Таблица 4
Недели
Вид
контроля
1 2 3 4 5
П П П П П
СР Р СР
Р
1 1 2 2 3
6 7
П П
Р РК
Р
2 3
8
П
СР
Р
3
9 10 11
П П П
Р СР Р
Р
2 3 2
12
П
СР
Р
3
13 14 15 16
П П П Р
Р СР РК
Р
2 3 2 1
Недельное
количество
контроля
Виды контроля: П- практические занятия, СР- самостоятельная работа, КРрубежный контроль, Р- реферат.
Оценка знаний студентов
Таблица 5
Оценка
Буквенный
Рейтинговый балл
В баллах
эквивалент
(в процентах %)
Отлично
А
95-100
4
А–
90-94
3,67
Хорошо
В+
85-89
3,33
В
80-84
3,00
В–
75-79
2,67
Удовлетворительно
С+
70-74
2,33
С
65-69
2,00
С–
60-64
1,67
Д+
55-59
1,33
Д
50-54
1,00
Неудовлетворительно
F
0-49
0
Перечень вопросов для проведения контроля по модулям и промежуточной аттестации
Вопросы для проведения контроля по 1 модулю:
1.
2.2 Конспект лекций.
Лекция № 1
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
Системы отсчёта. Понятие материальной точки.
Кинематика изучает движение тел без учёта причин, вызвавших
это движение. Для описания движения необходимо выбрать систему
отсчёта. В различных системах отсчёта движение одного и того же
тела выглядит по-разному. Обычно движение тел на Земле задают в
системе отсчёта, связанной с поверхностью Земли.
Простейшим объектом, движение которого изучает классическая
механика, является материальная точка, то есть макроскопическое
тело, размерами которого в условиях данной задачи можно
пренебречь.
Положение точки М в пространстве можно задать с помощью
радиуса-вектора 𝑟⃗ (рис. 1.1)
z
М
z
y О
y
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒓
x
х
Рис.1.1. К понятию радиуса-вектора точки.
Как видно из рисунка ,
𝑟⃗ = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
(1.1)
Перемещение, скорость, ускорение.
Движение точки в пространстве можно описать с помощью
вектора перемещения 𝑠⃗, который связывает начальную точку 1 и
конечную точку 2 траектории. За бесконечно малый промежуток
времени dt этот вектор станет равным ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠 и будет направлен по
касательной в данной точке траектории, то есть совпадёт с вектором
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑟 (рис.1.2).
Тогда вектор скорости будет равен первой производной от
вектора перемещения или от радиуса-вектора по времени, то есть
𝑣⃗
=
𝑑𝑠⃗
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= 𝑟⃗̇ = 𝑠⃗̇
(1.2)
z
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠
𝑟1 1
⃗⃗⃗⃗
2
𝑠⃗
𝑟2
⃗⃗⃗⃗
O
x
y
Рис.1.2. К понятию вектора перемещения.
Вектор скорости можно разложить на три составляющие
𝑣𝑥 =
𝑑𝑥⃗
𝑑𝑡
= 𝑥⃗̇ ;
𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦 =
⃗⃗
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧⃗
= 𝑦⃗̇ ; ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑧 = = 𝑧⃗̇
𝑑𝑡
(1.3)
Тогда модуль вектора скорости
𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣 2𝑦 + 𝑣𝑧2 = √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2
(1.4)
Вектор ускорения равен первой производной от скорости по
времени или второй производной по времени от вектора перемещения,
то есть от радиуса-вектора
𝑎⃗ =
⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑣⃗̇ = |𝑣
⃗⃗⃗⃗ = 𝑠⃗̇ = 𝑟⃗̇| = 𝑠⃗̈ = 𝑟⃗̈
(1.5)
Вектор ускорения можно разложить на три составляющие
2
𝑑 𝑥⃗
𝑎𝑥 = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥̇ = |𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗𝑥 = 𝑥⃗̇ | = 𝑥⃗̈ = 2
𝑑𝑡
(1.6)
2
⃗⃗
𝑑 𝑦
𝑎𝑦 = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑦̇ = |𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗̇ | = 𝑦
⃗⃗⃗⃗̈= 2
𝑦 = 𝑦
𝑑𝑡
(1.7)
2
𝑑 𝑧⃗
𝑎𝑧 = 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗𝑧̇ = |𝑣
⃗⃗⃗⃗𝑧 = 𝑧⃗̇ |= 𝑧⃗̈ = 2
𝑑𝑡
(1.8)
Тогда модуль вектора ускорения
𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 = √𝑥̈ 2 + 𝑦̈ 2 + 𝑧̈ 2
(1.9)
Тангенциальное, нормальное и полное ускорение.
Вектор ускорения 𝑎⃗ характеризует быстроту изменения скорости 𝑣⃗ как по
численному значению, так и по направлению. Тогда вектор 𝑎⃗ можно разложить
на две составляющие, одна из которых показывает быстроту изменения
скорости по величине, а вторая
–
быстроту изменения скорости по
направлению. Первая составляющая называется тангенциальным ускорением
𝑎𝜏 , а вторая – нормальным ускорением ⃗⃗⃗⃗⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑛
При прямолинейном движении вектор скорости не изменяется по
направлению, поэтому нормальное ускорение равно нулю. При криволинейном
движении
в
самом
общем
случае
возможны
оба
вида
ускорения.
Тангенциальное ускорение направлено по касательной в данной точке
траектории (рис.1.3) и численно равно
𝑎𝜏 =
𝑑𝑣
(1.10)
𝑑𝑡
𝑎𝜏
⃗⃗⃗⃗⃗
M
𝑎⃗
𝑎𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗
Рис. 1.3. К понятию тангенциального, нормального и полного ускорения.
Расчёт показывает, что нормальное ускорение направлено к центру
кривизны в данной точке траектории (рис.1.3) и численно равно
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑅
,
(1.11)
где 𝑅 – радиус кривизны в данной точке траектории.
Тогда , как видно из рисунка, полное ускорение, согласно теореме
Пифагора ,
2
2
𝑑𝑣
𝑣
𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛2 = √( ) + ( )
𝑑𝑡
𝑅
2
(1.12)
Угловая скорость, угловое ускорение.
Частным
случаем
криволинейного
движения
является
движение по
окружности. Допустим, что материальная точка движется по окружности радиуса
R и в момент времени t находится в точке А (рис.1.4)
А
∆𝝋
R O
̆
∆𝑠
В
∆𝝋
RNowadays prevale
Рис. 1.4. К понятию угловой скорости и углового ускорения.
̆ , а радиус повернётся на некоторый угол
За время ∆𝑡 точка пройдёт путь ∆𝑠
∆𝜑. Тогда
∆𝑠̆ = 𝑅∆𝜑
𝑣ср. =
̆
∆𝑠
∆𝑡
=
(1.13)
𝑅∆𝜑
= R𝜔ср.
∆𝑡
(1.14)
В пределе получим
𝑣 = 𝑅 lim
∆𝜑
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝜑
=R
𝑑𝑡
= R𝜑̇ =R𝜔 ,
(1.15)
где 𝜔 – мгновенная угловая скорость.
Мгновенное угловое ускорение тоже можно получить через среднее угловое
ускорение:
𝜀ср =
𝜔2 − 𝜔1
∆𝜔
=
𝑡2 − 𝑡1
(1.16)
∆𝑡
В пределе получим:
𝜀 = lim
∆𝜔
∆𝑡→0 ∆𝑡
=
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝜔̇ =
𝑑2 𝜑
𝑑𝑡 2
= 𝜑̈
(1.17)
Угловые и линейные кинематические параметры связаны между собой
радиусом окружности:
𝑎𝜏 =
𝑑𝑣
=
𝑑𝑡
𝑎𝑛 =
𝑣2
𝑅
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑅𝜔 = 𝑅
𝑅 2 𝜔2
𝑅
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝑅𝜀
(1.18)
𝑣
𝑣2
𝑣2
𝑅
𝑅
𝑅
= R𝜔2 = |𝜔 = | = R
2 =
𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛2 = √(𝑅𝜀)2 + (𝑅𝜔 2 )2
(1.19)
(1.20)
Равнопеременное движение.
Законы поступательного равнопеременного движения имеют вид:
{ 𝑣 = 𝑣0 ± 𝑎𝑡
𝑆 = 𝑣0 t ±
(1.21)
𝑎𝑡 2
2
𝑣 2 − 𝑣02 = 2𝑎𝑆
(1.22)
(1.23)
Законы вращательного равнопеременного движения имеют вид:
𝜔 = 𝜔0 ± 𝜀𝑡
(1.24)
𝜑 = 𝜔0 𝑡 ±
𝜀𝑡 2
(1.25)
2
𝜔2 – 𝜔02 = 2𝜀𝜑
(1.26)
Знак (+) пишется для равноускоренного движения, знак (−) −
для равнозамедленного движения.
Свободное падение. Движение вертикально вверх.
Простейшими
случаями
равнопеременного
поступательного
движения
являются свободное падение и движение вертикально вверх. Тогда
𝑣 = 𝑣0 ± 𝑔𝑡
ℎ = 𝑣0 𝑡 ±
(1.27)
𝑔𝑡 2
(1.28)
2
𝑣 2 –𝑣02 = 2gh ,
где g = 9,8
м
𝑐2
(1.29)
– ускорение свободного падения для Земли.
Знак (+) пишется для свободного падения, знак (–) – для вертикального
движения вверх.
Осн.:1[11-33], 2[8-17], 3[11-28], 4[19-46]
Доп.:12[4-13], 14[3-4], 15[18-46]
Контрольные вопросы:
1.
Что такое материальная точка?
2.
Как найти скорость и ускорение при поступательном движении?
3.
Как найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение?
4.
Как найти угловую скорость и угловое ускорение?
5.
Как связаны угловые и линейные параметры при вращательном
движении?
6.
Каковы законы равнопеременного движения?
Лекция № 2.
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
И ТВЁРДОГО ТЕЛА.
Законы Ньютона. Сила, масса, импульс.
Динамика изучает движение тел с учётом причины этого движения. Опыт
показывает, что единственной причиной движения является внешнее
воздействие. В механике различают два вида воздействия:
1) воздействие, после которого возникает ускорение;
2)
воздействие, после которого возникает деформация тела.
Количественной
характеристикой
внешнего
воздействия
является
физическая величина F, которая называется силой. Мы рассматриваем пока
первый вид внешнего воздействия.
Опыт показывает, что под действием одной и той же силы разные тела
получают разное ускорение. Это объясняется различием масс тел.
По определению Ньютона, масса m тела – это мера его инертности к
поступательному движению, то есть свойство тел сохранять приобретённое
движение или состояние покоя. Это толкование массы Ньютон использовал при
формулировке 1го закона динамики (закона инерции):
Тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного
движения, пока внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.
Математически это выглядит так:
При F = 0
1) 𝑣 = 0 или 2) 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.1)
Раскрыть связь между воздействием и движением – есть основная задача
динамики. Эту задачу впервые решил Ньютон, который дал формулировку 2го
закона динамики:
a=
𝐹
𝑚
или F= ma
(2.2)
Эта запись справедлива только при постоянной массе тела (m = const ).
При переменной массе (m ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 )
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚𝑣)= |𝑚𝑣 = 𝑝|=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
,
(2.3)
где p – импульс тела .
В общем случае:
F=m
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+𝑣
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎 + 𝑣
𝑑𝑚
𝑑𝑡
(2.4)
Примером движения тела с переменной массой может служить движение
ракеты, которое было впервые рассчитано ….Мещерским и Э.Циолковским
(реферат).
3ий закон Ньютона учитывает роль тел, от которых исходит воздействие:
сила, действующая со стороны 1го тела на 2ое , равна и противоположна по
направлению силе, действующей со стороны 2го тела на 1ое , то есть
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹12 = – ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹21
(
Механические системы. Закон сохранения импульса.
Совокупность двух
механическую
систему.
или множества материальных
Тела,
образующие
эту
точек образует
систему,
могут
взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в неё. В
соответствии с этим, силы, действующие на систему, можно разделить на 2
вида:
1)
внутренние силы Fi – (пример: cилы сцепления вагонов поезда);
2)
внешние силы Фi –(силы трения и сопротивления, действующие на
вагоны и их колёса).
Если на механическую систему внешние силы не действуют, то система
называется изолированной (замкнутой, консервативной). В противном случае
система
называется
неизолированной
(незамкнутой,
неконсервативной,
диссипативной). Пример: вагоны поезда без учёта и с учётом сил трения.
Закон
сохранения импульса – прямое следствие из 2го
и
3го
з-нов
Ньютона. Пусть в системе содержится 2 частицы ( система замкнута). Тогда
∑𝑛𝑖=1 Ф𝑖 = 0
(2.5)
𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.6)
Можно показать, что
Для произвольного количества частиц
∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖 = const.
Для незамкнутой системы
(2.7)
𝑛
⃗⃗⃗𝑖 ≠ 0
∑ ⃗Ф
(2.20)
𝑖=1
Тогда
𝑑
𝑑𝑡
∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 ⃗⃗⃗⃗⃗
Ф𝑖
(2.21)
Примеры: 1) абсолютно упругий удар; 2) абсолютно неупругий удар;
3)
отдача при выстреле:
0 = 𝑚𝑣 + 𝑀𝑢 ⇒
𝑣 =–
𝑀𝑢
𝑚
(2.8)
,
(2.9)
где 𝑣 – скорость снаряда, т – масса снаряда ,
𝑀 – масса орудия , 𝑢 – скорость отдачи орудия ;
4) реактивное движение ракеты:
𝑣рак.= – mгvг
(2.24)
𝑚рак
Работа силы. Мощность. Энергия.
Работой силы F на перемещении dS (рис.2.1) называется величина
𝑑𝐴 = 𝐹𝑠 𝑑𝑆 = 𝐹𝑑𝑆 cos(𝐹⃗ ^ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑆) = (𝐹⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑆)
(2.10)
𝐹⃗
𝛼𝛼
dS
Рис. 2.1. К понятию элементарной работы силы.
Полная работа на некотором участке длиной L
𝐴 = ∫𝐿 (𝐹⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑆)
(2.11)
Размерность работы в системе СИ
[𝐴] = Н. м = Дж
(2.27)
Мощностью называется величина
𝑁=
𝑑𝐴
𝑑𝑡
Размерность мощности в системе СИ
(2.12)
[𝑁] =
Дж
𝑐
= Вт
(2.29)
Работа переменной силы (F ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) определяется графическим
методом ( рис. 2.3):
Fs
.
0
S
1
dS
2
Рис. 2.3. К расчёту работы переменной силы.
L – длина участка 1–2. Полная работа численно равна площади
криволинейной трапеции под графиком силы.
Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии.
Работа, которую может совершить тело или система тел, называется
энергией.
Работа,
связанная
с
изменением
скорости
тела,
называется
кинетической энергией. Величину кинетической энергии можно получить,
пользуясь 2ым законом Ньютона и величинами тангенциального, нормального и
полного ускорения. Расчёт показывает, что
𝐴 = 𝐸𝑘2 – 𝐸𝑘1 = ∆𝐸𝑘 =
𝑚𝑣22
2
–
𝑚𝑣12
2
(2.13)
Механическая работа равна приращению кинетической энергии. Это так
называемая теорема о кинетической энергии.
Потенциальные силы. Потенциальная энергия.
Силы, работа которых зависит только от начальной и конечной точек
траектории, но не зависит от её формы и длины, называются потенциальными.
В механике к этим силам относятся силы тяготения и силы упругости.
Пространство, в точках которого действуют рассматриваемые силы,
называется полем сил. Критерием потенциальности силового поля является
равенство нулю работы силы по замкнутому контуру.
Примеры вычисления потенциальной энергии в механике:
1)
Потенциальная энергия в поле силы тяжести Земли (рис.2.2)
h
1
h1
mg
2
O
h2
S
Рис. 2.2. К расчёту потенциальной энергии в поле силы тяжести Земли.
Из рисунка видно, что
𝐴 = – 𝑚𝑔(ℎ2 – ℎ1 ) = – (𝑚𝑔ℎ2 – 𝑚𝑔ℎ1 ) = ∆𝐸 𝑛
(2.14)
𝐸𝑛 = 𝑚𝑔ℎ
(2.15)
A = – ∆𝐸𝑛
(2.16)
Таким образом, работа в поле силы тяжести Земли равна убыли
потенциальной энергии.
1) Потенциальная энергия сжатой пружины.
Согласно закону Гука сила упругости
F=–kx
(2.17)
Тогда работа этой силы при растяжении или сжатии пружины
𝑥22
𝑥
A= – k ∫𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 = – 𝑘 (
1
𝐸𝑛 =
2
–
𝑥12
2
) = – (𝐸𝑛2 – 𝐸𝑛1 )= –∆𝐸𝑛
𝑘𝑥 2
2
A= – ∆ 𝐸𝑛
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Снова получилось выражение такое же, как и в первом примере , то есть
(2.16) . Опять работа равна убыли потенциальной энергии.
2) Потенциальная энергия силы гравитации.
Согласно закону всемирного тяготения сила гравитации
F=G
𝑀𝑚
𝑟2
(2.21)
Тогда работа этой силы при изменении расстояния между любой планетой
массой М и любым телом массой m, находящимся в её гравитационном поле
𝑟 2 𝑑𝑟
A = GMm ∫𝑟 1
𝑟2
= 𝐺𝑀𝑚 (–
1
𝑟2
+
1
𝑟1
)= – (
𝐺𝑀𝑚
𝑟2
–
𝐺𝑀𝑚
𝑟1
)
(2.22)
То есть
А = – (𝐸𝑛2 – 𝐸𝑛1 ) = – ∆ 𝐸𝑛
𝐸𝑛 =
(2.23)
𝐺𝑀𝑚
(2.24)
𝑟
A = – ∆ 𝐸𝑛
(2.25)
Снова получился результат такой же, как в первых двух примерах – работа
в поле силы гравитации равна убыли потенциальной энергии.
Таким
образом,
работа
потенциальных
сил
всегда
равна
убыли
потенциальной энергии.
Закон сохранения энергии в механике.
Согласно теореме о кинетической энергии, работа равна приращению
кинетической энергии, то есть
𝐴 = ∆𝐸𝑘 = 𝐸𝑘2 – 𝐸𝑘1
(2.26)
С другой стороны, как было показано выше, тело в поле
потенциальных
сил обладает запасом потенциальной энергии, за счёт которой производится
работа, то есть
𝐴 = – ∆𝐸𝑛 = 𝐸𝑛1 – 𝐸𝑛2
(2.27)
Ek2 – Ek1 = En1 – E𝑛2
(2.28)
𝐸𝑘1 + 𝐸𝑛1 = 𝐸𝑘2 + 𝐸𝑛2
(2.29)
Тогда
Таким образом, для замкнутой системы
𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Если
система
незамкнута,
то
(2.30)
полная
механическая
энергия
сохраняется, и её изменение равно работе внешних сил:
∆Е = Авнешн.
(2.48)
Е≠ со𝑛𝑠𝑡
(2.49)
Соударение частиц. Типы соударений.
не
При соударении двух или нескольких частиц происходит их сильное
кратковременное взаимодействие. В результате этого тела деформируются. При
этом кинетическая энергия до удара превращается в потенциальную энергию
упругой деформации и в другие виды энергии, например, в тепло.
По типу возникающей деформации различают 2 вида соударений:
1)
абсолютно упругий удар, при котором внутреннее состояние тел не
изменяется,
потенциальная энергия упругой деформации вновь переходит в
кинетическую энергию, и тела разлетаются (рис.2.3).
𝑣1
𝑣2
m1
m2
Рис. 2.3. К расчёту абсолютно упругого удара шаров.
На рисунке показаны два шара массами m1 и m2 , которые движутся в одном
направлении со скоростями v1 и v2 , причём v1 > v2 . После удара шары будут
двигаться со скоростями u1 и u2. При этом выполняются закон сохранения
импульса и закон сохранения энергии:
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
(2.31)
m1v12/2+m2v22/2=m1u12/2+m2u22/2
(2.32)
Расчёт показывает, что скорости шаров после удара равны
𝑢1 = – 𝑣1 + 2
𝑢2 = – 𝑣2 + 2
𝑚1 𝑣1 +𝑚2 𝑣2
𝑚1 +𝑚2
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2
𝑚1 +𝑚2
(2.33)
(2.34)
2 ) абсолютно неупругий удар, после которого шары будут двигаться
вместе с общей скоростью u . В этом случае выполняется закон сохранения
импульса
m1 v1 + m2 𝑣2 = (m1 + m2 ) 𝑢
(2.35)
Отсюда скорость шаров после удара будет равна
𝑢=
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2
𝑚1 +𝑚2
(2.36)
Что касается энергии шаров, то в результате удара часть её уйдёт на
увеличение внутренней энергии, то есть на нагревание. Расчёт показывает, что
изменение кинетической энергии равно
1
∆𝐸 = ∆𝐸𝑘 = 𝑄 = –
где 𝜇 =
𝑚1 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
2
2
𝜇 (𝑣1 – 𝑣2 ) ,
(2.37)
– приведённая масса соударяющихся шаров.
(2.38)
3 ) Баллистический маятник. Определение скорости пули.
Примером практического применения законов абсолютно неупругого
соударения
является
баллистический
подвешенное массивное
маятник.
Он
представляет
собой
тело, например, мешок с песком, который может
колебаться вокруг горизонтальной оси. Пуля или снаряд, попадая в маятник,
застревает в нём, и маятник отклоняется на небольшой угол 𝛼 (рис.2.4). Замерив
этот угол, можно определить скорость пули. Для этого применяются законы
сохранения импульса и энергии:
𝛼
l
.
m ⃗⃗⃗⃗
𝑣
l
M
h
Рис. 2.4 . К расчёту скорости пули с помощью баллистического маятника.
𝑚𝑣 = (𝑚 + 𝑀)𝑢 ,
(2.39)
где m – масса пули, M – масса маятника, 𝑣 – скорость пули, u – скорость
подъёма маятника. Закон сохранения энергии имеет вид
(𝑚+𝑀)𝑢2
2
= (𝑚 + 𝑀)𝑔ℎ ,
где h – высота подъёма центра масс маятника, g = 9,8
(2.40)
м
с2
– ускорение свободного
падения.
Из этих уравнений видно, что
𝑣=
(𝑚+𝑀)𝑢
𝑚
(2.41)
𝑢 = √2𝑔ℎ
ℎ=
(2.42)
𝑢2
(2.43)
2𝑔
Из рис. (2.4 ) видно, что
ℎ = 𝑙(1 – cos 𝛼)
(2.44)
Тогда
𝑚𝑣 = (𝑚 + 𝑀) √2𝑔ℎ
𝑣=
𝑚+𝑀
𝑚
(2.45)
√2𝑔𝑙 (1 – cos 𝛼) – скорость пули.
(2.46)
Осн.: 1[34-46], 2[19-46;59-64], 3[32-51, 4[69-89; 129-136;143-175]
Доп.:12[14-33], 14[4-5], 15[47-126]
Контрольные вопросы:
1.Как читаются законы Ньютона?
2. Как читается закон сохранения импульса?
3. Что такое работа силы, мощность, энергия?
4. Каковы виды потенциальной энергии в механике?
5. Как читается закон сохранения энергии в механике?
6. Соударения частиц и их виды.
Лекция № 3.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.
1.3.1. Понятие абсолютно твёрдого тела. Момент силы, момент
импульса.
Абсолютно
твёрдое
тело
состоит
из
множества материальных
точек, жёстко связанных между собой (рис.3.1).
z
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑐
y
0
x
Рис.3.1. К понятию абсолютно твёрдого тела.
При поступательном движении линейная скорость и линейное ускорение
всех точек тела
𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣3 = ⋯ = 𝑣𝑖 = 𝑣
(3.1)
𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑖 = 𝑎
(3.2)
При вращательном движении вокруг некоторой оси OO′ (рис.3.2)
∆𝑚𝑖
O′
О′
Рис. 3.2. Вращательное движение твёрдого тела.
угловая скорость и угловое ускорение всех точек тела
𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔3 = ⋯ = 𝜔𝑖 = 𝜔
(3.3)
𝜀1 = 𝜀2 = 𝜀3 = ⋯ = 𝜀𝑖 = 𝜀
(3.4)
Связь между линейными и угловыми кинематическими параметрами
𝑣 = 𝜔𝑟 ;
𝑎𝜏 = 𝜀𝑟 ;
𝑎𝑛 = 𝜔2 𝑟
Допустим, что тело вращается вокруг некоторой оси
(3.5)
О под действием
некоторой силы 𝐹𝑖 , приложенной к некоторой точке ∆𝑚𝑖 , расположенной на
расстоянии 𝑟𝑖 от оси вращения (рис. 3.3).
⃗⃗⃗
𝐹𝑖
O.
l
⃗⃗⃗
ri
⃗⃗⃗
∆𝑚𝑖
𝛼
Рис.3.3. К понятию момента силы.
Роль силы во вращательном движении выполняет момент силы М.
Как видно из рисунка 3.3, момент силы 𝐹𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀 = [𝑟⃗ 𝐹⃗ ]
(3.6)
Численное значение момента силы
𝑀 = 𝑟𝐹 𝑠𝑖𝑛𝛼 = |𝑟 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑙| = Fl ,
(3.7)
где l – плечо силы 𝐹⃗ , M – момент силы.
Направление вектора
правого
винта
мысленно
по
(
момента
буравчика)
поворачивается
кратчайшему
силы
(рис.
в
пути.
определяется
3.1):
правилу
первый
сторону
Тогда
по
второго
направление
вектор
вектора
⃗М
⃗⃗⃗
вектора
совпадёт с направлением поступательного движения буравчика (в данном
случае – к нам).
𝐹⃗
𝛼
⃗⃗⃗
𝑀
𝑟⃗
Рис. 3.1. К правилу буравчика.
Роль импульса во вращательном движении выполняет момент импульса
⃗⃗⃗⃗
𝐿𝑖 = [𝑟⃗⃗𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝐾𝑖 ] ,
(3.7)
где ⃗⃗⃗⃗
𝐾𝑖 – импульс частицы.
1.3.2. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент
инерции тела и его физический смысл.
Пользуясь связью между линейными и угловыми параметрами, можно
получить
величину
кинетической
энергии
вращательного
движения.
Кинетическая энергия поступательного движения данного тела
2
∆𝑚𝑖 𝑣𝑖
𝐸𝑘 = ∑∞
𝑖=1
(3.8)
2
Тогда кинетическая энергия вращательного движения
Ек =
∆𝑚𝑖 (𝜔𝑟𝑖 )
∑∞
𝑖=1
2
2
=
𝜔2
∑∞
∆𝑚𝑖 𝑟𝑖2
𝑖=1
2
где I – момент инерции данного тела.
=
𝐼𝜔2
2
,
(3.9)
Между физическими величинами для вращательного и поступательного
движения существует связь через радиус-вектор частицы:
𝑆 = 𝜑𝑟
(3.10)
𝑣 = 𝜔𝑟
(3.11)
𝑎 = 𝜀𝑟
(3.12)
⃗⃗⃗ = [𝑟⃗ 𝐹⃗ ]
𝑀
(3.13)
⃗⃗]
𝐿⃗⃗ = [𝑟⃗ 𝐾
(3.14)
𝐼 = 𝑚𝑟 2
(3.15)
𝑚𝑣 2
2
→
𝐼𝜔2
(3.16)
2
Таким образом, роль массы во вращательном движении выполняет
момент инерции, который является мерой инертности тела к вращательному
движению.
1.3.3. Теорема Штейнера.
Момент инерции тела относительно произвольной оси О΄О΄ можно
вычислить через момент инерции этого тела относительно оси , проходящей через
его центр масс параллельно заданной (рис.3.2). Это так называемая теорема
Штейнера.
О
О
↺
О΄
↺
C. d A
О
О΄
Рис. 3.2. К теореме Штейнера.
Согласно этой теореме
𝐼𝐴 = 𝐼𝐶 + 𝑚𝑑 2 ,
(3.17)
где IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
IA – момент инерции тела относительно заданной оси, m – масса тела, d –
расстояние между осями.
1.3.4. Примеры вычисления моментов инерции.
1) Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр
перпендикулярно ему, (рис. 3.6)
↺
C
l
Рис. 3.6. К вычислению момента инерции стержня относительно оси,
проходящей через его центр.
𝐼𝐶 =
𝑚𝑙 2
12
,
(3.18)
где m – масса стержня, l – длина стержня.
2) Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец
перпендикулярно ему. (рис. 3.7).
A
↺
C
l
Рис. 3.7. К вычислению момента инерции стержня относительно оси,
проходящей через его конец.
Согласно теореме Штейнера
𝐼𝐴 =
𝑚𝑙 2
12
𝑙 2
+ 𝑚( ) =
2
𝑚𝑙 2
3
(3.19)
3) Момент инерции тонкого кольца массой m и радиуса R относительно оси,
проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, (рис.3.8)
↺
R
Рис. 3.8. К вычислению момента инерции тонкого кольца массой m и
радиуса R.
𝐼𝐶 = 𝑚𝑅2
(3.20)
4) Момент инерции диска (цилиндра) массой m и радиуса R относительно
оси, проходящей через его центр перпендикулярно ему (рис. 3.9)
↺
Рис. 3.9. К вычислению момента инерции диска.
𝐼𝐶 =
𝑚𝑅 2
(3.21)
2
5) Момент инерции тонкой сферы массой m и радиуса R (рис. 3.10)
𝐼𝐶 =
2
3
𝑚𝑅2
(3.22)
↺
R
Рис. 3.10. К вычислению момента инерции тонкой сферы.
6 ) Момент инерции шара массой m и радиуса R (рис. 3.11)
𝐼𝐶 =
2
5
𝑚𝑅2
(3.23)
0↺
Рис.3.11. К вычислению момента инерции шара.
1.3.5.
Основной закон динамики вращательного движения.
Согласно второму закону Ньютона
𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
(2.2)
Аналогом второго закона Ньютона для вращательного движения является
так называемый основной закон динамики вращательного движения
⃗⃗⃗ = 𝐼𝜀⃗
𝑀
(3.24)
При этом роль массы выполняет момент инерции, роль силы – момент
силы, роль линейного ускорения – угловое ускорение.
1.3.6. Закон сохранения момента импульса.
Согласно закону сохранения импульса для поступательного движения в
случае замкнутой системы, то есть в отсутствие внешних сил
∑𝑛𝑖=1 Ф𝑖 = 0
(2.5)
∑∞
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(2.7)
В случае незамкнутой системы
𝑑
𝑑𝑡
∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 ⃗⃗⃗⃗⃗
Ф𝑖
(2.21)
Аналогом закона сохранения импульса для вращательного движения
является закон сохранения момента импульса
L, то есть при отсутствии
внешнего момента сил
⃗⃗⃗⃗внешн = 0
М
(3.25)
⃗⃗⃗⃗
∑∞
𝑖=1 𝐼𝑖 𝜔𝑖 = 𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(3.26)
Если же
⃗М
⃗⃗⃗внешн ≠ 0
(3.28)
то
𝑑
𝑑𝑡
∑∞
𝑖=1 𝐼𝑖 𝜔𝑖 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
⃗⃗⃗внешн.
= ⃗⃗⃗⃗
𝐿̇ = ⃗М
(3.29)
Примеры : 1) скамья Жуковского , 2) фигурист , 3) сальто .
. Осн.:1[94-117], 2[47-58; 65-67], 3[73-88], 4[182-199].
Доп.: 12[34-41], 14[6-8], 15[164-237]
Контрольные вопросы:
1.Что такое абсолютно твёрдое тело?
2. Чему равен момент силы?
3. Чему равна кинетическая энергия вращательного движения?
4. Как читается теорема Штейнера?
5. Приведите примеры вычисления моментов инерции тел разной формы.
6. Как читается основной закон динамики вращательного движения?
7. Как читается закон сохранения момента импульса?
Лекция № 4.
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ.
1.4.1. Силы трения. Сухое трение. Трение скольжения. Трение
качения.
Различают два вида трения: сухое и вязкое.
Сухое трение твёрдых тел – это трение при сухих поверхностях этих тел.
При сухом трении возникает сила трения покоя, то есть при достаточно малых
силах, приложенных к телу, оно не сдвигается с места. Изменяя величину
приложенной силы, можно тем самым изменять силу трения покоя. При значении
силы, большем некоторой величины F0 , тело начнёт двигаться, следовательно,
сила трения покоя может принимать любые значения от 0 до F0 .
Значение F0 зависит :
1) от физических свойств соприкасающихся тел,
2) от состояния поверхностей этих тел,
3) от величины силы давления, прижимающей одно тело к другому.
Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя
F0 =k N ,
(4.1)
где k – коэффициент силы трения покоя, зависящий только от свойств
соприкасающихся поверхностей, N – сила нормального давления.
Это так называемый закон Амонтона (1699 г.).
Если сила F , действующая на тело, превышает максимальную силу трения
покоя F0 , то наступает скольжение, возникает ускорение и скорость возрастает.
При этом сила трения будет тоже изменяться в зависимости от скорости (рис.4.1).
1.4.2.
Движение при наличии сил трения. График трения.
Основная особенность сил трения − их «многоликость». Конечно, они все
имеют общую природу, так как обусловлены электромагнитным взаимодействием
молекул на границах соприкасающихся тел. Все они являются диссипативными
силами − отличная от нуля работа этих сил всегда отрицательна и уменьшает
механическую энергию системы, переводя ее в тепло (то есть в энергию
молекулярного движения). Однако проявления действия этих сил очень
многообразны, и поэтому способы теоретического описания этих сил в разных
ситуациях
также
отличаются
довольно
сильно.
Очень разнообразны и методы решения задач о движении тел при наличии
сил трения. Кроме того, для успешного решения таких задач очень важно иметь
правильное качественное понимание физики протекающих процессов. Поэтому в
данной теме следует уделить особое внимание не только отработке методики
решения задач, но и выработке правильных качественных представлений о силах
трения. Это требует более подробного изложения основ теории − не
ограничиваясь
только
необходимым
«минимумом»
сведений.
Силы сухого трения возникают при соприкосновении твердых тел, если
существуют
внешние
причины,
вызывающие
относительное
движение
(скольжение) этих тел. Таким образом, силы сухого трения можно отнести к
силам реакции, ибо они возникают «в ответ» на действие этих «внешних причин»
и принимают в точности те значения, которые нужны для предотвращения
проскальзывания. Если силы трения способны поддерживать равновесие тел, то
их называют силами трения покоя. В этом случае скольжение тел друг по другу
отсутствует, и тела движутся вместе, то есть их движение подчинено условию
связи. Однако силы трения покоя не могут увеличиваться до бесконечности −
всегда существует их предельное (максимальное) значение, и если внешние силы,
сдвигающие тела, превысят это значение, то начинается проскальзывание тел.
Теперь силу сухого трения уже называют силой трения скольжения, так как
закономерности ее поведения изменяются. Рассмотрим некий «характерный»
график
зависимости
соприкасающихся тел.
силы
сухого
трения
от
относительной
скорости
Рис.4.1. . Зависимость силы сухого трения от скорости.
Участок I (см. рис.4.1), отвечающий нулевой скорости, описывает силы
трения покоя, которые могут принимать любые нужные для уравновешивания
внешних
сил
значения
от
нуля
до
максимального
значения
Fmax.
Участок II описывает «эффект застоя». Для того, чтобы сдвинуть тела,
требуется большая сила, чем для поддержания их относительного движения.
Поэтому сразу после начала движения при постоянной внешней силе тела быстро
«разгоняются» (их ускорение растет). Возникающий участок «отрицательного»
наклона кривой Fтр(v) играет важную роль во многих физических явлениях −
например, в передаче энергии от смычка к струне в некоторых музыкальных
инструментах.
Участок III отвечает трению скольжения − величина силы трения практически
не зависит от скорости и пропорциональна силе нормальной реакции,
возникающий при прижатии тел друг к другу.
Fmp(v) ≈ const ≈ μN.
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения.
Участок IV отвечает фазе «видоизменения» соприкасающихся поверхностей.
В самом деле, при значительных скоростях поверхности могут плавиться
(например, при движении конька по льду последний начинает плавиться даже при
не очень больших значениях скорости, обеспечивая «легкость» скольжения),
могут частично разрушаться. Все это может приводить к очень значительным
изменениям силы трения − как в сторону уменьшения, так и в сторону
увеличения. В дальнейшем − при «сверхбольших» значениях относительной
скорости плавятся почти любые тала, да и физика взаимодействия поверхностей
тел настолько меняется, что возникающие явления уже нельзя относить к «сухому
трению».
Однако в задачах, построенных на основе школьного курса физики,
большинство из описанных явлений не рассматривается. Даже в олимпиадных
задачах используется существенно упрощенная картина. Обычно пренебрегают
эффектом застоя, и считают, что максимальное значение силы трения покоя равно
силе трения скольжения:
Fmax ≈ μN ,
В технике важное
значение имеет также сила трения качения. Кулон
установил, что трение качения прямо пропорционально силе нормального
давления N и обратно пропорционально радиусу r катящегося тела, то есть
𝐹тр.кач. = 𝑘кач.
где k
кач.
𝑁
𝑟
,
(4.2)
– коэффициент трения качения.
Cила трения качения значительно меньше трения скольжения
Fтр.кач.≪ 𝐹тр.скольж. ,
(4.3)
поэтому для уменьшения трения применяются шарикоподшипники.
1.4.2. Вязкое трение. Закон Ньютона для вязкости.
При вязком трении силы трения покоя нет. В жидкостях или газах под
действием как угодно малой силы происходит сдвиг тела с места. Само
сопротивление возникает только в процессе движения. Сила вязкого трения при
движении тела в среде зависит от формы тела, скорости движения и от свойств
самой среды –
вязкости и плотности. Вязкость среды обычно определяется
опытами, в которых измеряется сила трения некоторых тел при определённых
условиях. Ньютон опытным путём установил основную закономерность трения в
среде при скольжении друг относительно друга двух близких параллельных
поверхностей, пространство между которыми заполнено жидкостью или газом
(рис. 4.2). Если под действием внешней силы F поверхность I площадью S
движется равномерно со скоростью 𝑣 относительно параллельной ей покоящейся
поверхности II , то сила трения 𝐹тр. , приложенная к поверхности I , равна и
противоположна силе F .
z
Fтр
v
S
I
h
II
0
F
v
Рис. 4.2. К закону Ньютона для силы вязкости.
На основании измерения скорости 𝑣 и силы F Ньютон нашёл следующую
закономерность:
𝑣
𝑑𝑣
ℎ
𝑑𝑧
𝐹тр = 𝜂𝑆 = 𝜂𝑆
= 𝜂𝑆 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣 ,
(4.4)
где η – коэффициент вязкого трения, зависящий только от свойств среды
между плоскостями I и II , h – расстояние между поверхностями I и II .
𝑑𝑣
𝑑𝑧
= 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣 – градиент скорости, который показывает, как изменяется скорость в
направлении, перпендикулярном движению поверхности
I
относительно
поверхности II.
Этот закон справедлив, если
h≪𝑆
. Между поверхностями возникает
перепад скоростей слоёв среды, то есть профиль скоростей, имеющий вид
(рис.4.3):
I
h
v
II
Рис.4.3. Профиль скоростей вязкой среды.
Подробные исследования показали, что частицы жидкости или газа,
прилегающие к поверхности
I , движутся со скоростью
𝑣
(увлекаются
поверхностью), а частицы, прилегающие к поверхности II , находятся в покое,
причём, скорость частиц среды пропорционально нарастает с увеличением
расстояния от поверхности II .
Каждый слой жидкости движется равномерно, причём, верхний слой тянет
лежащий под ним слой с силой Fтр. вперёд, а нижний слой тянет соседний
верхний слой назад с такой же силой. Таким образом, сила Fтр. передаётся от
одного слоя к другому, от одной поверхности к другой.
О методах определения коэффициента вязкости будет сказано в разделе
«Механика жидкостей и газов».
Осн.: 1[51-56], 3[95-99], 4[472-480]
Доп.: 12[18-19], 15[127-140; 238-249]
Контрольные вопросы:
1. Как определяется сила сухого трения скольжения?
2. Как определяется сила вязкого трения?
3. Что такое градиент скорости?
Лекция № 5
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
1.5.1.
Основные виды деформации.
В твёрдых телах возможны два предельных случая деформаций: упругая
деформация и пластическая деформация.
Упругая деформация исчезает после прекращения действия приложенных
сил. Пластическая или остаточная деформация частично или полностью
сохраняется в теле после прекращения действия внешних сил.
При сильных воздействиях упругие деформации могут переходить в
пластические. Мы рассматриваем только малые деформации, то есть упругие.
Внутри деформированного тела, в соответствии с третьим законом Ньютона,
возникают силы, противодействующие деформации. Благодаря этому тело
находится в особом, напряжённом состоянии.
Количественной мерой напряжённого состояния является так называемое
механическое напряжение
𝜎=
𝐹
𝑆
(5.1)
Единицей измерения механического напряжения является
[𝜎 ]=
Н
м2
= Па
(5.2)
Возможны два вида механического напряжения – нормальное 𝜎𝑛 и
тангенциальное 𝜎𝜏 . Видом механического напряжения определяется и вид
упругой деформации.
Твёрдые тела (металлы) обычно состоят из большого числа микрочастиц,
ориентированных бепорядочно, то есть имеют поликристаллическую структуру.
Упругие свойства таких тел не зависят от направления, то есть они являются
изотропными.
В изотропных телах могут существовать 2 основных вида упругой
деформации: растяжения (или сжатия) и сдвига.
Деформация растяжения (сжатия). Модуль Юнга. Коэффициент
Пуассона.
Твёрдые тела имеют кристаллическую структуру. В узлах кристаллической
решётки расположены атомы вещества (металла). Атомы в узлах образуют
атомный слой.
В нормальном, ненапряжённом состоянии атомы в узлах находятся в
равновесии и расстояния между ними остаются постоянными и равными r0 . Под
действием
растягивающей
или
сжимающей
силы
это
расстояние
либо
увеличивается, либо уменьшается на некоторую величину x и становится равным
r . При этом равновесие атомов нарушается и возникают внутренние силы,
стремящиеся вернуть атомы в первоначальное состояние.
Вычислим силу, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения
кристалла (образца), то есть нормальное механическое напряжение
Известно, что потенциальная энергия взаимодействия частиц
является функцией расстояния
в твёрдом теле
между ними и описывается кривой
r
(рис.5.1.).
U(r)
х
1
U(r0)
.
U(x)
х
2
.
r
r
r0
Рис.5.1. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия частиц
кристалла от расстояния между ними.
𝜎𝑛 .
U(r)
При смещении частицы 2 из положения равновесия на расстояние x , то есть
при увеличении расстояния между частицами до
r
, энергия частицы
увеличивается и становится равной U(r). Изменение энергии
U(x) = U(r) – U(r0 )
(5.3)
Его можно найти, разлагая U(r) в ряд Тэйлора по степеням x
𝑈 (𝑥 ) = (
𝑑𝑈
)
𝑑𝑟 𝑟0
+
1 𝑑2 𝑈
2
(
) 𝑥2 + …
𝑑𝑟 2 𝑟0
(5.4)
Но так как при r = r0 наблюдается экстремум (минимум), то
𝑑𝑈
(
) =0
(5.5)
𝑑𝑟 𝑟0
Тогда
1 𝑑2 𝑈
𝑈(𝑥 ) = (
2
𝑑𝑟 2
1
) 𝑥 2 = 2 𝑘𝑥2 ,
𝑟0
(5.6)
где 𝑘 – жёсткость связи.
Известно, что работа потенциальных сил равна убыли потенциальной
энергии. Тогда
𝑓 =–
𝑑𝑈(𝑥)
𝑑𝑥
=–
𝑑
1
( 𝑘𝑥 2 ) = – 𝑘𝑥
𝑑𝑥 2
(5.7)
Это сила взаимодействия между двумя частицами.
Теперь рассмотрим кристаллический стержень длиной l и поперечным
сечением S , к которому приложена некоторая растягивающая сила F (рис.5.2)
∆𝑙
r0
. ………
F
x
S
F
𝑙
Рис.5.2. К выводу закона Гука для деформации растяжения (сжатия).
Тогда внутри образца под действием приложенной силы F возникнет
противодействующая ей сила Fвнутр. , то есть сила упругости
𝐹внутр. = – 𝑓𝑁 = – 𝑁𝑘𝑥
,
(5.8)
где N – число атомов, находящихся в атомном слое площадью S.
Тогда нормальное механическое напряжение
𝐹внутр.
𝜎𝑛 =
𝑆
𝑁𝑘𝑥
=
𝑆
=
𝑁𝑘𝑥𝑟0
𝑆𝑟0
=
𝑁𝑘𝑟0 𝑥
𝑆
(5.9)
𝑟0
Введя обозначение
𝑥
𝑟0
=𝜀
(5.10)
𝑁𝑘𝑟0
и
=Е
𝑆
получим
,
(5.11)
𝜎𝑛 = Е 𝜀
(5.12)
Выражение (5.10) можно переписать
𝑥 𝑁сл.
∆𝑙
=
𝑟0 𝑁сл.
𝑙
=𝜀 ,
(5.13)
где Nсл. – число атомных слоёв в образце, ∆𝑙 – абсолютное удлинение
образца, 𝜀 – относительное удлинение образца.
Тогда (5.12) будет иметь вид
𝜎𝑛 = Е
Отсюда
∆𝑙
𝑙
𝜀=
= Е𝜀
(5.14)
𝜎𝑛
(5.15)
𝐸
Это так называемый закон Гука для деформации растяжения (сжатия).
Физический смысл модуля Юнга можно получить, если мысленно
представить, что
∆𝑙
𝑙
=1
,
(5.16)
то есть образец растянулся в 2 раза.
Тогда
Е = 𝜎𝑛
(5.17)
Таким образом, модуль Юнга – это такое механическое напряжение, при
котором
образец
невозможно).
растянулся бы в 2 раза (что в металлах абсолютно
Под действием растягивающих или сжимающих сил происходит
изменение не только продольных, но и поперечных размеров тел.
Если а0 – толщина стержня до деформации, а – толщина стержня
после деформации, то
∆𝑎 = а – а0
Тогда –
∆𝑎
(5.18)
– относительное поперечное сжатие стержня.
𝑎0
∆𝑎
𝑎0
Но для металлов
Тогда
𝜇 =–
≈
∆𝑎
𝑎
:
∆𝑎
𝑎
∆𝑙
𝑙
(5.19)
=–
∆𝑎 𝑙
∆𝑙 𝑎
(5.20)
Это так называемый коэффициент Пуассона.
Деформация сдвига. Модуль сдвига.
1.5.2.
Рассмотрим
внутри
ненапряжённого
тела
прямоугольный
параллелепипед (рис.5.3а).
z
s
F
z
𝜑
y
x
y
x
а)
б)
Рис. 5.3. К выводу закона Гука для деформации сдвига.
Если к его верхней грани приложить силу F , то произойдёт деформация
сдвига, верхняя грань сдвинется вправо (рис.2.3б). При этом возникнет
тангенциальное механическое напряжение
𝜎𝜏 =
𝐹
(5.21)
𝑆
Количественной мерой возникшей деформации можно считать
t𝑔 𝜑 =
∆𝑥
𝑧
=𝛾
,
так называемый относительный сдвиг.
Теоретический расчёт и опыт показывают, что
(5.22)
𝜎𝜏
𝛾=
где
G
,
𝐺
(5.23)
– модуль сдвига, который зависит только от свойств материала
образца.
Это закон Гука для деформации сдвига.
Осн.: 2[89-95] , 3[47-51], 4[404-414; 420-425]
Доп.: 12[46],14 [
], 15[266-306]
Контрольные вопросы:
1. Виды упругих деформаций. Механическое напряжение.
2. Как читается закон Гука для деформации растяжения?
3. Что такое модуль Юнга и коэффициент Пуассона?
4. Что такое деформация сдвига и модуль сдвига?
Лекция № 6
Энергия упругой деформации.
При деформации упругого тела внешние силы совершают работу, которая
расходуется на увеличение потенциальной энергии тела. Возникает запас
потенциальной энергии упругой деформации. При деформации растяжения (или
сжатия) сила, растягивающая стержень на величину х , равна
𝐹 = 𝜎𝑛 𝑆 = |𝜎𝑛 = 𝜀𝐸 =
𝑥
𝑙
𝐸| =
𝐸𝑆
𝑙
𝑥
(6.1)
Тогда работа этой силы на участке dx
𝑑𝐴 = 𝐹𝑑𝑥 =
𝐸𝑆
𝑙
𝑥𝑑𝑥
(6.2)
Полная работа, которую надо совершить, чтобы увеличить длину стержня на
∆𝑙
∆𝑙
∆𝑙 𝐸𝑆
𝐴 = ∫ 𝑑𝐴 = ∫0 𝐹𝑑𝑥 = ∫0
𝑙
𝑥𝑑𝑥 =
𝐸𝑆 𝑥 2
𝑙 2
│∆𝑙
0 =
𝐸𝑆
2𝑙
∆𝑙 2 = 𝑊 ,
(6.3)
где W – потенциальная энергия деформации растяжения.
Это выражение можно преобразовать:
W=
𝐸𝑆∆𝑙 2 𝑙
2𝑙 2
=|
∆𝑙 2
𝑙2
= 𝜀 2 ; 𝑆𝑙 = 𝑉| =
𝐸𝜀2
2
𝑉 ,
(6.4)
где V – объём образца.
Тогда объёмная плотность энергии деформации растяжения
𝑤=
𝑊
𝑉
=
𝐸𝜀2
(6.5)
2
Для деформации сдвига аналогично можно получить
w =
𝐺𝛾 2
(6.6)
2
Потенциальная энергия сжатой пружины.
Согласно закону Гука сила упругости
F=–kx
(6.7)
Тогда работа этой силы при растяжении или сжатии пружины
A= – k
𝑥2
∫𝑥 𝑥
1
𝑑𝑥 = – 𝑘 (
𝐸𝑛 =
𝑥22
2
–
𝑥12
2
) = – (𝐸𝑛2 – 𝐸𝑛1 )= –∆𝐸𝑛
𝑘𝑥 2
2
A= – ∆ 𝐸𝑛
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Деформация кручения. Модуль кручения.
Деформация растяжения и деформация сдвига являются однородными, то
есть все бесконечно малые элементы тела деформируются одинаково. Кроме этих
деформаций возможны и неоднородные деформации, например, деформация
кручения, деформация изгиба. В этих случаях деформация внутри тела меняется
от точки к точке. Рассмотрим однородный стержень, закреплённый вверху. (рис.
Приложим к нижнему концу стержня закручивающую силу 𝐹𝜏 , которая
создаст вращающий момент М относительно продольной оси стержня. Стержень
закрутится на некоторый угол 𝜑 . Такая деформация называется кручением. Закон
Гука для такого вида деформации имеет вид
𝜑=
𝑀
𝑓
,
где f – модуль кручения.
(6.11)
В отличие от модуля Юнга Е и модуля сдвига F модуль кручения f
зависит не только от материала, но и от формы и геометрических размеров
образца.
Расчёт модуля кручения для проволоки.
Найдём модуль кручения для проволоки круглого сечения. Для этого сначала
найдём
модуль
кручения
для
тонкостенного
цилиндра,
затем
–
для
толстостенного, а затем – для сплошного цилиндра, то есть проволоки.
Допустим, что деформация кручения возникает в цилиндрической трубке
длиной
l
, радиуса
и толщиной стенок
r
𝑑𝑟 ≪ 𝑟 , закреплённой сверху.
(рис.6.1)
dr
ᴒ
l
r
𝐹𝜏
Рис 6.1. К расчёту модуля кручения для тонкостенной цилиндрической
трубки.
Площадь основания трубки равна 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 . Момент силы, действующий на
это основание,
𝑀 = 𝐹𝜏 𝑟 = |𝐹𝜏 = 𝜎𝜏 2𝜋𝑟 𝑑𝑟| = 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝜎𝜏 𝑟 ,
(6.12)
где 𝜎𝜏 – тангенциальное механическое напряжение в основании трубки.
Работа,
совершаемая
закручивающей
силой,
превращается
в
запас
потенциальной энергии W:
𝐴 = ∫ 𝑀 𝑑𝜑 = ∫ 𝑓𝜑 𝑑𝜑 = 𝑓
𝜑2
2
=𝑓
𝜑2 𝑓
2 𝑓
=
𝑀2
2𝑓
=W
(6.13)
Плотность энергии
𝑤=
𝑊
𝑉
= |𝑉 = 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑙 | =
(2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝜎𝜏 𝑟)2
2𝑓2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑙
=
𝜋𝑟 3 𝜎𝜏2
𝑓𝑙
𝑑𝑟
(6.14)
Эту величину можно выразить иначе, если учесть, что в каждом бесконечно
малом элементе трубки возникает деформация сдвига. Тогда деформацию
кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг.
Плотность упругой энергии при сдвиге
𝑤=
𝐺𝛾2
2
𝜎2
𝜎
= |𝛾 = 𝐺𝜏| = 2𝐺𝜏
(6.15)
Тогда , приравняв (6.14) и (6.15) , получим модуль кручения
𝑓=
2𝜋𝑟3 𝐺 𝑑𝑟
𝑙
(6.16)
Для толстостенной трубки (рис.6.2)
R
r2
l
r1
Рис.6.2. К расчёту модуля кручения для толстостенной трубки.
𝑓=
2𝜋𝐺
𝑙
𝑟
2
∫𝑟 𝑟 3 𝑑𝑟 =
2𝜋𝐺 𝑟 4
1
𝑙
4
𝑟
│𝑟21 =
𝜋𝐺
2𝑙
(𝑟24 − 𝑟14 ) ,
(6.17)
где 𝑟1 – внутренний радиус, 𝑟2 – внешний радиус трубки.
Для сплошной проволоки (𝑟1 = 0)
𝑓=
Экспериментально
𝜋𝐺𝑟4
2𝑙
модуль
(6.18)
кручения
можно
определить,
наблюдая
крутильные колебания тяжёлого тела, подвешенного на упругой проволоке
(
см. вопрос «Крутильный маятник»).
Скорость распространения продольных упругих деформаций.
Если в каком-либо месте упругой среды возникла деформация, то после
прекращения внешнего воздействия она не остаётся на месте, а распространяется
в среде во всех направлениях. В таких случаях говорят, что в среде
распространяются упругие возмущения или волны. Примером могут служить
звуковые волны в твёрдых телах, жидкостях или газах.
Важным является вопрос о скорости распространения упругих возмущений
или волн. Допустим, что упругая среда имеет форму бесконечного стержня (рис.
6.3а). Если на его конец А подействовать кратковременной силой F (рис. 6.3б),
то упругая деформация сжатия , возникшая при этом, будет
A
a)
А′
б)
𝐹
В
𝑣‖
𝑐‖
Рис.6.3.К расчёту скорости распространения продольных упругих
возмущений.
распространяться вдоль него с некоторой скоростью
с∥ . За некоторое время t
она дойдёт до точки В . В то же время происходит и перемещение вещества в
стержне, и тогда точка А переходит в точку 𝐴′ с некоторой скоростью 𝑣‖ .
Таким образом, левее границы В вещество движется со скоростью 𝑣‖ , а
правее – находится в покое. Сама граница В перемещается вправо со скоростью
𝑐∥ . Если 𝑣‖ ≪ 𝑐∥ , то возникают акустические , то есть звуковые волны (малые
возмущения). Если же
𝑣‖ ≈ 𝑐∥ , то образуются ударные волны, происходит
разрушение среды. Мы рассмотрим только малые возмущения.
Для
вычисления
с∥
воспользуемся
вторым
законом
Ньютона
в
дифференциальной форме:
𝐹=
𝑑(𝑚𝑣∥ )
,
𝑑𝑡
(6.19)
где 𝑚 – масса возмущённой среды, 𝑣∥ – скорость перемещения вещества
среды. Тогда
𝑑(𝑚𝑣∥ )
𝑑𝑡
=
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑣∥ + 𝑚
Масса возмущённой среды
𝑑𝑣∥
𝑑𝑡
= |𝑣∥ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡| = 𝑣∥
𝑑𝑚
𝑑𝑡
(6.20)
𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌𝑐∥ 𝑡𝑆
(6.21)
Тогда выражение (6.19) с учётом (6.20) и (6.21) перепишется в виде
𝐹 = 𝑣∥ 𝜌𝑐∥ 𝑆
(6.22)
С другой стороны, согласно (5.1)
𝐹 = 𝜎𝑛 𝑆
(6.23)
Тогда, из сравнения (4.4) и (4.5) получим
𝜎𝑛 = 𝜌𝑣∥ 𝑐∥
(6.24)
Но согласно закону Гука
∆𝑙
𝑣∥
𝑙
𝑐∥
𝜎𝑛 = 𝜀𝐸 = E = |∆𝑙 = 𝑣∥ 𝑡; 𝑙 = 𝑐∥ 𝑡| =
𝐸
(6.25)
Из сравнения (6.24) и (6.25) получим искомую скорость
с∥ = √
𝐸
(6.26)
𝜌
Скорость распространения поперечных упругих возмущений.
Строго говоря, при деформации сжатия или растяжения происходит
изменение поперечных размеров среды. Следовательно, вещество среды движется
не только вдоль стержня, но и поперёк, то есть возникает деформация сдвига
(рис.6.4). Эта деформация распространяется вдоль стержня с некоторой
скоростью
с⫠ . Само вещество перемещается в поперечном направлении с
некоторой скоростью 𝑣⫠ .
𝑣⏊
𝑐⏊
𝜑
Рис.6.4. К расчёту скорости поперечных упругих возмущений.
Скорость с⫠ можно найти аналогично с с∥ . Тогда
𝜎𝜏 = 𝜌𝑣⫠ 𝑐⫠
(6.27)
Но, согласно закону Гука (5.23)
𝜎𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺 𝑡𝑔 𝜑 = 𝐺
𝑣⫠
с⫠
(6.28)
Из сравнения (6.27) и (6.28) получим искомую скорость
𝐺
с⫠ = √
𝜌
(6.29)
Осн.: 2[89-95] , 3[47-51], 4[404-414; 420-425]
Доп.: 12[46], [280 -306]
1.
Энергия упругой деформации.
2.
Потенциальная энергия сжатой пружины.
3.
Деформация кручения. Модуль кручения.
8. Расчёт модуля кручения для проволоки.
9. Скорость распространения продольных упругих возмущений.
10. Скорость распространения поперечных упругих возмущений.
Лекция № 7.
МЕХАНИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН.
Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение при
гармонических колебаниях.
Важнейшими среди колебательных движений являются гармонические
колебания. Характер такого движения можно показать с помощью простой
кинематической модели (рис. 7.1).
𝜔0
A
𝑁2
M
𝑁1
x
Рис. 7.1. Кинематическая модель гармонических колебаний.
Допустим, что геометрическая точка
М
равномерно вращается по
окружности радиуса А с постоянной угловой скоростью 𝜔0 . Её проекция N на
диаметр (ось х) будет совершать колебания от крайнего положения 𝑁1 до другого
крайнего положения 𝑁2 и обратно. Такое колебание точки N и называется
гармоническим. Чтобы его описать, надо найти координату х точки N как
функцию от времени t . Если при t =0 радиус ОМ образует с осью х угол 𝜑0 ,
то,
спустя
время
t
этот
угол
станет
равным
(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 ). Из рисунка видно, что
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 )
(7.1)
Это и есть уравнение гармонических колебаний, где А – амплитуда, 𝜔0 –
циклическая частота, (𝜔0 𝑡 + 𝜑0 ) – фаза, 𝜑0 – начальная фаза.
Период этих колебаний
𝑇=
2𝜋
𝜔0
(7.2)
Скорость колеблющейся точки можно найти путём дифференцирования
уравнения (7.1) по времени. Тогда
𝑣 = 𝑥̇ = – 𝐴𝜔0 𝑠𝑖𝑛 (𝜔0 𝑡 + 𝜑 0 )
(7.3)
Амплитуда скорости
𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔0
(7.4)
Ускорение при гармонических колебаниях
𝑎 = 𝑥̈ = 𝑣̇ = – 𝐴𝜔02 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 ) = – 𝜔02 𝑥
(7.5)
Амплитуда ускорения
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔02
(7.6)
Тогда сила F , действующая на материальную точку при гармонических
колебаниях,
𝐹 = 𝑚𝑎 = – 𝑚𝜔02 𝑥
(7.7)
Эта сила всегда направлена к положению равновесия (–) , то есть является
либо упругой, либо квазиупругой силой.
Гармонические колебания пружинного маятника.
Рассмотрим пружину, один конец которой закреплён, а к другому подвешено
тело массы m (рис.7.2 а).
а)
б)
m
Рис. 7.2. а) Пружинный маятник. б) Крутильный маятник.
Пусть l0 – длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть
или сжать до длины l , то возникнет упругая сила F , стремящаяся вернуть тело в
положение равновесия. При небольших растяжениях 𝑥 = 𝑙– 𝑙0 справедлив закон
Гука, согласно которому
𝐹 = 𝑚𝑥̈ = – 𝑘𝑥 ,
(7.8)
где 𝑘 – коэффициент упругости или жёсткость пружины.
Знак (–) означает, что сила F направлена в сторону, противоположную
смещению, то есть к положению равновесия.
Уравнение (7.8) можно преобразовать к виду
𝑥̈ +
где 𝑘 > 0 , 𝑚 > 0,
𝑘
𝑚
𝑘
𝑚
𝑥=0
,
(7.9)
> 0.
Тогда можно обозначить
𝑘
𝑚
= 𝜔02
(7.10)
При этом уравнение (7.9) примет вид
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 = 0
(7.11)
Из этого уравнения ускорение
𝑥̈ =а = – 𝜔02 𝑥
(7.12)
Выражение (7.12) имеет такой же вид, как и выражение (7.5), следовательно,
смещение
𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 )
(7.13)
Таким образом, смещение х изменяется по закону 𝑐𝑜𝑠 , то есть груз совершает
гармонические колебания с циклической частотой
𝜔0 = √
𝑘
(7.14)
𝑚
Период этих колебаний
Т=
2𝜋
𝜔0
= 2𝜋√
𝑚
(7.15)
𝑘
Гармонические колебания крутильного маятника.
Подвесим тело на металлической проволоке так, чтобы оно могло совершать
крутильные колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки
(рис.7.2 б). При повороте тела на угол 𝜑 проволока закручивается и возникает
момент сил М, стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Согласно
закону Гука
𝑀 = – 𝑓𝜑
,
(7.16)
где f – модуль кручения данной проволоки.
С другой стороны, согласно основному закону динамики вращательного
движения
М = 𝐼𝜀 = 𝐼𝜑̈ ,
(7.17)
𝐼𝜑̈ = –f𝜑
(7.18)
поэтому
Это уравнение математически тождественно уравнению гармонических
колебаний пружинного маятника
(7.9). Значит, тело будет совершать
гармонические крутильные колебания с периодом
T=
2𝜋
𝜔0
= 2𝜋√
𝐼
𝑓
(7.19)
На практике крутильный маятник часто используют для экспериментального
определения модуля кручения f , а также момента инерции тела произвольной
формы. Для этого подвешивают на проволоке тело правильной геометрической
формы с известным моментом инерции I, измеряют период колебаний Т. Затем,
сняв первое тело, подвешивают вместо него тело с неизвестным моментом
инерции 𝐼 ′ и измеряют период колебаний Т′ . Тогда можно получить выражение
𝐼
𝐼′
Т 2
= ( ′)
Т
(7.20)
Из этого уравнения остаётся определить момент инерции 𝐼 ′ .
Энергия гармонических колебаний.
Упругие и квазиупругие силы являются потенциальными силами, поэтому
полная энергия гармонических колебаний должна оставаться постоянной. В
процессе
колебаний
происходит
превращение
кинетической
энергии
в
потенциальную и обратно, причём, в момент наибольшего отклонения от
положения равновесия потенциальная энергия Еп достигает максимума и она
равна полной энергии системы Е , а в момент равновесия кинетическая энергия
максимальна и равна полной энергии системы. Тогда элементарная энергия
упругой силы равна
𝑑Еупр = 𝐹упр 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 𝑑𝑥
(7.21)
Полная энергия при любом смещении х
Еупр = ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
𝑘𝑥 2
(7.22)
2
В момент максимального смещения , то есть при х = А
Еп 𝑚𝑎𝑥 =
𝑘𝐴2
2
=Е ,
Ек = 0
(7.23)
В момент равновесия, то есть при х = 0
𝐸к 𝑚𝑎𝑥 =
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥 2
2
= ⎸𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝜔0 ⎸ =
𝐸𝑛 = 0
В любой промежуточной точке
𝑚𝐴2 𝜔02
2
= ⎸𝑚𝜔02 = 𝑘⎸ =
𝑘𝐴2
2
= 𝐸 (7.24)
Е = Е𝑛 + 𝐸к =
𝑚𝑥̇ 2
2
+
𝑘𝑥 2
2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =
𝑘𝐴2
2
(7.25)
Осн.: 2[358-369; 396-400], 3[146-163], 4[435-450; 215-224].
Доп.:12[243-248], 14[34-37], 15[401-414].
Контрольные вопросы :
1.
Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение при
гармонических колебаниях.
2.
Пружинный маятник и период его колебаний.
3.
Крутильный маятник и период его колебаний.
4.
Энергия гармонических колебаний.
Лекция № 8.
Затухающие колебания.
В реальных системах всегда имеет место потеря энергии на трение, то есть на
нагревание. Поэтому колебания постепенно затухают.
При малых колебаниях, согласно второму закону Ньютона, получится
дифференциальное уравнение
𝑚𝑥̈ = – kx – r𝑥̇ ,
(8.1)
где k – коэффициент упругости, r – коэффициент трения. Если обозначить
𝑘
𝑚
𝑟
𝑚
= 𝜔02
= 2𝛽
(8.2)
,
(8.3)
то получится однородное, линейное, дифференциальное уравнение второго
порядка
𝑥̈ + 2𝛽𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0
(8.4)
Решение этого уравнения имеет вид
x = A(t) cos (𝜔𝑡 + 𝛼) ,
(8.5)
где А(t) – амплитуда как функция времени, 𝜔 – частота затухающих колебаний,
𝛼 – начальная фаза. Путём двухкратного дифференцирования x по времени t и
подстановки x, 𝑥̇ и 𝑥̈ в уравнение (8.4) получим
𝐴 = 𝐴0 𝑒 –𝛽𝑡
,
(8.6)
где А0 – начальная амплитуда, β – коэффициент затухания.
Из этого выражения видно, что амплитуда убывает со временем по
экспоненте (рис.8.1а).
А
x
А0
A0 x0
0
t
A(t)
0
а)
t
б)
Рис.8.1. Графики зависимости амплитуды и смещения затухающих
колебаний от времени.
Расчёт показывает, что частота затухающих колебаний равна
𝜔 = √𝜔02 – 𝛽 2
(8.7)
Тогда период затухающих колебаний будет
Т=
2𝜋
𝜔
=
2𝜋
(8.8)
√𝜔02 –𝛽 2
Если 𝜔0 > 𝛽 2 , то величина 𝜔 будет вещественной, и решение уравнения
(8.4) может быть в виде
𝑥 = 𝐴0 𝑒 –𝛽𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝐴0 𝑒 –𝛽𝑡 cos (√𝜔02 – 𝛽 2 𝑡 + 𝛼)
(8.9)
График этой зависимости показан на рисунке 8.1б, где пунктиром обозначен
график амплитуды затухающих колебаний.
При t=0
𝑥0 = 𝐴0 cos 𝛼
Если 𝛼 = 0 , то x0 = A0
(8.10)
(8.11)
Расчёт показывает, что коэффициент затухания по своему физическому
смыслу является величиной, обратной промежутку времени 𝜏𝑒 , в течение
которого амплитуда уменьшается в е раз, то есть
𝛽=
Затухающие
колебания
1
(8.12)
𝜏𝑒
принято
характеризовать
также
декрементом
затухания, который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда за один
период. Логарифм натуральный этой величины называется логарифмическим
декрементом затухания 𝜃, то есть
𝜃 = ln
𝐴(𝑡)
𝐴(𝑡+𝑇)
= 𝛽𝑇 =
𝑇
𝜏𝑒
=
1
𝑁𝑒
,
(8.13)
где 𝑁𝑒 – число колебаний, совершённых за время 𝜏𝑒 .
Добротность системы
𝑄=
𝜔0
( 8.14)
2𝛽
Вынужденные колебания.
Чтобы колебания продолжались достаточно долго, необходимо к системе
приложить внешнюю силу, периодически действующую в направлении движения.
Такая сила должна изменяться по периодическому закону, например, по закону
синуса или косинуса:
𝐹 = 𝐹0 cos 𝜔′ 𝑡
,
(8.15)
где 𝜔′ – частота вынуждающей силы, 𝐹0 – амплитуда вынуждающей силы.
Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид
𝑚𝑥̈ =– 𝑘𝑥– 𝑟𝑥̇ + 𝐹0 cos 𝜔′ 𝑡
(8.16)
Введя обозначения (8.2), (8.3) и
𝐹0
𝑚
= 𝑓0 ,
(8.17)
получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
𝑥̈ + 2𝛽𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 𝑓0 cos 𝜔′ 𝑡
(8.18)
Решением этого уравнения является сумма общего решения однородного
уравнения х1 , то есть (8.9), и частного решения неоднородного уравнения х2
𝑥2 = 𝐴 cos(𝜔′ 𝑡– 𝜑) ,
(8.19)
где А – амплитуда вынужденных колебаний, 𝜑 – угол отставания по фазе
вынужденных колебаний от обусловившей их вынуждающей силы.
Уравнение для х1 играет заметную роль только при так называемом установлении
колебаний (рис. 8.2) и по истечении достаточного времени
им можно
t0
пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое х2.
Расчёт показывает, что входящие в уравнение (8.19) величины А и 𝜑 можно
найти в виде
𝑓0
𝐴=
(8.20)
2
√(𝜔02 –𝜔′2 ) +4𝛽 2 𝜔′2
𝜑 =arc t𝑔
2𝛽𝜔′
(8.21)
𝜔02 –𝜔′2
x
0
t
𝑡0
Рис.8.2. График установившихся вынужденных колебаний.
Механический резонанс.
Зависимость
амплитуды
А
вынужденных
колебаний
от
частоты
вынуждающей силы 𝜔′ приводит к тому, что при некоторой , определённой для
данной системы , частоте амплитуда колебаний достигает максимального
′
значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота 𝜔рез
–
резонансной. Чтобы найти
эту частоту, необходимо найти производную от
амплитуды А по частоте 𝜔′ и приравнять её к нулю.
Расчёт показывает, что
′
𝜔рез
= √𝜔02 – 2𝛽 2
Арез =
𝑓0
2𝛽√𝜔02 –𝛽 2
(8.22)
(8.23)
График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы при различных коэффициентах затухания имеет вид
(рис.7.2).
A
𝛽1
𝐹0
𝛽2
𝑘
𝛽3
′
𝜔р3
0
′
𝜔р2
′
𝜔р1
𝜔0
𝜔′
Рис. 8.3. Графики механического резонанса.
В данном случае
𝛽1 < 𝛽2 < 𝛽3
(8.24)
Из графика видно, что чем меньше коэффициент затухания 𝛽 , тем острее
максимум.
При 𝜔′ → 0
𝐴→
При
𝑓0
𝜔02
=
𝐹0
(8.25)
𝑘
𝜔′ → ∞ все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при
большой частоте вынуждающей силы она так быстро меняет своё направление,
что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.
Волновое движение. Уравнение волны. Стоячие волны. Звуковые
волны.
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Различают продольные и поперечные волны. В продольных волнах частицы
среды смещаются вдоль движения волны, а в поперечных – перпендикулярно.
Уравнение волны можно получить, если учесть время, затраченное волной на
прохождение расстояния от источника волны до точки наблюдения с координатой
x. Уравнение колебаний источника волны в точке О имеет вид
y=A0соs𝜔0 𝑡
(8.26)
Время продвижения волны до точки наблюдения
𝜏=
𝑥
𝑣
,
(8.27)
где 𝑣 – cкорость волны.
Тогда волновой процесс начнётся в точке наблюдения в момент времени
𝑡 ′ = 𝑡– 𝜏
(8.28)
и уравнение волны примет вид
𝑥
𝑦 = 𝐴0 cos𝜔0 (𝑡 − )⁡
𝑣
(8.29)
Это уравнение можно преобразовать, если ввести понятие длины волны 𝜆, то
есть расстояния, которое проходит волна за время одного периода Т колебаний
𝞴= 𝑣T
(8.30)
Тогда уравнение волны примет вид
𝑦 = 𝐴0 cos (𝜔0 𝑡 −
где
k=
2𝜋
𝜆
2𝜋
𝜆
𝑥) = 𝐴0 cos(𝜔0 𝑡 − 𝑘𝑥) ,
– волновое число
(8.31)
(8.32)
При наложении двух противоположно направленных волн можно получить
так называемые «стоячие» волны. График такой волны имеет вид (рис.8.4).
Рис. 8.4. График стоячей волны.
Характерными точками на нём являются «узлы» (минимумы) и «пучности»
(максимумы). Расстояния между соседними «узлами» или между соседними
«пучностями»
∆𝑥 =
𝜆
2
(8.33)
Частным случаем механических волн являются акустические (звуковые)
волны. Диапазон частот этих волн – от 16 Гц до 20000 Гц.
При частотах, меньших 16 Гц , возникают инфра-звуки (ИЗ). При частотах,
больших 20000 Гц – ультра-звуки (УЗ). Человек хорошо воспринимает звуки в
диапазоне от 1000 до 4000 Гц.
Порог слышимости, то есть минимальная интенсивность звука
Вт
𝐼𝑚𝑖𝑛 = 10–12
(8.34)
м2
Порог болевого ощущения
I – от 1 до 10
Вт
м2
.
Уровень громкости
𝐿 = lg
𝐼
(8.35)
𝐼𝑚𝑖𝑛
Единица уровня громкости – Бел (Б).
Обычно пользуются единицей, в 10 раз меньшей Бела, то есть децибелом.
Тогда
𝐿 = 10 lg
𝐼
𝐼𝑚𝑖𝑛
(дБ)
(8.36)
Осн.: 2[371-379], 3[163-171]
Доп.: 12[253-260], 14[37], 15[414-427; 459-498].
Контрольные вопросы:
1.Затухающие колебания.
2.Частота и период затухающих колебаний, коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания.
3.Вынужденные колебания.
4.Механический резонанс.
5.Уравнение волны. Волновое число.
6.«Стоячие» волны. «Узлы» и «пучности» стоячей волны.
7.Звуковые волны. Громкость и единицы её измерения.
Лекция № 9.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.
Давление в неподвижных жидкостях и газах. Закон Паскаля. Закон
Архимеда.
С точки зрения механики жидкости и газы могут быть определены как такие
среды, в которых при равновесии касательные напряжения существовать не
могут. Из этого определения следует, что в состоянии равновесия величина
нормального напряжения в жидкости или в газе не зависит от ориентации
площадки, на которую оно действует (рис.9.1а).
а)
б)
Рис. 9.1. а) Нормальное напряжение в неподвижной жидкости. б) К закону
Архимеда.
Так как при наличии этих напряжений происходит сжатие объёма жидкости
(или газа), то эти напряжения называются давлением. Давление – это сила,
которая действует на единицу площади поверхности выделенного объёма и
направлена нормально к поверхности:
𝑝 = lim
∆𝐹
∆𝑆→0 ∆𝑆
(9.1)
Отсюда следует, что на любой глубине h давление
𝑝 = 𝜌𝑔ℎ ,
(9.2)
При равновесии жидкости или газа давление подчиняется закону Паскаля:
давление в любом месте покоящейся жидкости (или газа) одинаково по всем
направлениям и одинаково передаётся по всему объёму жидкости или газа.
На рисунке
9.2 показан сосуд с водой, закрытый пробкой. В пробку
вставлены три одинаковые по диаметру трубки, нижние отверстия которых
находятся в воде на одинаковой глубине, но направлены в разные
Рис. 9.2. К закону Паскаля.
стороны (вниз, вбок и вверх), а также не достающая до воды трубка, к
которой подсоединён резиновый баллон. Закачивая с его помощью воздух в
сосуд, можно увеличить давление воздуха на поверхность воды в сосуде. При
этом во всех трёх трубках вода поднимается на одну и ту же высоту. Это и есть
подтверждение закона Паскаля.
Разность давлений между двумя уровнями в жидкости равна весу
вертикального столба жидкости между этими уровнями с площадью сечения,
равной единице. Поэтому высота покоящегося вертикального столба жидкости
может служить для измерения разности давлений между нижним и верхним
концами столба. Этот принцип измерения давления используется в жидкостных
манометрах.
Распределением давлений по высоте объясняется возникновение подъёмной
силы, действующей со стороны жидкости или газа на погружённое в них тело
(рис.9.1б). Вследствие того, что на нижних уровнях давление больше, чем на
верхних, результирующая всех сил всегда направлена вверх. Это и есть
подъёмная или выталкивающая сила. Величина этой силы равна весу
вытесненной телом жидкости (закон Архимеда).
На
законе
Паскаля
основано
действие
некоторых
гидравлических
механизмов, например, гидравлического пресса (рис.9.3). Малая сила
F1 ,
действующая на малый поршень площадью S1 , приводит к возникновению
некоторого давления, которое передаётся на большой поршень площадью S2 . В
Рис. 9.3. Гидравлический пресс.
результате этого возникает некоторая большая сила F2 , которая и сдавливает
данный образец М.
Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности для
несжимаемой жидкости.
При движении жидкости (или газа) между отдельными частицами возникают
силы
внутреннего
трения,
или
силы
вязкости.
Коэффициент
вязкости.
Коэффициент вязкости таких веществ, как например, воздух, вода относительно
невелик, поэтому при определённых условиях можно приближённо считать
течение жидкости (или газа) как течение идеальной жидкости, то есть
несжимаемой жидкости, не имеющей вязкости. Зная законы течения идеальной
жидкости, можно уже в них внести поправки, учитывающие вязкость.
Жидкости отличаются от газов своей сравнительно малой сжимаемостью.
Поэтому в учении о движении жидкости –
гидродинамике, жидкость почти
всегда можно считать несжимаемой.
Для описания движения идеальной несжимаемой жидкости достаточно
указать скорость 𝑣⃗ , с которой проходят через каждую точку пространства
отдельные её частицы. Совокупность векторов
𝑣⃗ , заданных для всех точек
пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить с
помощью линий тока. Эти линии строятся так, что касательные к ним в каждой
точке совпадают по направлению с 𝑣⃗ (рис. 9.4). Обычно густота линий тока
принимается пропорциональной величине скорости в данной точке. Если картина
линий тока остаётся постоянной, то течение жидкости называется
Рис.9.4. Линии тока, трубка тока.
стационарным, при этом должны быть постоянными и все другие параметры
жидкости: давление, плотность, температура и так далее. Часть жидкости,
ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Трубка тока подобна
боковой поверхности жёсткой трубки.
Если жидкость несжимаема, то её плотность 𝜌 во всех сечениях трубки тока
одинакова и масса жидкости, протекшей за любой промежуток времени t через
любое поперечное сечение трубки тока, тоже одинакова. Тогда для двух сечений
S1 и S2 можно записать
𝜌𝑣1 𝑆1 𝑡 = 𝜌𝑣2 𝑆2 𝑡
(9.3)
Отсюда получается так называемое уравнение неразрывности
𝑣1 𝑆1 = 𝑣2 𝑆2
(9.4)
Оно означает, что скорость жидкости в более широких местах трубки тока
меньше, чем в более узких местах.
Уравнение Бернулли и следствия из него. Формула Торричелли.
Согласно уравнению неразрывности при переменном сечении трубки тока
жидкость движется в различных местах с разными скоростями. Если внешние
силы вдоль трубки тока не действуют, то изменение скорости частиц жидкости
будет обусловлено только изменением давления вдоль трубки: там, где скорость
меньше, давление должно быть больше, и наоборот. Соотношение, связывающее
скорость течения жидкости и давление, называется уравнением Бернулли. Это
уравнение можно получить, если рассмотреть движение некоторого объёма
жидкости, заключённого между двумя сечениями
расположенными на разных высотах
9.5).
S1
и S2 трубки тока,
h1 и h2 от горизонтального уровня (рис.
p1
S1
𝑣1
h1
S2
h2
p2
𝑣2
Рис. 9.5. К уравнению Бернулли.
Если скорости жидкости в данных сечениях 𝑣1 и 𝑣2 , давления со стороны
окружающей
жидкости
Р1
и
Р2
,
плотность
жидкости
𝜌 и ускорение свободного падения 𝑔 , то уравнение Бернулли будет иметь
вид
𝜌𝑣12
2
Здесь
все
+ 𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝1 =
слагаемые
𝜌𝑣22
2
имеют
+ 𝜌𝑔ℎ2 + 𝑝2
размерность
(9.5)
давления
и
называются
соответственно динамическим, весовым и статическим давлением. Сумма этих
величин даёт полное давление.
Из уравнения Бернулли вытекают некоторые следствия:
1)
Если трубка тока расположена горизонтально, то есть ℎ1 = ℎ2 , то
𝜌𝑣12
2
+ p1 =
𝜌𝑣22
2
+ p2
(9.6)
Отсюда видно, что в тех точках трубки, где скорость больше, давление
меньше, и наоборот.
При помощи уравнения Бернулли можно найти скорость истечения жидкости
из отверстия в боковой стенке или дне широкого сосуда (рис. 9.6). Если сосуд
широкий, а отверстие мало, то скорость жидкости в сосуде мала и весь поток
p0
v1
h1
p0
v2
h2
Рис. 9.6. Истечение жидкости из малого отверстия в широком сосуде.
можно рассматривать как одну трубку тока. Давление (статическое) в верхнем и
нижнем сечениях одинаково и равно атмосферному давлению
р0. Скорость
𝑣1 жидкости в широкой части сосуда практически равна нулю. Тогда уравнение
Бернулли получит вид
𝑔(ℎ1 – ℎ2 ) =
𝑣22
(9.7)
2
Из этого уравнения получается формула для скорости истечения жидкости из
отверстия (формула Торричелли)
𝑣2 = √2𝑔(ℎ1 – ℎ2 ) = √2𝑔ℎ
(9.8)
Эта формула показывает, что при истечении жидкость приобретает такую
скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.
Вязкость жидкостей и методы её измерения. Формула Пуазейля.
Уравнение Бернулли было получено для идеальной жидкости. В реальных
жидкостях помимо сил нормального давления на границах движущихся
элементов жидкости действуют ещё касательные силы внутреннего трения , или
вязкости. Выше была показана формула Ньютона (4.4) для вязкости, которая
была
установлена
эмпирически.
коэффициента вязкости
Для
экспериментального
определения
используются вискозиметры. В вискозиметре
𝜂
Пинкевича наблюдают течение жидкости через узкую капиллярную трубку, в
вискозиметре
Воларовича
–
относительное
вращение
двух
цилиндров,
пространство между которыми заполнено вязкой средой, в методе Стокса –
падение шарика в вязкой среде.
Коэффициент вязкости, как показывает опыт, колеблется для разных веществ
в широких пределах и зависит от температуры.
Один из экспериментальных методов определения коэффициента вязкости
основан на так называемой формуле Пуазейля, который изучал течение жидкости
в капиллярных трубках. Расчёт коэффициента вязкости можно произвести, если
предварительно определить расход жидкости, то есть количество её, ежесекундно
протекающее через поперечное сечение трубки.
Масса dQm жидкости плотностью 𝜌 и объёмом dV , движущейся в данном
сечении со скоростью 𝑣 и ежесекундно протекающей через кольцевую площадку
(рис. 9.2а) с внутренним радиусом r и внешним r + dr , равна
𝑑𝑄𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝜌𝑣
(9.9)
Расчёт показывает, что скорость в любом месте сечения цилиндрической
трубки (рис. 9.2б) равна
𝑣=
𝑝1 –𝑝2
4𝜂𝑙
(𝑅2 – 𝑟 2 )
,
(9.10)
где р1 – давление на входе трубки, р2 – на выходе, l – длина трубки,R –
радиус трубки, r –
расстояние от оси трубки, на котором определяется
скорость.
Подставляя (9.10) в (9.9) и интегрируя, получим
𝑄𝑚 = 𝜋𝜌
𝑝1 –𝑝2
2𝜂𝑙
𝑅
∫𝑟 (𝑅 2 – 𝑟 2 ) 𝑟 𝑑𝑟 = 𝜋𝜌
𝑝1 –𝑝2
8𝜂𝑙
𝑅4
(9.11)
Отсюда
η=
𝜋𝜌(𝑝1 –𝑝2 )𝑅 4
(9.12)
8𝑄𝑚 𝑙
R
𝑣
а)
а)
б)
Рис. 9.7. К выводу формулы Пуазейля для коэффициента вязкости.
Ламинарный и турбулентный режим течения. Число
Рейнольдса.
Формула Пуазейля справедлива только для так называемого
ламинарного течения жидкости, когда её частицы движутся вдоль
прямолинейной траектории, параллельной оси трубы. Слои жидкости
движутся, не перемешиваясь друг с другом (слоистое течение) (рис. 9.8
а).
При
больших
скоростях
ламинарное
течение
становится
неустойчивым и переходит в турбулентное. Течение жидкости при
турбулентном режиме принимает вихревой характер. Скорость частиц в
каждом данном месте всё время беспорядочно изменяется, течение
становится нестационарным (рис. 9.8б).
𝑣
𝑣
а)
б)
в)
Рис. 9.8. Ламинарное и турбулентное течение жидкости.
При турбулентном течении можно говорить только о среднем (по времени)
значении скорости в каждой точке сечения трубы. Тогда профиль средних
скоростей принимает вид (рис. 9.8в). Вблизи стенок трубы скорость резко
изменяется, но в остальной части трубы остаётся почти постоянной.
Переход
течения
из
ламинарного
в
турбулентное происходит
при
определённой скорости, которая называется критической. Английский физик
Рейнольдс установил, что характер течения зависит от безразмерной величины
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝑙
𝜂
,
(9.13)
где 𝑅𝑒 – число Рейнольдса, 𝜌 – плотность жидкости, 𝑣 – cредняя по сечению
трубы скорость потока,
η
– коэффициент вязкости,
l
– характерный для
поперечного сечения размер (например, радиус или диаметр трубы).
Критическому значению скорости соответствует критическое значение числа
Рейнольдса. Для труб круглого сечения
𝑅𝑒кр = 1000
(9.14)
Число Рейнольдса служит критерием подобия для течения жидкости в трубах
разного сечения. Характер течения различных жидкостей (или газов) в трубах
разных
сечений
будет
совершенно
одинаков,
если
каждому
течению
соответствует одно и то же число Рейнольдса Re.
Кроме числа Рейнольдса существует ещё много различных критериев
подобия (число Фруда Fr, число Маха М, число Струхаля Sr ). На этих критериях
построена целая теория подобия гидродинамических явлений.
Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление.
При движении в реальных жидкостях или газах тела испытывают
определённое сопротивление. При небольших скоростях движения сопротивление
обусловлено
силами
трения
и,
как
установил Стокс, пропорционально
произведению вязкости среды на линейные размеры тела и скорость тела. Для тел
сферической формы сопротивление силы вязкости равно
𝐹тр = 6𝜋𝜂𝑟𝑣 ,
(9.15)
где η – коэффициент вязкости, 𝑣 – скорость шара, r – радиус шара.
С помощью формулы Стокса можно определить η методом падающего
шарика.
При больших скоростях движения сопротивление жидкости или газа
обусловлено, в основном, затратой работы на образование вихрей. В этих случаях
сопротивление называется лобовым и величина его определяется по закону,
открытому
Ньютоном,
согласно
которому
лобовое
сопротивление
пропорционально квадрату скорости и площади проекции тела на плоскость,
перпендикулярную направлению движения («миделеву сечению» S)
𝐹лоб.сопр. = 𝐶𝑥
𝜌𝑣 2
2
𝑆
,
(9.16)
где 𝜌 – плотность жидкости или газа, Сх – числовой коэффициент, различный
для тел разной формы – так называемый коэффициент лобового сопротивления, S
–«миделево сечение».
Форма тела может затруднять или, наоборот, облегчать образование вихрей.
Если тело имеет хорошо обтекаемую форму, то образования вихрей почти не
будет и коэффициент лобового сопротивления будет невелик (рис. 9.9а). Если же
тело имеет плохо обтекаемую форму, то позади него образуются завихрения
(рис.9.9б). Существуют табличные данные по величине Сх для тел различной
формы. При очень больших скоростях, близких к скорости звука, сопротивление
оказывается пропорциональным кубу скоростей. При движении тел со
скоростями, превышающими скорость звука, вновь оказывается справедливым
закон квадрата скоростей.
а)
б)
Рис.9.9. Движение тел обтекаемой и необтекаемой формы в жидкостях или
газах.
Осн.: 1[131-152], 3[358-362], 4[468-505].
Доп.: 12[57-66], 14[10-12], 15[307-345; 355-366]
Контрольные вопросы:
1.Закон Паскаля. Закон Архимеда.
2.Гидравлический пресс.
3.Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.
4.Уравнение Бернулли и следствия из него. Формула Торричелли.
5.Вязкость жидкостей и методы её измерения. Формула Пуазейля.
6.Ламинарное и турбулентное течение жидкостей. Число Рейнольдса.
7. Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление.
Лекция № 10.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ.
Поверхностная энергия жидкостей. Молекулярное давление.
Наиболее характерным свойством жидкости, отличающим её от газа,
является то, что на границе с газом жидкость образует свободную поверхность,
наличие которой приводит к возникновению так называемых поверхностных
явлений. Эти явления возникают из-за особых условий, в которых находятся
молекулы вблизи свободной поверхности жидкости (рис.10.1).
Рис. 10.1. К понятию молекулярного давления.
На каждую молекулу жидкости действуют силы притяжения со стороны
окружающих её молекул, расположенных от неё на расстоянии порядка 10 –9 м
(радиус молекулярного действия). На молекулу М1, расположенную внутри
жидкости, действуют силы со стороны таких же молекул, и равнодействующая 𝑅⃗⃗
этих сил близка к нулю.
Для молекул М2 равнодействующие сил отличны от нуля и направлены
внутрь жидкости, перпендикулярно к её поверхности. Таким образом, все
молекулы жидкости, находящиеся в поверхностном слое, втягиваются внутрь
жидкости. Но пространство внутри жидкости занято другими молекулами,
поэтому поверхностный слой создаёт давление на жидкость (молекулярное
давление).
Чтобы переместить молекулу
М3 , расположенную непосредственно под
поверхностным слоем, на поверхность, необходимо совершить работу против сил
молекулярного
давления.
Следовательно,
молекулы
поверхностного
слоя
жидкости обладают дополнительной потенциальной энергией по сравнению с
молекулами внутри жидкости. Эта энергия называется поверхностной энергией.
Очевидно, что величина поверхностной энергии тем больше, чем больше площадь
свободной поверхности.
Если площадь свободной поверхности изменяется на ∆𝑆 , то поверхностная
энергия изменится на
∆ Wпов. = 𝜎 ∆𝑆
,
(10.1)
где 𝜎 – коэффициент поверхностного натяжения.
Так как для этого изменения необходимо совершить работу
А=∆𝑊 пов.=𝜎 ∆𝑆,
(10.2)
то
𝜎=
Единицей
является
Дж
м2
𝐴
∆𝑆
(10.3)
измерения коэффициента поверхностного натяжения в СИ
.
Таким образом, коэффициент поверхностного натяжения – это величина,
численно равная работе, совершённой молекулярными силами при изменении
площади свободной поверхности жидкости на 1 м2 при постоянной температуре.
Так как любая система, предоставленная сама себе, стремится занять такое
положение, в котором её потенциальная энергия наименьшая, то жидкость
стремится сократить площадь своей свободной поверхности до минимальных
размеров, возможных при данном объёме. Например, капля жидкости в состоянии
невесомости имеет сферическую форму.
Поверхностное натяжение.
Свойство поверхности жидкости сокращаться можно истолковать как
существование сил, стремящихся сократить эту поверхность. Молекула М1 (рис.
10.2), расположенная на поверхности жидкости, взаимодействует не только с
молекулами, находящимися внутри жидкости, но и с молекулами, находящимися
на поверхности жидкости и расположенными в пределах сферы молекулярного
действия. Для молекулы М1 равнодействующая 𝑅⃗⃗
молекулярных сил,
направленных вдоль свободной поверхности жидкости,
Рис. 10.2. К понятию поверхностного натяжения жидкости.
равна нулю, а для молекулы М2 , расположенной у границы поверхности
жидкости 𝑅⃗⃗ ≠ 0 и направлена по нормали к границам свободной поверхности и
по касательной к самой поверхности жидкости.
Равнодействующая сил, действующих на все молекулы, находящиеся на
границе свободной поверхности, и есть сила поверхностного натяжения. В целом,
она действует так, что стремится сократить площадь поверхности жидкости.
Можно предположить, что сила поверхностного натяжения 𝐹⃗ прямо
пропорциональна длине l границы поверхностного слоя жидкости, так как на
всех участках этого слоя молекулы находятся в одинаковых условиях:
F~𝑙
(10.4)
Действительно, рассмотрим вертикальный прямоугольный каркас (рис.
10.3), подвижная сторона которого уравновешена.
Рис. 10.3. К выводу единицы измерения коэффициента поверхностного
натяжения.
После извлечения рамки из раствора мыльной воды подвижная часть
перемещается из положения 1 в положение 2. Учитывая, что плёнка представляет
собой тонкий слой жидкости и имеет две свободные поверхности, найдём работу,
совершаемую при перемещении поперечины на расстояние h=a1a2 :
А= 2F. h ,
(10.5)
где F – сила, действующая на каркас со стороны каждого поверхностного
слоя. С другой стороны,
А= 𝜎∆𝑆 = 𝜎 2𝑙ℎ
(10.6)
Следовательно,
2Fh = 𝜎 2𝑙ℎ
(10.7)
Отсюда
𝜎=
𝐹
𝑙
(10.8)
Согласно этой формуле единицей коэффициента поверхностного натяжения
в СИ
является
(Н/м). Это ещё одна единица измерения коэффициента
поверхностного натяжения в СИ.
Коэффициент поверхностного натяжения зависит от природы жидкости, от
температуры и от наличия примесей. При увеличении температуры он
уменьшается. При критической температуре, когда исчезает различие между
жидкостью и паром,
𝜎 = 0 . Примеси, в основном, уменьшают (некоторые
увеличивают) коэффициент поверхностного натяжения.
Таким образом, поверхностный слой жидкости представляет собой как бы
эластичную растянутую плёнку, охватывающую всю жидкость и стремящуюся
собрать её в одну «каплю». Однако, это состояние существенно отличается от
натяжения упругой резиновой плёнки. Упругая плёнка растягивается за счёт
увеличения расстояния между частицами, при этом сила натяжения возрастает.
При растяжении же жидкой плёнки расстояние между частицами не меняется, а
увеличение поверхности достигается в результате перехода молекул из толщи
жидкости в поверхностный слой. Поэтому при увеличении поверхности жидкости
сила поверхностного натяжения не изменяется (она не зависит от площади
поверхности).
Смачивание. Краевой угол смачивания.
В случае соприкосновения с твёрдым телом силы сцепления молекул
жидкости с молекулами твёрдого тела начинают играть существенную роль.
Поведение жидкости будет зависеть от того, что больше: сцепление между
молекулами жидкости или сцепление молекул жидкости с молекулами твёрдого
тела.
Смачивание –
это явление, возникающее при взаимодействии молекул
жидкости с молекулами твёрдых тел. Если силы притяжения между молекулами
жидкости и твёрдого тела больше сил притяжения между молекулами жидкости,
то жидкость называют смачивающей; в противном случае – несмачивающей.
Одна и та же жидкость может быть смачивающей и несмачивающей по
отношению к разным телам. Так, вода смачивает стекло, но не смачивает жирную
поверхность, ртуть не смачивает стекло, а смачивает медь.
Смачивание или несмачивание жидкостью стенок сосуда, в котором она
находится, влияет на форму свободной поверхности жидкости в сосуде. Если
большое количество жидкости налито в сосуд, то форма её поверхности
определяется силой тяжести, которая обеспечивает плоскую и горизонтальную
поверхность. Однако у самых стенок явление смачивания и несмачивания
приводит к искривлению поверхности жидкости, то есть к так называемым
краевым эффектам.
Количественной характеристикой краевых эффектов служит краевой угол 𝜃
между плоскостью, касательной к поверхности жидкости и поверхностью
твёрдого тела (рис.10.4, а, б). Внутри краевого угла всегда находится жидкость.
Рис.10.4. Краевой угол смачивания.
При смачивании он будет острым (рис. 10.4а), а при несмачивании – тупым
(рис. 10.4б).
Силы, связанные с наличием поверхностного натяжения и направленные по
касательной к поверхности жидкости, в случае выпуклой поверхности дают
результирующую, направленную внутрь жидкости (рис.10.5а). В случае вогнутой
поверхности результирующая сила направлена, наоборот, в сторону газа,
граничащего с жидкостью (рис.10.5б).
а)
б)
Рис. 10.5. Направление силы поверхностного натяжения.
Если смачивающая жидкость находится на открытой поверхности твёрдого
тела (рис.10.6а), то происходит её растекание по этой поверхности. Если на
открытой поверхности твёрдого тела находится несмачивающая жидкость, то она
принимает форму, близкую к шаровой (рис.10.6 б).
а)
б)
Рис. 10.6. Форма поверхности жидкости на открытой поверхности твёрдого тела.
Смачивание имеет важное значение как в быту, так и в промышленности.
Хорошее
смачивание
фотоматериалов,
необходимо
нанесении
при
лакокрасочных
крашении,
покрытий,
стирке,
обработке
при
склеивании
материалов, при пайке, во флотационных процессах ( обогащение руд ценной
породой).
И
наоборот,
при
сооружении
гидроизоляционных
устройств
необходимы материалы, не смачиваемые водой.
Капиллярные явления. Формула Лапласа.
Искривление поверхности жидкости у краёв сосуда особенно отчётливо
видно в узких трубках (капиллярах), где искривляется вся свободная поверхность
жидкости.
В трубках с узким сечением эта поверхность представляет собой часть сферы, её
называют мениском. У смачивающей жидкости образуется вогнутый мениск (рис.
10.7а), а у несмачивающей – выпуклый (рис.10.7б).
а)
б)
Рис. 10.7. К понятию мениска жидкости.
Так как площадь поверхности мениска больше, чем площадь поперечного
сечения трубки, то под действием молекулярных сил искривлённая поверхность
жидкости стремится выпрямиться. Силы поверхностного натяжения создают
дополнительное (лапласово) давление под искривлённой поверхностью жидкости.
Если поверхность жидкости вогнутая, то сила поверхностного натяжения
направлена из жидкости (рис. 10.8а), и давление под вогнутой поверхностью
жидкости меньше, чем под плоской. Если поверхность жидкости выпуклая, то
сила поверхностного натяжения направлена внутрь жидкости (рис. 10.8б), и
давление под выпуклой поверхностью жидкости больше, чем под плоской.
a)
б)
Рис. 10.8. К понятию давления Лапласа.
Величина
такого
дополнительного
давления
определяется
формулой
Лапласа.
Для её вывода рассмотрим выпуклую поверхность жидкости (рис.10.9).
Рис. 10.9. К выводу формулы Лапласа.
На рисунке показана элементарная сила поверхностного натяжения ∆𝐹,
действующая на элементарный участок
∆𝑙 границы основания мениска, и её
проекция ∆𝐹1 на вертикальное направление. Согласно выражению (10.7)
∆𝐹 = 𝜎 ∆𝑙
(10.9)
∆𝐹1 = ∆𝐹 sin 𝜑 = 𝜎∆𝑙
𝑟
𝑅
,
(10.10)
где r – радиус капилляра , R – радиус кривизны мениска.
Тогда полная сила F1 будет равна
𝑟
𝑟
2𝜋𝑟 2 𝜎
𝑅
𝑅
𝑅
𝐹1 = ∑ ∆𝐹1 = 𝜎 ∑ ∆𝑙 = 𝜎 2𝜋𝑟 =
Отсюда дополнительное давление
(10.11)
∆р =
𝐹1
𝑆
=
2𝜋𝑟 2 𝜎
𝑅
𝜋𝑟 2
=
2𝜎
(10.12)
𝑅
Если радиус кривизны мениска в любых двух взаимно перпендикулярных
направлениях R1 и R2 , то средняя кривизна мениска
1
1
1
1
= ( + )
2 𝑅
𝑅
𝑅
1
(10.13)
2
Тогда формула Лапласа (10.12) окончательно примет вид
∆𝑝 = 𝜎 (
1
𝑅1
+
1
𝑅2
)
(10.14)
Если R1 = R2 =R ( сфера) , то формула Лапласа будет иметь вид
∆𝑝 =
2𝜎
(10.15)
𝑅
Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего
сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны
находится вне жидкости. Для цилиндрической поверхности ( R1 = R; R2 =∞ )
избыточное давление
∆𝑝 =
𝜎
(10.16)
𝑅
Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую
в широкий сосуд, то вследствие наличия лапласова давления жидкость в
капилляре поднимается (если жидкость смачивающая) или опускается (если
жидкость несмачивающая) (рис. 10.10 а,б), так как под плоской поверхностью
жидкости в широком сосуде избыточного давления нет.
а)
б)
Рис. 10.10. Капиллярные явления.
Явления изменения высоты уровня жидкости в капиллярах по сравнению с
уровнем жидкости в широких сосудах называются капиллярными явлениями.
Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при
которой сила гидростатического давления столба жидкости уравновешивается
силой избыточного давления, то есть
2𝜎
𝑅
= 𝜌𝑔ℎ
(10.17)
Отсюда
ℎ=
2𝜎
𝜌𝑔𝑅
(10.18)
Если смачивание не полное (𝜃 ≠ 0 ; 𝜃 ≠ 180°), то, как показывают расчёты,
ℎ=
2𝜎
𝜌𝑔𝑅
cos 𝜃
(10.19)
Капиллярные явления весьма распространены. Поднятие воды в почве,
система кровеносных сосудов в лёгких, корневая система у растений, фитиль и
промокательная бумага – капиллярные системы.
Осн.: 1[331-341, 3[306-316].
Доп.: 12[126-132], 14[19-20].
Контрольные вопросы:
1.Поверхностная энергия. Молекулярное давление.
2.Поверхностное натяжение. Коэффициент поверхностного натяжения.
3.Смачивание. Краевой угол смачивания.
4.Капиллярные явления.
5.Вывод формулы Лапласа.
Лекция № 11.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Средняя
энергия молекулы. Среднестатистические скорости молекул газа по теории
Максвелла.
Расчёт показывает, что давление газа можно выразить через среднюю
кинетическую энергию < 𝜀0 >
р=
Отсюда
2
3
молекул в виде
п< 𝜀0 > = k n T
3
𝑚<𝑣 2 >
2
2
< 𝜀0 > = k T =
( ***)
Из теории Максвелла известно, что молекулы распределяются по скоростям,
и эти скорости можно разделить на три вида
1) средняя квадратичная скорость √< 𝑣 2 > = √
2) наивероятнейшая скорость
𝑣в = √
3) средняя арифметическая скорость
2𝑅𝑇
𝑀
3𝑅𝑇
𝑀
= 1,41√
<𝑣 >=√
= 1,73√
𝑅𝑇
𝑀
𝑅𝑇
𝑀
8𝑅𝑇
𝜋𝑀
= 1,6 √
𝑅𝑇
𝑀
Соотношение между этими скоростями имеет вид
𝑣в ∶ 𝑣ср : 𝑣ср.кв. = 1 :1,1 : 1,2
Средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса в газах.
Молекулы газа находятся в постоянном хаотическом тепловом движении и
при этом могут сталкиваться друг с другом. Между двумя последовательными
столкновениями каждая молекула движется свободно, и расстояние такого
свободного движения называется длиной свободного пробега молекулы. Так как
это расстояние не всегда одинаковое, то целесообразно ввести понятие средней
длины свободного пробега < 𝜆 > ( так же как ранее было введено понятие
средней скорости молекул < 𝑣 >). Траектория движения каждой молекулы
представляет собой некоторую ломаную линию, состоящую из отрезков
неодинаковой длины 𝞴 (рис.
свободного пробега молекул газа
а) . Расчёт показывает, что
средняя длина
<𝜆 >=
𝟏
√𝟐 𝝅𝒅𝟐 𝒏
, где d – эффективный диаметр молекул, то есть
расстояние между центрами двух молекул в момент их столкновения (рис.
а)
Рис.
б).
б)
. К понятию средней длины свободного пробега и эффективного
диаметра молекул.
Опыт показывает, что с увеличением температуры эффективный диаметр
уменьшается, а длина свободного пробега уменьшается согласно формуле
Сёзерленда
< 𝞴 > = < 𝞴∞ >
где
Т
Т+С
,
< 𝞴∞ > – средняя длина свободного пробега молекул при Т→ ∞ ,
С – постоянная Сёзерленда для данного газа. Для кислорода С = 125℃.
Явления переноса в газах.
Различают
три
вида
явлений
переноса:
диффузию,
вязкость
и
явление переноса массы при наличии градиента
𝑑𝑛
теплопроводность.
Диффузия – это
концентрации
𝑑𝑧
молекул газа. Количественной характеристикой диффузии
является коэффициент диффузии
𝐷=
1
3
< 𝑣 >< 𝞴 >
Вязкость – это явление переноса импульса при наличии градиента скорости
𝑑𝑣
𝑑𝑧
молекул газа. Коэффициент вязкости
𝜂=
1
3
𝜌 < 𝑣 >< 𝞴 > , где 𝜌 – плотность газа.
Теплопроводность – это явление переноса тепловой энергии при наличии
градиента
𝑑𝑇
𝑑𝑧
температуры газа. Коэффициент теплопроводности
𝜃=
1
3
𝜌 < 𝑣 >< 𝞴 > 𝑐𝑉 ,
где сV – удельная теплоёмкость газа
при постоянном объёме.
Как видно из приведенных формул, между коэффициентами диффузии,
вязкости и теплопроводности существует связь
𝜂 = D𝜌
𝜃 = η𝑐𝑉 = D𝜌𝑐𝑉
Расчёт показывает,что общий коэффициент переноса
1
𝛼 = < 𝑛 >< 𝑣 >< 𝞴 >
3
Изопроцессы в газах. Уравнение состояния идеального газа. Закон
Авогадро. Смеси газов. Закон Дальтона.
Макропараметры: давление, объем и температура описывают состояние газа.
Если при неизменной массе газа один из параметров не изменяется, получим
изопроцессы
Изобарный процесс (др.-греч. ισος, isos — «одинаковый» + βαρος, baros —
«вес») — процесс изменения состояния термодинамической системы при
постоянном давлении
,
Изохорный процесс (от греч. хора — занимаемое место) — процесс
изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме. Для
идеальных газов изохорический процесс описывается законом Шарля: для данной
массы
газа при постоянном объёме, давление прямо
температуре:
пропорционально
,
.
Изотермический процесс (от греч. «термос» — тёплый, горячий) —
процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной
температуре . Изотермический процесс описывается законом Бойля — Мариотта:
,
Изоэнтропийный
процесс —
.
процесс
изменения
состояния
термодинамической системы при постоянной энтропии. Изоэнтропийным
является, например, обратимый адиабатический процесс: в таком процессе не
происходит теплообмена с окружающей средой. Идеальный газ в таком процессе
описывается следующим уравнением:
,
где
— показатель адиабаты, определяемый типом газа.
Графики изопроцессов в различных системах координат
Из уравнений изопроцессов в газах можно получить так называемое
уравнение состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева)
𝒑𝑽
𝑻
= const ,
pV =
где R = 8,31
Дж
моль К
m
M
или
RT ,
– универсальная газовая постоянная.
Из уравнения состояния вытекает закон Авогадро, согласно которому в
одном киломоле идеального газа всегда содержится количество молекул
NA = 6,02 . 1023 моль–1
Отношение
𝑅
𝑁𝐴
= k = 1,38
.
10–23
Дж
𝐾
называется постоянной Больцмана,
через которую можно выразить давление в виде
p=
𝑅𝑇
𝑉моль
=
𝑘𝑁𝐴 𝑇
𝑉моль
=k n T ,
где п – концентрация молекул газа.
Тогда для смеси газов, например, трёхкомпонентной
р = k (п1 + n2 + n3) T = p1 + p2 + p3
, где р1 , р2 , р3
–
парциальные давления компонент смеси, то есть давления каждой из компонент,
как если бы она занимала весь объём, занимаемый смесью. Это так называемый
закон Дальтона.
Осн.: 1[207-227]; 262-264; 269-289], 3[175-184; 194-203; 207-220], 4[108-112;
126-143] .
Доп.: 12[81-107], 14[13-16].
Контрольные вопросы:
1.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Средняя
энергия молекул. Среднестатистические скорости молекул газа по теории
Максвелла.
2.Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
3.Средняя длина свободного пробега молекул газа.
4.Явления переноса в газах.
5.Изопроцессы в газах. Уравнение состояния идеального газа.
6.Смеси газов. Закон Дальтона.
Лекция № 12.
Внутренняя энергия термодинамической системы. Первое начало
термодинамики.
Внутренней энергией U термодинамической системы называют сумму всех
видов кинетической и потенциальной энергий всех молекул, атомов, электронов и
т. д.
Для вычисления этой энергии можно рассмотреть толстостенный сосуд,
заполненный некоторым газом и закрытый подвижным поршнем площадью S
(рис.
).
Если на поршень подействует некоторая сила F , то при этом поршень
сместится на некоторое расстояние dx , и будет совершена элементарная работа
dA = F dx = p dV = pS dx
При этом
dx < 0 ,
dV < 0 ,
(###)
dA < 0 , но эта работа превращается в
некоторое приращение внутренней энергии
dU = – 𝑑𝐴 > 0 .
Если же дать газу возможность самому расширяться, то газ будет сам
совершать работу за счёт убыли внутренней энергии.
При этом dx > 0 , dV > 0 , dA > 0 , но dU = – 𝑑𝐴 < 0
Таким образом, внутреннюю энергию можно изменять путём совершения
работы, и
знаки
работы
и
изменения
внутренней
энергии
всегда
противоположны.
Внутреннюю энергию можно изменять также путём передачи тепла dQ
системе. Тогда в самом общем случае изменение внутренней энергии системы
dU = dQ – dA
Эта формула выражает первое начало термодинамики.
Степени свободы молекул. Внутренняя энергия идеального газа.
Внутреннюю энергию идеального газа можно выразить через так называемое
число степеней свободы i . Числом степеней свободы любого тела называется
минимальное число координат, однозначно определяющих положение этого тела
в пространстве. Так как молекулы различных газов состоят из разного количества
атомов, то и
число степеней свободы молекул зависит от числа атомов в
молекуле данного газа.
Можно показать, что для одноатомных молекул число степеней свободы i =
3 , для двухатомных i = 5 и для трёхатомных и многоатомных молекул i = 6.
Как было показано выше
идеального газа
(***) , средняя кинетическая энергия молекулы
3
< 𝜀0 > =
kT
2
Если считать молекулу материальной точкой, то есть одноатомной, то на
каждую степень свободы будет приходиться энергия
1
3
k T. Тогда в общем случае
средняя энергия молекулы
𝑖
< 𝜀0 > =
kT
2
С учётом этого внутренняя энергия одного моля газа
𝑈𝜇 = < 𝜀0 > 𝑁𝐴
Тогда полная внутренняя энергия некоторой массы т идеального газа
U = 𝑣 < 𝜀0 >NA =
𝑚 𝑖
𝑀 2
k T NA=
𝑚 𝑖
𝑅 𝑇 , где М – молярная масса
𝑀 2
данного газа.
Молекулярно-кинетическая теория теплоёмкостей газов.
Адиабатический процесс, его уравнение и график.
Газы, как и любые тела, обладают способностью воспринимать тепловую
энергию.
Эта
способность
выражается
в
виде
теплоёмкости,
удельной
теплоёмкости и молярной теплоёмкости. Математически их можно записать так:
𝑑𝑄
С=
c=
– теплоёмкость
𝑑𝑇
𝐶
𝑚
=
𝑑𝑄
– удельная теплоёмкость
𝑚 𝑑𝑇
– молярная теплоёмкость
𝐶𝜇 = c M
Для газов различают
молярные теплоёмкости
при двух изопроцессах –
изохорическом ( V = const ) и изобарическом (р = const ), то есть 𝐶𝜇𝑉 и С𝜇𝑝
𝐶𝜇𝑉 =
𝐶𝜇𝑝 =
𝑑𝑄
𝑑𝑇
𝑑𝑄
𝑑𝑇
=
=
𝑑𝑈𝜇
𝑑𝑇
𝑑𝑈𝜇
𝑑𝑇
=
+
𝑖
2
𝑅
𝑑𝐴
𝑑𝑇
=
𝑑𝑈𝜇
𝑑𝑇
+𝑝
𝑑𝑉𝜇
𝑑𝑇
=
𝑖
2
𝑅+R=
𝑖+2
2
𝑅
Как видно из этих выражений, 𝐶𝜇𝑝 > 𝐶𝜇𝑉 , а их отношение
𝛾=
𝐶𝜇𝑝
𝐶𝜇𝑉
=
𝑖+2
𝑖
R>1
Эту величину называют показателем адиабаты, так как в термодинамике
имеет место ещё один процесс – адиабатический (изоэнтропийный), который
происходит настолько быстро, что газ не успевает обменяться теплом с
окружающей средой. Это означает, что dQ = 0 и первое начало термодинамики
имеет вид
dU = – dA , или
𝑚
М
𝐶𝑉 𝑑𝑇 = – p dV
Расчёт показывает, что уравнение адиабаты имеет вид
p𝑉 𝛾 = const , или
T 𝑉 𝛾–1 = const
График адиабаты можно изобразить в сравнении с графиком изотермы
(рис.
).
Рис.
. Графики изотермы и адиабаты.
Из этого рисунка видно, что график адиабаты идёт круче, чем
график
изотермы. Это говорит о том, что адиабатический процесс
происходит более быстро, чем изотермический.
Работа, совершаемая газом в различных процессах.
Расчёт показывает, что работа, совершаемая газом в различных
процессах, определяется как
𝑉2
1) Т = const
𝐴1,2 = 𝑅𝑇 𝑙𝑛
2) p =const
𝐴1,2 = 𝑝(𝑉2 – 𝑉1 )
3) V =const
𝐴1,2 = 0
𝑉1
𝑚
4) Адиабатический процесс , 𝑑𝑄 = 0 ; 𝑑𝐴 = – 𝑑𝑈 = – 𝑀 CV dT
𝐴1,2 = –
𝑚
𝑇
𝑚
1
𝑀
𝐶𝑉 ∫𝑇 2 𝑑𝑇 = –
𝑀
CV (T2 – T1) =
𝑚
𝑀
𝐶𝑉 (T1 – T2)
Круговые, обратимые и необратимые процессы.
Если термодинамическая система из некоторого состояния 1 переходит в
состояие 2 по одному пути (рис.
) и затем каким-либо другим образом
возвращается в первоначальное состояние, то такой процесс называют круговым
или замкнутым.
Рис.
. График кругового процесса.
Из рисунка видно, что на участке
1–2 происходит расширение газа и
совершается положительная работа А1,2 > 0, которая численно равна площади
криволинейной трапеции под графиком 1–2. На участке 2–1 происходит сжатие
газа, и совершается отрицательная работа
А2,1 < 0, которая численно равна
площади криволинейной трапеции под графиком 2–1. Тогда полная работа А1,2,1
численно равна площади фигуры, охватываемой кривой 1–2–1.
Если при круговом процессе система проходит в прямом и обратном
направлении через одни и те же промежуточные состояния, то такой процесс
называется обратимым. В противном случае он является необратимым, что и
наблюдается чаще всего на практике.
Идеальная тепловая машина Карно и её к.п.д.
Тепловая машина преобразует тепловую энергию в механическую. Любая
тепловая машина состоит в принципе из трёх основных частей: нагревателя,
рабочего тела и холодильника (рис.
).
Рис.
. Принципиальная схема тепловой машины.
В качестве рабочего тела чаще всего используется газ, который получает
некоторое количество тепла
Q1
положительную работу, а затем,
от нагревателя и при этом совершает
отдавая холодильнику некоторое тепло Q2 ,
сжимается до первоначального объёма, совершая отрицательную работу. Тогда
коэффициент полезного действия 𝜂 для любой машины
η=
Апол.
Азатр.
=
𝑄1 – 𝑄2
𝑄1
(*)
Одним из видов тепловых машин является тепловая машина Карно,
работающая по циклу, состоящему из двух изотерм и двух адиабат (рис.
Рис.
).
. График цикла Карно.
Из графика видно, что из состояния 1 газ изотермически при температуре Т1
расширяется до состояния 2, затем адиабатически расширяется до состояния 3,
затем изотермически при температуре Т2 сжимается до состояния 4 и затем
адиабатически сжимается до состояния 1.
Расчёт показывает, что к.п.д. этого цикла
η=
Т1 – Т2
Т1
При этом остаётся в силе и формула (*) .
Неравенство Клаузиуса. Энтропия. Второе начало термодинамики.
Опыт показывает, что для произвольного замкнутого цикла к.п.д. всегда
либо равен, либо меньше к.п.д. для обратимого замкнутого цикла
𝑄1 – 𝑄2
𝑄1
≤
Т1 – Т2
Т1
Отсюда можно получить так называемое неравенство Клаузиуса
𝑄2
𝑄1
≥
𝑇2
𝑇1
Из этого неравенства получим
𝑄1
𝑇1
–
𝑄2
𝑇2
≤0
Любой замкнутый процесс можно разбить на малые циклы Карно (рис.
Рис.
. К выводу второго начала термодинамики.
Тогда
∆𝑄𝑖1
∑𝑖 (
𝑇𝑖1
+
∆𝑄𝑖2
𝑇𝑖2
) ≤0 ,
где i – порядковый номер элементарного цикла Карно.
Согласно рисунку ( )
)
∑𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴
При
∆𝑄𝑖
𝑇𝑖
∆𝑄𝑖 → 0
≤0
∮
𝑑𝑄
𝑇
≤0
(**)
При обратимых процессах
∮
𝑑𝑄
Т
=0
Знак < соответствует необратимым процессам.
Выражение (**) показывает, что существует такая функция состояния S,
дифференциал которой
𝑑𝑆 =
𝑑𝑄
𝑇
Функция S называется энтропией.
Расчёт показывает, что
dS ≥ 0 ,
где знак (=) соответствует обратимым процессам, и
𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Для необратимых процессов энтропия возрастает, то есть
dS > 0
Это
выражение
является
математической
записью
второго
начала
термодинамики.
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ.
Уравнение Ван-дер-Ваальса.
В модели идеального газа молекулы не имеют собственного объёма
(материальные точки) и не взаимодействуют между собой.
В реальных газах надо учитывать и собственные объёмы молекул, и силы
взаимодействия между ними. Для этого можно внести в уравнение КлапейронаМенделеева поправки, учитывающие эти обстоятельства. Такой расчёт был
сделан
Ван-дер-Ваальсом, который получил уравнение состояния для одного
моля реального газа в виде
(𝑝 +
𝑎
𝑉𝜇2
) (𝑉𝜇 – 𝑏) = RT
Поправка b учитывает ссовственные объёмы молекул и равна
𝑏 = 4𝑉0 𝑁𝐴 ,
где V0 – объём одной молекулы.
Поправка
𝑎
𝑉𝜇2
учитывает взаимодействие молекул, то есть силы притяжения
(силы отталкивания действуют на очень малых расстояниях в момент соударения)
и называется внутренним давлением.
С учётом этих поправок объём, свободный для движения молекул
уменьшается, а давление увеличивается. Притяжение молекул равносильно
действию некоторого дополнительного давления со стороны стенок сосуда.
Для произвольной массы газа
𝜈=
𝑚
𝑉𝜇 =
;
𝑀
𝑉
𝜈
Тогда уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид
(𝑝 +
𝜈2 𝑎
𝑉2
𝑉
) ( 𝜈 – 𝑏) = 𝑅𝑇
Графики изотерм Ван-дер-Ваальса. Сжижение газов.
Теоретические графики изотерм Ван-дер-Ваальса имеют вид (рис.
Экспериментальные графики изображены на рисунке
а)
Рис.
а).
б.
б)
. Теоретические и экспериментальные изотермы Ван-дер-Ваальса.
Они отличаются тем, что на экспериментальных изотермах отсутствуют S –
образные участки неустойчивого (метастабильного) состояния газа. При
уменьшении объёма часть газа переходит в жидкое состояние, а затем весь газ
превращается в жидкость (cжижение газа). Температура cжижения газа зависит
от свойств газа и всегда ниже критической температуры. Например, для
углекислого газа СО2 критическая температура Ткр = 31 К.
Критические параметры реальных газов.
Поправки Ван-дер-Ваальса зависят от вида газа и являются табличными
величинами. Критические параметры газа, то есть параметры, при которых
реальный газ становится идеальным, связаны с поправками «а» и «b» так
ркр =
𝑎
27𝑏2
;
𝑉𝜇 кр = 3𝑏
;
Tкр =
8𝑎
27𝑏𝑅
Уравнение критического состояния для одного моля газа
3
𝑝кр 𝑉𝜇 кр = RTкр
8
Осн.: 1[227-250; 289-326], 3[186-192; 222-228; 248-263; 279-287], 4[113-125;
144-175]
Доп.: 12[108-125], 14[16-20].
Контрольные вопросы:
1.Внутренняя
энергия
термодинамической
системы.
Первое
начало
термодинамики.
2.Степени свободы молекул. Внутренняя энергия идеального газа.
3.Молекулярно-кинетическая теория теплоёмкостей газов. Адиабатический
процесс, его уравнение и график.
4.Работа, совершаемая газом в различных процессах.
5.Идеальная теплова машина Карно и её к.п.д.
6.Уравнение Ван-дер-Ваальса.
7.Теоретические и экспериментальные изотермы Ван-дер-Ваальса. Сжижение
газа.
8.Критические параметры реальных газов.
Лекция № 13
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Проводники в электрическом поле. Электроёмкость проводников.
Конденсаторы. Соединение конденсаторов.
Опыт показывает, что при изменении заряда проводника его потенциал также
изменяется, но их отношение остаётся неизменным и зависит только от формы и
размеров проводника и от наличия вблизи него других проводников. Это
отношение называется электроёмкостью и имеет вид
С=
𝑞
(13.1)
𝜑
Единицей измерения электроёмкости является Фарад (Ф). 1Ф = 1
Кл
В
. Эта
единица измерения является очень большой (можно показать, что она равна
электроёмкости шара радиусом, равным 1500 радиусам Земли), поэтому на
практике пользуются такими единицами как мкФ и пФ ( 1 мкФ = 10
–6
Ф, 1пФ =
10–12 Ф ).
Для увеличения электроёмкости используются раэличные системы двух,
близко расположенных проводников – обкладок различной формы и размеров, то
есть конденсаторы. В общем случае их электроёмкость
С=
𝑞
𝜑1 –𝜑2
𝑞
=
∆𝜑
=
𝑞
𝑈
(13.2)
Основными типами конденсаторов являются плоские, сферические и
цилиндрические конденсаторы (рис. 13.1 а, б, в ). Расчёт показывает, что их
ёмкости соответственно равны:
Спл. =
𝜀0 𝜀𝑆
(13.3)
𝑑
Ссф. = 4𝜋𝜀0 𝜀
Cцил. =
𝑟2 𝑟1
𝑟2 – 𝑟1
2𝜋𝜀0 𝜀𝑙
𝑟
ln𝑟2
1
(13.4)
(13.5)
а)
б)
в)
Рис.13.1. Типы конденсаторов и их параметры.
На практике используются два основных вида соединения конденсаторов –
последовательное и параллельное, а также различные их комбинации (рис.13.2
а, б, в).
а)
Рис.13.2.
б)
Последовательное,
в)
параллельное
и
смешанное
соединение
конденсаторов.
При последовательном соединении заряды q на всех n конденсаторах
одинаковы, и общая электроёмкость определяется из выражения
1
𝐶
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+ ……..
1
(13.6)
𝐶𝑛
При параллельном соединении напряжения
U на всех n конденсаторах
одинаковы, и общая электроёмкость
С = С1 + С2 +……….𝐶𝑛
(13.7)
Энергия заряженного проводника и заряженного конденсатора. Энергия
электрического поля.
Работа, которая совершается при сообщении проводнику некоторого заряда,
превращается в его потенциальную энергию, которая равна
W=
𝑞2
=
2𝐶
𝐶𝜑2
2
=
𝑞𝜑
(13.8)
2
Энергия заряженного конденсатора
W=
𝑞2
2𝐶
=
𝐶𝑈 2
2
=
𝑞𝑈
(13.9)
2
Энергия электрического поля
W=
𝜀0 𝜀𝐸 2
2
V ,
(13.10)
где V – объём электрического поля.
Энергия единицы объёма поля, то есть объёмная плотность энергии
w=
𝜀0 𝜀𝐸 2
2
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
Закон Ома для однородного и неоднородного участка цепи, для полной
цепи и в дифференциальной форме.
Для однородного участка цепи (рис.
𝐼=
а)
Рис.
𝜑1 –𝜑2
𝑅
=
а) закон Ома имеет вид
𝑈
𝑅
б)
в)
г)
. К закону Ома для однородного и неоднородного участка цепи, для
полной цепи и в дифференциальной форме.
Для неоднородного участка цепи (рис.
б) обобщённый закон Ома имеет
вид
I=
𝜀12 +(𝜑1 – 𝜑2)
𝑅+𝑟
Для полной цепи (рис.
I=
в) закон Ома имеет вид
𝜀
𝑅+𝑟
Если поперечное сечение проводника неодинаково вдоль его длины (рис.
г), то закон Ома следует писать в дифференциальной форме. Так как для
элементарного участка проводника dl сопротивление
dR=𝜌
𝑑𝑙
,
𝑆
то сила тока
I=
𝑑𝑈
𝑑𝑙
𝜌
𝑆
=
𝑑𝑈 𝑆
𝜌 𝑑𝑙
=
𝐸𝑆
𝜌
Тогда плотность тока (закон Ома в дифференциальной форме)
𝐼
𝐸
𝑆
𝜌
j= = =𝐸,
где
𝛽=
1
𝜌
–
удельная проводимость материала проводника, Е –
напряжённость электрического поля.
Закон Джоуля-Ленца для однородного и неоднородного проводника.
Для однородного (с одинаковым поперечным сечением) проводника закон
Джоуля-Ленца имеет вид
𝑄 = 𝐼2 R t = I U t
Для неоднородного ( с неодинаковым поперечным сечением) проводника
закон Джоуля-Ленца (в дифференциальной форме) имеет вид
𝑤=
где w –
𝑑𝑄
𝑑𝑉 𝑑𝑡
= 𝛽𝐸 2 ,
энергия, выделяемая в единице объёма проводника в единицу
времени.
Законы Кирхгофа для разветвлённых цепей.
Для ускоренного определения сил токов в сложных (разветвлённых) цепях
(рис.
а) на практике пользуются законами Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа
(для узлов разветвлённой цепи) (рис.
б) имеет вид
а)
Рис.
б)
. К законам Кирхгофа.
∑𝑛𝑘=1 𝐼𝑘 = 𝐼1 – 𝐼2 – 𝐼3 + 𝐼4 = 0
Токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», выходящие – со знаком «–«.
Второй закон Кирхгофа (для замкнутых контуров) (рис.
а) имеет вид
∑𝑛𝑘=1 𝐼𝑘 𝐼𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝜀𝑘
Для данного конкретного контура
𝐼1 𝑅1 – 𝐼2 𝑅2 – 𝐼3 𝑅3 = 𝜀1 – 𝜀2 – 𝜀3
Токи, совпадающие с направлением обхода контура, берутся со знаком «+»,
токи, не совпадающие с направлением обхода – со знаком «–«.
Работа и мощность постоянного тока. К.П.Д. источника тока.
Полезная работа постоянного тока
Апол. = 𝐼 2 𝑅 t
Затраченная работа постоянного тока
Азатр. = 𝐼 2 (𝑅 + 𝑟)𝑡
К.П.Д. источника тока
𝜂=
Апол.
Азатр.
100% =
𝑅
𝑅+𝑟
100%
Расчёт показывает, что полезная мощность максимальна при R = r .
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ЖИДКОСТЯХ.
Электролиз. Законы Фарадея для электролиза.
Явление электролиза возникает после электролитической диссоциации при
прохождении тока через электролит. Законы Фарадея для электролиза имеют вид
𝑚=𝑘𝑞=𝑘𝐼𝑡
1𝐴
𝑘=
𝐹𝑛
𝑚=
m –
где
𝐴
𝐹𝑛
It ,
масса вещества, выделившегося на электродах;
электрохимический эквивалент данного вещества;
валентность; F = 9,65 . 107
Кл
кг−экв.
–
k
А – атомная масса;
п –
– число Фарадея.
Осн.: 2[182-201; 217-230],
Доп.: 12[146-176], 14[ 20-25].
Контрольные вопросы:
1. Понятие электроёмкости. Конденсаторы, их типы и соединение.
2. Энергия заряженного проводника, заряженного конденсатора,
электрического поля.
3.
4.
5.
6.
7.
Лекция № 14
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ.
Магнитная индукция. Линии магнитной индукции.
Для определения величины и направления магнитного поля в данной точке
используется пробный контур с током 𝐼0 (рис.14.1 a). Если вывести пробный
контур из положения равновесия, то возникнет вращающий момент, стремящийся
вернуть контур в положение равновесия, и его величина максимальна при угле
поворота 𝛼 =
𝜋
2
М = Ммах ~ 𝐼0 𝑆 = 𝑝𝑚
(14.1)
а)
б)
Рис. 14.1. Пробный контур с током. Силовые линии магнитной индукции.
Для разных пробных контуров, поочерёдно помещённых в данную точку,
отношение
𝑀max 1
𝑝𝑚1
=
𝑀max 2
𝑝𝑚 2
Величину
В
= ……………= const = B [
–
Н
А м
– Тесла (Тл)]
(14.2)
магнитную индукцию, можно принять за силовую
характеристику магнитного поля в данной точке. За направление магнитной
индукции принимают направление положительной нормали
𝑛⃗⃗ к пробному
⃗⃗ всегда направлен по касательной в
контуру в состоянии равновесия. Вектор В
каждой точке силовых магнитных линий, которые всегда замкнуты и охватывают
проводники с током (рис. 14.1б).
Действие магнитного поля на проводник с током. Закон Ампера.
На проводник с током в магнитном поле (рис.14.2) действует сила Ампера
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗]
𝐹𝐴 = 𝐼[𝑙⃗ 𝐵
(14.3)
Рис.14.2. К закону Ампера.
Численное значение силы Ампера
⃗⃗ ) = I l B sin 𝛼
𝐹А = 𝐼 𝑙 𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝑙⃗⃗⌃𝐵
(14.4)
Направление силы Ампера определяется по правилу правого винта
(буравчика).
Закон Био-Савара-Лапласа.
Для расчёта магнитных полей разной конфигурации используется принцип
суперпозиции. Он лежит в основе закона Био-Савара-Лапласа (рис. 14.3 ),
Рис. 14.3. К закону Био-Савара-Лапласа.
который имеет вид
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑟⃗]
𝜇0 𝜇 𝐼 [𝑑𝑙
4𝜋𝑟 3
,
(14.5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – элементарная магнитная индукция поля, создаваемого элементом 𝑑𝑙
⃗⃗⃗⃗
где 𝑑𝐵
проводника с током силой I , 𝜇0 = 4𝜋 10–7 Гн/м – магнитная поcтоянная, 𝜇 –
магнитная проницаемость среды (для вакуума 𝜇 = 1) ,
𝑟⃗
–
радиус-вектор,
проведённый от середины элемента проводника к точке, в которой определяется
магнитная индукция.
Модуль вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐵 выражается формулой
𝑑𝐵 =
𝜇0 𝜇 𝐼 𝑠𝑖𝑛𝛼
4𝜋
𝑟2
dl ,
(14.6)
где 𝛼 – угол между векторами ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑙 и 𝑟⃗ .
Полная магнитная индукция, создаваемая в данной точке всем проводником
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , то есть
с током, равна сумме всех элементарных векторов 𝑑𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ = ∫ 𝑑𝐵
𝐵
Магнитная напряжённость
(14.7)
⃗⃗⃗ =
Н
⃗⃗
𝐵
А
[ ]
𝜇0 𝜇
(14.8)
м
Магнитные поля токов разной конфигурации.
С помощью закона Био-Савара-Лапласа можно найти магнитную индукцию
для простейших случаев:
1)
в центре кругового проводника с током (рис. 14.4а)
𝐵 = 𝜇0
2)
(14.9)
на оси кругового витка с током на расстоянии а от его центра (рис. 14.4б)
𝐵=
3)
𝐼
2𝑅
𝜇0 𝐼𝑅 2
2(𝑅 2 +𝑎2 )3/2
(14.10)
на расстоянии а от оси бесконечно длинного прямого проводника с током
(рис.14.4в)
𝐵=
𝜇0 𝐼
(14.11)
2𝜋𝑎
а)
б)
в)
Рис. 14.4. Магнитные поля в центре кругового тока, на оси кругового тока,
вблизи прямого проводника с током.
Закон полного тока. Вихревой характер магнитного поля. Магнитное поле
соленоида и тороида.
Согласно закону полного тока, циркуляция вектора магнитной индукции по
некоторому замкнутому контуру, охватывающему проводник с током (рис. 14.5а)
а)
б)
Рис. 14.5. К закону полного тока.
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑙 ) = 𝜇0 𝐼
∮(𝐵
(14.12)
В случае нескольких проводников с токами (рис. 14.5б)
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑙) = 𝜇0 ∑𝑛𝑘=1 𝐼𝑘 ,
∮(𝐵
(14.13)
где п – число проводников, охваченных контуром.
Так как правая часть этих выражений не равна нулю, то это означает, что
магнитное поле не потенциально, оно носит вихревой характер, и силовые линии
всегда являются замкнутыми.
С помощью закона полного тока можно рассчитать магнитное поле
в средней части оси длинного соленоида длиной l с числом витков N
(рис.
14.6а)
𝐵 = 𝜇0 𝐼𝑁/𝑙
(14.14)
Такая же формула справедлива и для магнитного поля на оси тороида (рис.
14.6 б).
а)
б)
Рис. 14.6. К расчёту магнитных полей соленоида и тороида.
Осн.:
Лекция № 15
Глоссарий
2 3 9 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 62 64
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.
Электромагнитная индукция. Самоиндукция.
Электромагнитная
индукция —
явление
возникновения
электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного
потока, проходящего через него.
Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем 29
августа[источник не указан 374 дня]
электродвижущая
сила,
1831
года.
возникающая
Он
в
обнаружил,
замкнутом
что
проводящем
контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока
через
поверхность,
ограниченную
этим
контуром.
Величина
электродвижущей силы (ЭДС) не зависит от того, что является
причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или
движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический
ток, вызванный этой ЭДС, называется индукционным током.
Закон Фарадея
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея (в СИ):
где
— электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно
выбранного контура,
— магнитный поток через поверхность,
натянутую на этот контур.
Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца, названное так
по имени русского физика Э. Х. Ленца:
Индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем
контуре, имеет такое направление, что создаваемое им
магнитное поле противодействует тому изменению
магнитного потока, которым был вызван данный ток.
Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон
Фарадея можно записать следующим образом:
где
— электродвижущая сила,
— число витков,
— магнитный поток через один виток,
— потокосцепление катушки.
Векторная форма
В дифференциальной форме закон Фарадея можно записать в
следующем виде:
(в системе СИ)
Здесь
индукция,
— напряжённость электрического поля,
— произвольная поверхность,
интегрирования
— магнитная
— её граница. Контур
подразумевается фиксированным (неподвижным).
Следует отметить, что закон Фарадея в такой форме, очевидно,
описывает лишь ту часть ЭДС, что возникает при изменении
магнитного потока через контур за счёт изменения со временем самого
поля без изменения (движения) границ контура (об учете последнего
см. ниже).

В этом виде закон Фарадея входит в систему уравнений
Максвелла для электромагнитного поля (в дифференциальной или
интегральной форме соответственно)[1].
Если же, скажем, магнитное поле постоянно, а магнитный поток
изменяется вследствие движения границ контура (например, при
увеличении его площади), то возникающая ЭДС порождается силами,
удерживающими заряды на контуре (в проводнике) и силой Лоренца,
порождаемой прямым действием магнитного поля на движущиеся (с
контуром)
заряды.
При
этом
равенство
продолжает
соблюдаться, но ЭДС в левой части теперь не сводится к
(которое в данном частном примере вообще равно нулю). В общем
случае (когда и магнитное поле меняется со временем, и контур
движется или меняет форму) последняя формула верна так же, но ЭДС
в левой части в таком случае есть сумма обоих слагаемых, упомянутых
выше (то есть порождается частично вихревым электрическим полем, а
частично силой Лоренца и силой реакции движущегося проводника).
Явление самоиндукции. Энергия магнитного поля.
Явление самоиндукции
Явление самоиндукции - частный случай
электромагнитной
индукции
и,
следовательно, для него справедливы все
закономерности
явления
электромагнитной индукции. При этом
1. Изменяющееся
магнитное
поле
индуцирует ЭДСиндукции в том же
самом проводнике, по которому
течет ток, создающий это поле.
2. Вихревое
магнитное
поле
препятствует нарастанию тока в
проводнике.
3. При уменьшении тока вихревое
поле поддерживает его.
В
момент
замыкания
ча ЭДС самоиндукции
клю-
в катушке
препятствует
нарастанию
тока I: Л2 загорается
позжеЛ1 (рис).
(Резистор R уравновешивает
сопротивление
лампочки
катушки L,
горели
с
чтобы
одинаковой
яркостью).
Опыт иллюстрирует, что для изменения
тока
требуется
самоиндукции
время,
т.е. явление
аналогично
явлению
инерции в механике.
При размыкании этой цепи лампочки
гаснут одновременно, т.к. две верхних
ветви соединены последовательно (токи
одинаковы в любой момент времени).
Цепь разомкнули. В момент размыкания
через гальванометр течет ток против
начального
тока:
может
быть
больше ЭДС источника (рис). Следовательно, ток после размыкания увеличивается.
Учёт ЭДС самоиндукции
в
технике. Масляные выключатели; при
размыкании
цепи
с
большой
индуктивностью параллельно включают
конденсатор
электроемкостью
с
большой
и
высоким
напряжением.
При замыкании и размыкании цепи
возникают экстратокизамыкания
(размыкания) тем большие по величине,
чем быстрее происходит процесс.
Индуктивность
Если через катушку пропускать ток, то
Ф ~ I. Следовательно, Ф=LI, где L —
индуктивность катушки (коэффициент
самоиндукции),
характеризующая
ее
магнитные свойства.
Индуктивность
магнитный
показывает,
поток
какой
пронизывает
данный проводник при прохождении
по нему тока силой 1 А (в СИ).
Согласно
закону
электромагнитной
индукции
Но ΔФ=LΔI,
следовательно:
Индуктивность
численно
равна эдс самоиндукции, возникающей в
проводнике при изменении силы тока на
единицу силы тока (1 А) за единицу
времени (1с).
В СИ единица индуктивности – Генри.
Индуктивность
–
характеристика
проводника, зависящая только от:
Формы
Размеров
Магнитной проницаемости среды.
Например,
индуктивность
катушки
зависит
числа
диаметра
от
катушки,
ее
витков,
длины
и
материала
сердечника.
Энергия магнитного поля.
По
аналогии
с
кинетической
энергией:
При замыкании цепи энергия равна
работе по созданию тока (вихревого
электрического поля). При размыкании
энергия магнитного поля превращается
в тепловую (искра., дуга).
Электромагнитная индукция
Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического
тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего
через него.
Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем 29
августа[источник не указан 374 дня] 1831 года. Он обнаружил, что электродвижущая
сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна
скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную
этим контуром. Величина электродвижущей силы (ЭДС) не зависит от того,
что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного
поля или движение контура (или его части) в магнитном поле.
Электрический ток, вызванный этой ЭДС, называется индукционным током.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея (в СИ):
где
— электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно
выбранного контура,
— магнитный поток через поверхность, натянутую
на этот контур.
Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца, названное так по имени
русского физика Э. Х. Ленца:
Индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем
контуре, имеет такое направление, что создаваемое им
магнитное поле противодействует тому изменению
магнитного потока, которым был вызван данный ток.
Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон Фарадея можно записать
следующим образом:
где
— электродвижущая сила,
— число витков,
— магнитный поток через один виток,
— потокосцепление катушки.
Векторная форма
В дифференциальной форме закон Фарадея можно записать в следующем виде:
(в системе СИ)
или
(в системе СГС).
В интегральной форме (эквивалентной):
(СИ)
или
(СГС)
Здесь
— напряжённость электрического поля,
— магнитная индукция,
произвольная поверхность,
— её граница. Контур интегрирования
подразумевается фиксированным (неподвижным).
—
Следует отметить, что закон Фарадея в такой форме, очевидно, описывает лишь ту часть
ЭДС, что возникает при изменении магнитного потока через контур за счёт изменения со
временем самого поля без изменения (движения) границ контура (об учете последнего см.
ниже).

В этом виде закон Фарадея входит в систему уравнений Максвелла для
электромагнитного поля (в дифференциальной или интегральной
форме соответственно)[1].
Если же, скажем, магнитное поле постоянно, а магнитный поток изменяется вследствие
движения границ контура (например, при увеличении его площади), то возникающая ЭДС
порождается силами, удерживающими заряды на контуре (в проводнике) и силой
Лоренца, порождаемой прямым действием магнитного поля на движущиеся (с контуром)
заряды. При этом равенство
продолжает соблюдаться, но ЭДС в левой
части теперь не сводится к
(которое в данном частном примере вообще равно
нулю). В общем случае (когда и магнитное поле меняется со временем, и контур движется
или меняет форму) последняя формула верна так же, но ЭДС в левой части в таком случае
есть сумма обоих слагаемых, упомянутых выше (то есть порождается частично вихревым
электрическим полем, а частично силой Лоренца и силой реакции движущегося
проводника).


Некоторые авторы, например, М. Лившиц в журнале «Квант» за 1998
год[2] отрицают корректность применения термина закон Фарадея или
закон электромагнитной индукции и т. п. к формуле
в
случае подвижного контура (оставляя для обозначения этого случая
или его объединения со случаем изменения магнитного поля,
например, термин правило потока)[3]. В таком понимании закон
Фарадея — это закон, касающийся лишь циркуляции электрического
поля (но не ЭДС, создаваемой с участием силы Лоренца), и в этом
понимании понятие закон Фарадея в точности совпадает с
содержанием соответствующего уравнения Максвелла.
Однако возможность (пусть с некоторыми оговорками, уточняющими
область применимости) совпадающей формулировки «правила потока»
с законом электромагнитной индукции нельзя назвать чисто
случайной. Дело в том, что, по крайней мере для определенных
ситуаций, это совпадение оказывается очевидным проявлением
принципа относительности. А именно, например, для случая
относительного движения катушки с присоединенным к ней
вольтметром, измеряющим ЭДС, и источника магнитного поля
(постоянного магнита или другой катушки с током), в системе отсчета,
связанной с первой катушкой, ЭДС оказывается равной именно
циркуляции электрического поля, тогда как в системе отсчета,
связанной с источником магнитного поля (магнитом), происхождение
ЭДС связано с действием силы Лоренца на движущиеся с первой
катушкой носители заряда. Однако та и другая ЭДС обязаны совпадать,
поскольку вольтметр показывает одну и ту же величину, независимо от
того, для какой системы отсчета мы ее рассчитали.
Потенциальная форма
При выражении магнитного поля через векторный потенциал закон Фарадея принимает
вид:
(в случае отсутствия безвихревого поля, то есть тогда, когда
электрическое поле порождается полностью только изменением
магнитного, то есть электромагнитной индукцией).
В общем случае, при учёте и безвихревого (например, электростатического) поля имеем:
Подробнее [показать]
История
В 1820 г. Ганс Христиан Эрстед показал, что протекающий по цепи электрический ток вызывает
отклонение магнитной стрелки. Если электрический ток порождает магнетизм, то с магнетизмом
должно быть связано появление электрического тока. Эта мысль захватила английского ученого
М. Фарадея. «Превратить магнетизм в электричество», — записал он в 1822 г. в своём дневнике.
Многие годы настойчиво ставил он различные опыты, но безуспешно, и только 29 августа 1831 г.
наступил триумф: он открыл явление электромагнитной индукции. Установка, на которой
Фарадей сделал своё открытие, заключалась в том, что Фарадей изготовил кольцо из мягкого
железа примерно 2 см шириной и 15 см диаметром и намотал много витков медной проволоки на
каждой половине кольца. Цепь одной обмотки замыкала проволока, в её витках находилась
магнитная стрелка, удаленная настолько, чтобы не сказывалось действие магнетизма, созданного в
кольце. Через вторую обмотку пропускался ток от батареи гальванических элементов. При
включении тока магнитная стрелка совершала несколько колебаний и успокаивалась; когда ток
прерывали, стрелка снова колебалась. Выяснилось, что стрелка отклонялась в одну сторону при
включении тока и в другую, когда ток прерывался. М. Фарадей установил, что «превращать
магнетизм в электричество» можно и с помощью обыкновенного магнита.
В это же время американский физик Джозеф Генри также успешно проводил опыты по индукции
токов, но пока он собирался опубликовать результаты своих опытов, в печати появилось
сообщение М. Фарадея об открытии им электромагнитной индукции.
М. Фарадей стремился использовать открытое им явление, чтобы получить новый источник
электричества.
1. ↑ Это уравнение Максвелла может быть переписано в эквивалентном виде
(здесь просто производная по t внесена под знак интеграла). В таком виде
уравнение также может быть включено в систему уравнений Максвелла, причем
оговорка о неподвижности контура интегрирования теряет актуальность, так как
производная теперь очевидно не действует на границу области (на пределы
интегрирования), а само интегрирование в любом случае полагается
«мгновенным». В принципе, в таком виде это уравнение также могут называть
законом Фарадея (чтобы отличить его от других уравнений Максвелла), пусть в
таком виде оно и не совпадает прямо с его обычной формулировкой (но
эквивалентно ей в своей области применимости).
2. ↑ М. Лившиц Закон электромагнитной индукции или «правило потока»? //
Квант. — 1998. — № 3. — С. 37—38.
3. ↑ Такой отказ объясняется тем, что, в отличие от закона для циркуляции
электрического поля, выполняющегося всегда, «правило» корректно работает лишь
для случаев, когда контур, в котором вычисляется ЭДС, совпадает физически с
проводником (то есть совпадает их движение; в противном же случае правило
может не работать (самый известный пример — униполярная машина Фарадея;
контур, который в этом случае трудно определить, но кажется довольно
очевидным, что он не меняется; во всяком случае, довольно затруднительно
указать разумное определение для контура, который бы в этом случае менялся), то
есть проявляется парадокс, что для «закона природы» недопустимо.
Явление самоиндукции. Энергия
магнитного поля.
Явление самоиндукции
Явление самоиндукции - частный случай
электромагнитной индукции и, следовательно, для
него справедливы все закономерности явления
электромагнитной индукции. При этом
4. Изменяющееся магнитное поле
индуцирует ЭДСиндукции в том же самом проводнике, по которому течет
ток, создающий это поле.
5. Вихревое магнитное поле препятствует
нарастанию тока в проводнике.
6. При уменьшении тока вихревое поле
поддерживает его.
В момент замыкания клю-
ча ЭДС самоиндукции
в катушке
препятствует нарастанию тока I: Л2 загорается
позжеЛ1 (рис). (Резистор R уравновешивает
сопротивление катушки L, чтобы лампочки горели с
одинаковой яркостью).
Опыт иллюстрирует, что для изменения тока
требуется время, т.е. явление самоиндукции
аналогично явлению инерции в механике.
При размыкании этой цепи лампочки гаснут
одновременно, т.к. две верхних ветви соединены
последовательно (токи одинаковы в любой момент
времени).
Цепь разомкнули. В момент размыкания через
гальванометр течет ток против начального
тока:
может быть
больше ЭДС источника (рис). Следовательно, ток
после размыкания увеличивается.
Учёт ЭДС самоиндукции в технике. Масляные
выключатели; при размыкании цепи с большой
индуктивностью параллельно включают конденсатор
с большой электроемкостью и высоким
напряжением.
При замыкании и размыкании цепи
возникают экстратокизамыкания (размыкания) тем
большие по величине, чем быстрее происходит
процесс.
Индуктивность
Если через катушку пропускать ток, то Ф ~ I.
Следовательно, Ф=LI, где L — индуктивность
катушки (коэффициент самоиндукции),
характеризующая ее магнитные свойства.
Индуктивность
показывает, какой магнитный поток
пронизывает данный проводник при прохождении
по нему тока силой 1 А (в СИ).
Согласно закону электромагнитной
индукции
Но ΔФ=LΔI,
следовательно:
Индуктивность численно равна эдс самоиндукции,
возникающей в проводнике при изменении силы тока
на единицу силы тока (1 А) за единицу времени (1с).
В СИ единица индуктивности – Генри.
Индуктивность – характеристика
проводника, зависящая только от:
Формы
Размеров
Магнитной проницаемости среды.
Например, индуктивность катушки зависит от числа
витков, диаметра катушки, ее длины и материала
сердечника.
Энергия магнитного поля.
По аналогии с кинетической
энергией:
При замыкании цепи энергия равна работе по
созданию тока (вихревого электрического поля). При
размыкании энергия магнитного поля превращается
в тепловую (искра., дуга).
СПИСОК
ТЕМ РЕФЕРАТОВ
3. Маятник Галилея.
4. Эффект Допплера.
9. Технология бурения нефтяных и газовых скважин.
2. Пластичность.
5. Гидравлические и пневматические домкраты.
6. Гидравлический удар.
8. Пневматический привод.
13. Автоматический электропривод.
1. Способы уменьшения вязкости нефти.
10. Техника и технология добычи и переработки нефти и газа.
14. Трансформаторы.
11. Газгольдеры.
12. Тепловые машины (циклы Карно, Отто, Дизеля).
7. Гидроаэродинамика. Насосы, компрессоры.
15. Виды излучения. Взаимодействие излучения с веществом.
16. Источники ионизирующего излучения.
17. Современные способы неразрушающего контроля в нефтегазовой отрасли.
ВИДЕОРОЛИКИ.
1. Характеристики и законы турбулентности.
2. Гибкий диск.(гироскоп)
3. Соударение шаров.
4 .Скамья Жуковского.
5. Маятник Галилея.
6. Никола Тесла– властелин мира.
7. Механизмы Герона.
.
КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТ. И ВРАЩАТ. ДВИЖЕНИЯ.
1–6 (Тр.)
Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью
= 16км/ч. Далее, половину оставшегося времени он ехал со
скор.
= 12км/ч, а затем до конца пути шёл пешком со скор.
= 5км/ч. Опр. среднюю скор. движения студ. на всём пути.
Отв.: < >=
=
1 – 1 ( Ир.)
Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал лодку в пункте А. Через
время
= 60 мин. После этого он повернул обратно и затем
встретил лодку на расстоянии
= 6 км ниже пункта А. Найти
скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор
катера работал одинаково.
Ответ: 3 км/ч
1 – 22 ( Вол.)
Зависимость пройденного телом пути
от времени
даётся
уравнением
= А –- В + С , где А= 2 м/с , В = 3 м/с 2 , С =
4м/с3 . Найти: 1) зависимость скорости
и ускорения а от
времени
. 2) Расстояние, пройденное телом, скорость и
ускорение тела через 2 сек.после начала движения .
Ответ: 1) = (2 – 6 + 12 ) м/с ,
а = ( – 6 + 24 ) м/с2 ; 2) = 24 м , = 38 м/с , а = 42 м/с2
1 – 30 (Вол.)
Камень брошен горизонтально со скоростью
= 15 м/с. Найти
нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1с после
начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.
Ответ: ап =
= 8,2 м/с2
а =
= 5,4 м/с2
1–29 (Черт.)
Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным
ускорением аτ = 0,5 м/с2 . Опр. полное ускорение а точки на
участке кривой с радиусом кривизны
R = 3 м , если точка
движется на этом участке со скоростью
=2м/с.
Ответ: а =
= 1,42 м/с2
1–22 (Черт.)
С балкона бросили мячик вертик. вверх с начальной
скоростью
= 5 м/с. Через
= 2 с мяч упал на землю.
Опр. высоту балкона над землёй и скорость мяча в момент
удара о землю.
Отв.:
1
=
=
= 9,62 м
= 14,6 м/с
1–40 ( Черт.)
С вышки бросили камень в горизонт. направлении. Через
промежуток времени
= 2с камень упал на землю на
расстоянии = 40 м от основания вышки. Опр. начальную
и конечную
скорости камня.
Отв.:
= 20 м/с
=
28 м/с
1–51 (Черт.)
Линейная скорость точек на окружности вращающегося
диска v1 = 3 м/с. Точки , расположенные на ∆𝑅 = 10 см
ближе к оси, имеют линейную скорость
v2 = 2 м/с . Опр.
частоту вращения п диска.
Отв.: п =
= 1,6 с–1
1–59 ( Чер.)
Диск вращается с угловым ускорением
= –2 рад/с2.
Сколько оборотов
сделает диск при изменении частоты
вращения от п1 = 240 мин–1 до п2 = 90 мин–1 . Найти время
, в течение которого это произойдёт.
Отв.: =
= 21,6 обор.
=
=
=7,85с
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬН. ТОЧКИ И ТВЁРД. ТЕЛА.
2 – 3 (Черт.)
К пружинным весам подвешен блок. Через блок
перекинут шнур, к концам которого привязаны грузы
массами т1=1,5 кг и т2 =3кг. Каково будет показание
весов во время движения грузов ? Массой блока и шнура
пренебречь.
Отв.:
= 2Т =
=39,2 Н
2 – 18 (Черт.)
Брусок массой т2 = 5 кг может свободно скользить по
горизонт. поверхности без трения. На нём находится другой
брусок массой
т1 =1 кг . Коэффиц. трения
соприкасающихся поверхностей брусков
= 0,3 . Опр.
максимальное значение силы
тах , приложенной к
нижнему бруску, при котором начнётся соскальзывание
верхнего бруска.
Отв.: тах =
( т1 +т2) = 17,7 Н
2–30 (Черт.)
Моторная лодка массой т = 400 кг начинает
двигаться по озеру. Сила тяги
т мотора равна 0,2 кН.
Считая силу сопротивления
пропорциональной
с
скорости, опр. скорость
лодки через время
= 20 с
после начала её движения. Коэффициент сопротивления к
= 20 кг/с.
Отв.:
=
=
=6,3м/с.
1– 120 (Ир.)
Тело массы т пустили вверх по наклонной
плоскости, составляющей угол
с горизонтом. Нач.
скорость тела равна
0 , коэфф. трения – к . Какой
путь пройдёт тело до остан. и какова на этом пути
работа силы трения?
Отв.:
=
тр =
2 – 41 (Черт.)
Два конькобежца массами т1 = 80 кг и т2 = 50 кг,
держась за концы длинного натянутого шнура,
неподвижно стоят на льду один против другого. Один
из них начинает укорачивать шнур со скоростью
=1
м/с. С какими скоростями
1 и
2 будут двигаться
по льду конькобежцы?
Отв.: 1 = 0,385 м/с ; 2 =
=0,615м/с
2– 46 ( Черт.)
Грузик, привязанный к шнуру длиной
= 50 см,
описывает окружность в горизонт. плоскости. Какой
угол
образует шнур с вертикалью, если частота
вращения п = 1 с–1 ?
Отв.: а𝑟𝑐 cos 𝑔⁄4𝜋 2 𝑙 𝑛2 =
60 °
2 – 50 (Черт.)
Автомобиль массой т =5 т движется со скоростью
V = 10 м/с по выпуклому мосту. Опр. силу давл.
автомобиля на мост в его верхней части, если радиус
кривизны моста R = 50 м.
Отв.:
–
давл.= т (
)= =39 кН.
2 – 68 ( Черт.)
С какой наименьшей высоты hmin должен начать
скатываться акробат на велосипеде ( не работая
ногами ), чтобы проехать по дорожке, имеющей
форму «мёртвой петли» радиуса
R = 4 м, и не
оторваться от дорожки в верхней точке петли?
Трением пренебречь.
Отв.: hmin =
5
2
R = 10 м
2– 1 (В)
Какой массы mx балласт надо сбросить с равномерно
опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно
подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с
балластом m = 1600кг, подъёмная сила аэростата А=12кН.
Считать силу сопротивления
с воздуха одной и той же
при подъёме и при спуске.
Отв.: тх =
= 800кг
2–8 (Ч)
Молот массой т = 1т падает с высоты
= 2м на
наковальню. Длительность удара
= 0,01с. Опр. среднее
знач. силы < > удара.
Отв.: < > =
=626 кН
1–61 (Ир.)
На небольшое тело массы т, лежащее на гладкой
горизонт. плоск., в момент врем.
=0 начала действов.
сила, зависящая от врем. по закону
=
, где
–
постоянная. Направл. этой силы всё время составляет угол
с горизонтом. Найти: 1) скорость тела в момент отрыва от
плоск.; 2) путь, пройденный телом к этому моменту.
Отв.:
=
; =
2–58 (Ч)
Вычислить работу А, совершаемую при равноускор.
подъёме груза массой m=100кг на высоту
=4м за время
= = 2с.
Отв.: 4,72 кДж
1– 108 (Ир.)
Локомотив массы т начинает двигаться со станции
так, что его скорость меняется по закону
=
, где
–
постоянная,
– пройденный путь. Найти суммарную
работу всех сил, действующих на локомотив, за первые
секунд после начала движения.
Отв.: А=
1– 121 (Ир.)
Лыжник соскальзывает без начальной скорости с
вершины гладкой горки высотой
Н , имеющей
горизонтальный трамплин. При какой высоте
трамплина
лыжник пролетит наибольшее расстояние
тах? Чему оно
равно?
Отв.: = Н/2 ; тах = Н
2– 76 (Ч.)
Пуля массой т = 10г , летевшая со скор.
= 600м/с,
попала в баллистический маятник массой М=5кг и застряла
в нём. На какую высоту
, откачнувшись после удара,
поднялся маятник?
Отв.: =
= 7,3см
2–83 (Ч.)
Молот массой
т1=5кг ударяет небольшой кусок
железа, лежащий на наковальне. Масса
наковальни
т2=100кг. Массой куска железа пренебречь. Удар
неупругий. Опр. к.п.д. удара молота при этих условиях.
Отв.: =
= 0,952
2–92 (Ч.)
Нейтрон массой т0 ударяется о неподвижное ядро
атома углерода массой т = 12т0 . Считая удар центральным
и упругим, найти, во сколько раз уменьшается кинетическая
энергия нейтрона при ударе?
Отв.:
= 1,4 раза.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.
3–11 ( Черт.)
Опр. момент инерции проволочного равностороннего
треугольника со сторонами а = 10 см относительно: 1) оси,
лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его
вершину параллельно стороне, противоположной этой
вершине; 2) оси, совпадающей с одной из сторон
треугольника. Масса
тр-ка т= 12 г и равномерно
распределена по длине проволоки.
Отв.: 1) I1 =
5
𝑚𝑎2 = 5 . 10–5 кг. м2 ; 2) I2 =
= 2 . 10 –5 кг . м2
12
3– 15 ( Черт.)
Диаметр диска
= 20 см, масса т = 800 г.Найти момент
инерции
диска относительно оси , проходящей через середину
одного из его радиусов перпендикулярно плоскости диска.
Отв.:
=
= 6 . 10–3 кг . м2
3 – 17 (Черт.)
Найти момент инерции тонкой плоской пластины
прямоугольной формы массой т = 800 г относительно оси,
совпадающей с одной из её сторон, если длина другой стороны а
= 40 см.
Отв. :
=
= 4,27. 10–2 кг.м2
3 – 25 (Черт.)
Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К
концам шнура привязаны грузики массой т1 =100 г и т2
=110г. С каким ускорением а будут двигаться грузы, если
масса блока т = 400 г ? Трением пренебречь.
Отв.: а =
= 0,24 м/с2
3 – 45 (Черт.)
Кинетическая энергия вращающегося маховика Т = 1
кДж. Под действием постоянного тормозящего момента
маховик начал вращаться равнозамедленно и , сделав N =
80 оборотов, остановился. Опр. момент
М силы
торможения.
Отв.: М = Т/2𝜋𝑁 = 1,99 Н . м.
3 – 51 (Черт.)
Опр. линейную скорость v центра шара, скатившегося
без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.
Отв.: =
= 3,74 м/с
3 – 52 ( Черт.)
Сколько времени
будет скатываться без скольжения
обруч с наклонной плоскости длиной
= 2 м и высотой
= 10 см ?
Отв.:
=
= 4 с.
3 – 44 ( Вольк.)
Человек массой т = 60 кг находится на неподвижной
платформе массой М = 100 кг. Какое число оборотов в
минуту будет делать платформа, если человек будет
двигаться по окружности радиуса
= 5 м вокруг оси
вращения. Скорость движения человека относительно
платформы
= 4 км/ч. Радиус платформы
= 10 м.
Считать платформу однородным диском, человека –
материальной точкой.
Отв.:
=
= 0,48
обор./мин
3–13 (Ч.)
Найти момент инерции тонкого однородного кольца
радиуса
= 20см и массой т = 100г относительно оси,
лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.
Отв.:
=
= 0,002 кг . м2
3– 21 ( В.)
Диск массой т = 1кг и диаметром D = 0,6м вращается
вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно его
плоскости, делая п = 20 обор./с . Какую работу надо совершить,
чтобы остановить диск?
Отв.: А=
= – 355 Дж.
3–39 (Ч.)
Маховик вращ. по закону
= А+В +С 2 , где А=2рад,
В=32рад/с, С= –4рад/с2. Найти ср. мощн. <N>,развив. силами,
действ. на мах. до его остан., если его мом. инерц. = 100кг.м2
Отв.: <N>= 12,8 кВт
Упругие деформации.
4 – 41 (Черт.)
Груз массой
т=10 кг
привязан к проволоке,
вращающейся с частотой п = 2 с–1 вокруг вертик. оси ,
проход. через конец провол., скользя при этом без трения по
горизонт. поверхн. Длина провол.
= 1,2 м, площадь
поперечн. сечения
= 2 мм2. Найти напряжение
проволоки . Массой её пренебречь.
Отв.:
= 948 МПа
4 – 42 (Черт.)
Однородный стержень длиной
= 1,2 м, площадью
попер. сеч.
= 2 см2 и массой т = 10 кг вращается с
частотой п= 2 с–1 вокруг верт. оси, проходящ. через конец
стержня, скользя при этом без трения по горизонт. поверхн.
Найти наибольшее напряжение
тах материала стержня
при данной частоте вращ.
Отв. :
МПа
тах
=
= 4,74
4 – 49 (Черт.)
Тонкий стержень одним концом закреплён, к другому
концу приложен момент силы М= 1 кН.м. Опр. угол
закручивания
стержня, если модуль кручения = 120
кН.м/рад.
Отв.:
=
= 8, 34 мрад.
4 – 51 (Черт.)
Какую работу А надо соверш., чтобы растянуть на
х=1мм стальной стержень длиной
l =1м и площ. попер.
сеч. S =1см2
Отв.: А =
= 10 Дж
4– 52 ( Черт.)
Для сжатия пружины на х1= 1см надо прилож. силу
F=10 Н . Какую работу А надо совершить, чтобы сжать
пруж. на х2 = 10 см, если сила пропорц. сжатию?
Отв.: А =
= 5 Дж
1 – 317 (Ир.)
Какое давление надо приложить к торцам стального
цилиндра, чтобы его длина не изменилась при повышении
температуры на 100 ° С ?
Отв.:
1 – 334 (Ир.)
п
=Е
= 2,2 . 10–8 Па
Найти наибольшую мощность, которую можно передать
с помощью стального вала, вращающегося вокруг своей оси
с угловой скоростью
= 120 рад/с, если его длина
=2м, радиус
= 1,5см и допустимый угол закручив.
= 2,5° .
Отв.:
=
=
8,5кВт
1 – 336 (Ир.)
Найти энергию упругой деформ. стального стержня
массы т = 3,1 кг , который растянут так, что его
относительное удлинение
= 10 – 3 .
Отв.:
упр
=
= 40 Дж.
ГАРМОНИЧ. КОЛЕБАНИЯ.
6 – 9 (Черт.)
Точка совершает колебания по закону х=Аcos𝝎𝒕 ,
где А= 5 см,
= 2 с –1 . Опр. ускор.
точки в
момент времени, когда её скорость
= 8 см/с .
Отв.:
=
= – 0,12 м/с 2
1 – 383 (Ир.)
Опр. период малых колебаний матем. маятника
длиной
= 20 см , если он находится в идеальной
жидкости, плотность которой в п = 3 раза меньше
плотности шарика.
Отв.: Т = 2𝝅
= 1,1 с
6 –14 (Черт.)
Два одинаково направл. гармон. колеб. одного
периода с амплит. А1= 10 см и А2 = 14 см
складываются в одно колеб. с амплит. А= 14 см. Найти
разность фаз складываемых колеб. Отв.:
= аrc
cos0,5= 60°
1 – 378 (Ир.)
При сложении двух гармон. колебаний одного
направления результир. колебание точки имеет вид : х
=Асоs2,1t.
cos50t
.Найти
круговые
частоты
складываемых колебаний.
Отв.: 2 =47,9рад/с,
1=
52,1 рад/с
6 –33 (Черт.)
Гармон. колеб. материальн. точки массой т= 0,1 г
происходят согласно уравн. х= А соs 𝝎𝒕, где А = 5 см, 𝝎 =
20 с–1 . Опр. максим. знач. возвращающей силы
Fтах и
максим. знач. кинетич. энергии Ek тах .
Отв.:
=2 мН
тах =
тах =
= 50 мкДж
6 – 36 ( Черт.)
Грузик массой т = 250 г , подвешенный на пружине,
колеблется по вертикали с периодом Т = 1 с. Опр. жёсткость
пружины.
Отв. : k =
= 9,86 Н/м
6 – 44 (Черт)
Тонкий
обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый
горизонтально в стену, колеблется в плоскости,
параллельной стене. Радиус обруча
= 30 см. Найти
период колебаний Т обруча.
Отв.: Т = 2
= 1,55 с.
6 – 46 ( Черт.)
Диск радиусом
= 24 см колеблется около гориз.
оси, проходящей через середину одного из радиусов
перпендикулярно плоскости диска. Опр. приведённую длину
и период Т колебаний такого маятника.
Отв.:
=
Т=2
= 0,36 м
= 1,2 с.
Затухающие и вынужд. колебания. Волны.
6 – 57 (Черт.)
За время
t = 8 мин. амплитуда затухающ. колеб.
маятника уменьшилась в 3 раза. Опр. коэффиц. затух. 𝜷 .
Отв.: =
= 0,0023 с –1
6 – 58 (Черт.)
Амплит. колебаний маятника длиной
= 1 м за время
= 10 мин уменьшилась в 2 раза. Опр. логарифмический
декремент затухания колебаний
.
Отв.:
=
= 0,0023
6 – 62 ( Черт.)
Опр. период
затух. колебаний, если период
собственных колебаний системы Т0 = 1 с и логарифмич.
декремент затух.
= 0,628.
Отв.: Т =
= 1,005 с.
6 – 65 ( Черт.)
Под действием силы тяж. электродвигателя консольная
балка, на которой он установлен, прогнулась на
= 1 мм.
При какой частоте вращения якоря эл- двигателя может
возникнуть опасность резонанса?
= 16 с –1
Отв.: през =
6 – 70 ( Черт.)
Период собств. колеб. пружинного маятника Т0 = 0,55 с.
В вязкой среде период того же маятника стал Т = 0,56 с. Опр.
резонансную частоту
колебаний.
Отв.:
рез
=
= 1,75 с – 1
1 – 426 (Ир,)
Однородный диск радиуса
= 13 см может вращаться
вокруг горизонтальной оси , перпендикулярной его
плоскости и проходящей через край диска. Найти период
малых колебаний этого диска в поле силы тяжести Земли,
если логарифмический декремент затухания
= 1.
Отв.: Т =
0,9 с.
7 – 1 ( Черт.)
Задано уравн. плоской волны 𝝃(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 – 𝒌𝒙) ,
где А= 0,5 см ; 𝝎 = 628 с –1 ; k = 2 м –1. Опр. 1) частоту
колебаний 𝝂 и длину волны 𝞴 ; 2) фазовую скорость 𝒗 ;
3) максимальное значение скорости 𝝃̇ тах и ускорения 𝝃̈ тах
колебаний частиц среды.
3)
тах
Отв.: 1)
= 3,14 м/с;
= 100 Гц ;
= 3,14 м; 2)
2
тах = 1972 м/с .
= 314 м/с;
7 – 4 (Черт.)
Звуковые колебания, имеющие частоту
= 0,5 кГц и
амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в упругой среде.
Длина волны
= 70 см. Найти : 1) скорость
распростр. волн; 2) максимальную скорость
тах частиц
среды.
Отв.: 1)
= 350 м/с ; 2)
=
тах =
0,79м/с.
Звуковые волны .
7 – 12 (Черт.)
Найти скорость
распростр. продольных упругих
колебаний в следующих металлах: 1) алюминий; 2) медь ; 3)
вольфрам.
Отв.: 1) 5,05 км/с 2) 3,31 км/с; 3) 4,44 км/с
7 – 14 (Черт.)
Опр. скорость
звука в азоте при температуре Т = 300
К.
Отв.:
= 350 м/с.
7 – 22 (Черт.)
Опр. длину
бегущей волны, если в стоячей волне
расстояние
между : 1) 1-ой и 7-ой пучностями равно
15 см; 2) 1-ым и 4-ым узлом равно 15 см.
Отв.: 1)
=
= 5 см
1)
=
= 10 см.
7 – 51 (Черт.)
Опр. уровень интенсивности (громкости)
звука,
если его интенсивность равна : 1) 100 пВт/м2 ; 2) 10 мВт/м2
Отв.: 1)
=
=
=20 дБ
= 100 дБ
7 – 53 (Черт.)
Звуковая волна прошла через перегородку, вследствие
чего уровень громкости звука 𝑳𝒑 уменьшился на 30 дБ. Во
сколько раз уменьшилась интенсивность I звука?
Отв.:
= 103
7 – 54 (Черт.)
Уровень громк. шума мотора
=60дБ. Каков будет
уровень громк., если одноврем. будут работ.: 1) 2 таких
мотора;
10 таких моторов ?
Отв.:
= 63 дБ
= 70 дБ
Гидростатика. Вязкость. Число Рейнольдса.
1 – 211 ( Троф.)
Полый медный шар (
= 8,93 г/см3 ) весит в воздухе
3 Н , а в воде (
= 1 г/см3 ) – 2 Н. Пренебрегая
выталкивающей силой воздуха, опр. объём внутренней
полости шара.
Отв.:
=
= 68 см3
1 – 212 ( Троф.)
На столе стоит цилиндрич. сосуд, наполненный водой до
уровня Н = 20 см от дна. Если в воду ( = 1 г/см3) опустить
плавать тонкостенный никелевый стакан ( = 8,8 г/см3) , то
уровень воды подним. на
= 2,2 см. Опр. уровень Н1 воды
в сосуде, если стакан утопить.
Отв.: Н1 = Н +
= 20,25 см.
1–235 (Троф.) 1 – 236 ( Троф.)
Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости,
плотность которой в 3 раза больше плотности материала
шарика. Опр. отношение силы трения , действующей на
всплывающий шарик, к его весу.
Отв.:
=
=2.
1 – 237 ( Троф.)
Смесь свинцовых дробинок ( плотность
= 11,3 г/см3)
диаметром 4мм и 2мм одновременно опускают в широкий
сосуд глубиной
= 1,5 м с глицерином (плотность = 1,26
г/см3, динамическая вязкость
= 1,48 Па . с). Опр. , на
сколько больше времени потребуется дробинкам меньшего
размера, чтобы достичь дна сосуда.
Отв.:
= 76,1 с.
12–55 (Ч)
Вода течёт по круглой гладкой трубе диаметром
=5
см со средней скоростью ( по сечению) <
> = 10 cм/с.
Опр. число Рейнольдса
для потока жидкости в трубе и
указать характер течения жидкости (
кр. = 2300).
Отв.: = 5000 , турбулентный.
1– 239 (Троф.)
Стальной шарик (плотность
=9г/см3) диаметром
=
0,8 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле (
плотность = 0,96 г/см3, динамическая вязкость = 0,99 Па
.
с). Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса
=
кр= 0,5, опр. характер движения масла,
обусловленный падением в нём шарика.
Отв.:
= 2,2 > кр.
1–240 (Троф.)
Пробковый шарик (плотность
= 0,2 г/см3) диаметром
=
= 6мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым
маслом (плотность = 0,96 г/см3) , с постоянной скоростью
=
=1,5 см/с. Опр. для касторового масла : 1)
динамическую вязкость ; 2) кинематическую вязкость .
Отв.:
=
1– 241 (Троф.)
В
боковую
поверхность
сосуда
вставлен
горизонтальный капилляр с внутренним диаметром
=2мм
и длиной
= 1,2 см. Через капилляр вытекает касторовое
масло (плотность
= 0,96 г/см3, динамическая вязкость =
= 0,99 Па. с ), уровень которого в сосуде поддерживается
постоянным на высоте
= 30 см выше капилляра. Опр.
время, которое требуется для протекания через капилляр 10
см3 масла.
Отв.:
=
= 107с.
1–242 (Троф.)
В боковую поверхность цилиндрического сосуда
диаметром
вставлен капилляр с внутренним диаметром
и длиной
. В сосуд налита жидкость с динамической
вязкостью
. Опр. зависимость скорости
понижения
уровня жидкости в сосуде от высоты
капилляром.
Отв.:
=
этого уровня над
ФормулаТорричелли.Уравнение
неразрывности.Уравнение Бернулли.
1– 213 (Троф.)
1.
По трубе радиусом r = 1,5 см течёт углекислый
газ (𝝆 = 7,5 кг/м3). Опр. скорость его течения , если за t
=20 мин. через поперечное сечение трубы протекает m =
950 г газа.
Отв.:
= 0,15 м/с
1– 214 (Троф.)
𝑽
В бочку заливается вода со скоростью = 200 см3/с.
𝒕
На дне бочки образовалось отверстие площадью
поперечного сечения S = 0, 8 см2 . Пренебрегая вязкостью
воды, опр. уровень воды в бочке.
Отв.: =
= 31,9 см.
1– 219 (Троф.)
В дне сосуда имеется отверстие диаметром 1. В сосуде
вода поддерживается на постоянном уровне , равном
.
Считая, что струя не разбрызгивается, и пренебрегая силами
трения в жидкости, опр. диаметр струи, вытекающей из
сосуда на расстоянии
= 2 от его дна.
Отв.: 2 =
= 0,76 1
1– 220 (Тр.)
Площадь поршня, вставленного в горизонтально
2
расположенный налитый водой цилиндр,
1 = 1,5 см , а
2
площадь отверстия
2 = 0,8 мм . Пренебрегая трением и
вязкостью , определить время , за которое вытечет вода из
цилиндра, если на поршень действовать постоянной силой
=
= 5 Н, а ход поршня
= 5 см. Плотн. воды
=1000кг/м3.
Отв.: =
= 1,15 с.
1–226 (Тр.)
По горизонтальной трубе переменного сечения течёт
вода. Площади поперечных сечений трубы на разных её
2
участках соответственно равны
и
1 =10см
2=20
см2.Разность уровней воды в вертикальных трубках
одинакового сечения составляет
= 20 см. Опр. объём
воды, проходящей за 1с через сечение трубы.
Отв.: =
=2,29. 103см3
1–227 (Тр.)
Опр., на какую высоту
поднимется вода в
вертикальной
трубке,
впаянной
в
узкую
часть
горизонтальной трубы диаметром 2=3см, если в широкой
части трубы диаметром 1= 9см скорость газа 1=25см/с.
Отв.: =
= 25,5 см
1–231 (Тр.)
Пренебрегая вязкостью жидкости, опр. скорость
истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда,
если высота
уровня жидкости над отверстием составляет
1,5м.
Отв.: 2=
= 5,42 м/с
12–48 (Ч.)
Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр
1=20см. В нём движется со скоростью
1=1м/с поршень,
выталкивая воду через отверстие диаметром
2=2см. Опр.
скорость
2 вытекания воды из отверстия и избыточное
давление
воды в цилиндре.
Отв.:
= 5МПа.
2= 100м/с ;
1–343 (Ир.)
Две манометрические трубки установлены на
горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где
сечения трубки равны 1 и
2 (рис.). По трубе течёт вода.
Найти объём воды, протекающей в единицу времени через
сечение трубы, если разность уровней воды в
манометрических трубках равна
.
Отв.:
=
Лобовое сопротивление.
Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.
1–244 (Тр.)
Опр. наибольшую скорость, которую может приобрести
свободно падающий в воздухе (
= 1,29кг/м3) свинцовый
шарик (
= 11,3г/см3) массой
=12г. Коэффициент
сопротивления Сх = 0,5.
Отв.:
= 53,9м/с
тах=
1– 245 (Тр.)
Парашют (т1 = 32кг) пилота (т2 = 65кг) в раскрытом
состоянии имеет форму полусферы диаметром
=12м, обладая
коэффициентом сопротивления
Сх=1,3. Опр. максимальную
скорость, развиваемую пилотом, при плотности воздуха 1,29 кг/м3.
Отв.:
= 3,17м/с
тах=
1–246 (Тр.)
Автомобиль с площадью миделя (наибольшая площадь
сечения в направл.,перпендикулярном скор.) =2,2м2, коэфф.
лобового сопротивл. Сх=0,4 и макс. мощностью Р=45кВт может на
горизонт. участках дороги развивать скорость до 140 км/ч. При
реконструкции автомобиля уменьшают площадь миделя
до
2
1=2м , оставляя Сх прежним. Принимая силу трения о поверхность
дороги постоянной, опр., какую макс. мощн. должен иметь
автомоб., чтобы он развивал на гориз. участках дороги скор. до 160
км/ч. Плотн. воздуха
= 1,29кг/м3 .
Отв.: Ртах =
=58,5кВт.
12–29 (Ч.)
Масса N =100 капель спирта, вытекающего из капилляра, т =
0,71г. Опр. поверхностное натяжение
спирта, если диаметр
шейки капли в момент отрыва
= 1мм.
Отв.:
= 22,2 мН/м
12–30 (Ч.)
Трубка имеет диаметр
1 = 0,2 см. На нижнем конце трубки
повисла капля воды, имеющ. в момент отрыва вид шарика. Найти
диаметр
2 этой капли.
Отв.:
= 4,4 мм
2=
12–31 (Ч..)
Какую работу А надо совершить, чтобы, выдувая мыльный
пузырь, увеличить его диаметр от
до
1 = 1см
2 = 11см ?
Считать процесс изотермическим.
Отв.: А =
= 3мДж
12–32 (Ч.)
Две капли ртути радиусом
= 1мм каждая слились в одну
большую каплю. Какая энергия Е выделится при этом слиянии?
Считать процесс изотермическим.
Отв.: Е =
= 0,02мкДж
12–34 (Ч.)
На сколько давление
воздуха внутри мыльного пузыря
больше атмосферного давления
=
0 , если диаметр пузыря
5мм?
Отв.:
р=
= 64 Па
12–37 (Ч.)
Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h = 20мм.
Опр. поверхностное натяжение 𝝈 глицерина, если диаметр канала
трубки d = 1мм.
Отв.:
=
= 62 мН/м
12–38 (Ч.)
Диаметр канала стеклянной трубки чашечного ртутного
барометра
= 5мм. Какую поправку
р надо вводить в
отсчёты по этому барометру, чтобы получить верное значение
атмосферного давления?
Отв.:
р = 400 Па
12–39 (Ч.)
Разность уровней жидкости в коленах
-образной трубки
=
= 23мм. Диаметры каналов в коленах трубки
1 = 2мм и
= 0,8 г/см3 .
2 =0,4мм соответственно. Плотность жидкости
Опр. поверхностное натяжение жидкости.
Отв.:
=
=22,54 мН/м
Изопроцессы в газах. Первое начало термодинамики.
Явление электромагнитной индукции и самоиндукции.
8 – 7 (Ч)
Полый шар объёмом
= 10 см3 , заполнененный воздухом при темпер. Т1 =
573 К, соединён трубкой с чашкой, заполненной ртутью. Опр. массу т ртути,
вошедшую в шар при остывании воздуха в нём до темпер. Т2 = 293 К.
Отв. : т =
(1 – Т2 / Т1) = 0,0664 кг
8–23 (Ч)
В сосуде объёмом
= 0,01м3 содержится смесь газов – азота массой т1 = 7 г
и водорода массой т2 =1 г – при темпер. Т =280 К. Опр. давление р смеси газов.
Отв.: р = Т (т1/М1 + т2/М2)
11 – 17 (Ч)
3
Водород занимает объём
1 = 10 м при давлении р1 = 100 кПа. Газ нагрет при
постоянном объёме до давления р2 300 кПа. Опр. : 1) изменение
внутренней
энергии газа; 2) работу А , совершённую газом; 3) количество теплоты
,
сообщённой газу.
Отв.:
=
1 (р2 – р1) = 5 МДж
25 – 15 (Ч)
Магнитная индукция поля между полюсами двухполюсного генератора В = 0,8
Тл. Ротор имеет
= 100 витков площадью
= 400 см 2 . Опр. частоту п вращения
якоря, если максимальное значение э.д.с. индукции
= 200 В.
Отв. : п =
= 10 с–1
25 – 17 (Ч)
Проволочный виток радиуса
= 4 см, имеющий сопротивление
= 0,01 Ом,
находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл. Плоскость рамки
составляет угол
= 30 с линиями индукции поля. Какое количество электричества
протечёт по витку, если магнитное поле исчезнет?
Отв.:
25 – 27 (Ч)
=
= 10 мКл
Индуктивность катушки
= 2 мГн. Ток частотой
= 50 Гц, протекающий
по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Опр.
среднюю э.д.с.
самоиндукции
, возникающую за интервал времени
, в течение которого ток
в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное
значение силы тока 0 = 10 А.
Отв.:
=4
0=4В
25 – 43 (Ч)
Источник тока замкнут на катушку с сопротивлением
= 10 Ом и
индуктивностью
= 1 Гн. Через сколько врем. сила тока замыкания достигнет 0,9
предельного значения?
Отв.:
=
= 0,23 с
Задачи
10.1. Углекислый газ массой m=1 кг находится при температуре 290 К в сосуде
вместимостью 20 л. Определить давление газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный.
Объяснить различие в результатах. Поправки а и b принять равными соответственно 0,365
Нм4моль2 и 4,310–5 м3/моль. [1) 2,44 МПа; 2) 2,76 МПа]
10.2. Кислород, содержащий количество вещества v=2 моль, занимает объем V1= 1 л.
Определить изменение T температуры кислорода, если он адиабатически расширяется в
вакуум до объема V2=10 л. Поправку а принять равной 0,136 Нм4/моль2. [—11,8 К]
10.3. Показать, что эффект Джоуля — Томсона всегда отрицателен, если дросселируется
газ, силами притяжения молекул которого можно пренебречь.
10.4. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу
А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d1=2 см до d2=6 см.
Поверхностное натяжение  мыльного раствора принять равным 40 мН/м. [0,8 мДж]
10.5. Воздушный пузырек диаметром d=0,02 мм находится на глубине h=20 см под
поверхностью воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное
давление принять нормальным. Поверхностное натяжение воды  = 73 мН/м, а ее
плотность =1 г/см3 [118 кПа]
10.6. Вертикальный открытый капилляр внутренним диаметром d=3 мм опущен в сосуд с
ртутью. Определить радиус кривизны ртутного мениска в капилляре, если разность
уровней ртути в сосуде и в капилляре h=3,7 мм. Плотность ртути =13,6 г/см3, а
поверхностное натяжение  = 0,5 Н/м. [2мм]
10.7. Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 до 30°С затратили
количество теплоты, равное 117 Дж. Определить теплоемкость шарика из закона Дюлонга
и Пти и материал шарика. [М107 кг/моль; серебро]
Билет № 1
(Колл.-1)
1. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение.
2. Кинетич. энергия вращат. движения.
3. Деформация растяжения или сжатия. Модуль Юнга. Закон Гука.
Билет № 2
(Колл.-1)
1. Связь между угловыми и линейными параметрами при вращ. движении.
2. Соударения частиц и их виды.
3. Пружинный маятник и его период.
Билет № 3
(Колл.-1)
1. Законы равнопеременного движения.
2. Работа силы, мощность, энергия.
3. Потенциальная энергия сжатой пружины.
Билет № 4
(Колл.-1)
1. Закон сохранения импульса.
2. Примеры вычисления моментов инерции тел разной формы.
3. Крутильный маятник и его период.
Билет № 5
(Колл.-1)
1.Закон сохранения энергии в механике.
2. Основной закон динамики вращательного движения.
3. Деформация сдвига. Модуль сдвига. Закон Гука для деформации сдвига.
Билет № 6
(Колл.-1)
1. Теорема Штейнера и её применение.
2. Сила вязкого трения. Градиент скорости.
3. Уравнение гармонич. колеб. Скорость и ускор. при гармонич. колеб.
Билет № 7
(Колл.-1)
1.Закон сохранения момента импульса.
2.Деформация кручения. Закон Гука для деформации кручения.
3. Энергия гармонич. колебаний.
1.7. Список литературы
Список основной литературы
16. 1. Савельев И.В. Курс физики: Учебник для втузов: В 3-х т. Т.1:
Механика. Молекулярная физика.– М.: Наука. 1989. – 352 с.
17.Детлаф А.А.,Яворский Б.М. Курс физики. М.: Учебник для втузов: М.:
Высшая школа, 2002. –719 с.
18. Детлаф А.А., Яворский Б.И., Милковская Л.Б. Курс физики. Учебник
для втузов: В 3-х т. Т.1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. М.:
Высшая школа, 1973.– 384 с.
19. Сивухин Д.В. Курс общей физики: Учебник для ун-тов:
В 5-и т. Т. 1: Механика. – М.: Наука, 2005.– 560 с.
20. Сивухин Д.В. Курс общей физики: Учебник для ун-тов:
В 5-и т. Т. 2: Термодинамика и молекулярная физика. – М.: Наука, 2005.– 544 с.
21. Сивухин Д.В. Курс общей физики:
Учебник для ун-тов:
В 5-и т. Т.3: Электричество и электромагнетизм.– М.: Наука, 2004. – 654 с.
22. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, М.:
Высшая школа, 2002 г.
23. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: Учебное пособие, 4-е
изд. – М.: Высшая школа, 2002 г.
24. Трофимова Т.И. Сборник задач по физике для втузов.М.: ОНИКС 21
век: Мир и Образование, 2005.–384 с.
25. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с
решениями: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2004.– 591 с.
26. Бедельбаева Г.Е. Семестровые задания по курсу общей физики. 2003 г.
Список дополнительной литературы
27. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для вузов – М.: Изд.
центр «Академия», 2006.– 560 с.
28.
Иродов И.Е., Савельев И.В., Замша О.И. Сборник задач по общему
курсу физики: М.: Наука, 1972.– 256 с.
29. Трофимова Т.И. Физика: 500 основных законов и формул: Справочник
для студентов вузов. Изд. 3-е – 63 с. М.: Высшая Школа, 1999 г.
30. Стрелков С.П. Механика: Учебное пособие для ун-тов, М.: Наука, 1965.
1.8 Контроль и оценка знаний
Распределение рейтинговых процентов по видам контроля
Таблица
Осн.:1[11-33], 2[8-17], 3[11-28], 4[19-46]
Доп.:12[4-13], 14[
], 15[18-46]
Контрольные вопросы:
7.
Что такое материальная точка?
8.
Как найти скорость и ускорение при поступательном движении?
9.
Как найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение?
10.
Как найти угловую скорость и угловое ускорение?
11.
Как связаны угловые и линейные параметры при вращательном
движении?
12.
Каковы законы равнопеременного движения?
Осн.: 1[34-46], 2[19-46;59-64], 3[32-51, 4[69-89; 129-136;143-175]
Доп.:12[14-33], 14[
], 15[47-126]
Контрольные вопросы:
1.Как читаются законы Ньютона?
2. Как читается закон сохранения импульса?
3. Что такое работа силы, мощность, энергия?
4. Каковы виды потенциальной энергии в механике?
5. Как читается закон сохранения энергии в механике?
6. Соударения частиц и их виды.
. Осн.:1[94-117], 2[47-58; 65-67], 3[73-88], 4[182-199].
Доп.: 12[34-41], 14[
], 15[164-237]
Контрольные вопросы:
1.Что такое абсолютно твёрдое тело?
2. Чему равен момент силы?
3. Чему равна кинетическая энергия вращательного движения?
4. Как читается теорема Штейнера?
5. Приведите примеры вычисления моментов инерции тел разной формы
6. Как читается основной закон динамики вращательного движения.
7. Как читается закон сохранения момента импульса?
Осн.: 1[51-56], 3[95-99], 4[472-480]
Доп.: 12[18-19], 14[
], 15[127-140; 238-249]
Контрольные вопросы:
1. Как определяется сила сухого трения скольжения?
2. Как определяется сила вязкого трения?
3. Что такое градиент скорости?
Осн.: 2[89-95] , 3[47-51], 4[404-414; 420-425]
Доп.: 12[46],14 [
], 15[266-306]
Контрольные вопросы:
1. Виды упругих деформаций. Механическое напряжение.
2. Как читается закон Гука для деформации растяжения?
3. Что такое модуль Юнга и коэффициент Пуассона?
4. Что такое деформация сдвига и модуль сдвига?
4.
Энергия упругой деформации.
5.
Потенциальная энергия сжатой пружины.
6.
Деформация кручения. Модуль кручения.
8. Расчёт модуля кручения для проволоки.
9. Скорость распространения продольных упругих возмущений.
10. Скорость распространения поперечных упругих возмущений.
Осн.: 2[358-369; 396-400], 3[146-163], 4[435-450; 215-224].
Доп.:12[243-248], 14[
], 15[401-414.
Контрольные вопросы :
5.
Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение при
гармонических колебаниях.
6.
Пружинный маятник и период его колебаний.
7.
Крутильный маятник и период его колебаний.
8.
Энергия гармонических колебаний.
Осн.: 2[371-379], 3[163-171]
Доп.: 12[253-260], 14[
], 15[414-427; 459-498].
Контрольные вопросы:
1.Затухающие колебания.
2.Частота и период затухающих колебаний, коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания.
3.Вынужденные колебания.
4.Механический резонанс.
5.Уравнение волны. Волновое число.
6.«Стоячие» волны. «Узлы» и «пучности» стоячей волны.
7.Звуковые волны. Громкость и единицы её измерения.
Осн.: 1[131-152], 3[358-362], 4[468-505].
Доп.: 12[57-66], 14[
], 15[307-345; 355-366]
Контрольные вопросы:
1.Закон Паскаля. Закон Архимеда.
2.Гидравлический пресс.
3.Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.
4.Уравнение Бернулли и следствия из него. Формула Торричелли.
5.Вязкость жидкостей и методы её измерения. Формула Пуазейля.
6.Ламинарное и турбулентное течение жидкостей. Число Рейнольдса.
7. Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление.
Осн.: 1[331-341, 3[306-316].
Доп.: 12[126-132], 14[
].
Контрольные вопросы:
1.Поверхностная энергия. Молекулярное давление.
2.Поверхностное натяжение. Коэффициент поверхностного натяжения.
3.Смачивание. Краевой угол смачивания.
4.Капиллярные явления.
5.Вывод формулы Лапласа.
Осн.: 1[207-227]; 262-264; 269-289], 3[175-184; 194-203; 207-220], 4[108-112;
126-143] .
Доп.: 12[81-107], 14[
].
Контрольные вопросы:
1.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Средняя
энергия молекул. Среднестатистические скорости молекул газа по теории
Максвелла.
2.Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
3.Средняя длина свободного пробега молекул газа.
4.Явления переноса в газах.
5.Изопроцессы в газах. Уравнение состояния идеального газа.
6.Смеси газов. Закон Дальтона.
Осн.: 1[227-250; 289-326], 3[186-192; 222-228; 248-263; 279-287], 4[113-125;
144-175]
Доп.: 12[108-125], 14[
].
Контрольные вопросы:
1.Внутренняя
термодинамики.
энергия
термодинамической
системы.
Первое
начало
2.Степени свободы молекул. Внутренняя энергия идеального газа.
3.Молекулярно-кинетическая теория теплоёмкостей газов. Адиабатический
процесс, его уравнение и график.
4.Работа, совершаемая газом в различных процессах.
5.Круговые обратимые и необратимые процессы.
6.Идеальная теплова машина Карно и её к.п.д.
7.Неравенство Клаузиуса.Энтропия. Второе начало термодинамики.
8.Уравнение Ван-дер-Ваальса.
9.Теоретические и экспериментальные изотермы Ван-дер-Ваальса. Сжижение
газа.
10.Критические параметры реальных газов.
Осн.: 2[182-201; 217-230],
Доп.: 12[146-176], 14[
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
].