статистическая оценка максимальной возможной магнитуды

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ ВОЗМОЖНОЙ МАГНИТУДЫ
ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ ДЛЯ БАЙКАЛЬСКОЙ РИФТОВОЙ ЗОНЫ / В. В. Ружич, Е. А.
Левина, В. Ф. Писаренко, А. А. Любушин // Геология и геофизика. - 1998. Т. 39, № 10. С. 1443-1455.
Геология и геофизика, 1998, т. 39, № 10, с. 1443—1455
УДК 550.33. 550.34
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ ВОЗМОЖНОЙ
МАГНИТУДЫ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ ДЛЯ БАЙКАЛЬСКОЙ РИФТОВОЙ ЗОНЫ
В. В. Ружич, Е. А. Левина, В. Ф. Писаренко*, А. А. Любушин**
Институт земной коры СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 128, Россия * Международный
институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, 113556, Москва, Варшавское
шоссе, 79, корп. 2, Россия ** Объединенный институт физики Земли РАН, 123810, Москва, Бол. Грузинская,
10, Россия
Байесовский подход применяется для оценки основных параметров сейсмического режима: максимальной
возможной региональной магнитуды Мmax, интенсивности потока землетрясений λ и наклона графика
повторяемости b. Предложенная методика позволяет использовать каталоги с изменяющимися нижними
магнитудными порогами представительной регистрации землетрясений (в том числе исторические каталоги).
Полученные байесовские оценки указанных выше сейсмических параметров позволяют построить оценки
квантилей распределения Мmax(Т ) — максимальной магнитуды землетрясения, которое произойдет в будущий
интервал времени Т, а также дать доверительные границы для этой магнитуды. Методика применена для
определения Мmax и Мmax(Т) в Байкальской рифтовой зоне. Получена оценка Мmax = 8,07 ± 0,47.
Максимальная региональная магнитуда, байесовский подход, закон повторяемости землетрясений.
STATISTIC ESTIMATION OF THE MAXIMUM POSSIBLE EARTHQUAKE MAGNITUDE FOR
THE BAIKAL RIFT ZONE
V. V. Ruzhich, E. A. Levina, V. F. Pisarenko, and A. A. Lyubushin
The Bayesian approach is used to estimate main seismic parameters: Мmax — maximum possible regional magnitude;
λ — seismic-activity rate; and b — slope of the plot for the magnitude frequency law. The suggested method allows one to
use catalogs with varying lower magnitude completeness threshold as well as historical catalogs. The quantiles of Мmax(T)
are estimated, where Мmax(T) is the maximum magnitude of an earthquake that will occur in a future time interval T. Also,
the magnitude uncertainties (standard deviations) are established. The method is applied to estimate Мmax and Mmax(T) in the
Baikal Rift Zone. This estimation gives Mmax=8.07±0.47.
Maximum regional magnitude, Bayesian approach, magnitude frequency law
ВВЕДЕНИЕ
За последние десятилетия значительные усилия сейсмологов были направлены на получение оценок
максимальной возможной магнитуды землетрясения в некотором сейсмоактивном регионе (см. [1—5], а
также [б], где дается детальный обзор работ по этой проблеме). В работах [4, 5] на основе фидуциального
подхода получены доверительные интервалы для Мmax без учета погрешностей
измерения магнитуды. Максимальная возможная региональная магнитуда Мmax является одним из
важнейших параметров сейсмического режима, от которого существенным образом зависит оценка
сейсмического риска. Из-за того, что сильнейшие землетрясения происходят редко, оценки М max,
как правило, имеют большую неопределенность. Кроме того, измеряемые магнитуды землетрясений
зависят от большого числа неконтролируемых факторов: особенностей механизма очага, отклонений
строения среды от модельного по пути распространения сейсмических волн, случайных шумов и т. п. Для
учета этих эффектов в работе [7] были введены понятия кажущейся (т. е. наблюдаемой) магнитуды (М̅) и
магнитуды истинной (М). Они связаны следующим образом:
М̅ = М + е,
(1)
где е — некоторая случайная величина, которая должна отразить неопределенность всех упомянутых выше
факторов. Введение кажущейся магнитуды имело очень важные последствия. С одной стороны, наличие
случайного члена е в соотношении (1) ухудшает точность оценки максимальной истинной магнитуды, а с
другой — сглаживает (регуляризует) плотность вероятности наблюдаемых магнитуд, что приводит к
положительным эффектам при статистическом оценивании.
® В. В. Ружич, Е. А. Левина, В. Ф. Писаренко, А. А. Любушин, 1998
1443
Для оценивания Мmax мы предлагаем байесовский подход с учетом соотношения (1) между
истинной и кажущейся магнитудами. Этот подход дает возможность учесть неопределенности в оценках других
параметров сейсмического процесса (наклона графика повторяемости землетрясений b и интенсивности потока
землетрясений λ), а кроме того, позволяет оценить неопределенность оценки Мmax Байесовский подход в излагаемой
нами форме в основном изложен в [8 ]. В настоящей
работе мы развиваем указанный подход и применяем его к сейсмическому режиму, содержащему периодические
компоненты и пропуски в регистрации землетрясений. Мы применим эту процедуру для оценки Мmax в Байкальской
сейсмической зоне. Байесовский подход дает возможность оценить
не только параметры сейсмического процесса Мmax, b, λ, но и любую функцию от них. В качестве примера такой
функции мы рассмотрим функцию распределения ФT (х) (точнее, семейство ее квантилей) случайной максимальной
магнитуды землетрясений Мmax(T) в произвольном будущем интервале Т. При этом можно рассматривать как
кажущиеся магнитуды, так и истинные. Величина Мmax(Т ), как нам кажется, представляет даже больший практический
интерес, чем Мmax так как многие прикладные задачи сейсмического риска связаны с оценкой сейсмической опасности
на конечном интервале времени.
Для Байкальской рифтовой зоны в работе [9 ] был проведен спектральный анализ последовательности
землетрясений с целью поиска возможных периодичностей в сейсмическом режиме. Было выявлено три значимых
периодичности с периодами приблизительно τ = 2, 5, 10 и 40 лет. Использованный в настоящей работе байесовский
метод оценивания Мmax(T) позволяет учесть упомянутые периодичности.
БАЙЕСОВСКИЙ МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
СЕЙСМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Мы будем рассматривать каталог землетрясений, очищенный от афтершоков. Для этой процедуры можно
применить метод пространственно-временных окон [10], либо же более сложный метод, учитывающий несферичность
распределения афтершоков вокруг гипоцентра главного толчка [II]. Оставшуюся после отсеивания афтершоков
последовательность землетрясений можно с хорошим приближением считать пуассоновским процессом.
Обозначим функцию распределения истинной магнитуды основного толчка, произошедшего в момент t через Ft
(х |θ), где θ — некоторый векторный параметр. В дальнейшем мы ограничимся
рассмотрением закона Гутенберга—Рихтера [12], зависящего от двух параметров: b — наклона графика повторяемости
и μ — максимальной возможной магнитуды (Мmax). Это ограничение сделано для простоты изложения. Предлагаемая
методика оценивания μ = Мmax применима для любого другого параметрического семейства распределений, поскольку
байесовский подход, по сути, является численным и не использует какие-либо аналитические свойства распределения
магнитуд. Таким образом:
(2)
где через Мt обозначен нижний порог представительной регистрации землетрясений. Он может зависеть от времени,
что позволяет обрабатывать неоднородные по времени каталоги землетрясений, в том числе исторические.
Зависимость Мt от времени можно считать известной, так как обычно ее
выбирает сам исследователь с некоторым запасом, гарантирующим надежную регистрацию землетрясений с
магнитудами М > Мt. Из-за того, что порог Мt зависит от времени, интенсивность
пуассоновского потока основных толчков (среднее число основных толчков в единицу времени) λ = λ t также зависит
от времени. Для описания этой зависимости обозначим через λ 0 интенсивность,
соответствующую некоторой фиксированной магнитуде М0. Тогда как нетрудно показать:
λt = λ 0(10bμ - 10bMt )/(10bμ - 10bM0).
(3)
Уравнение (3) описывает также возможные периоды отсутствия регистрации, которым соответствуют значения
Mt ≡ μ, λ ≡ 0. Допустим, что мы наблюдаем кажущиеся магнитуды основных толчков
M1 = х1, М2 = х2, ..., Мn = хn,
1444
соответствующие моментам времени t1, ...,tn на интервале времени (-S,0). Обозначим вектор наблюденных
магнитуд через х:
х = (x1, ...,.xn).
В соответствии с байесовским подходом мы будем считать составной вектор параметров (λ0, b, μ)
случайным вектором, имеющим некоторое априорное распределение. Это априорное распределение мы, как
это обычно делается, выберем равномерным в некоторых интервалах, заведомо (с запасом) содержащих
неизвестные значения параметров:
λ 1 ≤ λ 0 ≤ λ 2; b1 ≤ b ≤ b2 ; μ1 ≤ μ ≤ μ2.
(4)
Таким образом, мы имеем четыре случайных величины λ0, b, μ, х, причем последняя величина —
векторная. Три первых величины неизвестны (ненаблюдаемы), значения вектора х известны. Обозначим
априорную плотность вероятности четверки λ0, b, μ, х через g(u,v, w, z). Условную
плотность тройки λ0, b, μ, при заданном х мы обозначим через g(u,v, w | x), отделяя условную переменную х
вертикальной чертой от аргументов и, v, w. По формуле Байеса имеем [13]:
Интегралы в (5) удобнее брать численно. Зная апостериорную плотность (5), можно получить
байесовскую оценку h̃ для любой функции h (λ0, b, μ,) от неизвестных параметров λ0, b, μ,:
(6)
В этом выражении интегрирование также проводится численно. В частности, если выбрать h (λ0, b, μ) ≡
λ0; h (λ0, b, μ,) ≡ b; h (λ0, b, μ,) ≡ μ, то по формуле (6) получатся байесовские оценки соответственно для
параметров λ0, b, μ,.
Таким образом, нам осталось лишь при сделанных предположениях вывести явное выражение для
функции g (u, v, w | z), входящей в (5).
В соответствии с формулой (1) плотность вероятности кажущейся магнитуды gt (х, | b, μ) равна свертке
плотности истинной магнитуды ft (х, | b, μ) и плотности nt (х ) случайной величины ε:
gt (x, | b, μ)= ∫ft (x-y | b, μ) nt (y) dy.
(7)
Мы допускаем возможность изменения разброса случайной величины ε со временем и отмечаем это
индексом t в плотности: пt (х). Такое изменение вполне естественно, хотя бы из-за того, что
точность измерения магнитуды может с течением времени существенно повышаться. Например, естественно
считать, что точность определения магнитуд в исторических каталогах, где магнитуды оцениваются по
макросейсмическим данным, существенно меньше точности магнитуд, определенных по инструментальным
данным, которая, в свою очередь, может заметно меняться при развитии и модернизации сейсмической сети.
Что касается вида плотности вероятности пt (х), то, как показали результаты численных экспериментов [8 ],
форма распределения пt (х) несущественна, важна лишь величина стандартного
отклонения этого распределения. Поэтому мы взяли простейшее распределение — равномерное на
некотором интервале (-Δt, Δt):
(8)
Стандартное отклонение распределения (8) равно Δt/√3. По формуле (7) получаем:
(9)
Таким образом, формула (9) дает явное выражение для плотности вероятности кажущейся магнитуды.
1445
Параметр λ0 будет входить в плотность вероятности g (и, v, w, z) через вероятность рn(λ0) события,
состоящего в том, что пуассоновский процесс с переменной интенсивностью λt(3) на интервале наблюдения
(-S, 0) даст п событий в момент времени t1, ..., tn. Вероятность рn (λ 0), как можно показать (см. [14]),
пропорциональна следующему выражению:
(10)
где через λk обозначено значение интенсивности λt в момент времени t = tk. Таким образом, предполагая,
что значения магнитуд распределены независимо от моментов событий, можно с точностью до некоторого
множителя С выписать явное выражение для плотности g (и, v, w, z):
(11)
где множитель gk (xk | b, μ) берется по формуле (9) при t= tk. Естественно, что формула (11)
справедлива внутри параллелепипеда, задаваемого неравенствами (4), а вне его g(u, v, w, z) равна нулю.
Теперь, подставляя g(u,v, w, z) в формулу (5), можно получить нужную нам апостериорную плотность g {и,
v, w 1 z).
Заметим, что по формуле (6) можно получать не только байесовскую оценку, скажем параметра /г, но
также и байесовскую оценку его дисперсии (это утверждение справедливо, конечно, для любого другого
параметра или для функции от параметров). Для этого нужно взять в качестве функции h выражение:
h (λ 0, b, μ) = (μ - μ̃)2,
(12)
где через μ̃ обозначена байесовская оценка параметра μ. Подставляя (12) в (6), получим байесовскую
оценку дисперсии параметра. Как показали численные расчеты [8 ], эти оценки близки к соответствующим
оценкам, полученным из уравнений максимального правдоподобия с применением бутстреп-метода.
Перейдем теперь к оцениванию квантилей распределения величины М max(T) — максимальной
магнитуды землетрясения, которое произойдет в заданном будущем интервале времени (0, Т ).
При этом мы ограничимся рассмотрением случая, когда условия регистрации землетрясений в
будущем не будут меняться по сравнению с теми, которые существуют в настоящее время. Это
соответствует тому, что
Mt = const, λt = const, 0 ≤ t ≤ T.
(13)
Наша методика дает возможность в качестве М max(T) рассматривать как кажущиеся, так и истинные
магнитуды. Вопрос о том, какая из этих магнитуд адекватнее, зависит от конкретной практической задачи,
С одной стороны, мы можем наблюдать только кажущиеся магнитуды. Поэтому, если мы захотим
сопоставить наш прогноз с какими-то конкретными результатами, то надо использовать кажущуюся
магнитуду. С другой стороны, естественно считать, что истинная магнитуда теснее связана с
сейсмическими эффектами, чем кажущаяся. В этом плане она более адекватна. Хотя следует отметить, что
все существующие формулы регрессионного типа, выражающие сейсмический эффект (скажем, пиковое
ускорение грунта), были выведены для кажущихся магнитуд, а для истинных магнитуд их необходимо
выводить заново.
Учитывая вышесказанное, мы ограничимся рассмотрением Мmax(T) для кажущихся магнитуд при
соблюдении условий, при которых зависимость Ft (х | b, μ) в (2) от времени исчезает, стало быть, исчезает и
зависимость плотности кажущейся магнитуды (7) от времени. Для пуассоновской последовательности
основных толчков нетрудно вывести формулу для функции распределения Фt (x | b, μ) максимальной
магнитуды землетрясений, которые произойдут в будущем интервале времени (0, T) (см. [5]):
(14)
где через G (x | b, μ) обозначена функция распределения кажущейся магнитуды:
Функция распределения (14) записана при условии, что на интервале (0, Т) произойдет хотя бы одно
землетрясение (в противном случае необходимо определить, что такое Мmax(Т)). В прак1446
тически интересных случаях это условие выполняется с очень большой вероятностью. Квантиль xα уровня α
распределения (14) определяется как корень уравнения:
Фt(х | b, μ) =α, 0<α< 1.
(15)
Таким образом, случайная величина Мmax(T) не превзойдет квантиль xa с вероятностью а.
Квантиль уровня а = 0,5 называют медианой. Задание квантилей при всех α, 0 < α < 1, равносильно заданию функции
распределения. Квантиль xα как корень уравнения (15) зависит от параметров
b, μ, т. е. является функцией от b, μ:
xα=xα( b, λ0).
(16)
Беря xα(b, μ) в качестве функции h (λ0, b, μ) и подставляя ее в (6), получаем байесовскую оценку квантиля x̃α, а взяв
h (λ0, b, μ) = (xα — x̃α)2, получим байесовскую оценку дисперсии оценки x̃a. Ниже будут даны примеры таких оценок.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНИВАНИЯ Мmax И Мmax(T)
Сначала рассмотрим оценку истинной максимальной возможной магнитуды Мmax в Байкальской рифтовой зоне на
основе каталога землетрясений 1952—1996 гг. Можно считать, что в этот период для кажущихся магнитуд М ≥ 5,0
регистрация землетрясений была надежной, а точность измерения магнитуд практически оставалась на одном и том же
уровне. Каталог был очищен от афтершоков с помощью пространственно-временных окон, помещаемых в точки
основных толчков. Размеры окон зависели от магнитуды и выбирались в соответствии с рекомендациями работы [10].
Всего за этот период в рассматриваемой зоне оказалось 67 основных землетрясений с М ≥ 5,0. В качестве южной
границы Байкальской рифтовой зоны, отделяющей ее от Северо-Монгольской зоны, мы выбрали широту φ= 50°, а в
качестве западной границы была взята долгота l = 95°. Хотя при этом вне границ рассматриваемой зоны, поблизости от
этих границ остались сильные землетрясения (например, 23.07.1905: φ = 49,30°, l = 96,20°, М = 8,2; 5.01.1967: φ =
48,09°, l = 102,90°, М = 7,8), мы решили ограничить исследуемый регион указанными границами с тем, чтобы оставить
для анализа однородные в сейсмогенетическом смысле землетрясения Байкальской рифтовой зоны. Впрочем, как
показали проведенные расчеты, добавление упомянутых сильных землетрясений лишь незначительно изменит
окончательные оценки максимальных магнитуд: на величину порядка 0,1 — 0,2 при разбросе 0,35 — 0,45.
Расположение эпицентров землетрясений в рассматриваемом регионе показано на рис. 1. Наибольшая кажущаяся
магнитуда М = 7,8 была зарегистрирована при землетрясении 20 апреля 1989 г.: φ = 57,16, l = 122,30. Нормализованный
график повторяемости (в накопленной форме) приведен на рис. 2. Нижний магнитудный порог представительной
регистрации был выбран равным 5 : Mt = 5,0. Стандартное отклонение случайной величины е было взято равным 0,29,
что соответствует равномерному распределению величины е на интервале магнитуд (-0,5; 0,5). Эта величина интервала
соответствует, как нам кажется, реальной точности оценки магнитуд в использованном каталоге землетрясений.
При выборе априорных интервалов (4) мы поступили следующим образом. В качестве нижнего возможного
значения параметра Мmax была взята максимальная наблюденная магнитуда (М = 7,8), из которой была вычтена
максимальная возможная величина магнитудной ошибки 0,5. В результате нижняя граница априорного интервала для
Мmax оказалась равной 7,3. Верхняя граница была взята
равной 9,5, что, по-видимому, с большим запасом
перекрывает возможную величину М max для данного
региона.
При выборе априорного интервала для b мы
сначала с помощью грубой оценки установили центр
этого интервала и затем отступили вправо и влево на
величину, равную трем
Рис. 1. Эпицентры основных толчков с магнитудами
М ≥ 5,0 за период 1952—1996 гг. (67 толчков).
Указаны три подобласти Байкальской рифтовой зоны
Q1, Q2 , Q3.
1447
Рис.
2.
Нормированный
график
повторяемости
землетрясений в накопленной форме за период 1952— 1996
гг.
N (х) — число землетрясений с М ≥ х; N0 — полное число землетрясений;
тонкая линия — с афтершоками; жирная линия — без афтершоков.
стандартным отклонениям этой грубой оценки. В качестве
такой грубой оценки бралась оценка максимального
правдоподобия, при вычислении которой предполагалось,
что параметр Мmax равен максимальной наблюденной
магнитуде М = 7,8 (см. подробнее [15 ]). В результате мы
получили для параметра b априорный интервал (0,19; 0,57).
Напомним, что эти оценки получены для каталога,
очищенного от афтершоков. Эта операция, как и следовало
ожидать, приводит к некоторому уменьшению наклона
графика повторяемости (см. рис. 2, где для сравнения
приведен график повторяемости для всех толчков). При
выборе априорного интервала для параметра λ0 мы взяли в
качестве грубой оценки этого параметра и его стандартного
отклонения простую пуассоновскую модель, в которой
параметр λ0 никак не связан с другими неизвестными параметрами. В результате для центра априорного
интервала мы получили оценку λ0 = 67/45 = 1,49(1/год), а тройное стандартное отклонение оказалось
равным 0,54. Эти значения привели к априорному интервалу (0,93; 2,03).
Таким образом, для трех неизвестных параметров априорные интервалы имели вид:
0,93 ≤ λ0 ≤ 2,03; 0,19 ≤ b ≤ 0,57; 7,3 ≤ Mmax ≤ 9,5.
Для проверки того, что дальнейшее увеличение этих априорных интервалов уже практически не
изменяет байесовских оценок, мы вычислили еще один дополнительный вариант оценок, в котором
априорные интервалы для параметров X0, b были увеличены с трех стандартных отклонений
до пяти. Для параметра Мmax априорный интервал был оставлен тем же самым, так как его значения
в основном варианте были взяты с большим запасом, и их дальнейшее увеличение, по-видимому, выводит
значение Мmax за рамки разумных возможных границ для этого параметра. Итак, в дополнительном
варианте априорные интервалы для параметров имели вид:
0,56 ≤ λ 0 ≤ 2,39; 0,10 ≤ b ≤ 0,70; 7,3 ≤ Mmax ≤ 9,5.
Результаты байесовского оценивания для основного и дополнительного вариантов априорных
интервалов приведены в табл. 1. Мы видим, что разница оценок получилась весьма незначительной. Таким
образом, можно считать, что выбор априорных интервалов в основном варианте был сделан
удовлетворительно.
В результате описанной выше процедуры мы получили следующую оценку истинной максимальной
возможной магнитуды (все обсуждение здесь и ниже проводится для основного варианта априорных
интервалов):
Mmax = 8,07 ± 0,47.
(17)
Само значение оценки 8,07 оказалось несколько больше максимальной наблюденной магнитуды 7,8.
Довольно значительное стандартное отклонение оценки говорит о том, что вполне возможно, что истинная
Мmax может быть и больше, чем 8,07. Наиболее вероятное место сильнейшего возможного землетрясения
естественно считать в районе эпицентра землетрясения 20 апреля 1989 г., хотя нельзя исключать и другие
места. Для того чтобы детализировать наши выводы в отношении
Таблица 1.
1448
Сравнение оценок параметров для двух вариантов априорных областей:
основного и дополнительного
Оценки истинной магнитуды М
пространственного
распределения,
мы Таблица 2.
подразделили весь регион Байкальского рифта
на три части: Q1, Q2, Q3 (см. рис. 1). Такое
разделение
исследуемого
региона,
естественно, привело к уменьшению чисел
землетрясений в отдельных его частях, и,
следовательно,
к
повышению
неопределенности в оценке Мmax Поэтому мы вынуждены были понизить нижний магнитудный порог Мt до
значения 4,5. Более дробное разделение территории Байкальской рифтовой зоны, по-видимому, уже
недопустимо из-за недостаточного числа умеренных и сильных землетрясений. Наш опыт говорит, что
байесовские оценки Mmax дают более или менее надежный результат тогда, когда объем выборки п имеет
порядок п ≈ 50 и более.
В результате оценивания истинной Мmax по отдельным зонам мы получили значения, указанные в табл.
2. Мы видим, что полученные оценки Mmax по зонам довольно высоки, а точность оценок невелика. Исходя
из этих оценок, нельзя исключать возможность сильного землетрясения с М ≥ 8,0 в каждой из областей, но
наиболее вероятны такие землетрясения в Q1 и Q3. Возможно, что
более низкая оценка Mmax для Q2 объясняется большей раздробленностью геологических блоков в
этой зоне.
Перейдем теперь к оцениванию кажущейся М max(T). Для всего региона мы получили оценки
квантилей x̃α, показанные на рис. 3 для Т = 10 и 50 лет. Следует сразу заметить, что значение
Т = 50 лет слегка превосходит временной интервал использованного каталога (45 лет) и поэтому может
вызвать некоторые сомнения в надежности полученных оценок. Если перевести эти сомнения в область
рассмотрения исходных данных, то они, в каком-то смысле, эквивалентны сомнениям в адекватности
описания закона повторяемости землетрясений в области самых сильных событий формулой
Гутенберга—Рихтера [2 ]. Правда, к счастью, этот вывод смягчается тем, что введенная нами случайная
величина е в (1) сглаживает закон повторяемости кажущихся магнитуд, который уже не имеет резкого
обрыва, присутствующего в формуле (2). Из рис. 3 видно, что если мы хотим оценить Мmax(T) с высокой
долей доверия (скажем, с уровнем доверия 90 %), то получаются довольно высокие значения от 8,07 при Т
= 10 лет до 8,33 при Т = 50 лет. При этом точность таких оценок невелика: их стандартное отклонение
варьирует от 0,20 до 0,40. Отметим, что эти стандартные отклонения, как правило, заметно меньше, чем
для оценки Мmax (0,47). С ростом Т квантиль x̃0,9 возрастает, но не сильно. Это говорит о том, что
анализируемый каталог достаточно
Рис. 3. Оценки квантилей прогнозируемых случайных величин.
а - Мmax(10), б - Мmax(50) (кажущаяся магнитуда). Получены по каталогу 1952-1996 гг. Вертикальными отрезками указаны стандартные
отклонения. По оси абсцисс указан уровень значимости квантиля Р.
1449