Рабочая программа - филиал УНИВЕРСИТЕТА

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Филиал в г. Воскресенске
Кафедра Прикладной математики
«УТВЕРЖДАЮ»
Зав. кафедрой
ктн, профессор Баринов А.Н.
«__» ______________200_г.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
специальность 080116 «Математические методы в экономике»
(второй год обучения)
Составитель: старший преподаватель кафедры Прикладной математики Меньшова И.В.
Рассмотрено на заседании кафедры
Протокол №__
от «__» ______________200_г.
Воскресенск, 2010
I. Рабочая учебная программа
ВВЕДЕНИЕ
В современной науке и технике математические методы исследования,
моделирования и проектирования играют всё большую роль. Это
обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря
которой существенно расширяется возможность успешного применения
математики при решении конкретных задач.
Курс
«Математического
анализа»
является
фундаментом
математического образования экономиста-математика и имеет важное
значение для успешного изучения таких дисциплин, как
«Теория
вероятностей», «Математическая статистика», «Исследование операций»,
«Эконометрика», «Экономическая теория» и др., предусмотренных учебным
планом.
Данная программа построена в соответствии с требованиями
Государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования к дисциплине «Математический анализ». Учебная программа
разработана на основе учебного плана специальности 061800
«Математические методы в экономике».
Выписка из Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования ОПД.Ф.ОО. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ.
Множество. Окрестность точки. Функциональная зависимость. Предел
числовой последовательности. Предел функции. Эквивалентные функции.
Непрерывность
функции
в
точке.
Числовые
множества
и
последовательности. Непрерывные функции. Производная и дифференциал.
Дифференцируемые функции. Выпуклость функции. Неопределенный,
определенный и несобственные интегралы. Функции нескольких
переменных. Приложения к общей экономической теории. Кратные
интегралы.
Неявная функция. Выпуклые функции. Функциональные
последовательности и ряды. Степенные ряды. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные разностные уравнения.
1. Организационно-методический раздел
Курс «Математический анализ» читается студентам специальности
080116 «Математические методы в экономике» в первом, втором, третьем и
четвертом семестрах.
1.1. Цель курса
Цель
курса
"Математический
анализ"
ознакомление
с
фундаментальными
методами
исследования
переменных
величин
посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория
дифференциального и интегрального исчисления. Объектами изучения в
данной дисциплине являются, прежде всего, функции. С их помощью могут
быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы,
происходящие в экономике. Отсюда объективная важность математического
анализа как средства изучения функций. Дисциплина "Математический
анализ" отражает важное направление развития современной математики, в
ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений.
1.2. Задачи курса
Основные задачи изучения данного курса заключаются в приобретении
студентами теоретических знаний и практических навыков по следующим
направлениям: развитие у студентов творческого и логического мышления,
подготовка студентов к умению точной математической постановки
изучаемой экономической проблемы и ее решению с помощью современной
вычислительной техники.
1.3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника
Курс «Математический анализ» на втором годе обучения изучается
общим объёмом 154 часа специальностью 061800 «Математические методы в
экономике».
Усвоение курса в третьем и четвертом семестрах основано на знаниях,
полученных при изучении курса «Математического анализа», читаемого в
первом и втором семестрах. В свою очередь дисциплина является базовой
для таких дисциплин, как «Теория вероятностей и математическая
статистика», «Экономическая теория», «Исследование операций»,
«Эконометрика» и др.
Курс изучается в форме лекций и практических занятий. В ходе
практических занятий студент должен приобрести навыки решения типовых
задач с применением изучаемого теоретического материала. Предусмотрена
самостоятельная подготовка студентов. Они выполняют индивидуальные
задания, сдают экзамен.
В целом, изучение дисциплины направлено на подготовку студентов
специальности «Математические методы в экономике» к умению применять
методы математического анализа к решению конкретных экономических
задач на микро- и макроуровне.
1.4. Требования к уровню освоения содержания курса
В результате изучения дисциплины студенты должны:
 знать основные определения и понятия изучаемых разделов
математического анализа, уметь формулировать и доказывать
основные результаты этих разделов.
 уметь анализировать функции, заданные в виде графика, таблицы или
уравнения, а также понимать связь между различными формами
представления функций; понимать смысл производной как скорость
изменения и локального линейного приближения, а также уметь
применять производную для решения широкого круга прикладных
задач в экономике;
 понимать смысл определенного интеграла как предела интегральной
суммы и как итоговое изменение величины, а также уметь применять
интегралы для решения широкого круга прикладных задач в
экономике; понимать взаимосвязь между производной и определенным
интегралом; уметь, исходя из описания простой физической или
экономической задачи, построить математическую модель явления,
используя функцию, дифференциальное уравнение или интеграл;
 использовать методы математического анализа для решения задач,
обоснования результатов расчётов и рассуждений.
2.Содержание курса (второй год обучения)
2.1. Темы и краткое содержание
Тема 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Понятие функции нескольких действительных переменных. Область
определения. Линии и поверхности уровня. Элементарные функции
нескольких переменных. Предел функции в точке. Непрерывность функции.
Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функций.
Частные
производные
функции
нескольких
переменных.
Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости с
существованием
частных
производных.
Геометрический
смысл
дифференцируемости.
Дифференцируемость
сложных
функций
и
инвариантность формы первого дифференциала. Приращение функции в
данном направлении. Производная по направлению. Градиент. Производные
и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных
производных.
Неявные
функции.
Теоремы
существования,
дифференцируемости неявных функций. Вычисление производных неявных
функций.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия
экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия
экстремума. Понятие об условном экстремуме. Общая схема отыскания
наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных.
Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов. Нахождение
методом наименьших квадратов коэффициентов квадратичной и линейной
зависимостей.
Функции нескольких переменных в экономическом анализе.
Производственная функция. Функция полезности. Предельная полезность.
Предельная норма замещения. Кривые безразличия.
Тема 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Двойные и тройные интегралы Римана. Условие интегрируемости
функции и классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана.
Сведение кратных интегралов к повторным. Замена переменных. Общая
схема применения кратных интегралов Римана к задачам геометрии.
Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Частные и общие решения. Задача Коши. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений,
интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными,
однородные,
линейные,
Бернулли,
в
полных
дифференциалах.
Математические модели экономической динамики с непрерывным временем.
3.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Задача Коши. Уравнения, допускающие понижения порядка. Линейные
дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и
неоднородные. Структура общего решения. Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
3.3. Системы дифференциальных уравнений.
Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод
исключения для решения нормальных систем дифференциальных уравнений.
Системы линейных дифференциальных уравнений. Решение систем
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
3.4. Разностные уравнения.
Задача Коши. Линейные разностные уравнения. Модели экономической
динамики с дискретным временем.
2.2. Распределение часов дисциплины по темам и формам занятий
№
п/п
Наименование тем
1
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
2
3
3.1
3.2
3.3
3.4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные
уравнения первого порядка.
Дифференциальные
уравнения высших
порядков.
Системы
дифференциальных
уравнений.
Всего
часов
Аудиторные
занятия
(в том числе)
лекции
ПЗ
Самостоятельная
работа
31
9
8
14
26
5
5
16
28
6
14
8
23
6
9(1час
к.р.)
8
19
4
8
7
Разностные уравнения.
23
2
15
6
ВСЕГО по курсу
154
34
51
69
2.3. Основные виды занятий и особенности их проведения при
изучении данного курса
2.3.1. Лекционные занятия
Лекции построены как типичные лекционные занятия по математическому
анализу в соответствии с требованиями государственного стандарта для
подготовки специалистов специальности 061800 «Математические методы в
экономике».
Недельная аудиторная нагрузка составляет два часа в третьем семестре и
один час - в четвертом. На лекции преподаватель излагает теоретический
материал, который по мере необходимости иллюстрируется примерами.
2.3.2. Практические занятия
Занятия по практике построены как типичные практические занятия по
математическому анализу в соответствии с требованиями государственных
стандартов для подготовки специалистов специальности 061800
«Математические методы в экономике». Недельная аудиторная нагрузка
составляет два часа в каждом семестре изучения дисциплины. На
практических занятиях студент под руководством преподавателя изучает
методы решения конкретных задач математического анализа и приобретает
навыки решения этих задач.
2.4. Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов
при изучении курса
В ходе изучения курса математического анализа студент слушает лекции по
большинству
тем,
посещает
практические
занятия,
занимается
индивидуально. Индивидуальные занятия включают закрепление тем,
изучаемых аудиторно, и самостоятельное изучение некоторых тем. Освоение
курса предполагает, помимо посещения лекций и практических занятий,
выполнение аудиторных контрольных работ. Особое место в овладении
данным курсом отводится самостоятельной работе по решению текущих и
индивидуальных домашних заданий. Учебным планом предусмотрены
консультации, которые студент может посещать по желанию.
3. Формы промежуточного и итогового контроля
Курс «Математического анализа» завершается экзаменом в каждом из
двух семестров. Обязательным условием допуска студента к экзамену
является успешное выполнение индивидуальных домашних заданий и
аудиторных контрольных работ. Экзамен проводится в письменно-устной
форме. В экзаменационные билеты включаются теоретические и
практические вопросы. Для успешной сдачи экзамена студент должен
продемонстрировать знание основных теоретических положений курса
«Математического анализа» и показать свои навыки применения теории при
решении конкретных практических задач. После выполнения письменной
части студент делает необходимые пояснения. При спорности выставляемой
оценки студент отвечает на дополнительные вопросы преподавателя.
4. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
4.1. Рекомендуемая литература (основная).
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов, Т.1, 2: Учебное пособие для втузов. – М.: Наука
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч.
пособие. – СПб., Изд-во – Профессия.
3. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.1,2/ А.С. Солодовников,
В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандро. – М.: Финансы и
статистика.
4. Сборник задач по высшей математике. 1,2 курс/ [К.Н. Лунгу и др.] ; под
ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс.
4.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учеб.: В 2
ч.: М., Наука, 1982.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ:
Учеб.: М., Наука, 1979. 719 с.
3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ:
Учеб.: В 2 ч. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1985-1987.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб.: В 2-х т. М.:
Наука, 1981.
5. Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.: В 2-х т. М.:
Наука, 1983.
6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб.
пособие. М.: Наука, 1974. 480 с.
7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979.527 с.
8. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу:
Учеб. пособие: В 2 ч. М.: Наука, 1984-1986.
9. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. М.: Наука, 1981.
Т. 1-2.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: Учеб. пособие. В 3 т. М.: Наука, 1969-1970.
II. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения
промежуточных и итоговых аттестаций.
1. Вопросы к экзамену II курс (3 семестр)
1. Дайте определение функции двух переменных, ее области определения
и области значений. Приведите примеры функций нескольких
переменных в экономике.
2. Дайте определения линий и поверхностей уровня. Приведите примеры
линий уровня в экономике.
3. Как определяется
пространстве?
расстояние
между
точками
в
n-мерном
4. Дайте определения ε-окрестности и ограниченного множества в
n-мерном пространстве.
5. Дайте определения внутренней, внешней и граничной точек n-мерного
пространства.
6. Дайте определения открытого и замкнутого множеств.
7. Дайте определения предела функции двух переменных в точке.
8. Дайте определение непрерывности в точке функции двух переменных.
9. Что называется полным и частичным приращениями функции двух
переменных.
10. Дайте определение частной производной для
переменных и объясните ее геометрический смысл.
функции
двух
11. Докажите достаточное условие дифференцируемости функции.
12. Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух
переменных.
13. Дайте определение сложной функции для функции двух переменных.
14. Докажите правило нахождения производной сложной функции.
15. Дайте определение производной по направлению функции двух
переменных.
16.Что называется градиентом функции двух переменных?
17. Докажите основное свойство градиента.
18. Как определяются предельная полезность и предельная норма
замещения?
19. Дайте определения эластичности функции двух переменных в точке.
20. Объясните смысл
Кобба-Дугласа.
коэффициентов
производственной
функции
21.Дайте определение однородной функции.
22. Приведите формулу Эйлера.
23. Как определяются частные производные высших порядков?
24. Дайте определение точки экстремума функции двух переменных.
25. Докажите необходимое
переменных.
условие
экстремума
функции
двух
26. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух
переменных.
27. В чем заключается метод множителей Лагранжа нахождения
условного экстремума функции двух переменных?
28. Дайте определение эмпирических формул.
29. В чем заключается метод наименьших квадратов?
30. Выведите формулу для нахождения методом наименьших квадратов
коэффициентов линейной функции.
31. Дайте определение двойного интеграла и укажите его геометрический
смысл для неотрицательной функции.
32. Перечислите основные свойства двойного интеграла (линейность,
аддитивность, монотонность, оценка, среднее значение).
33. Как двойной интеграл вычисляется в декартовых координатах?
34. Как производится замена переменных в двойном интеграле?
35. Как двойной интеграл вычисляется в полярных координатах?
36. Перечислите геометрические приложения двойного интеграла.
2. Вопросы к экзамену II курс (4 семестр)
1. Понятие дифференциального уравнения, его общее и частное
решения. Интегральная кривая. Порядок дифференциального
уравнения.
2. Общий вид дифференциального
геометрический смысл. Изоклины.
уравнения
I
порядка,
его
3. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
для дифференциального уравнения I порядка. Геометрический смысл
задачи Коши. Особые решения.
4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
общий вид; нахождение решения.
5. Автономные дифференциальные уравнения. Теорема о решении
автономного дифференциального уравнения, её геометрический
смысл. Стационарное решение.
6. Модель естественного роста. Модель естественного роста
в условиях конкурентного рынка.
7. Неоклассическая модель роста.
8. Однородные дифференциальные уравнения I порядка: общий вид;
нахождение решения.
9. Линейные уравнения I порядка. Уравнение Бернулли. Метод
Бернулли. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной).
10.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Необходимое и достаточное условие полного дифференциала.
11.Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о
существовании и единственности решения задачи Коши для
дифференциальных уравнений высших порядков. Общий и частный
интегралы.
12.Уравнения, допускающие
нахождение решения.
понижение
порядка:
общий
вид;
13.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Линейный оператор n-го порядка. Свойство линейного оператора.
14.Теорема о решении линейного неоднородного уравнения.
15.Свойство линейных уравнений.
16.Линейные однородные дифференциальные уравнения. Определитель
Вронского. Теорема о значении определителя Вронского в случае
линейно независимых решений.
17.Фундаментальный набор решений. Теорема об общем решении
линейного однородного дифференциального уравнения.
18.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами: общий вид; характеристическое уравнение;
нахождение решения.
19.Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольной
постоянной.
20.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод
неопределённых коэффициентов.
21.Системы дифференциальных уравнений. Решение системы
дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и
единственности
решения
задачи
Коши
для
систем
дифференциальных уравнений.
22.Метод сведения системы к одному дифференциальному уравнению.
23.Решение
однородных
коэффициентами.
24.Решение неоднородных
коэффициентами.
линейных
систем
линейных
систем
с
постоянными
с
постоянными
25.Разностные уравнения.
26.Линейные разностные уравнения. Фундаментальный набор решений.
Теоремы о нахождении решений линейных разностных уравнений.
Определитель Казоратти.
27.Модель Самуэльсона - Хикса.
28.Паутинная модель рынка.
29.Задача об определении текущей стоимости купонной облигации.
3. Задачи к экзамену II курс (3 семестр)
1. Найти область определения функций:
а) z =
1
9  x2  y2
;
в) u = ln(x2 + y2 + z2 – 1);
б) z = arcsin(x + y);
г) u =
z
x y
;
д) z = xy .
2. Построить линии уровней следующих функций (для z = 1, 2, 3):
а) z = x + y;
б) z = x2 – y2;
в) z = x2 + y2 – 3;
д) z =
y  x2
;
x2
г) z =
y
;
x
е) z = ln(xy);
ж) z = exy.
3. Построить поверхности уровней функций (для u = 0, 1, 2):
а) u = 2x + y + 3z;
б) u = x2 + y2 + z2;
в) u = 4x2 + 9y2 + z2.
4. Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным
уравнениям:
а) z  x  cos
z
z z
x
; x  y  ;
x
y 2
y
x2 x 1 1
z
z x 3
;
   ; x2   y2 

2y 2 x y
x
y
y
1 z 1 z
z
в) z  y  ln( x 2  y 2 ) ;     2 .
x x y y y
б) z 
5. Найти производные приведенных функций по направлению вектора e в
заданной точке:
а) z = x3y – 5xy2 + 8; e = (1; 1); М0(1; 1);
 x2  y2 
 ; e = (6; 8); М0(1; 2);
 xy 
б) z = ln 
в) u = arccos
z
x2  y2
; e = (2; 1; 2); М0(1; 1; 1).
6. Построить линии уровня функции z = 4 – x2 – y2. Найти величину и
направление grad z в точке М0(1; 2).
7. Найти grad z и |grad z|:
а) z = (x – y)2 в точке М0(1; 1);
б) z = e x  y / 2 xy  в точке М0(1; 1).
8. Вычислить приближенно:
а) 3,012,03 ;
б) ln(8,001 + 0,993);
2
2
в) 3 3,61  0,05 2 .
9.
Показать,
что
функция
z
2z
2z 2z
z

2
 2 
.
2
xy y
x y
x
10. Найти экстремумы функции:
а) z = x2 – xy + y2 + 9x – 6y + 20;
б) z = xy2 – xy – xy3 (x > 0, y > 0);
в) z = 3x2 – x3 + 3y2 + 4y;
г) z = y x - y2 – x + 6y;
=
xy
x-y
удовлетворяет
уравнению
д) z = 4 - 3 x 2  y 2 .
11.Найти условные экстремумы функций:
а) z = x2 + y2 – xy + x + y – 4 при x + y + 3 = 0;
б) z =
1 1
 при x + y = 2;
x y
в) z = x + 2y при x2 + y2 = 1;
г) z = x + y при
1
1
1
 2  .
2
2
x
y
12.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности 4x2+3y2+5z2=1
в точке P0  1 ; 1 ; 1  .
 2
12
12 
13.
а) Получить линейную зависимость y = ax + b по следующим данным:
x
y
1
6
2
8
3
10
4
9
5
12
6
11
б) В результате исследования зависимости между сроком эксплуатации
автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные:
t, лет
S, тыс. руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
120 140 230 370 445 570 655 770
Найти:
- линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока
эксплуатации;
- предполагаемую величину затрат на ремонт за 10-й год эксплуатации.
в) Прибыль предприятия за некоторый период деятельности по годам
приведена ниже:
Год t
1
2
3
4
5
6
7
Прибыль π 54 57 62 65 67 69 70
Требуется:
- составить квадратичную зависимость прибыли по годам деятельности
предприятия;
- определить ожидаемую прибыль для 8-го года деятельности.
14.
а) Предприниматель решил выделить на расширение своего дела
150 тыс. руб. Известно, что если на приобретение нового оборудования
затратить x тыс. руб., а на зарплату вновь принятых работников
y тыс. руб., то прирост объема продукции составит Q = 0,001x0,6y0,4. Как
следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост
объема продукции был максимальным?
б) Общие издержки производства заданы функцией TC = 0,5x2 + 0,6xy +
0,4y2 + 700x + 600y + 2000, где x и y – соответственно количество
товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно
быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить,
чтобы издержки на их изготовление были минимальными?
15. Оценить интеграл
 (x  y  1)dxdy , где D – круг x2 + y2 ≤ 4.
D
16. Вычислить интегральное среднее значение функции f(x, y) = x + 6y в
области D – треугольнике, ограниченном прямыми y = x, y = 5x, x = 1.
3- y 2
2
17. Изменить порядок интегрирования
 dy  fdx .
y2
2
0
18. Вычислить двойной интеграл
 x
2
dxdy , где D – область,
D
ограниченная прямыми: y = x; y = -x; x = 2.
19. Переходя к полярным координатам,
 sin
вычислить
интеграл
x 2  y 2 dxdy .
 2  x 2  y 2  4 2
20. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 0,
z = 3 – x2 – y2.
21. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями: y = x2 + 4x,
y = x + 4.
22. Оценить интеграл
 xy(x  y)dxdy .
0 x 3
0 y 3
23. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2  y 2 ;
3z = x2 + y2.
4. Задачи к экзамену II курс (4 семестр)
I. Решить дифференциальные уравнения.
су
1. ху'-у=у3;
Ответ: х 
2. ху*у'=1-х2 ;
Ответ: х2+у2=ln(cх2)
1  у3
сх
1 х
3. у-ху'=1+х2у';
Ответ: у  1 
4. хуdx+(x+1)dy=0;
Ответ: у=с(х+1)*℮-х
5.
у 2  1dx  xydy ;
Ответ: ln x  c  y 2  1 , х=0
1
х
6. 2х уу'+у =2;
Ответ: у  2  с  
7. уу'+х=1;
Ответ: у2+х2-2х=с
8. у'=10х+у
Ответ: у=-ln(c-10x)
9. у'-у=2х-3;
Ответ: 2х+у-1=с*℮х
10. (сделайте замену переменных):
(2х-у)dx+(4x-2y+3)dy=0; Ответ: 5х+10у+с=3ln(10x-5y+6)
II. Решить дифференциальные уравнения.
2
2
1. у  
у
 1;
х
2
Ответ: у  х  ln
c
x
х
у
2. (х-у)*уdx-x dy=0;
3. (х2+у2)dx-2xydy=0;
Ответ: х  с   ; у=0
Ответ: (х-с)2-у2=с2
4. ydx  2 xy  xdy  0 ;
Ответ:
5. ydy+(x-2y)dx=0;
Ответ: х=(у-х)*lnc(y-x), у=х
2
x
 ln y  c , у=0
y
у
у



х 

х

у

х
у



 ln cx  0
6.
;
Ответ:




III. Решить дифференциальные уравнения.
dy y
  x;
dx x
2y
2. y    x 3 ;
x
Ответ: у=сх+х2
1.
1
6
Ответ: y  x 4 
3. у2dx-(2xy+3)dy=0;
Ответ: х  су 2 
4. у'-у=℮х;
5. ху'-2у=х, у(1)=-1;
c
x2
1
у
Ответ: у=(х+с)*℮х
Ответ: у=-х
IV. Решить задачи.
1. Определить численность населения России через 20 лет, считая, что
скорость прироста населения пропорциональна его наличному
количеству, и зная, что население России в 2000 году составляло 145
миллионов человек, а прирост населения за 2000 год был равен 2%.
Ответ: N  145  1 

2 

100 
20
 215 (миллионов человек)
2. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройдённому пути.
Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно,
что за 1 секунду оно проходит 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?
Ответ: 200 метров.
3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4; 1) для которой:
а) отрезок любой касательной к кривой, заключенной между осями
координат, делится точкой касания пополам;
б) отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится
пополам в точке пересечения с осью ординат.
4
х
Ответ: а) у  ; б)
х  2у .
4. Найти выражение объёма реализованной продукции у=у(t) и его
значение при t=2, если известно, что кривая спроса имеет вид Р(у)=3-2у,
норма акселерации
Ответ: у 
1

 1,5 , норма инвестиций β=0,6; у(0)=1.
3  1, 2t
; y (2)  1,43
1  2  1, 2t
V. Решить дифференциальные уравнения.
1
8
1. у'''=℮2х
Ответ: у   2 х  С1 Х 2  С2 Х  С3
2. х(у''+1)+у'=0
Ответ: у  С1  ln x 
3. уу''=(у')2-(у')3, у(0)=1; у'(0)=2
Ответ: у  ln y  x  1
x2
 C2
4
1
2
4. 2у(у')+у''=0, у(0)=0; у'(0)=-3
Ответ: у3-у=3х
VI. Решить дифференциальные уравнения.
3
1
5
4
2
8
1
1
9
 х2  х 
2
2
4
1. у''-4у=3х2+2х+1
Ответ: у  С1 2 х  С 2   2 х  х 2  х 
2. у''+у'-2у=х2+3
Ответ: у  С1 2 х  С 2   2 х
3. у''-5у'=3х+1
Ответ: у=С1+С2℮5х-0,3х2-0,32х
4. у''+4у'=2х-1
Ответ: у  С1 cos 2 x  C 2 sin 2 x  x 
5. у''-4у=℮2х
1
Ответ: у  С1  2 х   С 2  х  2 х
6. у''+у'-2у=℮2х
Ответ: у   С1  х  3 х  С 2   х
7. . у''+4у=sin2x+2cos2x
8. у''+1=cosx
1
2


1
4
4 
1
2 
Ответ: у   С1  х  cos 2 x   C 2  x  sin 2 x

1
4 
1
2 

1
2
Ответ: y  C1  C 2 x  cos x x 2
VII. Решить дифференциальные уравнения.
1. у''+у=ctgx
2. y   2 y   y 
Ответ: y  C1 cos x  C 2 sin x  sin ln tg
x
x
x
2
Ответ: y  C1  C2 X   x  x  x ln x
VIII. Решить системы дифференциальных уравнений.
 x  x  y  z
1.  y   x  y  z
 z   y  2

 x  c1 2t  c 2  t  c3 t   t

Ответ:  y  c 2  t  c3 t  2 t
 z  c  2t  c t  1 t
1
3

dy

 xy

dt
2. 
dz dy
 
 z  xy
 dt dt
x

y  c  2
1
Ответ: 
 z  c 2  x
2
IX. Найти решение разностных уравнений.
1. yn+2-4yn+1+3yn=0
2. yn+2-4yn+1+yn=0
3. yn+2+6yn+1+5yn=0
4. yn+2+4yn+1+6yn=0
5. yn+2+3yn+1-4yn=5*(-4)n
6. 2yn+2-3yn+1 -5yn=2n+3
Разработчик программы: старший преподаватель_Меньшова И.В.