УДК 517. 93:519.46 О ГРУППЕ УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ЧАСТИЦ Низамханов Э. Абдимухаммадиев Г. (студент) Каршинский ГУ, Узбекистан enizomxonov@umail.uz Аннотация: В работе исследуются теоретико-групповые свойства нелинейных уравнений типа Шредингера для системы из двух частиц порядка 2n . Рассмотрим уравнение типа Шредингера для из двух частиц порядка n 1 2 1 2 P0 Px Py U F U 0 2m1 2 m2 P0 i , P0 i , P0 i , a 1,2,3 t xa y a где (1) 2 U U t x0 , x, y , P P12 P22 P32 , m1 , m2 - произвольные ненулевые постоянные, n - произвольное натуральное число. В случае, когда F 0, n 1 уравнение (1) совпадает с обычным линейным уравнением Шредингера. Уравнение (1) при F 0 инвариантно относительно 30-параметрической группы Шредингера, генераторы которой имеют вид: P0 i , PA i , , Pa 3 i , J A, B x A PB x B PA t x A xa 3 y a y a где A, B 1,6 , J a ,b xa Pb xb Pa , J a 3,b3 y a Pb3 yb Pa 3 , a, b 1,3 J a 3,b m2 y a Pb3 m1 yb Pa 3 , где M m1 , m2 , Ga tPa m1 x A , Ga3 tPa3 m2 ya , G tPA Mx A (2) D (n) 2tP0 x A PA 4 n i, A (n) x2 t tP0 x A PA 4 n i M , 2 где по повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование. ТЕОРЕМА: Уравнение (1) инвариантно относительно 30 – параметрической 2n группы Шредингера, если F U U U 4n , где – комплексный параметр. Доказательство проведём методом математической индукции. I. n 1. В этом случае уравнение (1) имеет вид n 1 2 1 2 P0 Pa Pa 3 U F U 0 (3) 2m1 2m2 Чтобы найти, при каких F U уравнение (3) инвариантно относительно алгебры Шредингера, применяем метод Ли [1]. Уравнение (3) запишем для действительной и мнимой части: где U 0k U U 1 iU 2 , F U F 1 U 1 , U 2 iF 2 U 1 , U 2 . 1 1 2 2 U112 U 222 U 332 F 2 U 1 ,U 2 0 U 01 U 112 U 22 U 33 2m1 2 m2 1 1 1 1 1 1 1 1 U 02 U 11 U 22 U 33 U 11 U 22 U 33 F 2 U 1 , U 2 0 2m1 2m2 (4) (5) U k 2U k 2U k k . , k 1, 2, U k , U aa t xa2 xa23 Допускаемый оператор будем искать в виде X x U k (6) Для получения определяющих уравнений необходимо 2-е продолжение оператора (6). 2 X k kj k k x U U U kj (7) где k , kj вычисляются по известным формулам продолжения [1]. Запишем условиу инвариантности (4)-(5) относительно оператора Х: 2 X S1 2 S 0 X S2 01 1 S 0 2 2 1 1 F 2 2 2 2 2 2 F 112 22 33 112 22 33 1 0, 2m1 2m2 U 1 U 2 01 1 1 1 F 1 1 1 1 1 1 1 2 F 11 22 33 11 22 33 1 0 2m1 2m2 U 1 U 2 где m1 1 1 1 U 11 U 22 U 33 2m1 F 1 , m2 m 2 2 2 U 33 1 U112 U 22 U 33 2m1 F 2 . m2 1 1 1 S 1 0 U 11 2m1U 02 U 22 U 33 2 S 2 0 U 112 2m1U 01 U 22 После несложных, но довольно громоздких преобразований, находим систему определяющих уравнений: U 0, A0 0, 00 AA , ba ab 0, a b. k a 3 b 3 1 ab33 0, m1 ba3 m2 ab3 0, m1 0a aU 2 0, 2 m1 0a aU m2 0a 3 a13,U 2 0, 2 0, (8) m2 0a 3 a13,U 1 0, 2 U1 U2 0, 1AU 0, AU 0, U1 U2 , 01U 0, 02U 0. 2 01 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 F F aa a 3,a 3 F 2 U2 2 211 F 1U2 1 1 2 0, 1 2m1 2m1 U U 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 F 2 F aa a 3,a 3 F U 1 21 F U 2 0 2m1 2m1 U 1 U 2 1 0 (9) Используя формулы (2) в случае n 1, из (9) для определения функции F получаем следующую систему уравнений: 2 F 2 1 F U 0, U 1 U 2 2 F 2 2 F 5 F 1 3U 1 3 U 0, U 1 U 2 1 F 1 1 F F 2 U 2 U 0, U 1 U 2 1 F 1 2 F 5 F 1 3U 1 3 U 0 U 1 U 2 F1 U 2 Решая эту систему, находим F U U 1 1 U , 1 2 1 2 2 3 F U U 2 2 U 1 2 2 3 1 2 (10) 2 èëè F U U U 3 , где - комплексное число. II. Предположим, что (1) выполняется при n 1, т.е. F U U U 2 1 4 1 . 2 Докажем, что уравнение (1) выполняется при n , F U U U 4 остаётся инвариантным относительно алгебры Шредингера. И этом случае (2) имеет вид P0 i , PA i , t x A D ( ) 2tP0 x A PA 3i 1i, J A, B x A PB x B PA , G A tPA Mx A , A( ) t tP0 x A PA 3i 1i m1 и на F U получаем следующую систему уравнений: 2 a 2 a 3 x x m1 2 2 2 F 2 1 F U 0, U 1 U 2 2 2 2 1 F 2 F 4 F 4 U 4 U 0, U 1 U 2 1 F 1 1 F F 2 U 2 U 0, U 1 U 2 1 1 1 1 F 2 F 4 F 4 U 4 U 0. U 1 U 2 F1 U 2 2 Из этой системы находим, что F U U U 4 . Теорема доказана. Список литературы 1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. 2. Фущич В.И. Симметрия в уравнениях математических физики. – В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. – Киев: Ин-т математики, 1981. – С. 6 – 23.