ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ – 2014 (муниципальный этап, 17.11.2013) Задача 7-1 Автобус, на котором Виталий ездит в школу, проезжает расстояние 8 км за 23 минуты. Скорость автобуса 40 км/ч. Сколько времени этот автобус тратит на остановки? Решение На движение автобус потратил (8 км) : (40 км/ч) = 0,2 ч = 12 мин. Следовательно, на остановки было потрачено 23 мин. − 12 мин. = 11 мин. Ответ: на остановки автобус тратит 11 минут. Задача 7-2 Школьницы Алиса и Василиса бегут в одну сторону по кругу на спортивной площадке. Каждые 12 минут Алиса обгоняет Василису. Навстречу школьницам бежит пес Рекс, который каждые 3 минуты встречается с Василисой. Через какой промежуток времени происходят встречи Рекса с Алисой? Решение Пусть L – длина круга на стадионе, VА, VВ и VР – скорости Алисы, Василисы и Рекса соответственно. По условию, за время TАВ = 12 мин. Алиса пробегает расстояние, на L большее, чем Василиса. Отсюда (VА − VВ)TАВ = L. Также известно, что за время TВР = 3 мин. Василиса и Рекс пробегают вместе расстояние L, то есть (VР + VВ)TВР = L. Требуется определить, за какое время T Алиса и Рекс вместе пробегают расстояние L; при этом (VР + VА)T = L. Из записанных уравнений L L L T T , откуда T АВ ВР 2,4 мин. находим: TАВ TВР T TАВ TВР Ответ: встречи Рекса с Алисой происходят каждые 2,4 мин. Задача 7-3 Вещество графен представляет собой плоский слой атомов углерода, расположенных в вершинах одинаковых шестиугольников (на рисунке атомы углерода показаны кружками). Площадь одного такого шестиугольника составляет 0,00524 квадратных нанометра. Найдите количество атомов углерода в квадратном образце графена размером 10 нанометров на 10 нанометров. В одном метре миллиард нанометров. Решение Поскольку в каждой вершине сходятся три шестиугольника, можно считать, что в каждом шестиугольнике в одной вершине сосредоточена 1/3 атома. Таким образом, на каждый шестиугольник приходится 2 атома. В исследуемом образце 1010/0,00524 19000 шестиугольников, или 190002 = 38000 атомов. Ответ: в исследуемом образце 38 тысяч атомов. Задача 7-4 Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом 10 литров наполняется за 100 секунд, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом 3 литра наполняется за 24 секунды. Определите, за какое время наполнится водой кастрюля ёмкостью 4,5 литра, если полностью открыть оба крана. Решение Расход воды из горячего крана составляет (10 л)/(100 с) = 0,1 л/с, а из холодного крана (3 л)/(24 с) = 0,125 л/с. Следовательно, общий расход воды равен 0,1 л/с + 0,125 л/с = 0,225 л/с. Поэтому кастрюля емкостью 4,5 л наполнится водой за время (4,5 л)/(0,225 л/с) = 20 с. Ответ: кастрюля наполнится водой за 20 с. Задача 8-1 Школьницы Алиса и Василиса бегут в одну сторону по кругу на спортивной площадке. Каждые 12 минут Алиса обгоняет Василису. Навстречу школьницам бежит пес Рекс, который каждые 3 минуты встречается с Василисой. Через какой промежуток времени происходят встречи Рекса с Алисой? Решение Пусть L – длина круга на стадионе, VА, VВ и VР – скорости Алисы, Василисы и Рекса соответственно. По условию, за время TАВ = 12 мин. Алиса пробегает расстояние, на L большее, чем Василиса. Отсюда (VА − VВ)TАВ = L. Также известно, что за время TВР = 3 мин. Василиса и Рекс пробегают вместе расстояние L, то есть (VР + VВ)TВР = L. Требуется определить, за какое время T Алиса и Рекс вместе пробегают расстояние L; при этом (VР + VА)T = L. Из записанных уравнений L L L T T находим: , откуда T АВ ВР 2,4 мин. TАВ TВР T TАВ TВР Ответ: встречи Рекса с Алисой происходят каждые 2,4 мин. Задача 8-2 Вещество графен представляет собой плоский слой атомов углерода, расположенных в вершинах одинаковых шестиугольников (на рисунке атомы углерода показаны кружками). Площадь одного такого шестиугольника составляет 0,00524 квадратных нанометра. Найдите количество атомов углерода в квадратном образце графена размером 10 нанометров на 10 нанометров. В одном метре миллиард нанометров. Решение Поскольку в каждой вершине сходятся три шестиугольника, можно считать, что в каждом шестиугольнике в одной вершине сосредоточена 1/3 атома. Таким образом, на каждый шестиугольник приходится 2 атома. В исследуемом образце 1010/0,00524 19000 шестиугольников, или 190002 = 38000 атомов. Ответ: в исследуемом образце 38 тысяч атомов. Задача 8-3 Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом 10 литров наполняется за 100 секунд, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом 3 литра наполняется за 24 секунды. Определите, за какое время наполнится водой кастрюля ёмкостью 4,5 литра, если полностью открыть оба крана. Решение Расход воды из горячего крана составляет (10 л)/(100 с) = 0,1 л/с, а из холодного крана (3 л)/(24 с) = 0,125 л/с. Следовательно, общий расход воды равен 0,1 л/с + 0,125 л/с = 0,225 л/с. Поэтому кастрюля емкостью 4,5 л наполнится водой за время (4,5 л)/(0,225 л/с) = 20 с. Ответ: кастрюля наполнится водой за 20 с. Задача 8-4 Школьник Станислав проводит опыт с однородным цилиндром массой M = 1 кг и длиной L = 1 м. Прикрепив при помощи тонких легких нитей к одному концу цилиндра гирю массой M = 1 кг, а к другому – груз массой 3M = 3 кг, Станислав уравновесил цилиндр на пальце. На каком расстоянии от гири должен находиться палец? Решение Пусть x – расстояние от пальца до гири (см. рис.). Запишем правило рычага относительно оси, совпадающей с пальцем: 3Mg(L − x) = Mg(x − L/2) + Mgx. Отсюда x = 0,7L = 0,7 м. Ответ: палец находится на расстоянии 0,7L = 0,7 м от гири. Задача 9-1 Под настольной лампой, находящейся на высоте h = 1 м над поверхностью стола, по столу проложены прямые рельсы (проходящие строго под лампой). По ним со скоростью V = 1 м/с катится маленькая тележка с лежащим на ней горизонтально зеркальцем. С какой скоростью u бежит светлое пятнышко по потолку? Высота потолка над поверхностью стола H = 2 м. Решение Изобразим ход лучей на рисунке. Координата светлого пятна x1 связана с координатой тележки x соотношением подобия x1 : x = (H + h) : h. Принимая в качестве начала отсчета времени момент прохождения тележки под лампой, запишем зависимость координаты x тележки от времени t: в силу равномерности движения эта зависимость H h Vt . Следовательно, скорость пятна имеет вид x = Vt. Отсюда x1 h x H h u 1 V 3 м/с. t h H h Ответ: скорость движения светлого пятнышка по потолку составляет u V 3 м/с. h Задача 9-2 Из танка, двигающегося со скоростью u =15 м/с, в направлении его движения выпускают снаряд. Начальная скорость снаряда относительно Земли направлена под таким углом α к горизонту, что tg α = 0,2. К моменту падения снаряда на Землю танк проехал 1/20 дальности полета снаряда. Определите максимальную высоту h, на которую поднялся снаряд во время полета. Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с2. Решение Направим ось X горизонтально, ось Y вертикально. Движение снаряда вдоль оси X является равномерным. По условию, за одно и то же время снаряд проходит вдоль оси X расстояние, в 20 раз большее, чем танк. Следовательно, скорость снаряда вдоль оси X в 20 раз больше скорости танка и равна Vx = 20u. Поскольку вначале снаряд двигался относительно Земли под углом к горизонту, тангенс которого был равен 0,2, начальная скорость снаряда Vy0 вдоль оси Y выражается через Vx соотношением Vy0 = 0,2Vx и Vy0 = 4u. Движение снаряда вдоль оси Y является равноускоренным с ускорением g, направленным вниз. График зависимости скорости снаряда Vy вдоль оси Y от времени t до момента достижения максимальной высоты изображен на рисунке. Максимальная высота h является площадью под данным графиком: h = (1/2)∙(4u)∙(4u/g) = 8u2/g = 180 м. Тот же результат можно получить, записав кинематические соотношения для движения снаряда вдоль оси Y: g2 h Vy 0 , и V y V y 0 g 0 , 2 где = 4u/g – время подъема снаряда на максимальную высоту. Также можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Ответ: максимальная высота h, на которую поднялся снаряд во время полета, составляет h = 8u2/g = 180 м. Задача 9-3 Школьник Станислав проводит опыт с однородным цилиндром массой M = 1 кг и длиной L = 1 м. Прикрепив при помощи тонких легких нитей к одному концу цилиндра гирю массой M = 1 кг, а к другому – груз массой 3M = 3 кг, Станислав уравновесил цилиндр на пальце. На каком расстоянии от гири должен находиться палец? Решение Пусть x – расстояние от пальца до гири (см. рис.). Запишем правило рычага относительно оси, совпадающей с пальцем: 3Mg(L − x) = Mg(x − L/2) + Mgx. Отсюда следует ответ: палец находится на расстоянии x = 0,7L = 0,7 м от гири. Задача 9-4 Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом V1 = 10 л наполняется за 1 = 100 с, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом V2 = 3 л наполняется за 2 = 24 с. Температура горячей воды t1 = 70 °C, а холодной воды t2 = 20 °C. Определите, за какое время наполнится водой кастрюля ёмкостью V = 4,5 л, если оба крана открыты полностью. Определите температуру t воды, вытекающей из смесителя, если оба крана открыты полностью и тепловое равновесие устанавливается, пока вода находится в смесителе. Решение Расход воды из горячего крана составляет u1 = V1/τ1, а из холодного крана u2 = V2/τ2. Следовательно, общий расход воды равен u1 + u2. Поэтому кастрюля емкостью V наполнится водой V V V12 20 u u V / V / V V 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 за время с. Пусть ρ – плотность воды, c – ее удельная теплоемкость. За время τ0 вытекающая из горячего крана масса воды ρu1τ0 при охлаждении от температуры t1 до температуры t отдает количество теплоты cρu1τ0∙(t1 − t). За это же время вытекающая из холодного крана масса воды ρu2τ0 при нагревании от температуры t2 до температуры t получает количество теплоты cρu2τ0∙(t − t2). Следовательно, cρu1τ0∙(t1 − t)=cρu2τ0∙(t − t2) и u1t1 u2t2 t1 (V1 / 1 ) t2 (V2 / 2 ) t1V12 t2V2 1 t u1 u2 (V1 / 1 ) (V2 / 2 ) V12 V2 1 42 °C. Ответ: кастрюля емкостью V = 4,5 л наполнится водой за время tV t V t 1 1 2 2 2 1 V1 2 V2 1 температура вытекающей из смесителя воды составляет 42 °C. V12 20 V12 V2 1 с; Задача 9-5 В калориметр с водой и льдом погрузили проволоку сопротивлением R = 800 Ом и стали пропускать ток силой I = 1 А. На графике приведена зависимость температуры t в калориметре от времени . Определите начальную массу льда m1 и начальную массу воды в жидком состоянии m2. Удельная теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·°C). Решение Как следует из графика, за время τ1 = 10 мин. = 600 с в калориметре плавится лед, а еще за время τ2 = 3 мин. = 180 с вся вода нагревается от 0 °C до 10 °C, на Δt = 10 °C. На первом этапе получено количество теплоты λm1, на втором этапе – количество теплоты c(m1 + m2)Δt. Поскольку мощность электронагревателя составляет I2R, составим уравнения: I2Rτ1 = λm1 и I2Rτ2 = c(m1 + m2)Δt. Следовательно, m1 = I2Rτ1/λ 1,43 кг и m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1 2 кг. Ответ: начальная масса льда m1 = I2Rτ1/λ 1,43 кг, начальная масса воды 2 m2 = I Rτ2/(cΔt) − m1 2 кг. Задача 10-1 Под настольной лампой, находящейся на высоте h = 1 м над поверхностью стола, по столу проложены прямые рельсы (проходящие строго под лампой). По ним со скоростью V = 1 м/с катится маленькая тележка с лежащим на ней горизонтально зеркальцем. С какой скоростью u бежит светлое пятнышко по потолку? Высота потолка над поверхностью стола H = 2 м. Решение Изобразим ход лучей на рисунке. Координата светлого пятна x1 связана с координатой тележки x соотношением подобия x1 : x = (H + h) : h. Принимая в качестве начала отсчета времени момент прохождения тележки под лампой, запишем зависимость координаты x тележки от времени t: в силу равномерности движения эта зависимость имеет вид x = Vt. H h x1 Vt . Отсюда Следовательно, скорость пятна h x H h u 1 V 3 м/с. t h Ответ: скорость движения светлого пятнышка по потолку H h составляет u V 3 м/с. h Задача 10-2 Из танка, двигающегося со скоростью u =15 м/с, в направлении его движения выпускают снаряд. Начальная скорость снаряда относительно Земли направлена под таким углом α к горизонту, что tg α = 0,2. К моменту падения снаряда на Землю танк проехал 1/20 дальности полета снаряда. Определите максимальную высоту h, на которую поднялся снаряд во время полета. Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с2. Решение Направим ось X горизонтально, ось Y вертикально. Движение снаряда вдоль оси X является равномерным. По условию, за одно и то же время снаряд проходит вдоль оси X расстояние, в 20 раз большее, чем танк. Следовательно, скорость снаряда вдоль оси X в 20 раз больше скорости танка и равна Vx = 20u. Поскольку вначале снаряд двигался относительно Земли под углом к горизонту, тангенс которого был равен 0,2, начальная скорость снаряда Vy0 вдоль оси Y выражается через Vx соотношением Vy0 = 0,2Vx и Vy0 = 4u. Движение снаряда вдоль оси Y является равноускоренным с ускорением g, направленным вниз. График зависимости скорости снаряда Vy вдоль оси Y от времени t до момента достижения максимальной высоты изображен на рисунке. Максимальная высота h является площадью под данным графиком: h = (1/2)∙(4u)∙(4u/g) = 8u2/g = 180 м. Тот же результат можно получить, записав кинематические соотношения для движения снаряда вдоль оси Y: g2 h Vy 0 , и V y V y 0 g 0 , 2 где = 4u/g – время подъема снаряда на максимальную высоту. Также можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Ответ: максимальная высота h, на которую поднялся снаряд во время полета, составляет h = 8u2/g = 180 м. Задача 10-3 Приспособление, позволяющее человеку балансировать над поверхностью водоема, состоит из платформы, к которой снизу подходит шланг. По этому шлангу насос, установленный на плавающей поблизости лодке, может прокачивать воду с максимальной скоростью V = 7 м/с. Вода бьет в платформу вертикально вверх, ударяется о платформу и разлетается горизонтально во все стороны. Внутренний радиус шланга r = 8 см. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Человека какой массой M способно удерживать это приспособление? Массой платформы и шлангов можно пренебречь. Предложите и разъясните способ управления высотой «полета». Решение За промежуток времени τ из шланга вытекает объем воды πr2Vτ. Импульс этого объема, равный ρ∙πr2Vτ∙V, передается платформе. Действующая на платформу с человеком со стороны воды сила равна переданному за единицу времени импульсу, то есть ρ∙πr2V2. Поскольку она уравновешивается силой тяжести, действующей на человека, имеем: ρ∙πr2V2 = Mg и M = ρπr2V2/g 98,5 кг. Чтобы увеличить высоту полета, можно немного увеличить скорость вытекания воды V (платформа будет двигаться вверх), а затем вернуться к исходному значению скорости. Для уменьшения высоты полета надо, наоборот, ненадолго уменьшить скорость вытекания воды. Ответ: приспособление способно удерживать человека с массой M = ρπr2V2/g 98,5 кг; способ управления высотой полета предложен в тексте решения. Задача 10-4 В калориметр с водой и льдом погрузили проволоку сопротивлением R = 800 Ом и стали пропускать ток силой I = 1 А. На графике приведена зависимость температуры t в калориметре от времени . Определите начальную массу льда m1 и начальную массу воды в жидком состоянии m2. Удельная теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·°C). Решение Как следует из графика, за время τ1 = 10 мин. = 600 с в калориметре плавится лед, а еще за время τ2 = 3 мин. = 180 с вся вода нагревается от 0 °C до 10 °C, на Δt = 10 °C. На первом этапе получено количество теплоты λm1, на втором этапе – количество теплоты c(m1 + m2)Δt. Поскольку мощность электронагревателя составляет I2R, составим уравнения: I2Rτ1 = λm1 и I2Rτ2 = c(m1 + m2)Δt. Следовательно, m1 = I2Rτ1/λ 1,43 кг и m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1 2 кг. Ответ: начальная масса льда m1 = I2Rτ1/λ 1,43 кг, начальная масса воды m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1 2 кг. Задача 10-5 Над воздухом проводят процесс, изображенный на рисунке. Участки 12 и 34 представлены на графике горизонтальными прямыми линиями, участок 14 – наклонной прямой линией. На участке 23 температура воздуха постоянна. Объем воздуха в точке 3 совпадает с его объемом в точке 1 и равен V0 = 1 л, а объем в точке 4 совпадает с объемом в точке 2 и равен 3V0. Минимальное давление в процессе p0 = 105 Па. Найдите координаты точки А самопересечения на pVдиаграмме. Решение Поскольку на участке 23 температура постоянна, давление на этом участке обратно пропорционально объему, и произведение давления на объем в любой точке участка равно этому произведению в точке 2. Значит, уравнение процесса 23 имеет вид: pV = p0∙3V0. В частности, в точке 3 (а значит и в точке 4) давление должно быть равно 3p0. Поэтому прямая 14 проходит через точки (p0; V0) и (3p0; 3V0). Ее уравнение p/p0 = V/V0. Обозначая давление и объем в точке A через p = xp0 и V = xV0, из уравнения процесса 23 получим: x2 = 3 и x 3 1,73 . Следовательно, давление в точке самопересечения составляет 1,73∙105 Па, а объем 1,73 л. Ответ: давление в точке самопересечения составляет 1,73∙105 Па, а объем 1,73 л. Задача 11-1 Приспособление, позволяющее человеку балансировать над поверхностью водоема, состоит из платформы, к которой снизу подходит шланг. По этому шлангу насос, установленный на плавающей поблизости лодке, может прокачивать воду с максимальной скоростью V = 7 м/с. Вода бьет в платформу вертикально вверх, ударяется о платформу и разлетается горизонтально во все стороны. Внутренний радиус шланга r = 8 см. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Человека какой массой M способно удерживать это приспособление? Массой платформы и шлангов можно пренебречь. Предложите и разъясните способ управления высотой «полета». Решение За промежуток времени τ из шланга вытекает объем воды πr2Vτ. Импульс этого объема, равный ρ∙πr2Vτ∙V, передается платформе. Действующая на платформу с человеком со стороны воды сила равна переданному за единицу времени импульсу, то есть ρ∙πr2V2. Поскольку она уравновешивается силой тяжести, действующей на человека, имеем: ρ∙πr2V2 = Mg и M = ρπr2V2/g 98,5 кг. Чтобы увеличить высоту полета, можно немного увеличить скорость вытекания воды V (платформа будет двигаться вверх), а затем вернуться к исходному значению скорости. Для уменьшения высоты полета надо, наоборот, ненадолго уменьшить скорость вытекания воды. Ответ: приспособление способно удерживать человека с массой M = ρπr2V2/g 98,5 кг; способ управления высотой полета предложен в тексте решения. Задача 11-2 Над идеальным одноатомным газом проводят процесс, изображенный на рисунке. Участки 12 и 34 – изобары, участок 23 – изотерма, а участок 14 – прямая. Точки 1 и 3, а также 2 и 4 лежат на одной изохоре. Начальный объем газа V0 = 1 л, начальное давление p0 = 105 Па, а максимальный объем за весь процесс равен 3V0. Найдите полученное газом на участке 1-4 количество теплоты, теплоемкость одного моля газа в процессе 1-4, а также координаты точки А самопересечения на pV-диаграмме. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль∙К). Решение Поскольку на участке 23 температура постоянна, давление на этом участке обратно пропорционально объему, и произведение давления на объем в любой точке участка равно этому произведению в точке 2. Значит, уравнение процесса 23 имеет вид: pV = p0∙3V0. В частности, в точке 3 (а значит и в точке 4) давление должно быть равно 3p0. Поэтому прямая 14 проходит через точки (p0; V0) и (3p0; 3V0). Ее уравнение p/p0 = V/V0. Полученное на участке 14 количество теплоты Q идет на и на изменение внутренней энергии U = 1,5∙3p0∙3V0 − 1,5∙p0∙V0 = 12p0V0 совершение работы A, равной площади под графиком 14: A = 2p0∙2V0 = 4p0V0. Следовательно, Q = U + A = (12 + 4)p0V0 = 16p0V0 = 1,6 кДж. Температуры в точках 1 и 4 определяются из соотношений p0V0 = νRT1 и 3p0∙3V0 = νRT4, где ν – количество вещества. Следовательно, изменение температуры в процессе 14 определяется из соотношения 8p0V0 = νR(T4 − T1) и равно T4 − T1 = 8p0V0/(νR). Теплоемкость одного моля газа в процессе 14 составляет C = Q/(T4 − T1) = 2R = 16,6 Дж/(моль∙К). Найдем координаты точки самопересечения. Обозначая давление и объем в точке A через p = xp0 и V = xV0, из уравнения изотермы 23 получим: xp0∙xV0 = p0∙3V0, откуда x2 = 3 и x 3 1,73 . Следовательно, давление в точке самопересечения составляет 1,73∙105 Па, а объем 1,73 л. Ответ: на участке 14 газ получил количество теплоты Q = 16p0V0 = 1,6 кДж, теплоемкость одного моля газа в этом процессе равно 2R = 16,6 Дж/(моль∙К); давление в точке самопересечения A составляет 1,73p0 1,73∙105 Па, а объем 1,73V0 1,73 л. Задача 11-3 В калориметр с водой и льдом погрузили проволоку сопротивлением R = 800 Ом и стали пропускать ток силой I = 1 А. На графике приведена зависимость температуры t в калориметре от времени . Определите начальную массу льда m1 и начальную массу воды в жидком состоянии m2. Удельная теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·°C). Решение Как следует из графика, за время τ1 = 10 мин. = 600 с в калориметре плавится лед, а еще за время τ2 = 3 мин. = 180 с вся вода нагревается от 0 °C до 10 °C, на Δt = 10 °C. На первом этапе получено количество теплоты λm1, на втором этапе – количество теплоты c(m1 + m2)Δt. Поскольку мощность электронагревателя составляет I2R, составим уравнения: I2Rτ1 = λm1 и I2Rτ2 = c(m1 + m2)Δt. Следовательно, m1 = I2Rτ1/λ 1,43 кг и m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1 2 кг. Ответ: начальная масса льда m1 = I2Rτ1/λ 1,43 кг, начальная масса воды 2 m2 = I Rτ2/(cΔt) − m1 2 кг. Задача 11-4 Незаряженный конденсатор заряжается через резистор сопротивлением R от идеального источника постоянного напряжения (которое неизвестно). Максимальная сила тока во время зарядки равна I, а максимальный заряд конденсатора равен Q. Каков будет максимальный заряд конденсатора вдвое большей емкости после зарядки от другого идеального источника с напряжением V через такой же резистор? Решение Пусть U – неизвестное напряжение первого источника. Сила тока в электрической цепи максимальна, когда конденсатор еще не зарядился и напряжение на нем равно нулю, при этом I = U/R. Максимальный (установившийся) заряд на конденсаторе емкости C будет достигнут при нулевом токе в цепи; он будет равен Q = CU. Из полученных соотношений найдем емкость конденсатора: C = Q/(IR). Если заряжать конденсатор вдвое большей емкости 2C от источника напряжением V, установившийся заряд на конденсатор будет равен q = 2CV = 2VQ/(IR). Ответ: максимальный заряд конденсатора вдвое большей емкости будет равен q = 2VQ/(IR). Задача 11-5 В пространстве имеется электрическое поле: в области x > L напряженность поля направлена противоположно оси x и равна по модулю E, в области –L < x < L напряженность поля равна нулю, а в области x < –L она направлена в положительном направлении по оси x и также равна по модулю E. Положительно заряженной частице (заряд +q, масса m), находящейся в начале координат, сообщают начальную скорость v0, направленную вдоль оси x в положительном направлении. Действием силы тяжести на частицу можно пренебречь. Постройте графики зависимости от времени t: а) проекции скорости частицы на ось x; б) координаты частицы x. Как зависит период колебаний частицы T от ее начальной скорости? При какой начальной скорости частицы период колебаний минимален? Чему он равен? Решение Когда частица находится в области −L < x < L, ее движение равномерное; в областях x > L и x < −L частица движется с ускорением, равным по модулю a = qE/m. Графики зависимости проекции скорости vx и координаты x от времени t изображены на рисунке. Период L mv 0 4 L 4v 0 . 4 (негармонических) колебаний частицы равен T v0 a v 0 qE Минимально возможное значение периода можно найти, используя неравенство между T (4L / v0 ) (4v0 / a) 4 L 4v 0 L средним арифметическим и средним геометрическим: , 4 2 2 v0 a a L . В неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим двух a 4 L 4v 0 чисел равенство достигается только тогда, когда эти числа равны: , откуда v0 a то есть T 8 qEL L mL 8 . Период колебаний при этом равен Tmin 8 . a qE m Эти же результаты можно получить, исследуя зависимость T(v 0 ) на наличие экстремума при помощи производной. Ответ: графики изображены на рисунке; период возникающих колебаний равен L mv 0 qEL mL ; его минимальное значение достигается при v0 T 4 и равно Tmin 8 . qE m v 0 qE v0 aL