Экстремум функции - Бузулукский гуманитарно

А
Л.Г. Шабалина
Математика
для студентов экономических
специальностей
(учебно-методическое пособие)
Дом педагогики
Москва
2010
УДК 621.381(075.8)
ББК 32.85я73
Б91
Рецензенты –
Белоновская И. Д., доктор педагогических наук,
профессор
Оренбургский
государственный
университет
Герасименко С.А., кандидат физико- математических
наук, доцент, декан математического факультета
Оренбургского государственного университета
Шабалина, Л.Г.
Ш 91 Математика для студентов экономических специальностей: учебное
пособие / Л.Г. Шабалина. – Москва : Дом педагогики, 2010. – 124 с.
ISBN
Учебное пособие содержит теоретический материал в объеме
справочника,
соответствующий
программе
дисциплины
«Высшая
математика» для экономических специальностей по темам: «Матрицы и
определители», «Системы линейных уравнений», «Аналитическая
геометрия», «Функция», «Пределы и непрерывность», «Производная»,
«Приложение производной». Каждая тема состоит из разделов: справочный
материал, порешённые задания по теме, задания для самостоятельной
работы, тестовые задания для проверки теоретического материала. Пособие
предназначено для самостоятельной работы студентам очной и заочной
форм обучения экономических специальностей.
А
А
А
А
А
А
Аа
А
УДК 621.381(075.8)
ББК 32.85я73
© Шабалина Л.Г., 2010
© Москва, 2010
ISBN 978-5-904823-01-6
2
Содержание
1
2
3
Раздел I
Тема 2
1.1
1.2
1.3
1.4
Тема 3
1.5
1.6
Уравн
1.7
Раздел II
Тема 4
2.1
2.2
Тема 5
2.3
2.4
2.5
Раздел III
Тема 6
3.1
3.2
3.3
3.4
Раздел IV
Раздел V
Раздел VI
Введение
Программа и дидактические основы курса
Общие требования к выполнению и оформлению контрольной
работы
Рекомендации к отдельным темам
Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)
Матрицы и определители
Матрицы и действия над ними
Определители. Обратная матрица
Ранг матрицы
Системы линейных уравнений и методы решения
Аналитическая геометрия
Вектор. Основные свойства. Действия над векторами
Уравнения прямых и кривых на плоскости
Кривые второго порядка
Введение в анализ
Пределы и непрерывность
Теория последовательностей
Предел последовательности
Функции и их графики
10
10
10
10
12
15
16
21
22
25
27
30
31
31
33
33
Функция. Основные понятия. График функции
Предел функции
Непрерывность функции
Дифференциальное исчисление
Производная
Понятие производной
Дифференциал функции и его геометрический смысл
Приложения производной
Исследование функции
Фонд заданий для контрольных работ
Дополнительные задания для самостоятельной работы
Тестовые задания
Контрольные вопросы
Список использованных источников
33
35
39
41
42
42
49
49
51
54
67
73
121
125
3
4
5
7
Введение
Данное пособие состоит из двух частей. Первая часть пособия
представлена темами программного материала в виде двух блоков:
справочный теоретический материал, включающий наиболее важные
определения и теоремы и набором прорешённых примеров по теме.
Вторая часть пособия предназначена для проверки усвоенного
материала: набора практических заданий, для контрольных работ; вопросов,
предлагаемых на экзаменах и зачетах и тестов. Следовательно, данное
пособие будет полезно студентам для самостоятельной работы, в качестве
самоучителя.
Учебно-методическое пособие включает примерный тематический план
курса «Высшая математика», дидактический материал, поэтому может быть
использовано преподавателями для проведения практических занятий у
студентов экономических специальностей.
Содержание пособия базируется на требованиях Государственного
образовательного стандарта для экономических специальностей по темам:
«Матрицы
и
определители»,
«Системы
линейных
уравнений»,
«Аналитическая геометрия», «Функция», «Пределы и непрерывность»,
«Производная», «Приложение производной» и
закономерностях
профессионального образования.
А
ААа
А
А
А
А
А
Аа
А
А
А
А
А
Аа
А
А
Аа
А
а
4
А
А1 Программа и дидактические основы курса
Курс входит в число дисциплин, включенных в учебный план по
решению методической комиссии по специальностям 080105.65 «Финансы
и кредит»,
080107.65 «Налоги и налогообложение», 080109.65
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит». Изучение дисциплины «Математика.
Общий курс» предполагает проведение лекционного курса (таблица, 68
часов) и семинарских занятий (таблица, 68 часов).
Примерный тематический план лекций и семинаров
Таблица
1
2
3
4
5
6
Первый семестр Изучаемые темы
Введение
Раздел I Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
Матрицы и определители
1 Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами
2 Определитель п –ого порядка. Свойства определителей.
3 Обратная матрица. Ранг матрицы.
Системы линейных уравнений
1Основные понятия и определения. Система п линейных уравнений с п
неизвестными. Формулы Крамера и метод обратной матрицы
2 Система т линейных уравнений с п неизвестными. Метод ГауссаЖордано. Исследование СЛУ по теореме Кронекера- Капелли. Системы
линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
Элемента матричного анализа
1 Векторы на плоскости и в пространстве. п –мерный вектор и
векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства.
Переход к новому базису.
2 Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора.
Уравнение линии
1 Линейные и нелинейные операции над векторами. Уравнение линии
на
плоскости. Уравнение прямой. Условия параллельности и
перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.
2 Окружность и эллипс. Гипербола и парабола.
3 Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
Раздел II Введение в анализ
Функция
1 Понятие множества. Окрестность точки. Понятие функции. Основные
свойства функции.
2 Основные элементарные функции. Классификация функций.
Преобразование графиков.
Пределы и непрерывность
1 Предел числовой последовательности. Предел функции в
бесконечности и точке. Бесконечно малые и бесконечно большие
величины.
5
часы
1
6
2
2
2
4
2
2
4
2
2
5
2
2
1
2
1
1
4
2
7
8
9
10
11
2 Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.
Замечательные проценты.
3 Непрерывность функции.
Раздел III Дифференциальное исчисление
Производная
1 Задачи, приводящие к понятию производной. Определение
производной.
Зависимость
между
непрерывностью
и
дифференцируемостью.
Основные
формулы
и
правила
дифференцирования.
2 Производная сложной и обратной функций. Производная степеннопоказательной функции. Производные высших порядков.
Приложение производной
1 Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило
Лопиталя. Возрастание и убывание функций. Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции.
2 Выпуклость функции. Асимптоты графика функции. Приложение
производной к исследованию и построению графика.
Дифференциал функции
1 Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях. Понятие о дифференциалах высших
порядков.
итого
Контроль знаний
Второй семестр Изучаемые темы
Раздел IV Интегральное исчисление и дифференциальные
уравнения
Неопределенный интеграл
1 Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства
неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных
функций.
2 Интегрирование методом замены переменной. Метод интегрирования
по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей.
3
Интегрирование
некоторых
видов
иррациональностей.
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл
1 Понятие определенного интеграла, его геометрический и
экономический
смысл.
Свойства
определенного
интеграла.
Определенный интеграл как функция верхнего предела.
2 Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования
определенных интегралов.
3
Геометрические
приложения
определенного
интеграла.
Несобственные интегралы. Приближенные вычисления определенных
интегралов.
Дифференциальные уравнения
1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Теорема
о
существовании
и
единственности
решения
дифференциальных
уравнений
первого
порядка.
Неполные
дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные
уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
2
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
6
1
1
2
1
1
4
2
2
2
34
экзамен
8
2
3
3
8
2
4
2
8
2
3
3
12
13
14
Раздел V Ряды
Числовые ряды
1 Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак
сходимости. Положительные и знакочередующиеся числовые ряды
Степенные ряды
1 Область сходимости степенного ряда. Ряд Маклорена. Применения
рядов в приближенных вычислениях.
Раздел VI Функция нескольких переменных
Функция нескольких переменных
1 Основные понятия. Предел и непрерывность. Частные производные.
Дифференциал функции.
2 Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции
нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции.
3 Понятие двойного интеграла.
итого
Контроль знаний
2
2
2
2
6
2
2
2
34
экзамен
В соответствии с учебным планом студенты специальностей 080105.65
«Финансы и кредит», 080107.65 «Налоги и налогообложение», 080109.65
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит» очной формы обучения выполняют две
расчетно-графические работы, заочной формы обучения – две контрольные
работы в каждом семестре. Целью выполнения студентами работ по
дисциплине «Математика» является закрепление и расширение полученных
знаний на лекциях и семинарах по данной дисциплине.
Расчетно-графическая и контрольная работа – это самостоятельная
работа, свидетельствующая о знаниях студента в определённой области.
Работа включает в себя задачи по всем темам программы. В процессе ее
выполнения студент закрепляет и одновременно расширяет полученные
знания по данной дисциплине. При выполнении работы студент должен
изучить соответствующие разделы дисциплины по учебникам и пособиям
(список литературы прилагается), лекциям, а также может получить
консультацию у преподавателя.
Критериями оценки работы являются: правильное и полное решение
задач и оформление работы в соответствии с требованиями стандарта.
2 Общие требования к выполнению и оформлению контрольной
работы
Контрольная работа последовательно состоит:
- титульный лист (распечатанный на компьютере, образец прилагается);
- содержание (с указанием страниц);
- основная часть, включающая условия и решения задач;
- список использованных источников (не менее 5 источников)
Работа выполняется на основании стандарта ГОУ ОГУ «Общие
требования и правила оформления выпускных квалификационных работ,
7
курсовых работ, отчетов по РГР, по УИРС, по производственной практике,
контрольных работ и рефератов» (СТП 101-00). Контрольная работа должна
быть выполнена печатным способом или написана от руки, но обязательно
читаемая, на листах формата А - 4. Печать или рукописное решение
осуществляется только на одной стороне листа Обязательно указать номер
варианта. Решения задач сопровождаются развернутыми пояснениями.
Чертежи выполнены аккуратно в прямоугольной системе координат
карандашом, в соответствии с условием задачи. Порядок выполнения задач
должно соответствовать предложенной нумерации.
Не допускается замена задач контрольного задания другим. Небрежно
оформленная работа или нечитаемая, содержащая отклонения от
предъявляемых требований, возвращается студенту для доработки.
После получения прорецензированной работы, студент исправляет
все ошибки, если они имеются. Повторную контрольную работу надо сдать
вместе с не зачтенной работой на новую проверку.
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который
соответствует первой букве его фамилии.
1 вариант - А, Л, Х;
6 вариант – Е, Р, Э;
2 вариант – Б, М, Ц;
7 вариант – Ж, С, Ю;
3 вариант – В, Н, Ч;
8 вариант – З, Т, Я;
4 вариант – Г, О, Ш;
9 вариант – И, У;
5 вариант – Д, П, Щ;
10 вариант – К, Ф.
Аа
А
А
а
а
А
А
Аа
А
А
8
Образец оформления титульного листа(14шрифт)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Бузулукский гуманитарно-технологический институт
(филиал) государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»
Факультет экономики и права
Кафедра физики, информатики, математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине "МАТЕМАТИКА"
Вариант № 1
Руководитель работы
___________(Ф.И.О. преподавателя)
"_____"_________________2010г.
Выполнил студент 101 группы
_____________ Иванов И.П.
"______"_________________2010г.
Бузулук 2010
9
3 Рекомендации к отдельным темам
Тема 1 Введение. Роль математики в экономике
Предмет и методы математики. Исторические сведения о развитии
математики. Роль математики в современных науках.
Раздел I Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)
Тема 2 Линейная алгебра
Цель изучения – познакомить с основными понятиями матрицы и
применением аппарата матриц для решения систем линейных уравнений и
решения задач.
Данная тема включает в себя: основные сведения о матрицах, операции
над матрицами; определители и их свойства; обратная матрица; ранг
матрицы; система линейных уравнений и способы её решения.
Изучив тему, студент должен:
Знать: определения основных понятий, свойства всех операций с
матрицами, свойства определителя п – ого порядка, правила вычисления
обратной матрицы.
Уметь: решать задачи, связанные с матрицами, находить определитель
п – ого порядка, приобрести навыки применения матриц для решения задач,
решать системы линейных уравнений по формулам Крамера, методом
обратной матрицы и методом Гаусса.
1.1 Матрицы и действия над ними
Определение Таблица из mn чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется
матрицей и обозначается
 a11

 a21
А   a31


a
 m1
a12
a22
a32

am 2
a13
a23
a33

am 3





a1n 

a2 n 
, где aij - элементы матрицы (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
a3n 


amn 
Коротко матрицу обозначают так: A = (aij).
Определение Количество строк и столбцов матрицы называют размером матрицы
mn и обозначают Аmn , в квадратной матрице размер называют порядком: матрица А пого порядка.
Определение Матрицу, состоящую из элементов одного столбца, называют
столбцовой матрицей. Матрицу, состоящую из элементов одной строки, называют
строчной:
 x1 


 x ;
X  2 
  
x 
 m
Y   y1
y2
 ym .
Определение Если в матрице количество строк m равняется количеству столбцов n,
т.е. m = n, то матрица называется квадратной
a12  . В противном случае матрица называется прямоугольной, т.е. m ≠ n.
a

A   11
a
 21
a22 
10
Определение Матрица А* или АТ называется транспонированной по отношению к
матрице А, если столбцы матрицы А являются соответственными строками матрицы А*,
т.е. если поменять местами элементы строк на соответственные элементы столбцов
 a11

A   a21
a
 31
a12 

a22  ,
a32 
тогда AТ   a11 a21 a31  .
a

 21 a22 a32 
Свойства транспонирования:
( АТ) Т=А, (а * А) Т = а * АТ, (АТ + ВТ) = АТ + ВТ, (АВ) Т = ВТАТ.
Определение Две матрицы А и В считаются равными, если они имеют одинаковое
количество столбцов и строк и их элементы aij и bij равны между собой, тогда записывают
А = В, если A = (ai j), (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n); B = (bi j), (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
Определение Элементы имеющие порядковые номера а11, а22, а33, …, апп, , т.е.
номер строки равен номеру столбца, образуют главную диагональ матрицы. Вторую
диагональ матрицы называют побочной.
Определение Если элементы главной диагонали квадратной матрицы отличны от
нуля, а остальные равны нулю, то матрица называется диагональной.
Определение Если элементы главной диагонали диагональной матрицы равны
единице, то такую матрицу называют единичной и обозначают Е
1 0 0


E   0 1 0 .
0 0 1


Определение
нулевой.
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется
Сложение матриц
Определение Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица C=(cij), у
которой элементом cij является сумма соответствующих элементов aij и bij матриц А и В.
Складывать можно матрицы только одного размера
Пример A   a11 a12  ; B   b11 b12  ; A  B  C   a11  b11 a12  b12  .
a

b
 21 a22 
 21
 1 2 3  2 4 1   3 6 4  .
 2 4 5    3 0 5    5 4 10 

 
 

b22 
a  b
 21 21
a22  b22 
Законы сложения матриц:
1. Коммутативный или переместительный закон А + В = В + А
2.Ассоциативный или сочетательный: (А+В) + С = А + (В + С)
3 сложение с нулевой матрицей: А + 0 = А.
4А-А=0
Умножение матрицы на число
Определение Произведением матрицы А= (ai j) на число λ называется матрица В=(
bij) того же размера, что и матрица А, причем bij= λ* aij,  i, j. Следовательно, чтобы
умножить матрицу на число , нужно умножить на это число каждый элемент матрицы
a
A   11
 a21
a12  ;
 a
   A   11
a22 
 a21
 2 0
a12  .

a22 
10
0
; 5 A  
 .
Пример A  
1
5
5
25




Законы умножения матрицы на число:
1.
λ*(μ*А) = (λ*μ)*А Пример:
4 0 
1
1

25 * ( A)  (25 * ) * А  
5
5
 2 10 
2.
(λ+μ)*А = λ* А +μ*А
3.
λ*(А+В) = λ* А + λ* В
4 1*А=А
5. -1*А = - А, матрица (–А) называется противоположной.
11
Разность матриц
А – В = А + (-В) = А + (-1)*В
 1 2 3  2 4 1   1  2 2 
  
  

 2 4 5  3 0 5  1 4 0 
Пример 
Умножение матриц
Определение Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
С = А*В, элементы которой составляются следующим образом:
a12   b11 b12   a11b11  a12b21 a11b12  a12b22  , размер матрицы А
a
n*m *Bm*k =



C  A  B   11
a
 

 21 a22   b21 b22 
a b  a b

 21 11 22 21 a21b12  a22b22 
Cn*k
При умножении матриц А*В необходимо, чтобы
1 количество столбцов матрицы А равнялось количеству строк матрицы В;
2 каждый элемент строки матрицы А умножить на соответственный элемент каждого
столбца матрицы В и полученные произведения сложить;
3 полученный результат сложения поставить в соответственную строку и столбец.
Т.е. элемент произведения матриц, находящийся на пересечении i-й строки и k-го
столбца, является суммой произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы
k-го столбца второй матрицы.
Примеры
 1 2
  2 1  1  2  0  2 2  2  1 1  0  2  4 5
 2 1 0 
   2 1   
  
 .
A  B  
 3 1 1  2 2  3 1  11  1 2 3  2  11  1 2   7 9


 3  1  1 1  0 2 
 1 1  3  1  2 1 .
  
  
; B  A  
  
  

A  B  
  1 2   3 1  5 1 
 3 1   1 2   8 1
Законы умножения матриц:
1. Произведение матриц не подчиняется коммутативному закону: А*В≠В*А т.е.
существует умножение справа и слева.
2. Ассоциативный А*(В*С) = (А*В)*С
3. Распределительный (А+В)*С = А*С + В*С закон или дистрибутивный.
4. Основное свойство единичной матрицы А*Е = Е*А = А
 2 1  1 0   2 1
 1 0   2 1  2 1 .
  
  
; E  A  
  
  

A  E  
 5 1  0 1   5 1
 0 1   5 1  5 1
5.
 * ( A * B)  ( * A) * B
Возведение матрицы в степень
Определение При возведении квадратной матрицы А в п – ую степень, необходимо
матрицу А умножить саму на себя п – раз:
Законы:
1 Ап * Ат =Ап+т
2. А0 = Е
1.2 Определители. Обратная матрица
Определение Число, поставленное в соответствие для каждой квадратной матрицы
по определенному правилу или закону называют определителем матрицы. Квадратная
матрица называется не вырожденной, если определитель ее не равен нулю. Если
определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной:
12
2 3
 2 3
; det(A)  A  A  
A  
 2  6  4  3  0. Матрица А - вырожденная.
4 6
 4 6
1. Определитель первого порядка матрицы А, равен самому элементу матицы, т.е.
A = а11 = а11
А =  5 = -5
2. Определитель второго порядка
a12 
a
a12
a

B   11
B  B  11
 a11a22  a12 a21. , т.е. равен разности
a21 a22
 a21 a22 
произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной
диагонали.
Пример
2 3
 2 3
= 2*0 - 1*3 = - 3
;  A 
A  
1 0
 1 0
3. Определитель матрицы третьего порядка.
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23  Определитель третьего порядка вычисляется по правилу
a

 31 a32 a33 
треугольника или по правилу Сарруса.
Правило треугольника:
det A  a11a22 a33  a13a21a32  a12 a23a31  a13a22 a31  a12 a21a33.  à32 à23à11
 a11 a12

A   a21 a22
a
 31 a32
     
a13 

a23  det A        
     
a33 
1 2 0
  A   3 2 1  1 * 2 * 2  3 *1 * 0  2 *1 * 0  0 * 2 * 0  1 *1 *1  3 * 2 * 2  9  0
0 1 2
Правило Сарруса:
à11
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23  , А  à 21
a

à31
 31 a32 a33 
à12
à13 à11 à12
à 22
à32
à 23 à 21 à 22
à33 à31 à32
Свойства определителей п-ого порядка
1. Определитель матрицы А и АТ равны.
2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на
противоположный.
3. Определитель, имеющий два равных или пропорциональных столбца или строки,
равен нулю.
4. Общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак
определителя.
5. Если элементы какого-либо столбца или какой-либо строки представляют собой
сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих
определителей.
6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам строки или
столбца матрицы соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженных на
одно и тоже число.
7. Определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку или нулевой столбец.
8. Если элементы строки или столбца умножить на одно и то же число, то и
определитель умножиться на это число.
13
9. Если матрицы А и В квадратные, то А * В  А * В .
Е 1
10.
Определитель п – ого порядка можно вычислить приведя матрицу к ступенчатому
виду и тогда определитель равен произведению элементов главной диагонали.
Пример
1 2 0 * (3) 
1
2
0
1
2
0
1 2 0
  A   3 2 1    0  4 1   0 1 2 * 4    0 1 2  (1 * 1 * 9)  9
0 1 2
0 1 2
0  4 1  
0 0 9
Определение Пусть задана матрица А n - го порядка. Вычеркнем в ней i-ую строку
и k-й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель
полученной матрицы (n-1)-го порядка называется минором элемента a i k i-ой строки и kго столбца. Обозначим его M
Определение
ik
Пусть А - матрица n-го порядка. Минор M
ik
, взятый со знаком
( 1)i  k , называется алгебраическим дополнением элемента a i k . Обозначается A i k .
Теорема Лапласа (разложение определителя по элементам строки или столбца)
Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какойнибудь фиксированной строки или фиксированного столбца на их алгебраические
дополнения, т.е. A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain .
Определение Если А - квадратная матрица , то обратной для нее является матрица
-1
А , удовлетворяющая условию А*А-1 = Е, либо А-1*А = Е (матрица А должна быть
невырожденной).
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23 
a

 31 a32 a33 
Если
и
a11 a12
 A  a21 a22
a31 a32
a13
a23  0 , то обратная ей матрица
a33
находится по формуле
A 1
 A11

 
A
  12

A
 13
 
A21

A22

A23

A31 

 
A32  ,
 
A33 

 
где
A11 , A12 , ..алгебраические дополнения определителя
матрицы А
Пример Найти обратную матрицу для
1 2 0
   A  3 2 1  9  0 .
0 1 2
A11   1
11

2 1
3;
1 2
1 2 0


A  3 2 1 .
 0 1 2


Определитель этой матрицы
Вычисляем алгебраические дополнения:
A21   12 1 
2 0
 4;
1 2
A31   13 1 
2 0
 2;
2 1
A12   11 2 
3 1
 6 ;
0 2
A22   12  2 
1 0
2;
0 2
A32   13  2 
1 0
 1 ;
3 1
A13   11 3 
3 2
 3;
0 1
A23   12  3 
1 2
 1;
0 1
A33   13  3 
1 2
 4 .
3 2
14
A 1
 A11

 
A
  12

A
 13
 
A31    3
 
   9
A32   6

   9

 3
A33
 
   9
A21

A22

A23

4
9
2

9
1
9
2  1
  
9  3
1   2

9   3
4   1
 
9   3
4
9
2

9
1
9
2
 
9
1 
.
9 
4 

9 
Второй способ нахождения обратной матрицы – это присоединение единичной
матрицы справа от матрицы А и затем с помощью элементарных преобразований
переводим единичную матрицу влево, а то что получим справа будет обратная матрица.
1 2 0 1 0 0


 3 2 1 0 1 0
0 1 2 0 0 1


 1 0 0 1

3
 0 1 0 2
9

 0 0 1 1
3

4
9
2
9
1
9
2 
9
1 
9 
4 
9 
Свойства обратной матрицы:
( А-1)-1=А, ( А-1)Т = ( АТ)-1, (АВ)-1 = В-1А-1, ( А-1)т = ( Ат)-1, А 1 
1
.
А
1.3 Ранг матрицы
Определение
Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора,
составленного из элементов матрицы А, отличный от нуля. Ранг матрицы не превосходит
меньшего из ее размеров, т.е. r(A) ≤ min(m,n). Ранг матрицы равен нулю, тогда и только
тогда, когда матрица нулевая. Для квадратной матрицы n – ого порядка r(A) = n тогда и
только тогда, когда матрица А невырожденная. Обозначается r (A), r , Rg.
 3 1 7  1
 . Наивысший порядок не нулевого минора для матрицы А
Пример A 
24 4
3 0 3 

равен 2. M 
3 1
94 5 0
4 3
r (A)= 2
1 2

0 1
Пример Определить ранг матрицы A  
0 0

0 1

6 3

7 4  . Единственным минором 4-го
0 0

0 0 
порядка матрицы является
1
0
0
2
1
0
6 3
7 4
 0, по свойству определителей, а один из миноров 3-го порядка отличен от
0 0
0 1 0 0
1
2
нуля, например, 0 1
6
7  7  0,
следовательно, ранг данной матрицы равен 3, r(A)=3.
0 1 0
Элементарные преобразования, не изменяющие ранг матрицы
1. Замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками.
2. Перестановка строк матрицы.
3. Вычеркивание строки, если все элементы в ней равны нулю.
4. Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля.
5. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой
строки.
15
Пример
Вычислить
5
1 3
3
 1   

2
2
2
A1   2 4
3
 1  3    


 5 6 1
3
5    



1
A3   0

0

3
2
1
0
5
2
2
33

2
3
2
2
27
2

 1
 1
7 

2
ранг
матрицы
 2 3 5  3  2 / 2


A   2 4 3 1  3  
 5 6 1 3
5 

5
1 3
3
 1

2
2
2
A2  0
1
2
2
 1 * 3 / 2 


21
0  3
 27
10   
2
2
2




 ранг матрицы равен 3.
 3  2 2
 , т.к. любой минор 2-ого
Пример Ранг матрицы А равен 1, если А = 
0 0 0
порядка равен нулю и минор 1-ого порядка, не равный нулю, например 3 =3.
0 2
0 2
 , r(В)=2, т.к. минор 2-ого порядка не равный нулю
Для матрицы В = 
= -6.
3 0
3 0
В матрице А обозначим строки следующим образом:
е1= а11 а12 а13 … а1п
е2=а21а22 а23 … а2п
…………………………….
ет =ат1 ат2 … атп
Определение Строка е называется линейной комбинацией строк е1 е2…еs матрицы,
если она равна сумме произведений этих строк на произвольное действительное число:
е =λ1 е1+ λ2 е2+…+ λs еs , где λ1, λ2,… λs –произвольные числа
Определение Строки матрицы е1 е2…еs называются линейно зависимыми, если
существуют такие числа λ1, λ2,… λs, не равные одновременно нулю, что линейная
комбинация строк матрицы равна нулевой строке λ1 е1+ λ2 е2+…+ λs еs=0. Если λ1 е1+ λ2
е2+…+ λs еs=0 только при λ1= λ2=… = λs=0, то строки матрицы называются линейно
независимыми.
Теорема Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк
Теорема Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
 2 1 5 6   2 1 5 6

 

Пример  1 1 3 5  ~  0 3 1 4  , т.е. ранг матрицы равен 2.
 1  5 1  3  0 0 0 0 

 

1.4 Системы линейных уравнений
 а11

Рассмотрим матрицу А   ...
а
 п1
 х1 
 
а12 ... а1п 

х 
....... ...  , матрицу столбец Х =  2  и матрицу
...
 
а п 2 ... а пп 
х 
 п
 b1 
 
 b1 
В =   . Составим уравнение вида А*Х = В, т.е.
...
 
b 
 n
16
 à11õ1  à12 õ2  ...  à1ï õï  b1
 a x  a x  ...  a x  b
22 2
2n n
2
 21 1
Система вида  a31x1  a32 x2  ...  a3n xn  b3 называется системой m линейных
 .............................................

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
уравнений с п неизвестными , где аij - коэффициенты системы, bi , i =1,2,… m - свободные
члены системы, х1, х2, …,хп – неизвестные переменные системы.
Совокупность чисел k1 = x1, k2 = x2, …, kn = xn называют решение системы линейных
уравнений, если при подстановки их в систему каждое уравнение обращается в тождество.
Решение системы, из которого можно найти все решения системы, называют общим
решением.
Система n линейных уравнений с m неизвестными, называется неоднородной, если
хотя бы один из свободных членов bi ≠ 0, i = 1,2,… m. Если все bi=0, то система однородная.
Система называется совместной, если система имеет хотя бы одно решение. В
противном случае система называется несовместной. Система называется определенной,
если имеет единственной решение. В противном случае система называется
неопределенной. Однородная система линейных уравнений всегда совместна и имеет
нулевое или тривиальное решение.
 а11 а12 ...а1п b1 


 а 21 а 22 ....а 2 п b2 
Матрица (А/В) = 
называется расширенной матрицей.
................... ... 


 а а ....а b 
пп n 
 п1 2 п
Матричная запись и матричное решение систем линейных
уравнений
Пример Решить матричным способом систему уравнений
 х1  х 2  х3  5

2 х1  х 2  х3  6
х  х  2х  4
2
3
 1
1 1 1


Пусть: А=  2 1 1  , Х =
1 1 2


 х1 
 
 х2  , В =
х 
 3
5
 
6 .
 4
 
Тогда A  X = C - матричное уравнение
А-1*(А*X) = А-1*C
(А-1 *А) *X = А-1 *C
А-1 А = Е
Е*X = А-1 *C
X = А -1 *C
Найдем обратную матрицу А -1, А = 5, т.е. обратная матрица существует
А11= (-1)1+1*
А12= (-1)1+2*
А13= (-1)1+3*
1 1
1 2
= 1,
2 1
= -3,
1 2
2 1
1 1
= 1,
А21= (-1)2+1*
А22= (-1)2+2*
А23= (-1)2+3*
1 1
= 3,
1 2
1 1
1 2
= 1,
1 1
1
17
1
= -2,
А31= (-1)3+1*
А32= (-1)3+2*
А33= (-1)3+3*
1 1
1
1 1
2 1
1
= -2,
=1,
1 1
= 3.
2 1
3  2
 1

1 
А = * 3 1
1
5 

 1 2 3 
 15   3 
 1* 5  3 * 6  2 * 4 
 1    
1 
X=
*   3 * 5  1 * 6  1 * 4  = *   5  =   1
5 
 5  5  1
   
 1* 5  2 * 6  3 * 4 
-1
 х1   3 
   
 х 2  =   1 Ответ: х1 = 3, х2 = -1, х3 = 1.
х   1 
 3  
Решение системы по формулам Крамера
Пример Решить систему уравнений по формулам Крамера
 х1  х 2  х3  5

2 х1  х 2  х3  6
х  х  2х  4
2
3
 1
1 1 1


А=  2 1 1  , Х =
1 1 2


5 1 1
1= 6
 х1 
 
 х2  , В =
х 
 3
 =5
1 1 5
1 5 1
 2 = 2 6 1 = -5,
1 4 2
3= 2
1 = 15,
4
2
15
5
5
х1 =
= 3, х2 =
= -1, х3 = = 1. Ответ: (3, -1, 1).
5
5
5
1
1
5
 
6 ,
 4
 
1
1
1
6 =5
4
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных
 х1  2 х 2  3х3  2

Пример: решить систему уравнений: 2 х1  3х 2  4 х3  5
 2 х  5 х  х  2
2
3
 1
Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:
1  2 3

2  3  4
2  5 1

1  2
3

~  0 1  10
0 0
1

2  * (2)

 5   
 2   
~
1  2
3

 0 1  10
0 1  5

2 

 9  , выполним обратный ход:
1 
2 

 9

 6 
1  2
3

~  0 1  10
 0 0  15

2 

9 
 15 
из третьей строки матрицы составим
уравнение х3 = 1, значение х3 подставим во второе уравнение (вторая строка) х2 -10х3 = - 9
х2 = 1, аналогично из первого (первая строка): х1 - 2х2 + 3х3 = 2, х1 =1
Ответ (1;1;1).
Метод Жордано – Гаусса
Продолжим преобразования над матрицей предыдущего примера:
1  2
 1  2 0  1  1 0 0 1
3
2 



 

1  ~  0 1 0 1 , тогда за чертой стоит
 0 1  10  9  ~  0 1 0
0 0
0 0 1
1
1 
1   0 0 1 1


решение системы соответственно.
18
Теорема Кронекера – Капели: Для того чтобы система линейных уравнений была
совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу ее
расширенной матрицы А/В: r (A) = r(А/B) = z.
В этом случае число z называют рангом системы. В противном случае система
несовместна.
1. Если ранг совместной системы r = n (п - количество неизвестных), то система
имеет единственное решение, т.е система определена.
2. Если ранг совместной системы меньше количества неизвестных n (r < n) , то
система имеет множество решений, т.е. система неопределенна. Количество (n - r)
неизвестных назовем базисными неизвестными системы.
Остальные неизвестные
системы назовем свободными.
 õ1  õ2  3õ3  1
2 õ  õ  2 õ  1

3
Пример Исследовать систему  1 2
, составим матрицы
õ

õ

õ

1
1
2
3

 õ1  2 õ2  3õ3  1
1

2
A
1

1

1  3

1  2
1 1 

2  3 
,
1

2
B
1

1

1
1
1
2
 3  1

2 1 
1 3 

 3 1 
и найдем их ранги r(A) = 3; r(B) = 4. Система решений не имеет.
 1 2 3 14 
 õ1  2 õ2  3 õ3  14
1 2 3 




3 õ  2 õ  õ  10
3
2
1
10
3
2
1




1
2
3




À 1 1 1 Â 1 1 1 6
Пример  õ1  õ2  õ3  6




 2 õ  3õ  õ  5
 2 3 1 5 
 2 3  1
1
2
3



1 1 0 
 õ1  õ2
3


1 1 0 3 
Убеждаемся, что r(A) = r(B) = 3 = n, т.е. равно количеству неизвестных. Следовательно,
1 1 1
система имеет единственное решение. Выделим базисный минор 2 3  1  0 . Элементы
1 1 0
минора являются коэффициентами 3-го, 4-го и 5-го уравнений системы примера. Решаем
систему
из
трех
уравнений
любым
способом.
Из
первого
вычитаем
 õ1  õ2  õ3  6

третье 2 õ1  3õ2  õ3  5 Методом Гаусса находим х3 = 3. И далее находим х1 = 1; х2 = 2.
õ  õ
3
 1 2
1 5 4 3 1
 õ1  5 õ2  4 õ3  3õ4  1
1 5 4 3 





Пример  2 õ1  3õ2  2 õ3  õ4  0 À   2  1 2  1 Â   2  1 2  1 0 
5 3 8 1 1
 5 õ  3õ  8 õ  õ  1
5 3 8 1 
2
3
4
 1




r(А) = r(B) = 2, т.е. r < n, система имеет множество решений.
19
Выделим базисный минор матрицы А
1 5
 0 для решения выберем два уравнения
2 1
 õ1  5 õ2  4 õ3  3õ4  1
За базисные неизвестные выберем х1 и х2, и так как

 2 õ1  õ2  2 õ3  õ4  0
коэффициенты при х1 и х2 являются элементами базисного минора, то х3 и х4 будут
 õ  5 õ2  4 õ3  3õ4  1
свободными неизвестными:  1
Для того чтобы найти решение
 2 õ1  õ2  2 õ3  õ4
системы, дадим произвольные значения свободным неизвестным, например x3 = n; x4 = v:
 õ1  5 õ2  4ï  3v  1
и
по
правилу
Крамера
находим
решение
системы

 2 õ1  õ2  2ï  v
6
8
1

x


n

v

1

11
11 11

x   6 n  7 v  2
Взяв произвольные значения n, v получим частное решение
 2
11
11
11

x3  n


x4  v
1 2
системы: (- , , 0, 0)
11 11
Общее решение однородной системы имеет вид: Х = α1Е1 + α2Е2+…+ α n-r Е n-r , где
α1, α2, …, αn-r некоторые произвольные постоянные. Базисные решения Е1, Е2, …Еn-r
получены из общего решения, если независимым переменным придавать поочередно
значение 1, полагая остальные равными нулю. Если задана неоднородная система, то ее
общее решение может быть получено как сумма общего решения соответствующей
однородной системы и произвольного частного решения неоднородной системы.
 х1  х2  2 х3  х4  0

 х3  х 4  0
Пример:  х1  х2
 х  3х  4 х  х  0
2
3
4
 1
1  1 2  1  1  1 2  1  1  1 2  1

 
 
  2  2 4  2
 ~
1 1  1  1 ~  0 2  3 0  ~  0 2  3 0  ~ 
0 2  3 0 

1 3  4  1  0 4  6 0   0
0
0
 

 
 2 0 1  2
 Т.к. r (А) = 2, n = 4, то независимых (свободных) переменных
~ 
0 2  3 0 
2 0
 0, тогда возьмем за базисные переменные х1 и х2.
будет n – r = 4-2 = 2.
0 2
2 õ1
Составим систему: 


 х1


через основные:  х 2
х
 3
 х 4
1
  х3
2
3
 х3
2
2 õ2
 х4
 õ1
 3õ3
 2 õ4
0
, выразим базисные переменные
0

 х1


-пусть х3 = n, х4 = v, тогда  х 2
х
 3
 х 4
20
1
  n v
2
3
 n
-общее
2
n
v
решение. Т.к. r (А) = 2, n = 4, то независимых (свободных) переменных будет n – r = 4-2
= 2, т.е. фундаментальная система будет состоять из двух векторов.
Е1
Е2
х1
-(1/2)
1
х2
3/2
0
х3
1
0
х4
0
1
  (1 / 2) 
1


 
 3/ 2 
0
Таким образом Е1 = 
, Е2 =   - фундаментальная система решений.

1
0


 
 0 
1


 
Тема 3 Аналитическая геометрия
1 Векторная алгебра
Цель изучения – познакомить с основными понятиями векторной
алгебры и применением аппарата векторной алгебры для решения
геометрических задач.
Данная тема включает в себя: понятия свободный вектор, равенство,
коллинеарность, компланарность векторов; линейные и нелинейные
операции с векторами; базис в пространстве, координаты вектора в базисе,
ортонормированный базис, декартова прямоугольная система координат;
Изучив тему, студент должен:
Знать: определения основных понятий, свойства всех операций с
векторами, выражение всех операций с векторами в координатной форме,
условия необходимые и достаточные для: коллинеарности двух векторов,
перпендикулярности (ортогональности) двух векторов, компланарности трех
векторов.
Уметь: решать задачи, связанные с линейными и нелинейными
операциями с векторами, приобрести навыки применения аппарата
векторной алгебры для решения задач.
2 Геометрия на плоскости и в пространстве
Цель изучения – Понять возможность представления геометрических
образов в форме соответствующих линейным и квадратным уравнениям в
прямоугольной системе координат; познакомиться с полярной системой
координат; понять возможность представления поверхностей и линий в
форме уравнений и систем уравнений.
Данная тема включает понятия: линия соответствующая уравнению
F(х, у) = 0 в прямоугольной системе координат, линия соответствующая
уравнению F(r, φ) = 0 в полярной системе координат; виды уравнения
прямой в прямоугольной системе координат; поверхность соответствующая
уравнению F(х, у, z) = 0 в прямоугольной системе координат, геометрический
обзор, соответствующий системе уравнений; соответствие линейного
уравнения и плоскости; нормаль вектор плоскости, нормальное уравнение
плоскости; поверхности второго порядка соответствующие уравнениям
второго порядка в пространственной прямоугольной системе координат.
Изучив тему, студент должен:
Знать: основные виды уравнения прямой (с угловым коэффициентом, в
отрезках, нормальное, каноническое и параметрическое, общего вида) в
21
прямоугольной системе координат, геометрический смысл коэффициентов
этих уравнений, способ определения угла между прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности прямых, канонические уравнения и
геометрические свойства окружности, эллипса, гиперболы, параболы,
изменения вида уравнения линии при параллельном переносе
прямоугольной декартовой системы координат, основные два способа
задания плоскости в пространстве и вид уравнения плоскости в каждом
случае, особенность нормального уравнения плоскости и его применения для
вычисления расстояния от точки до плоскости, способ определения угла
между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
Уметь: решать геометрические задачи, связанные с прямой и кривыми
второго порядка, с прямой и плоскостью в пространстве. Приобрести навыки
определения формы линии, заданной уравнением в прямоугольной и
полярной системах координат.
1.5 Вектор. Основные свойства. Действия над векторами
Вектор
Определение Упорядоченную совокупность х = {х1,х2,...хn} n вещественных чисел
называют n-мерным вектором, а числа xi ( i = 1, ï ) - компонентами, или координатами,
вектора ( АВ с начальной точкой А и конечной точкой В).
Символом r  ОМ обозначается радиус-вектор точки М, О – начало системы
координат.
Для вычисления координат вектора необходимо из координат конца вычесть
соответствующую координату начала вектора.
| АВ | =| а | - длиной вектора называется число, равное | АВ | =| а | = х 2  у 2 или
| АВ | = = | а | = х 2  у 2  z 2
Длина вектора удовлетворяет следующим условиям:
1.
x  0 , если x  0  x  0
2.
x    x
3.
x; y  
4.
x  y  x  y - неравенство треугольника
x  y - неравенство Коши-Буня
Определение Единичным называется вектор, длина которого равна единице.
Нулевым называют вектор начало, которого совпадает с концом вектора.
Определение Вектора наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости
или в параллельных плоскостях.
Пример Лежат ли точки А(2,4,1), В(3,7,5), С(4,10,9) на одной прямой?
Если точки А,В,С лежат на одной прямой, то векторы AB, AC, BC коллинеарные, т.е.
их координаты пропорциональны. Найдем координаты векторов: AB =(1,3,4), AС =(2,6,8),
BC =(1,3,4). Т.к. координаты векторов пропорциональны, точки А,В,С лежат на одной
прямой.
1 Линейные операции над векторами
22
Определение Суммой двух векторов а и b
называется вектор соединяющий начало 1-го и конец
второго вектора, при условии, что начало вектора b
совпадает с концом вектора а (правило треугольника). Или
вектор с
является диагональю параллелограмма,
построенного на векторах а и b , и имеет общее начало с
векторами а и b .
Определение Разностью векторов а и b называется вектор с , который, будучи
сложенным с вектором b даст вектор а , при построении необходимо привести вектора к
общему началу и разность это вторая диагональ параллелограмма, начало вектора с
совпадает с концом вектора b , конец с концом вектора а .
Определение Произведением вектора а на число  наз. такой вектор b , который
обладает следующими свойствами: а) а || b , б)  > 0, то а  b ,  < 0, то а  b , в)  > 1,
то а < b , 0 <  < 1, то а > b .
ДПСК – возьмем в качестве базиса (т.е. некомпланарные) тройку взаимно
ортогональных единичных векторов i, j , k (назовем их ортами, а базис –
ортонормированным) с общим началом О и назовем его декартовым прямоугольным
базисом. Тогда оси ОХ, OY, OZ, совпадающие с i, j , k образуют ДПСК в пространстве
(ОХ – ось абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат).
Любой вектор можно разложить по векторам базиса а = ах i +ау j +аz k и притом
единственным образом.
Действия над векторами в координатах
а = х1i + y1j + z1k; b = х2 i + y2j + z 2k
* а =*(х1i+y1j+z1k) = *(х1)i+ (y1)j+(z1)k
а  b = ( x1  x2) i + (y1  y2) j + (z1  z2) k
2 Нелинейные операции над векторами
Скалярное произведение 2-х векторов
Определение Скалярным произведением 2-х векторов а и b называется число,
равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.
( а и b )- скалярное произведение: а b =| а |*| b |*cos.
а b = x1x2+y1y2+z1z2 –скалярное произведение в координатах
Свойства скалярного произведения:
1 а 2 =| а |*| а | * cos0 = а а =| а |2 = x2 + y2 + z2 – скалярный квадрат
a 
x 2  y2  z2
cos  
ab
a*b

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
x12  y12  z12 * x22  y 22  z 22
2 а b = 0, <=> а  b , x1x2+y1y2+z1z2=0
3 а || b - коллинеарны, если x1/x2=y1/y2=z1/z2
4 а b=- b а
5 ( а + b ) + с = а +( b + с )
6 ( а ) b = ( а b )
Векторное произведение векторов
23
Определение Векторным произведением 2-х векторов а и b наз. такой вектор с ,
который удовлетворяет условиям:
1. | с |=| а |*| b |*sin (т.е. площадь параллелограмма, построенного на этих векторах)
2. с  а и с  b ( т.е. проходит через общее начало векторов а и b и
перпендикулярно им).
3. тройка а и b и с -правая (глядя с конца вектора с , угол поворота от вектора а к
вектору b должен быть против часовой стрелки).
i
a  b  ax
j
ay
k
az
bx
by
bz
Свойства векторного произведения:
a  b  b  a 
 a  b    a  b  a   b 
a b  ( a  b)  0
a  b c  a  c  b  c
а  а = 0 – векторный квадрат вектора а
Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанное произведение векторов а и b и с это произведение вида ( а  b )* с .
Смешанное произведение трех векторов a  a1 i  a2 j  a3 k , b  b1 i  b2 j  b3 k и
c  c1 i  c2 j  c3 k называется число, определяемое равенством
ax
a b c  bx
cx
ay
by
cy
az
bz
cz
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по
абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных
векторах.
Пример Даны два вектора а (11,10,2) и b (4,0,3). Найдите единичный вектор с ,
ортогональный векторам а и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка
векторов а , b , с была правой.
Обозначим
координаты
вектора
относительно
данного
правого
с
ортонормированного базиса через x, y, z. Поскольку с  а , с  b , то с а = 0, с b = 0.
По условию задачи требуется, чтобы | с | = 1 и а b с > 0.
11х  10 у  2 z  0

0
Имеем систему уравнений для нахождения x, y, z:  4 x  3 y
x 2  y 2  z 2  0

4
5
Из первого и второго уравнений системы получим z =  *x, y =  *x. Подставляя
3
6
y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125,
Откуда x = 
6
. Используя условие а b с > 0, получим неравенство
5 5
24
С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x >
0, откуда следует, что x > 0. Итак, x = 6 , y = - 1 , z = - 8 .
5 5
5 5
5
Деление отрезка в данном отношении
у
М2
М
М1
х
Пусть М1(х1;у1) и М2(х2; у2), М(х;у)  М1М2 и делит его в данном отношении
М 1М

ММ 2
хМ =
х1  х2
у  у 2
, уМ = 1
.
1 
1 
1.6 Уравнения прямых и кривых на плоскости
Прямая линия на плоскости
Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой, где А и В - координаты нормального
вектора, одновременно не равные нулю.
х
у
+
=1 - уравнение прямой в отрезках, где а и b отрезки, отсекаемые прямой
а
b
соответственно на осях ОХ и OY.
y = kx+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Если k = 0, то y  b - прямая || оси ОХ, если b = 0, то y  0 - ось ОХ.
По аналогии х  а - прямая || оси OY, если, а = 0, то х  0 - ось OY.
y  y1  k ( x  x1 ) - уравнение прямой проходящей через данную точку в данном
направлении, где ( x1 , y1 ) - координаты данной точки, k - угловой коэффициент прямой.
Исключение составляет прямая проходящая под углом  = /2.
Если k - произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых
проходящих через М1 (х1; у1), кроме прямой || оси OY, т.е. это прямая проходящая под
углом  = /2 к оси ОХ.
y  y1
x  x1
- уравнение прямой, проходящей через две точки

у 2  у1 х2  х1
х  х0
у  у0 z  z 0
- каноническое уравнение прямой, причем координаты


l
m
n
вектора S (l , m, n) могут быть равны нулю, но не одновременно.
 x  x0  lt

 y  y 0  mt - параметрические уравнения прямой.
 z  z  nt
0

Пример
Найти
уравнение
общей
хорды
двух
окружностей:
2
2
2
x + y = 10 и x + y - 10x -10y + 30 = 0.
Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:
2
25


 õ2  (4  õ) 2  10
õ2  ó 2  10
õ2  ó 2  10
 2


2
ó 4 õ
 õ  ó  10 õ  10 ó  30  0 10  10 õ  10 ó  30  0 
Решая первое уравнение, находим значения x1 = 3, x2 = 1. Из второго уравнения соответствующие значения y: y1 = 1, y2 = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная
две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или
y+ x - 4 = 0.
Угол между прямыми на плоскости
(1) y = k1x+b1, k1= tg1
tg 2  tg1
k k
= 2 1 , где  - угол
1  tg1tg 2 1  k1 k 2
поворота от первой прямой ко второй происходит против часовой стрелки.
(2) y = k2x+b2, k2 = tg2  tg = tg(2-1) =
Условие параллельности и перпендикулярности прямых
1) (1) || (2), tg = 0  k1 = k2 или A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.
A1 x + B1 y + C1= 0
(1)
A2 x + B2 y + C2 = 0
(2)
1
или A1*A2 + B1*B2 = 0.
k2
Пример При каком значении параметра t прямые, уравнения которых 3tx-8y+1 = 0 и
(1+t)x-2ty = 0, параллельны ?
Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y
пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t: t1 = 2,
t2 = -2/3.
2) (1)  (2)  k1= 
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Расстояние d от точки Mо(xо, yо) до прямой A x + B y + C= 0 есть длина
перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой:
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
Уравнение плоскости
Ax  By  Cz  D  0 - общее уравнение плоскости, где N  A i  B j  C k нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
x  x1
y  y1 z  z1
M 1 x1 ; y1 ; z1 , M 2 x2 ; y2 ; z 2  u M 3 x3 ; y3 ; z3  , имеет вид x2  x1 y2  y1 z 2  z1  0 .
x3  x1 y3  y1 z3  z1
Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями
A1 x  B1 y  C1 z  D  0 u A2 x  B2 y  C2 z  D  0 находится по формуле
A1 A2  B1 B2  C1C 2
cos  
.
A12  B12  C12  A22  B22  C 22
Расстояние от точки до плоскости
M0 (x0;y0;z0) и пл.  : Ax  By  Cz  D  0
d
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
26
Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько
частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других неравенство F(x, y)>0.
Иными словами, линия F(x, y) = 0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части
плоскости, где F(x, y)<0
Пусть прямая, уравнение которой Ax+By+C = 0, разбивает плоскость на две
полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем
Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого
берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой
Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же
знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка.
Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.
Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.
1.7 Кривые линии 2-го порядка
Кривые 2-го порядка описываются с помощью общего уравнения:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, где
A  0

B  0
C  0

1. r2 = (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы. x2+y2+z2 = r2- уравнение сферы с
центром точке (0,0).
2. r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение окружности, если а=b=0, то x2+y2 = r2
х2 у2
3.

 1 -каноническое уравнение эллипса. Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз.
а2 b2
фокусами эллипса.
Если a = b, то x2+у2=a2 - уравнение окружности.
Отношение c/a = < 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Пример Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение
которого x2/a2 + y2/b2 = 1.
Пусть М (с, с) - вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона
квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты
удовлетворяют уравнению эллипса c2/a2 + c2/b2 = 1, откуда c = ab/
; значит,
сторона квадрата 2ab/
.
Уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx. Если р > 0, то ветви
параболы вправо, если р < 0, то ветви – влево.
2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy. Если р > 0, то ветви
параболы вверх, если р < 0, то ветви – вниз.
Парабола, уравнение которой y 2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2.
Парабола, уравнение которой x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2.
Уравнение гиперболы
x2 y 2

1
a 2 b2
b
у   x - асимптоты гиперболы.
a
Пример Выяснить являются ли вектора а1 = (2, -3, 1), а2 = (3, -1, 5), а3 = (1, -5, -3)
линейно зависимы.
27
Составим векторное равенство: λ1а1 + λ2а2 + λ3а3 = 0 и запишем координаты как
 2 
 1 
3
 
 
 
вектор – столбец: λ1   3  + λ2   1 + λ3   5  = 0, умножим по правилу умножения
 1 
  3
5
 
 
 
матриц, получим систему, которую решим методом Гаусса:
3
1   1
5  3
3 
 2
1 5
 1 5  3

 





А
=
  3  1  5 ~   3  1  5 ~
 0 14  14  ~
 0 1  1 ~
 1
0  7 7 
0 1 1 
5  3   2
3
1 





 1 5  3

  1 5  3
 , т.е r(А) = 2 < 3, т.е. система линейно зависима или пусть λ1 =  0 1  1  ~ 
0
1

1


0 0 0 


2с, λ2 = с,
λ3 = с, где с произвольное число. Тогда равенство λ1а1 + λ2а2 + λ3а3 = 0
выполняется не только при λ1 = λ2 = λ3 = 0, но например, при с =1.
Пример Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения стороны АВ и ВС и их угловые
коэффициенты; 3) внутренний угол В и радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение
медианы АЕ 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение прямой, проходящей через
точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пресечения с высотой СD.
А(-1;2), В(5;1), С(-4;-5)
1.
Расстояние между точками вычисляется: |АВ|= (5  1) 2  (1  2) 2  45  3 5
2.
Уравнение прямой проходящей через две точки плоскости имеет вид:
у  у1
х  х1

у 2  у1 х2  х1
Подставляя координаты точек А и В имеем уравнение стороны АВ:
у2
х 1
у  2 х 1


,
1 2 5 1
3
6
2у - 4 = -х-1; х+2у-3=0;
Угловой коэффициент k для прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к
виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kх+b.
1
3
1
У нас 2у = -х+3, у = - х  , откуда k  
2
2
2
Аналогично получим уравнение прямой ВС и ее угловой коэффициент
у 1
х5
4

; - 4х- 9у - 29 = 0 , k =
 5 1  4  5
9
3.
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся
формулой
4 1

k ВС  k АВ
9
2  17  1,2143
tgB =
tgB =
В  0,88 рад.
4 1 14
1  k АВ k ВС
1 
9 2
4. Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая
лежит на середине отрезка ВС:
х  хс 5  (4) 1
у  ус (1)  (5)



3
хе в
уе в
2
2
2
2
2
Теперь, подставив координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы
у2
х 1
у  2 х 1 3

;

;
( у  2)  5( х  1) ; 10х + 3у + 4=0- уравнение прямой АЕ
1
3
52
5
2
1
2
2
5. Для составления уравнения высоты СD воспользуемся уравнением прямой, проходящей
через заданную точку М0(хо, уо) с заданным угловым коэффициентом и, которое имеет
28
вид
у - у 0 =k(х- х0), и условием перпендикулярности прямых АВ и СD, которое
выражается соотношением k АВ k CD = - 1, откуда k CD =2, а вместо х0, у 0 координаты
точки С, получим уравнение высоты СD:
у + 5 = 2(х + 4); у + 5 = 2х + 8, 2х - у + 3 = 0 (СD).
6.
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния
d от заданной точки М 0 ( х0 ; у 0 ) до заданной прямой с уравнением Ах + Ву+С=0, которая
имеет вид
d=
Ах  Ву  С
А В
2
2
 CD 
 4  2(5)  3
1 2
2
2

17
5
1
Подставив
2
в уравнение (4) вместо х0 , у 0 координаты точки Е, вместо k значение k =½ получаем уравнение прямой ЕF: у+3=-½(х-½)
2х+4у+11=0 (ЕF)
Для отыскивания координат точки М решаем систему уравнений составленную из
уравнений прямых ЕF и CD.
2х+4у+11=0
2х-у+3=0
т.е. х = -23/10; у = -8/5. Точка М ( -23/10;-8/5 ).
Пример Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в
параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.
Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y2 = 2рx, вершина ее
совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так
1
как прямая AB образует с осью Ox угол в 30o, то уравнение прямой имеет вид: y =
x.
3
большим количеством графиков. Следовательно, мы можем найти координаты точки B,
 у 2  2 рх

1 , получим x = 6р, y = 2 3 р. Значит, расстояние
решая систему уравнений 
у
х

3

7.
Так как искомая прямая ЕF параллельна прямой АВ, то k EF  k AB  
между точками A(0,0) и B(6р,2 3 р) равно 4 3
Пример Пусть А(0; 0; 1), В (2; 3; 5), С(6; 2; 3),D(3;7; 2).
Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:
1) записать векторы АВ, АС,AD в системе орт i,j,k. Найти модули этих векторов;
2) найти угол между векторами АВ, АС;
3) найти площадь грани АВС;
4) найти объем пирамиды АВСD;
6) составить уравнение ребра АС;
7)
составить уравнение грани АВС.
1. Известно, что произвольный вектор а представляется в системе орт формуле
а = ах,i+ ау,j+ аг k , где ах, ау, аг — координаты вектора а в системе координат,
порожденной ортами.
Если заданы точки (М 1 (х 1 у 1 z 1 ), М2(х2, у 2 , z2), то для вектора а = М 1 М2
ах= х2 -х 1 ау=у2 -у 1
аг= z2 -z 1 то есть М 1 М 2 = (х2 -х 1 )i + ( у2 -у 1 ) j+( z2 -z 1 )k (2)
АВ =((2-0);(3-0);(5-1))
АС = ((6 —0);(2—0);(3—1))
| АВ |= 2 2  32  4 2  29
AD = ((3—0); (7—0);(2— 1))
| AD |= 32  7 2  12  59
2. Известна формула Cosα =
| АС |=  2 11
а *b
а*b
,где ( а и b )- скалярное произведение векторов а и b ,
которое можно вычислить следующим образом: ( а b ) = а х bх  а у b у  а z bz
29
AB * AC
2 * 6  3* 2  4 * 2
13


 0,7279, т.е.  430
AB * AC
2 29 * 11
319
формулой нахождения площади треугольника, построенного на
S = (½)| а * b |, где а * b - векторное произведение векторов, которое
У нас cos   сos( AB , AC )=
3. Воспользуемся
векторах а и b
i
можно вычислить по правилу: ( а * b ) = a x
bx
j
ay
by
В нашем примере SАВС = (1/2 )| АВ * АС |, причем
k
az
bz
i j k
АВ * АС = 2 3 4 = 2(-i+10 j-7k)
6 2 2
1
SABC = * 2 (1) 2  10 2  (7) 2  150  5 6 (кв.ед.)
2
4. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах а , b , с можно
найти по формуле
ах а у аz
1
V= а * b * c
( а b с) = bx b y bz
У нас V=(1/6) | ( АВ * АС )* AD | , где
6
cx c y cz
2 3 4
( АВ * АС )* AD = 6 2 2 = 2(2-14) -3(6-6) + 4(42-6) = 120
3 7 1
V = (1/6)*120 = 20(куб.ед.)
5.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А (х 1 , у1 , z1 ),
х  х1
у  у1
z  z1
В(х 2 , у2 , z 2 ), С( х 3 , у3 , z 3 ) можно записать виде x2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0
x3  x1
Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим
х  0 у  0 z 1
y3  y1
z 3  z1
2  0 3  0 5  1 = 0, т.е. -2х+20у-14z+14 = 0; х-10у + 7z-7 = 0.
6  0 2  0 3 1
Пример Решить неравенство x2-4x+y2+6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x2)2 + (y+3)2 - 25 > 0.
Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и
радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю.
Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную
точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя
координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25.
Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x2-4x+y2+6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для
окружности области.
Раздел II Введение в анализ
Цель изучения – Понять определения предела функции и
последовательности в точке и в бесконечности; изучить первый и второй
замечательные пределы, показать связь между пределом функции и
непрерывностью функции.
30
1 Числовые последовательности
В этой теме осваиваются понятия: числовой последовательности, ее
предела; свойства последовательностей и числа е, как предела
последовательности {(1+1/п) п }.
Изучив эту тему, студент должен
Знать:
числовые
последовательности,
классификация
последовательностей (ограниченная и неограниченная, сходящаяся и
расходящаяся, конечная и бесконечная, постоянная) и операции над ними;
бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, основные
свойства бесконечно малых последовательностей; основные свойства
сходящейся последовательности; последовательность {(1+1/п) п }, число е.
Уметь: определять тип числовой последовательности, находить предел
числовой последовательности.
2 Понятие функции. Элементарные функции. Предел функции
Данная тема включает в себя: общее понятие функции, способы
задания функции; основные элементарные функции, графики и
преобразования графиков; арифметические операции над функциями,
имеющими предел; бесконечно малые и бесконечно большие функции и их
сравнение.
Изучив данную тему студент должен
Знать:
способы задания функции, примеры; графики основных
элементарных функций; критерий Коши для существования предела
функции; бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение.
Уметь: преобразовывать графики функций (сдвиги, растяжения,
симметрические преобразования относительно осей координат). Вычислять
пределы функций. Выводить сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций.
3 Непрерывность функции
Цель изучения данной темы: освоение понятия непрерывности функции,
классификация точек разрыва.
Данная тема включает в себя: непрерывность функции в точке и в
области; свойства непрерывных функций, понятие обратной функции, ее
непрерывность; сложные функции, монотонные функции; точки разрыва
функции и их классификация.
Изучив данную тему, студент должен
Знать: определение непрерывности функции в точке и в области,
свойства непрерывных функций; классификацию точек разрыва функции;
Уметь: доказывать непрерывность элементарных функций; проводить
классификацию точек разрыва.
Тема 4 Пределы и непрерывность
2.1 Теория последовательностей
Определение Пусть каждому натуральному числу п ( т.е. п =1,2,3,…) по некоторому
закону поставлено в соответствие единственное действительное число хп. В этом случае
31
говорят, что задана последовательность: х1, х2 , … хп., … и обозначается х п  , т.е. это
множество нумерованных вещественных чисел.
Определение Последовательность, все члены которой равны одному и тому же
числу, называется постоянной. Например, 3, 3, 3, ……3, …- постоянная
последовательность.
Определение Последовательность х п  называется неубывающей, если для любого п
выполняется неравенство хп ≤ хп.+1
Определение Последовательность х п  называется
ограниченной сверху
(ограниченной снизу), если существует такое число М (число т), что все члены
последовательности меньше ( х п  М ) (соответственно больше х п  т) ) чем М (чем т). А
также просто ограничено, если ограничено и сверху и снизу.
Определение Неограниченной называется последовательность х п  , если для
любого положительного числа А найдется элемент хп последовательности
хп ,
удовлетворяющий неравенству хп  А .
Действия над последовательностями
Суммой (разностью) двух произвольных последовательностей х п  и у п  называется
последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих
членов последовательностей х п  и у п , т.е. х п   у п  = х п  у п 
Произведением (частным) двух произвольных последовательностей х п  и у п 
называется последовательность, каждый член которой есть произведение (частное)
соответствующих членов последовательностей х п  и у п , т.е. х п  * у п  = х п * у п ( т.е.
хп  / у п  = хп / уп  у п  0 , для любых п).
Определение Последовательность х п  называется бесконечно малой (б.м.) õï    îáîçíà÷åíè å, если для любого сколь угодно малого положительного числа 
можно подобрать такой номер n0, что начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ n0), все
элементы х п будут удовлетворять неравенству хп <  .
Последовательность  п  называется бесконечно большой (б.б.), если для любого сколь
угодно большого положительного числа  можно подобрать такой номер N, что начиная с
этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство  п >  .
Теоремы о бесконечно малых последовательностях
1 Если àï   è bn   , òî an  bn  
 п
и  п - бесконечно малые   п   п  - б. м. последовательность
2 Если ап   , то она ограничена, т.е. ап   т
3 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую
последовательность, есть бесконечно малая последовательность.
 п  - б. м. последовательность, хп  - ограниченная п.   п * хп - б. м. А частное
может быть последовательностью любого типа, даже не иметь смысла.
4 Если àï   è àï  const  c  c  0
32
5 Если последовательность
хп является
б.б., начиная с некоторого номера п
1
определена последовательность   которая является б.м. Если все члены б.м.
 хп 
1
последовательности а п   0 , то последовательность   - б.б..
 ап 
6  п и  п - б. м. последовательности   п *  п  - б. м. последовательность
7 Пусть lim  n  0 è lim  n   , следовательно
 п - б.б.
n 
n 
 п  - б.м. последовательность, а
последовательность
Пусть lim xn  a, lim y n   òîãäà
n 
n
lim
n 
xn
0
yn
Пусть lim xn  a, lim y n  0, ï , óï  0, òîãäà
n
n
lim
n
xn
 
yn
2.2 Предел последовательности
3 2 5 4  (1) п 
,... 0; ; ; ; ;...1 
2 3 4 5 
п 
немонотонная, ограниченная. Можно заметить, что если расположить члены данной
последовательности на числовой прямой, то элементы с четными порядковыми номерами
с ростом п приближаются к единице с права, а снечетными порядковыми номерами –
слева. При этом ап  1 становиться все меньше и меньше.
Рассмотрим числовую
последовательность
вида
Определение Число А называется пределом последовательности а п , если для
любого сколь угодно малого положительного числа  можно подобрать такой номер N
(зависящий от  , N= N(  )) , что, начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет
выполнено неравенство хп  А <  .
Геометрически: найдется такая  -окрестность точки А, что начиная с некоторого номера
все члены последовательности будут принадлежать этой окрестности, причем этих членов
будет бесчисленное множество, а за пределами окрестности ограниченное число членов.
Последовательность, имеющая предел lim x n  A , называется сходящейся, в противном
n 
случае расходящейся.
Арифметические операции над последовательностями, имеющими пределы
lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n  y n )  a  b
n 
n 
n 
lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n * y n )  a * b
n 
n 
n 
lim xn  a  lim
n 
lim x n  a è
n 
lim x n  a,
n 
n 
k
xn  a è (lim xn ) k  a k
k
n 
õï  0  à  0
lim y n  b,
n 
xn  y n  a  b
33
Тема 5 Функции и их графики
2.3 Функция. Основные понятия. График функции
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.
Например: Отношение длины окружности к диаметру есть число постоянной равное π.
Если величина принимает одно и то же значение, но в рамках только одного
процесса, то она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые
значения. Например: S= 6t, 6 – параметр, t – переменная.
Определение: Если каждому элементу х из множества Х по определенному правилу
ставиться в соответствие единственный элемент у из множества Y, то говорят, что на
множестве Х задана функция у = f(x).
Переменная величина х, принимающая различные значения, называется независимой
переменной или аргументом, а у - зависимой переменной.
Все значения, которые принимает переменная х называют областью определения.
Пример: Область определения ó  õ 2  10  õ есть значения х  (;10, если же х
– это время, то х  0;10 .
Способы задания функции:
1 Табличный:
х
1
2
3
4
у
3
6
9
12
2 графический;
3 словесный или описательный: функция Дирихле f(x)=1, если х – рационально и
f(x)=0, если х- иррационально.
4 аналитический (y = kx + b).
Свойства функций
Функция у = f(x) называется четной, если область определения симметрична
относительно начала координат и для любых х из области определения выполняется
условие f(-x)= f(x)
Функция у = f(x) называется нечетной, если область определения симметрична
относительно начала координат и для любых х из области определения выполняется
условие f(-x) = - f(x)
Функция у = f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке
Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее
(меньшее)
значение
функции,
т.е.
если
õ1  õ2 , òî f ( x1 )  f ( x2 ) (если х1  х2 , то f ( x1 )  f ( x2 ) .)
Функция у = f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое
положительное число М > 0, что f ( x)  Ì для любого х  Х.Например: у=sinx,
органичена, т.к. sin x  1, äëÿ x  R
Если для любого х из области определения f(x+Т) = f(x) , где Т  0, то функция
называется периодической.
Классификация функций
Элементарные функции:
1. у = с постоянная
2. степенная:
а) y = xn – n  N , если п нечетное и четное.
б) y = x -n – n  N ,
в) у  п х – n  N , п  1 ,
3. y = ax – показательная, а  1, а  0 рассматривают два случая 0  а  1 и а  1
4. y = logax – логарифмическая, а  1, а  0 рассматривают два случая
0  а 1 и
а 1
34
5. y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx - тригонометрические.
6. обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x,
y = arcctg x.
Пусть функция у = f(и) есть функция от переменной и, определенной на множестве
U, а переменная и является функцией от х: и =h(x), определенной на множестве Х, тогда
у = f(h(x))- называется сложной функцией или композицией функций.
Если каждое значение аргумента х и соответствующее ему значение функции у
удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F(x,y) = 0, то говорят, что эта
функция задана неявно, т.е. правая часть формулы не содержит переменных.
Например: х3 + у2 - 6 = 0
Пусть функция у = f(x)- есть функция независимой переменной х, определенной на
промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому значению
y  Y единственное значение x  X , т.е. х   ( у ) которую назовем обратной функцией для
функции у = f(x). Для любой строго монотонной функции существует обратная функция.
Графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой у = х
Преобразование графиков функций
Пусть функция у = f(x)- есть основная функция, тогда
1)
у = f(x)+b происходит движение основной функции по оси OY на b единиц.
2)
у = f(x+а) происходит движение основной функции по оси OХ на а единиц.
3)
у = f(kx): а) если k  1 - сжатие вдоль оси ОХ;
б) если 0  k  1 - растяжение вдоль оси ОХ
в) если k  0 -выполняется симметрия относительно оси OY
4)
у = k f(x): а) если k  1 - растяжение вдоль оси OY
б) если 0  k  1 - сжатие вдоль оси OY;
в) если k  0 -выполняется симметрия относительно оси OX
y
yтах=b
y2
y1
tg
x2
x1
xmax
2.4 Предел функции
Определение Число А называется пределом функции f(x) при х  , если для любого
сколь угодно малого на перед заданного числа  > 0, найдется такое число S > 0
(зависящее от , S = S()), что для всех х таких, что |x| < S, выполняется неравенство |f(x)A| < 
Предел функции в точке
Определение Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0,
кроме может быть самой точки х0, т.е. х  х0, но х  х0. Число А называется пределом
функции f(x) при х  х0, если для любого сколь угодно малого на перед заданного числа 
> 0, найдется такое число (дельта)  >0 (зависящее от ,  = ()), что для всех х таких, что
|x- х0| <  и х  х0, выполняется неравенство |f(x)-A| < .
35
Обозначение: lim
x  x0 (  )
f ( x)  А
5x  1
5
x 
x
5x  1
1
 5   или
  выполняется при
Для   0 
x
x
Пример: Доказать, что lim
x 
1
, т.е.   0 S 

что для всех х, таких, что |x| < S будет выполняться неравенство |f(x)-5| < .
1

 0,
Определения односторонних пределов
Число А называется пределом функции f(x) справа в точке х0 (или правосторонним
пределом), если для любой последовательности х п  , сходящейся к х0 и такой, что все ее
члены
больше,
чем
х0,
соответствующая
последовательность
значений
функции  f ( хп ) сходится к числу А.
Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого ε < 0
существует число σ = σ(ε) > 0 такое, что при х  (x0-σ;x0), выполняется неравенство
|f(x)-A1| < ε , т.е. lim f ( x)  A1 .
x  x0  0
Если пределы справа и слева существуют и равны, то можно говорить о пределе функции
в точке х0.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция α(х) называется бесконечно малой величиной при х  х0 , если для любого сколь
угодно малого на перед заданного числа  > 0, найдется такое число (дельта)  >0
(зависящее от ,  = ()), что для всех х  х0 и таких, что |x- х0| <  выполняется
неравенство | α(х) | < .
lim  ( x)  0
x  x0 (  )
Следствие: Из этого определения и определения предела следует, что f(x) и предел
отличаются друг от друга на бесконечно малую величину, т.е. если lim f ( x)  l и α(х)=
x c
f(х)-l, то lim  ( x)  0
x с
Функция f(х) называется бесконечно большой величиной при х  х0 , если для любого
сколь угодно большого на перед заданного числа М > 0, найдется такое число (дельта) 
>0 (зависящее от М,  = (М)), что для всех х  х0 и таких, что |x- х0| <  выполняется
неравенство | f(х) | > М.
lim f ( x)  
x  x0 (  )
Теорема Если функция
Связь между б.м. и б.б. величинами
 (х ) есть величина бесконечно малая величина при
х  х0
или х   , то функция f(x) =
х  х0
или х   . И если функция f(x) бесконечно большая при х  х0 или х   , то
функция  (х ) =
1
 ( х)
является бесконечно большой при
1
есть бесконечно малая при х  х0
f ( х)
или х   .
Связь между б.м. и пределом функции
Теорема: Если функция f(x) при х  х0 или х   имеет предел, равный А, то ее можно
представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой  (х ) при
х  х0
или х   : f(x) = А+  (х )
Важнейшие свойства б.м.
1)
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой
точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
36
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций
есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение и частное бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию
ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.
Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции  (х ) и  (х) называются бесконечно
малыми одного порядка, если lim  ( x)  с . Если lim  ( x)  0 , то  (х ) б.м. более
x  х  ( х)
x  х  ( х)
высокого порядка, чем  (х) И lim  ( x)   если  (х ) б.м. более низкого порядка, чем
x х  ( х)
 (х) Если lim  ( x)  А , то  (х ) и  (х) называют эквивалентными.
x  х  ( х)
0
0
0
0
Пример  ( х ) 
 ( x)
5х
5
1
3
 lim 2 
,  ( х)  2 , тогда lim
2
x  х0  ( х)
х  х0 3 х
х
5х
3
2
Замечание
Предел отношения б. малых (или б. больших) не измениться, если каждую из них
заменить эквивалентной ей функцией:
 ( х) эквивалентна f1 ( x)
f ( x)
 ( x)
lim
 lim 1
, если
x  х0  ( х)
x  x0 f ( x )
 ( x) эквивалентна f 2 ( x)
2
Некоторые эквивалентности, которые удобно использовать при вычислении пределов:
sinx x, tgx x, ln(1+x) x, ex-1 x, 1- cosx x2/2, arcsinx x, arctgx x, shx x, при
х
.
Важнейшие свойства б. б.
1 Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от
нуля, есть величина бесконечно большая.
2 Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина
бесконечно большая.
3 Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть
величина бесконечно большая.
Арифметические операции над функциями, имеющими пределы
Теорема
Пусть функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки х0 и
lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x)  q( x))  a  b Предел суммы (разности) равен
х  x0
х  x0
х  x0
сумме (разности) пределов.
Пусть функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки х0 и
Предел
произведения
равен
lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x) * q( x))  a * b
х  x0
х  x0
х  x0
произведению пределов.
Пусть функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки х0 и
lim f ( x)  a, lim q( x)  b, b  0  lim
х  x0
х  x0
х  x0
f ( x) a
Предел частного равен частному пределов.

q ( x) b
Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов,
приводит к неопределенностям.
Например, зная лишь, что
Возможны так же следующие случаи:
lim f ( x)    lim
х  x0
х  x0
c
с
 0, т.е.    0
f ( x)
 
37
c
с 
 , т.е.    
х  x0
х  x0 f ( x )
0 
f ( x)
0
lim f ( x)  0, lim  ( x)    lim
 0, т.е.    0
х  x0
x  x0
х  x0  ( x )
 
f ( x)
 
lim f ( x)  , lim  ( x)  0  lim
 , т.е.    
х  x0
x  x0
х  x0  ( x )
0
lim f ( x)  0  lim
Основные теоремы о пределах + к арифметическим действиям
1 Если числовая последовательность х п  монотонная и ограниченная, то она имеет
предел, т.е. сходится.
2 Сходящаяся последовательность имеет только один предел
3 Сходящаяся последовательность всегда ограниченна
4 Всякая постоянная последовательность, члены которой равны а, сходятся к этому числу,
т.е. lim а  а
g 
5 Если члены последовательности х п  удовлетворяют неравенству хп  b , то и lim x n  b
6 Если члены последовательности х п  и
y п удовлетворяют неравенству
n 
хп  y n , то и
lim x n  lim y n
n 
n 
7аЕсли члены последовательностей связаны неравенством:
х п  у п  z n , n, и lim x n  lim z n  a  lim y n  a
n 
n 
n 
8 Функция не может иметь более одного предела
9 Постоянный множитель можно выносить за знак предела
10 Если в некоторой окрестности точки х0 ( или при достаточно больших х) f(x) < φ (х), то
lim f ( x) < lim  ( x)
x  x0 (  )
x  x0 (  )
11 Если ψ (х) < f(x) < φ (х) и lim
x x0 (  )
ψ (х) = lim  ( x) = А, то lim f ( x) = А
x  x0 (  )
x  x0 (  )
12 Если lim f (u)  A, lim u( x)  u0 , то предел сложной функции lim f (u( x))  A
u u0
x  x0
x  x0
sin x
1
Теорема Первым замечательным пределом называется lim
x 0
x
Следствия из первого замечательного предела:
sin kx
tgkx
lim
 1 , lim
 1 , lim cos kx  1
x 0
x  0 kx
x 0
kx
x
1

2-ой замечательный предел lim 1    e (2.7183….)
x 
x

Несколько формул (замечательных пределов)
 a x 1
 ex 1
 (1  x) n  1 
 ln( 1  x) 
  ln a lim 
  ln e  1 lim 
  n
lim 
lim 
1

x 0
x 0
x 0
x 0
x
x


 x 
 x 


Замечания
0
1 Неопределенность вида   устраняется разложением числителя и знаменателя на
0
простейшие множители или умножением числителя и знаменателя на выражение
сопряженное числителю или знаменателю или и числителю и знаменателю одновременно.

2 Неопределенность вида   устраняется делением числителя и знаменателя на

п
выражение x , где п – степень числителя или знаменателя.
0
3 Неопределенность вида 0 *  устраняется, приведением к неопределенности вида   .
0
38
 
4 Неопределенность вида 1 устраняется, с помощью второго замечательного предела
х
 1
lim 1    e .
х 
х

Пример Вычислить lim
x2
x 2  14 x  32
. Здесь применить теорему о пределе дроби
x2  6x  8
нельзя, т.к. предел знаменателя, при х→2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0.
0
В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида
. Для ее раскрытия
0
разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х-2 ≠ 0
(х→2, но х ≠ 2) :
( x  16) 2  16
x 2  14 x  32
( x  2)( x  16)
x  16 lim
lim 2
 lim
 lim
 x2

 9.
x2 x  6 x  8
x  2 ( x  2)( x  4)
x2 x  4
lim ( x  4)
24
x2
Пример
2 x 2  3x  1
Вычислить lim 2
. Здесь мы имеем дело с неопределенностью
x  4 x  2 x  5

. Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х2

3 1 

õ 2  2   2  lim (2  3  1 )
2
2 x  3x  1
x x  x 

x x 2  1 . Т.к. функция 2  3  1 есть
lim

lim

x  4 x 2  2 x  5
x 
2 5
2 5 
x x2
2

õ 2  4   2  lim (4   2 )
x x
x x  x 

3 1
2 5
сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому lim (2   2 )  2; lim (4   2 )  4.
x
x
x x
x x
sin 3 x
0
Пример Найти lim
. Решение: Имеем неопределенность вида . Теорема о
x0
2x
0
пределе дроби неприменима. Обозначим 3х = t; тогда при х  0 и t  0 и воспользуемся
sin x
первым замечательным пределом: lim
=1
x0
x
sin t
sin 3 x
3 sin t 3
sin t 3
3
 lim
 1  .
= lim
= lim 
lim
t 0 2
x0
t 0
t
2x
t
2 t 0 t
2
2
2
3
вида
Пример
 2
Найти lim 1  
x
 х
х
Решение: Обозначим х=2t и воспользуемся вторым
x
1

замечательным пределом lim 1    e , очевидно, t  ∞ при х  ∞. Имеем
x 
x

х
2t
 2
 1
lim 1   = lim 1   = e2.
x
x


 х
 t
х2
;
x2
2х  2
0
Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на число
0
сопряженное знаменателю
х2
( x  2) * ( 2 x  2)
( x  2) * ( 2 x  2)
lim
 lim
 lim
 lim ( 2 x  2) / 2  2
x 2
x 2
2x  4
2 х  2 x2 ( 2 x  2) * ( 2 x  2) x2
Пример Вычислить lim
2.5 Непрерывность функции
Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
39
1) определена в точке х0 ( существует f(x0));
2) имеет конечный предел функции при х  х0 ;
3) этот предел равен значению функции в точке х0: lim f ( x) = f(x0)
x x0
Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно
малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение
функции, то есть lim у  0
х  х
Разрывность функции
Определение Если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется,
функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0 - точкой разрыва.
Определение Если в точке х0 значение пределов не совпадает со значением функции
или конечные односторонние пределы lim f ( x) и lim f ( x) , не равны между собой, то
x  x0  0
x  x0 0
в точке х0 функция терпит разрыв первого рода.
Определение Если в точке х0 функция у = f(х0) не определена или хотя бы один из
односторонних пределов равен   или не существует, то в точке х0 функция терпит
разрыв второго рода.
Определение Если в точке х0 существует конечный предел lim f ( x0 ) , а значение
x x0
функции f(х0) не определено, то в точке х0 функция терпит устранимый разрыв.
Функция y=f(x) непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке отрезка.
Пример Пусть функция f(x) определена на интервале (0;4) следующим образом:
 1
 x , если х  0;1
 2
f ( x)   х , если х  1; 2
5  х, если х  2; 3

 2, если х  3; 4 
Найдём её область непрерывности и точки разрыва.
Поскольку внутри интервалов (0;1), (1; 2), (2; 3), (3; 4) функция f(x) совпадает с
ограничениями на эти интервалы элементарных функций 1/х, х 2 , 5-х, 2 соответственно, то
все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками
разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих
интервалов, то есть точки х=1, х=2, х=3.
Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке х=1, найдём пределы слева и
справа:
1
lim f ( x)  lim
 1, lim f ( x)  lim x 2  1
x 1 0
x 1 0 x
x 1 0
x 1 0
f(1)=1/1=1 Т.е. в точке х=1 функция непрерывна.
Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке х=2. Найдём пределы
слева и справа: lim f ( x)  lim х 2  4, lim f ( x)  lim (5  х)  3
x 2  0
x 2 0
x 20
x 2 0
Поскольку пределы слева и справа при õ  2 существуют, но не совпадают,
функция имеет разрыв первого рода при х = 2.
Теперь найдём пределы при х  3  0 и х  3  0 :
lim f ( x)  lim (5  х)  2, lim f ( x)  lim 2  2
x 3  0
x 3  0
x 3 0
x 3 0
f (3) = 5-3 = 2. Т.е. в точке х = 3 функция непрерывна.
Итак, функция имеет единственную точку разрыва х=2, в которой происходит
неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из
объединения двух интервалов: (0; 2)  (2; 4) .
Пример Исследовать функцию на непрерывность:
40
 1, x   1


f ( x)   1  x 2 ,  1  x  0

1, x  0

Найдем точки разрыва и определим их тип. Построим схематический график
функции. Исследуем функцию в точке х = -1. Для этого найдем 1) f(-1)= 0
lim (1)  1
x  1 0
2)
lim ( 1  x 2 )  0
x  1 0
Т.е. функция определена, пределы слева и справа существуют но не равны,
следовательно в точке х = -1 функция терпит разрыв первого рода.
Исследуем функцию в точке х = 0
1) f(0) = 1
lim ( 1  x 2 )  1
2)
x 0  0
lim (1  x)  1
x 0  0
3) f(0) = lim f ( x ) , т.е. функция непрерывна в точке х = 0.
x 0
Раздел III Дифференциальные исчисления
Цель изучения – изучить основные задачи, приводящие к понятию
производной, изучить приложения производной.
1 Производная и дифференциал функции
Цель изучения данной темы – освоение понятия производной и
дифференциала, их свойства, геометрического смысла.
Данная тема включает в себя: понятие производной, геометрический и
физический смысл производной; правосторонняя
и левосторонняя
производные; правила дифференцирования; уравнения касательной и
нормали к плоской кривой; дифференциал функции, геометрический смысл
дифференциала; производные и дифференциалы высших порядков.
Изучив данную тему студент должен
Знать: определение и геометрический смысл производной; таблицу
производных и правила дифференцирования;
41
Уметь: находить производную произвольной функции; составлять
уравнения касательных и нормалей к плоским кривым; определение
дифференциала и его геометрический смысл; находить дифференциал от
произвольной функции; находить производные и дифференциалы высших
порядков.
2 Приложение производной
Цель изучения данной темы – освоение методов приложения
производной и построение графика.
Данная тема включает в себя: основные теоремы о непрерывных и
дифференцируемых
функциях;
правило
Лопиталя
о
раскрытии
неопределенностей вида
0 
, . формулу Тейлора для многочлена и для
0 
произвольной функции; исследование функции и построение графиков с
помощью производной.
Изучив данную тему, студент должен
Знать: основные теоремы дифференцирования Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши; понятие локального экстремума, теорему Ферма (необходимое
условие
локального
экстремума);
правило
Лопиталя
раскрытия
неопределенностей; формулу Тейлора.
Уметь: применять правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
вида
0 
, . применять
0 
формулу Тейлора
для произвольной функции;
проводить полное исследование функции и строить графики этих функций.
Тема 6 Производная
3.1 Понятие
производной
Пусть y = f(x)- произвольная непрерывная функция от независимой переменной х.
Проведем следующие операции:
1 Придадим постоянному аргументу х0 приращение х , вычислим значение функции f(x0)
и f(x0+ х );
2 Найдем у = f(x0+ х ) - f(x0);
3 Найдем отношение у  f ( x 0 x)  f ( x 0 ) ;
4 Найдем
х
f ( x 0 x)  f ( x 0 ) .
lim
x 0
x
x
42
Определение Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции  ó к приращению аргумента  õ , когда приращение
аргумента стремится к нулю.
f ( x 0  x)  f ( x0 ) или
f ( x 0 x)  f ( x 0 ) Если этот предел конечный, то
y  lim
f ( x)   lim
x
x 0
x
x 0
функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается
обязательно и непрерывной в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен  (или - ), то при условии, что функция в
точке хо непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хо бесконечную
производную.
Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала функции
соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой
dy df ( x)
переменной у  
.

dx
dx
Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна –
это необходимое условие дифференцируемости.
Геометрический смысл производной
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х0. Прямая ММ0 называется
секущей. Тогда дробь f ( x 0 x)  f ( x0 ) есть не что иное как tg α, где α есть угол наклона
x
секущей к оси OX. При  õ  0 точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся
секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в
касательную в точке M0. Угол α при этом перейдет в угол α ‫׳‬, который эта касательная
образует с осью OX.
Определение Касательная – это предельное положение секущей. При этом f ´(x0) =
tg α = k, где α – угол наклона этой касательной с положительным направлением оси ОХ.
Уравнение касательной имеет вид (используя уравнение пучка прямых):
у – у0 = f ´(x0)(х – х0). Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно
1
*(х – х0).
f ' ( x0 )
Если f ´(x0) = 0 (т.е. касательная горизонтальная), то нормаль вертикальна и имеет
уравнение х = х0.
касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение: у – у0 =
Односторонние производные
Пусть функция y = f(x) задана на промежутке Х и х0  Х. Если существует предел
f ( x 0 x)  f ( x 0 ) , то он называется левосторонней производной функции y = f(x ) в
0
lim
x  0
x
точке х0 и
обозначается
правосторонней
производной
f ( x 0 x)  f ( x 0 ) . Аналогично определение
x  0
x
f ( x 0 x)  f ( x 0 ) . Если функция имеет
f ( x 0  0)   lim
x 0
x
f ( x 0  0)   lim
односторонние равные производные, то говорят о производной в точке, т.е.
f ( x 0  0)   f ( x0  0)   f ( x 0 ) 
Связь непрерывности и дифференцируемости функции
Теорема Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
То, что обратное неверно, видно из примера:
Предел слева существует, конечен и равен пределу
справа, и значение функции в точке совпадает со значением предела. Следовательно,
функция непрерывна в нуле.
43
2. Выражение производной функции
 х х  0
у х 
 х х0
f (x)  f (0)
 x

 lim
 1
lim
x  0
x  0 x
f ( x 0  0)   f ( x0  0)   f ( x 0 )  
x
у ( х)  
f (x)  f (0)
x
 lim
 lim
1
x  0 x
x
 x 0
- не существует, что и требовалось доказать.
Правила дифференцирования
y
y
y  С (const )
y
0
ax
a x ln a
x
x  1
ex
ex
y
1
x
2 x
1
x

1
х2
sinx
cosx
cosx
-sinx
1
cos 2 x
1
 2
sin x
1
tgx
ctgx
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
1
1
log a e 
х
x  ln a
1
ln x
х
u = u(x), v = v(x) - некоторые
дифференцируемые функции
c * u ( x)
c*u(x)
loga x
1 х2
1

u+v-w
u   v   w
uv
u   v  u  v
uvw
u  v  w  u  v  w  u  v  w
u
v
u   v  u  v
v2
f ( ( x))
f ( ( x)) *  ( x)
1 х2
1
1 х2

v x 
ux 
1
1 х2
v * u v 1 * u   u v * v  * ln u
Гиперболическим синусом (shx) , косинусом (chx), тангенсом (thx), котангенсом (cthx)
называют функции:
chx 
e x  ex
2
(chx)  shx
shx 
e x  ex
2
( shx )  chx
thx 
shx e x  e  x

chx e x  e  x
(thx) 
1
ch 2 x
cthx 
chx e x  e  x

shx e x  e  x
(cthx)  
1
sh 2 x
Производная обратной функции
Теорема: Пусть y = f(x) и х = f -1 (у) взаимообратные функции. Если в точке х функция y =
f(x) имеет конечную производную y х  0 , то в соответственной точке у обратная функция
1
.
у х
Производная сложной функции
х = f -1 (у) также имеет конечную производную х у 
44
Если y = f(u), u = (x), т.е. y = f( (x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная
из дифференцируемых функций  и f, то у x  yu  u x , или dy  dy * du
dx
du dx
Производная функции заданной параметрически:
 х  х(t )
Если функция задана параметрически 
и имеет производные в точке t0: x´ (t0)  0
 y  y (t )
у  (t )
и y´ (t0), то эта производная вычисляется у´(х0) = t 0
xt (t 0 )
Производная степенно-показательной функции равна сумме производной
показательной функции, при условии f(x)=const, и производной степенной функции, при
условии (x) =const. Рассмотрим функцию вида: y=[f(x)] (x) и назовем ее показательностепенная функция.
у   ((x))' lnf(x)* [f(x)] (x) + (x) * (lnf(x)) '(f(x))'*[f(x)] (x) или
u(x)v(x) = uv * v´ *ln u + uv-1 *u´ *v, т.е. первое слагаемое есть производная как от степенной
функции, второе как производная показательной функции.
Производные
некоторых
функций
можно
вычислить,
предварительно
прологарифмировав их.
Пример y = xx - показательно-степенная или степенно – показательная функция.
Прологарифмируем по основанию е
lny = x*lnx - найдем производную от левой и правой части, считая у функцией от х.
(1/y)*y' = (lny) '
(x*lnx) ' = x' *lnx + x*(lnx) ' = lnx+1
y' = y*(lnx+1) = xx*(lnx+1)
Например, если y = x sin x, то y' = x sin x ((sin x)/x + cos x ln x).
Производную функции заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, вычисляют
дифференцированием правой и левой частей уравнения (считая при этом переменную у
функцией, х – аргументом) и разрешая затем полученное уравнение относительно у´.
Производные высших порядков
Производной п – ого порядка называется производная от производной (п – 1) – ого
порядка, если таковые существуют и обозначают у(п) = f(n)=
d (n) y
dx ( n )
Производной 2 – ого порядка называется производная от производной, если она
существует, и обозначают у ‫= ׳׳‬
d2y
и т.д..
dx 2
Пример: у = еах, найти у (п)
у ‫ = ׳‬а еах , у ‫ =׳׳‬а2 еах, … у(п)= ап еах
Пример F(x,y) = 0,
1) x3-3xy+y3=0- неявная функция.
3x2-3(xy) ' +3y2* у   0 //:3
x2 - (x' y + у  x) + y2* у   0
у  y2 - x у   y - x2
у   (y - x2)/(y2 - x) 3) x2-xy + ln y =2, найти производную функции и вычислить в точке
(2;1).
Дифференцируем (x2-xy + ln y) ' =2',
2x – y - xy ‫ ׳‬+ (1/y)*y' =0,
2 ху  у 2
у 
, если в точке (2; 1), то у (2)  3 .
ху  1
Пример Вычислить производную функции y = (3x3- 2x + 1)*sin x.
45
По правилу y' = (3x 3- 2x + 1) ' *sin x + (3x 3 - 2x + 1)*(sin x)' = (9x 2 - 2)sin x +
2х+1)cos x.
Пример
суммы
и
Найти y ', если y = tg x +
частного,
получим:
y'
ех
.
1 х
=
+(3x 3-
Используя правила дифференцирования
(tgx
+
ех
)'
1 х
=
(tgx)'
+
(
ех
)'
1 х
=
(e x ) (1  x)  (1  x) e x
1
1
(e x )(1  x)  e x
1
xe x
.





cos 2 х
(1  x) 2
cos 2 x (1  x) 2
cos 2 х
(1  x) 2
2
4
Пример Найти производную сложной функции y = u  3 u  1, если u  x  1 .
По правилу дифференцирования сложной функции, получим:
y'x =y 'u u'x = ( u 2  3 u  1) u ( x 4  1) x = (2u + 3 ) * 4 x 3 . Так как u = x4 + 1, то
2 u
y'x = (2 x4 +2+
3
) * 4x 3 .
2 х 1
Пример Найти производную функции y = е х .
Представим функцию y = е х в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем:
y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu *2x. Подставляя x2 вместо u, получим
y'x =2x* е х .
Пример Найти производную функции y = ln sin x.
Обозначим u = sinx, тогда производная сложной функции y = ln u вычисляется по
4
2
2
2
1
cos x
* cos x 
 tgx .
u
sin x
Пример Найдём производную функции у  sin 2 ln 3 ( x 2  4) .
Наша функция имеет вид y  (sin ln 3 ( x 2  4)) 2 , так что самой внешней является степенная
формуле y'x = (ln u)'u (sin x)'x =
у u ,
функция
где u  sin ln 3 ( x 2  4) .
Затем
следуют
промежуточные
2
2
3
2
функции v  (ln( x  4)) , z  ln( x  4) , w  x  4 . В итоге имеем композицию функций.
Последовательно
пользуясь
формулой
производной
композиции,
получаем:
у x  y u * u v * v z * z w * wx или
1
у x  (2 sin ln 3 ( x 2  4)) * (cos ln( x 2  4)) * (3 ln 2 ( x 2  4)) * 2
* 2x 
x 4
2

6 x ln 2 ( x 2  4) sin( 2 ln 3 ( x 2  4))
x2  4
Пример Найти производную функции y = tg
у х 
 x
*  tg 
x  2
2 tg
2
1

1
x.
2
x
1
1
1
2 1

* *


x
x
x 2 cos 2
x
x
x
8 sin x * cos
2 sin
4 sin * cos * cos
2
2
2
2
2
2
cos
x
Пример Вычислить производную y = ln 3
( х 2  4) 5 (3х  1) 7
.
(6 х 3  1) 2 е tg 5 x
Используя свойства логарифмов, получим:
5
7
2
1
y = ln (x2+4) + ln (3x-1) - ln (6x3+1) - tg 5x.
3
3
3
3
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
10 x
7
12 x 2
5
y x  2

 3

3x  12 3x  1 6 x  1 3 cos 2 5 x
46
2 2 х
Пример Найдём вторую производную функции у  x е
Сначала найдём первую производную по правилу
у  2 xе
2 х
2 2 х
 2х е
2 х
.
произведения
функций:
 е (2 х  2 х )
2
Затем отыщем вторую производную как производную от первой производной:
у   2е 2 х * (2 х  2 х 2 )  е 2 х (2  4 х)  е 2 х (4 х 2  8х  2)
Пример Найти вторую производную функции у хх , заданную параметрически:
 х  sin t 3
Найдём сначала

2
y

cos
t

хt  3t 2 cos t 3 ; у t  2t sin t 2
производные
от
х
и
у
по
переменной
t:
 2t sin t 2
2 sin t 2
y t

у



: x
3t 2 cos t 3
3t cos t 3
xt
Затем найдём у x по формуле у x 
 х  sin t 3


z

у
Теперь положим
2 sin t 2 заданной
x и найдём производную от функции 
z

3t cos t 3

параметрически. Имеем: хt  3t 2 cos t 3 ; (эта производная была найдена нами раньше) и
2 * 2t cos t 2 * 3t cos t 3  2 sin t 2 * 3 * (3 cos t 3  3t * 3t 2 sin t 3 )

9t 2 cos 2 t 3
12t 2 cos t 2 cos t 3  6 sin t 2 cos t 3  18t 3 sin t 2 sin t 3

9t 2 cos 2 t 3
z t  
12t 2 cos t 2 cos t 3  6 sin t 2 cos t 3  18t 3 sin t 2 sin t 3
27t 4 cos 3 t 3
Пример Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объёма, который
можно вписать в шар радиуса R.
Поэтому у хх  
Пусть h и r – высота и радиус основания
цилиндра, вписанного в шар радиуса R.
Объём цилиндра вписанного в шар
h
Объем будет максимальный при
r
y
8
7
47
, откуда
Пример Исследовать методом дифференцируемого исчисления и построить график
функции у = (х2+1)/х
Область определения функции
Функция непрерывна на
Функция нечетная: f(-x)= -f(x); непериодическая
Производная функции: уx 
2 х * х  ( х 2  1) х 2  1
 2
х2
х
y’
+
-
-
+
при
функция убывает
при
функция возрастает
при x = -1 – локальный max функции (знак y меняется с + на –)
при x =1 – локальный min функции (знак меняется с – на +),
не существует при
x = 0 – точка разрыва второго рода
Вторая производная: у   1 

1 
2
 2
2 
х  х
48
-
- график функции выпуклый
- график функции вогнутый
при
+
Асимптоты: x = 0 – вертикальная асимптота
;
у = x – наклонная асимптота
Пример
Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так,
чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной
примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении
сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться
равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 x a/2 . S = a - 4x, a - 4x =
0 при x = a/4, откуда y = a – 2*a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая
точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4,
S  > 0, а при x > a/4, S  < 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение
функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a2 /8 (кв. ед.).
Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны
нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом,
наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи
является y = 2x.
3.2 Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Пусть y = f(x)- произвольная непрерывная функция от независимой переменной х
задана на промежутке Х. Производная в точке х0 равна:
f ( x 0 x)  f ( x 0 )
у
f ( x)   lim

 f ( x)    ( x 0 ; х) , где α  0 - б.м.в., при Δх  0, тогда
x 0
x
х
y = y ‫׳‬x + *x, *x - б.м.в. и ее можно отбросить, тогда dy = y ‫׳‬x
или df ( x)  f ( x) * x
Определение Дифференциал функции y = f(x) в точке х называется главная часть ее
приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и
обозначается dy или d f(x) .
Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к
графику функции в точке (x0, f (x0)) при изменении x0 на величину x
49
3.3 Приложения производной
Теорема Ферма Если дифференцируемая на промежутке Х функция f(x) достигает
наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, f ( x 0 )  0
Теорема Роля Если функция f(x) непрерывна на заданном промежутке [a,b]
дифференцируемая на интервале (a,b) и f(a) = f(b) то существует точка с из интервала
(a,b), такая, что f ′ (c) = 0.
Теорема Лагранжа Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцирована на (a,b),
то существует точка с  (a,b), такая, что: f(b) - f(a) = f ′ (c)(b-a) или
Геометрически теорема Роля:
Геометрический смысл формулы Лагранжа:
Теорема Коши Если f(x), g(x) удовлетворяют трем условиям:
1) f(x), g(x) непрерывны на промеж [a,b]
2) f(x), g(x) дифференцируемы на интервале (a,b)
f (b)  f (a) f (c)

3) g′ (x)  0 на интервале (a,b), то существует точка с  (а; b) :
g (b)  g (a) g (c)
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на
применении производных.
1 Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и
обращается в нуль в этой точке: f(x0) = φ(x0) = 0. Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0.
f ( x)

 l , то lim f ( x)  lim f ( x)  l
Если существует предел lim
x  x0  ( x)
x x  ( x)
x  x  ( x )
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных,
если последний существует)
2 Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и
f(x0) = φ(x0) =  . Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0. Если существует предел
f ( x)

lim
 l , то lim f ( x)  lim f ( x)  l
x  x0  ( x)
x x  ( x)
x  x  ( x )
(предел отношения двух бесконечно больших равен пределу отношения их производных,
если последний существует)
0
0
0
50
0
3 Неопределенности вида 0∙∞; ∞-∞; 1∞ ; ∞0 ; 00 сводятся к двум основным.
Например, 0∙∞
f ( x)
0
[ ]
Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0, тогда lim ( f ( x) ( x))  [0  ]  lim
x  x0
x  x0
1
0
 ( x)
1 
1

õ
 õ å 1
Имеем неопределенность вида ∞-∞. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0,
и
два
раза
применим
правило
Лопиталя.
x
x
x
x
 e  x 1 
(e  x  1) 
(e  1) 
1 
e
1
1
  lim
lim   х
 lim x
 lim x

  lim 
x
x
x
x
x
x 0 х
2
е  1  x 0  x(e  1)  x 0 ( x(e  1))  x 0 (e  1  xe )  x 0 e  e  xe

Пример Найти предел функции lim  
x 0
x 0
 ln x 
Пример Найти lim 
 . Раскрывая неопределенность вида ∞/∞ по правилу Лопиталя,
x 
 х
1
 ln x 
(ln x) 
2
  lim
 lim x  lim
0
получаем: lim 
x 
x 
x
 х  x  ( x )  x  1
2 x
Пример
1
x
lim (e  x) . Имеем неопределенность вида 1∞. Обозначим
Вычислить
x
x 0
искомый предел через A.
1
x
1
x
1
x
ln( e x  x)
e x 1
 lim x
2
x 0
x 0 e  x
x
A = lim (e  x) Тогда ln A = ln lim (e  x)  lim ln( e  x)  lim
x
x
x
x 0
x 0
x 0
1  cos 4 x
. Применяя два раза правило Лопиталя, находим
x 0
x2
Пример Найти lim
1  cos 4 x
(1  cos 4 x)
4 sin 4 x
16 cos 4 x
 lim
 lim
 lim
8
2
2
x 0
x 0
x 0
x 0
2x
2
x
( x )
lim
Пример
Найти
lim
x  
x2
. Применяя два раза правило Лопиталя, находим
ex
( x 2 )
(2 x) 
x2
2

lim
 lim
 lim x  0
x
x
x
x   e
x   (e ) 
x   (e ) 
x   e
lim
3.4 Исследование функции
Теорема (критерий постоянства) Для того, чтобы y = f (x) была постоянна на
некотором промежутке необходимо и достаточно, чтобы y ' = f ' (x) была равна нулю во
всех внутренних точках этого промежутка.
Теорема (достаточное условие) Если f ' (x) > 0 (f ' (x) < 0), для каждой внутренней
точки х промежутка Х, то f (x) строго возрастает (строго убывает) на Х, т.е. для x2 > x1, f(x2)
> f(x1) (x2 > x1, f(x2) < f(x1)). (например у = ех - возрастающая, y ' = ех > 0 для любого
значения х).
Определение Функции такого вида носят название монотонные.
Экстремум функции
Точка хо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если
существует минимальная окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство
f(x) < f(хо) (f(x) > f(хо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения
функции в этих точках - ее экстремумами. Если точки экстремума совпадают с
51
наибольшим или наименьшим значением функции, то их называют глобальным
максимумом или минимумом.
Теорема (необходимые условия экстремума) Если точка хо является точкой
экстремума функции f(x), то либо f ' (x0) = 0, либо f ' (x0) не существует. Такие точки
называют критическими, причем сама функция в критической точке определена.
Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть хо - критическая точка. Если f ' (x0) при
переходе через точку хо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет
максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку
производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ' (x0) в окрестности точки xо и вторую производную f '' (x0) в самой точке xо. Если f ' (x0)
= 0, f '' (x0) > 0 (f '' (x0) < 0), то точка хо является точкой локального минимума
(максимума) функции f(x). Если же f '' (x0) = 0, то нужно, либо пользоваться первым
достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего
значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Выпуклость и вогнутость линий, точки перегиба
Определение Линия называется выпуклой (вогнутой) на промежутке Х, если все ее
точки лежат, ниже (выше) касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка перегиба непрерывной функции - точка, отделяющая выпуклый участок дуги
от вогнутого.
Теорема Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х
, когда ее первая
производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
Теорема (достаточное условие) Если f '' (x0) > 0 на Х, то кривая с уравнением y = f
(x) вогнута (т.е. выпукла вниз) на промежутке Х.
Теорема (необходимое условие) Вторая производная f '' (x0)
дважды
дифференцируемой функции в точке перегиба x0 равна нулю f '' (x0) = 0.
Чтобы х0 была точкой перегиба
, чтобы f '' (x0) меняла знак при переходе через х0.
Асимптота графика функции
Асимптота - прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда
ее точка неограниченно удаляется от начала координат.
1) прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) = y, если при
ха , |f(x)|+. Т.е. lim f ( x)  
xa
2) y = kx + b - общее уравнение наклонной асимптоты,
 f ( x) 
где k  lim 
 и b  lim ( f ( x)  kx) . Если эти пределы существуют, то существует и
x 
x 
 x 
наклонная асимптота.
 f ( x) 
0 и
x 
 x 
Если k  lim 
y  b  то горизонтальная
асимптота
Общая схема исследования функции
-область определения функции;
-точки разрыва и интервалы, где функция является непрерывной;
-поведение функции в окрестностях точки разрыва, вертикальные асимптоты;
-область значений функции;
-точки пересечения графика с осями координат;
-симметрия графика (четность, нечетность);
-периодичность;
- найти решения уравнений у'(х) = 0, у'(х) = ∞, у'(х) не существует;
-найти экстремумы функции;
-найти промежутки монотонности функции;
52
-найти решения уравнений у''(х) = 0, у''(х) = ∞, у''(х) не существует;
-найти точки перегиба функции;
-найти промежутки выпуклости и вогнутости функции;
-найти уравнения наклонных и горизонтальных асимптот;
-построить график функции.
х3
Пример
Построить график функции y  
используя общую схему
( х  1) 2
исследования функции.
1 Область определения: (-∞ , -1), (-1, +∞).
Точка х = -1 является точкой разрыва функции.
Функция не является симметричной, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция не является периодической.
х3
х3
Находим предельные значения функции:
lim 


lim

  ,
x  1 0 ( х  1) 2
x   ( х  1) 2
х3
 
x   ( х  1) 2
График функции имеет одну вертикальную асимптоту х = -1 и одну наклонную асимптоту
y = -x+2, т.к.
lim

õ3 
  1 è b  lim ( f ( x)  kx)  2
k  lim  
2 
x 
x 
 x( õ  1) 
График функции пересекает координатные оси в точке (0; 0).
2 Функция имеет один минимум при х = -3.
( х 3 ) ( х  1) 2  х 3 (( х  1) 2 ) 
х 2 ( х  3)

Находим первую производную: y  
. Из

( х  1) 4
( х  1) 3
уравнений f ' (x0)=0 и получаем точки, “подозрительные” на экстремум: х1 = 0, х2 = -3, х3 ≠
-1. Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки.
Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака
f ' (x):
x
(-∞ , -3)
-3
(-3, -1)
-1
(-1, 0)
0
(0, +∞ )
f ' (x)
0
+
Не сущ.
0
f (x)
тin
Не сущ.
0
↘
f (x)=6,75
Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке х = -3. Точки х = -1
и х = 0 не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а
в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.
6х
обращается в бесконечность при х = -1 и равна нулю
( х  1) 4
в точке х = 0, которая является единственной точкой перегиба:
х
(-∞ , -1)
-1
(-1, 0)
0
(0, +∞ )
f '' (x)
+
Не сущ.
+
0
f (x)
Не сущ.
Т. перегиба
3 Вторая производная y   
Строим график функции
y
х3
( х  1) 2
53
Раздел IV Задания для контрольной и расчетно-графической работ
Задание 1 Дана матрица А и многочлен f(х) = -2х 2 + 5х + 9. Вычислите f(А)
Дана матрица А и многочлен f(х) =3 х3 + х2 + 2. Вычислите f(А)
Дана матрица А и многочлен f(х) = 2 х3 - 3 х2 + 5. Вычислите f(А)
1
1в A= 
0
1
5в A = 
2
 10
9в A= 
 20
3

4 
 5 3 

2в A= 
 2  1
3

4 
30 

50 
6в A=  2  2 
 1 6 
 11 17 

3в A= 
 22 41
1 
 2

7в A= 
 1,5  0,5 
3
A= 
1
 0
8в A= 
 4
4в
2

5 
5

2 
 1  1

10в A= 
 5  1
Задание 2 Вычислить определитель матрицы А, разложив его по элементам
i - строки; разложив его по элементам j - столбца (предварительно получить
нули)
1в
3
2
А
1
1 2 3
0 4 2
,
2 0 1
1 4
3в
1
0
2
i3
j2
0
3 1
2 1
0 1 2 3
А
,
6 5 1 2
1
2в
2
3
А
1
1
4в
i3
j2
2
2
4
i3
j2
2
1 2 2 1
2 1 1 2
i2
А
,
5 2 1 1
j 3
1 2
54
1 0
0 3
,
2 1
2
0
0
3
0
5в
2
0
А
6
4 1
1 3
,
1
2
2
2
4
0 1  2
7в
3
0 1
1 1 2
А
3 3 2
0
9в
1
6в
i 1
j3
0
i3
j4
2 3 0 5
2
2
1
,
1
8в
2 1 5
1
4 2
0 2 i  2
А
,
1 1  2  3 j  1
i 1
j3
2 4
2
10в
4 1 1 3
1 2 0 4 i  2
А
,
5 0 7 9
j 1
1
1 2 3 4
3 4 0 5
А
,
2 2 5 6
1
2
А
4
0 3
1
1  2
0
1
0
3
1 1
3 1
i2
,
4 2 j 3
4 3
4
Задание 3 Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
 1

1в  8
 2

 2

5в   4
 8

 6

9в   5
3

1  2 3 


2в  1  2 1 
1
3  4 

4
3 
 1


6в   8 2  5 
  2  8  6


1
 4 3


10в  1  2 1 
 3  2  1


4
2
3 

5 
8  6 
8
5 

1
3 
 2  6 
 8 2

2 8
 4 1 
3 
 4 1


3в  3  1  2 
 1
1  2 

3  2 1 


7в   2  3  1
 4
3  1

 1 4  3


4в   8 2 5 
 2 8  6


  3 1  2


8в  4  1 3 
  2 1  3


Задание 4 Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье
трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в таблицах
(соответственно варианту). Требуется определить объем выпуска продукции
каждого вида при заданных запасах сырья.
Вид
сырья
Расход сырья на единицу
продукции (усл.ед.) по видам
Запас сырья (усл.ед) по вариантам
1
2
3
1в
2в
3в
4в
5в
1
5
3
4
2900
2000
3100
2200
3500
2
2
1
1
1000
650
1000
700
1200
3
3
2
2
1700
1150
1800
1300
2100
1
2
3
6в
7в
8в
9в
10в
1
6
4
5
2100
3600
2600
2350
2450
2
4
3
1
1250
2000
1550
1300
1350
55
3
5
2
3
1300
2500
1850
1450
1300
Указание: Записать балансовые соотношения при условии полного расхода
запасов каждого вида сырья. Полученную систему линейных уравнений
решить:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
Задание 5 Решить матричные уравнения
1в
1  3
1  2 3 
1




 0 2  4  X   0 10 2 




2  1 3 
 10  1 2 
2в
 1 4  7   8 3 4 

 

X  2 1 3    5 2 2 

 

  2 1  1  1 0  1
3в
 3 2  1 6   12 13

  X
 

  1 5  1 8  9 10
4в
 9 1  1  8   1 2
X 

 

  2 4  1 3    5 6 
5в
 1 1
 8  5
X 
 

  3 4
 4  3
6в
 2  2
  1 3   10

  X 
 
 1 6 
 5  4   7
7в
1 1
 9 0 3
 2




  1 2 4   X    1  6 4




7 0
 1 1  2
 3
8в
 4 9  7
 1 1




 5 0 3   X   3 6




7 3  2
 10 0 
9в
 11 0  1

   3 7  8
X   2 3  4  


 1 4 1 
 3 2  2
10в
1
 1 3  1
3 1




X   2  4 1   0  2 1 




1  1 0 
 4 0  6
2
10 

 9
2
Задание 6 Цех выпускает продукцию трёх видов. По известным объёмам
выпуска продукции за три дня и денежным затратам на производство за эти
дни составлены системы уравнений. Решить систему линейных уравнений по
формулам Крамера.
1в
4в
3x1  2 x2  x3  5

2 x1  3x2  x3  1
2 x  x  3x  11
2
3
 1
2 x1  x2  x3  4,

3x1  x2  2 x3  5,
 x  x  3x  0.
3
 1 2
2в
5в
4 x1  3x2  2 x3  9

2 x1  5 x2  3x3  4
5 x  6 x  2 x  18
2
3
 1
 x1  x2  2 x3  1,

2 x1  x2  2 x3  4,
4 x  x  4 x  2.
3
 1 2
56
3в
6в
 x1  2 x 2  3x3  6

2 x1  3x2  4 x3  20
3x  2 x  5 x  6
2
3
 1
3x1  4 x2  2 x3  1,

2 x1  x2  3x3  0,
 x  2 x  x  4.
2
3
 1
7в
2 x1  x2  x3  4

3x1  4 x2  2 x3  11
3x  2 x  4 x  11
2
3
 1
8в
10в
Задание 7
 x1  4 x2  3x3  1,

3x1  2 x2  x3  7,
5 x  x  2 x  13.
3
 1 2
9в
5 x1  3x2  1,

3x1  6 x3  15,
2 x  3x  4 x  17.
2
3
 1
2 x1  x2  4 x3  1,

5 x1  3x2  x3  8,
 x  5 x  x  6.
2
3
 1
Исследовать и решить систему
1в
 x1  x2  x3  x4  3
2 x  x  x  3
 1
2
4

2 x1  5 x2  6 x3  x4  15
 x1  x2  3 x3  4 x4  6
2в
2 x1  3 x2  x3  5 x4  8
 x  2 x  3 x  x  8
 1
2
3
4

5 x1  x2  x3  2 x4  1
3 x1  8 x2  6 x3  8 x4  10
3в
6 x1  2 x2  x4  6
 x  2 x  x  4 x  6
 1
2
3
4

2 x1  x2  9 x3  5 x4  3
 x1  3 x2  x3  x4  2
4в
 x1  x2  3 x3  4 x4  2
3 x  x  3 x  x  1
 1 2
3
4

 2 x1  4 x2  7 x3  x4  2
 x1  8 x3  9 x4  1
5в
3 x2  x3  5 x4  2
2 x  x  x  2 x  2
 1 2
3
4

 x1  2 x2  3 x3  x4  0
3 x1  x2  4 x3  x4  2
6в
7 x1  x2  3 x3  5 x4  11
x  4 x  x  x  6
 1
2
3
4

2 x1  2 x2  x3  3 x4  3
 x1  x2  3 x3  2 x4  3
7в
 x1  x2  x3  5 x4  4
2 x  3 x  x  2 x  8
 1
2
3
4

 x1  x2  7 x3  3 x4  4
3 x1  x2  9 x3  4 x4  6
8в
9 x1  x2  x3  2 x4  7
  x  5 x  x  x  4
 1
2
3
4

 x1  2 x2  4 x3  x4  6
2 x1  x2  2 x3  5 x4  10
9в
 x1  x2  3 x3  4 x4  10
2 x  5 x  6 x  x  16
 1
2
3
4

2 x1  x2  3 x4  6
 x1  2 x2  x3  x4  6
10в
2 x1  3 x2  x3  5 x4  5
3 x  8 x  6 x  8 x  15
 1
2
3
4

5 x1  x2  x3  2 x4  2
 x1  2 x2  3 x3  x4  8
Задание 8
Найти общее решение системы и проанализировать его
структуру (указать базис пространства решений однородной системы,
установить размерность пространства, выделить частное решение системы).
57
1в
3в
5в
7в
9в
3x1  x2  4 x3  2 x4  х5  0,

2 x1  2 x2  3x3  7 x4  2 х5  0,
 x  11x  34 x  5 x  0.
2
4
5
 1
2в
7 x1  2 x2  x3  2 x4  2 x5  0,

 x1  3x2  x3  x4  x5  0,
2 x  3x  2 x  x  x  0;
2
3
4
5
 1
4в
 x1  x2  10 x3  x4  x5  0,

5 x1  x2  8 x3  2 x4  2 x5  0.
3x  3x  12 x  4 x  4 x  0.
2
3
4
5
 1
6в
6 x1  9 x2  21x3  3x4  12 x5  0,

 4 x1  6 x2  14 x3  2 x4  8 x5  0,
2 x  3x  7 x  x  4 x  0.
2
3
4
5
 1
2 x1  x2  2 x3  x4  x5  0,

 x1  10 x2  3x3  2 x4  x5  0,
 x  10 x  3x  2 x  x  0,
2
3
4
5
 1
8в
10в
 x1  2 x2  3x3  10 x4  x5  0,

 x1  2 x2  3x3  10 x4  x5  0.
 x  6 x  9 x  30 x  3x  0.
2
3
4
5
 1
2 x1  x2  x3  7 x4  5 x5  0,

 x1  2 x2  3x3  5 x4  7 x5  0,
3x  x  2 x  2 x  2 x  0;
3
4
5
 1 2
2 x1  2 x2  3x3  7 x4  2 x5  0,

 x1  11x2  34 x4  5 x5  0,
 x  5 x  2 x  16 x  3x  0.
2
3
4
5
 1
3x1  x2  8 x3  2 x4  x5  0,

 x1  11x2  12 x3  5 x5  0,
 x  5 x  2 x  x  3x  0.
2
3
4
5
 1
 x1  3x2  5 x3  9 x4  x5  0,

2 x1  7 x2  3x3  7 x4  2 x5  0,
 x  4 x  2 x  16 x  3x  0.
2
3
4
5
 1
Задание 9 Коллинеарные ли векторы c1 и c2 , построенные по векторам a и
b?
№
№
a
a
c1
c2
c1
c2
b
b
1в
1;-2;3
3;0;-1
2 a +4 b
3b  a
6в
7;9;-2
5;4;3
4 a -b
4b - a
2в
1;0;1
-2;3;5
a +2 b
3a  b
7в
5;0;-2
6;4;3
5 a -3 b
6 b -10 a
3в
-2;4;1
1;-2;7
5 a +3 b
2a  b
8в
8;3;-1
4;1;3
2 a -b
2 b -4 a
4в
1;2;-3
2;-1;-1
4 a +3 b
8 a -b
9в
3;-1;6
5;7;10
4 a -2 b
b -2 a
5в
3;5;4
5;9;7
-2 a + b
3 a -2 b
10в
1;-2;4
7;3;5
6 a -3 b
b -2 a
Задание 10 Даны вершины треугольника АВС. Найти:
1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые
коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4)
уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности для которой
высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих
треугольник АВС, 7) уравнение медианы и ее длину, уравнение высоты и ее
58
длину, уравнение биссектрисы, проведенных из вершины С; 8) уравнение
прямой параллельной стороне АВ. Выполнить чертеж.
1в
2в
3в
4в
5в
А(10; 1), В(-16; 13), С(1; -11).
А(-9; 6), В(3; 1),
С(6; 5).
А(1; -15), В(6; -3), С(2; 0).
А(0; -9), В(5; 3),
С(1; 6).
А(20; 5), В(-4; 12), С(-8; 9).
6в
7в
8в
9в
10в
А(-8; 3), В(4; -2),
А(5; 3), В(-11; -9),
А(-3; -7), В(2; 5),
А(6; 3), В(-10; -9),
А(-7; 2), В(5; -3),
С(7; 2).
С(-4; 15)
С(-2; 8).
С(-3; 15).
С(8; 1).
Задание 11 Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:
1. Записать векторы АВ, АС , AD в системе орт и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами АВ и АС .
3. Найти площадь грани АВС.
4. Найти объем пирамиды.
5. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку D
перпендикулярно плоскости АВС.
6. Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с
координатными плоскостями хОу; хОz; уОz.
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку D и С и
перпендикулярно плоскости АВС.
8. Длину ребра АВ;
9. Длину высоты пирамиды, проведенной из вершины D;
10. Уравнение ребра АС.
1в А(2;-3,1); В(6,1,-1);С(4,8,-9);
D(2,-1,2)
2в А(5, -1,-4); В(9,3,-6); С(7,10,-4)
D (5,1,-3)
3в А(-1, 1,-5); В(3,5,-7); С(1,12,-15)
D (-1,3,-4)
4в А(0, 4,3); В(4,8,1); С(2,15,-7)
D (0,6,4)
5в А(3,3,-3); В(7,7,-5); С(5,14,-13)
D (3,5,-2)
А(1, -4,-0); В(5,0,-2); С(3,7,-10,)
D (1,-2,1)
7в А(-3, -6,2); В(1,-2,0); С(-1,5,-8)
D (-3,-4,3)
8в А(-4,2,-1); В(0,6,-3); С(-2,13,-11)
D (-4,4,0)
9в А(-2, 0,-2); В(2,4,-4); С(0,11,-12)
D (-2,2,-1)
10в А(4, -2,5); В(8,2,3); С (6,9,-5)
D (4,0,6)
6в
Задание 12 Привести уравнение второго порядка f x, y   0 к каноническому
виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах + Ву + С = 0. Построить
графики кривой и прямой.
1в
7 х 2  14 х  2 у 2  12 у  2  0 ,
6в
4 х 2  5 у 2  10 у  24 х  1  0 ,
2в
x – 2y + 1 = 0
x – y2 + 2y – 2 = 0,
7в
x–y=0
x2 – 2x + y + 2 = 0,
8в
8 у 2  12 х  32 у  8  0 ,
9в
x–y+3=0
x2 + y2 – 6x + 5 = 0,
3в
4в
x+y-2=0
õ2  4 ó 2  6 õ  8 ó  3  0 ,
x+y+1=0
x2 + 2x + y – 2 = 0, 2x – y + 4 = 0
59
x–y-2=0
2x + y - 6 = 0
 2 х 2  3 у 2  12 х  12 у  18  0 ,
5в
10в
x + 2y + 2 = 0
4 х 2  11у 2  64 х  66 у  291  0 ,
3x + y - 3 = 0
Задание 13 Составить уравнение плоскости, проходящей через:
x 1 y  2 z

 и точку А (4; 6; 3).
2
1
2
x 1 y 1 z  5
x 1 y 1 z



 .
2. Две параллельные прямые
и
3
2
2
3
2
2
3. Три точки А (1; 2; 4), В (-1; 3; 1), С (3; 1; -2).
x2 y  2 z 3 x3 y 2 z 3
4. Две пересекающиеся прямые
и
.




3
2
2
4
1
2
x3 y2 z4
x y  3 z 1
5. Две параллельные прямые
и 
.



2
3
3
2
3
3
x4
y
z 1


6. Прямую и точку :
и А (2; 1; -1).
3
2
2
7. Три точки А (3; 0; -1), В (4; 1; 0), С (2; -5; 3).
x 1 y  3 z 1 x 1 y  3 z 1




8. Две пересекающиеся прямые
и
.
2
3
4
1
6
2
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(4,7,-8) перпендикулярно
плоскости 2 x  5 y  z  13  0 .
10. Найти точку, симметричную точке М(6,10,-7) относительно плоскости
2x  5 y  4z  2  0 .
 x  y  az  1
11. Определить при каком "а" прямая 
параллельна плоскости
2 x  y  3 z  3
x  y  2z  8 .
12. Найти проекцию точки М(2,1,0) на плоскость x  3 y  z  27 .
13. Составить
уравнение
плоскости,
проходящей
через
векторы
a1  (3,1,0); a2  (1,4,1) и точку А(0,1,-2).
 x  y  3z  4  0
14. Найти точку пересечения прямой 
с плоскостью, которая
2 x  3 y  4 z  5  0
проходит через точку Р(0,1,-1) перпендикулярно вектору a  (1,7,3) .
15. Вычислить расстояние между плоскостями 2 x  y  2 z  9  0 и 4 x  2 y  4 z  21  0
16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3,4,-5) параллельно
двум векторам a1  (3,1,1); a2  (1,2,1) .
17. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат
перпендикулярно плоскостям 2 x  y  3z  1  0 и x  2 y  z  0 .
18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2,3,-3) и
перпендикулярной векторам a1  2i  3 j  k; a2  i  j  4k .
2 x  y  z  1
19. При каком "" плоскость  x  4 y  3z  5 параллельна прямой 
?
 x  4 y  3z  3
20. При каком "t" плоскость 2 x  ty  10 z  7  0 будет перпендикулярна другой
плоскости, которая отсекает от координатных осей соответственно отрезки
a  4; b  1; c  5 .
1.
Прямую
Задание 14 Решить задачу. Сделать чертеж
60
1в Найти расстояние от центра окружности x 2  y 2  6 x  2 y  5  0 до асимптот
гиперболы 9 x 2  16 y 2  144 .
2в На параболе y 2  32 x взяты две точки М1 и М2 расстояния которых до фокуса этой
параболы равен 110. Составить уравнения окружности, диаметром которой служит
отрезок М1М2.
3в Директриса параболы пересекает эллипс 9 x 2  20 y 2  324 в точках (-4; 3) и (4; 3), а
расстояние от этих точек до фокуса параболы равно 2 5 . Составить уравнение параболы.
4в Окружность с центром в начале координат проходит через фокусы гиперболы
2
y2
х

 1 . Найти площадь прямоугольника, образованного в результате
144 25
последовательного соединения точек пересечения асимптот гиперболы и окружности.
y2
х2
5в Известно, что гипербола проходит через фокусы эллипса

 1 , а ее фокусы
289 225
совпадают с вершинами этого эллипса. Составить уравнение гиперболы.
6в Ось симметрии параболы параллельна оси абсцисс, а уравнение директрисы
x 10  0 . Составить уравнение параболы, если она пересекает ось Оу в точках (0; -5) и
(0; 11).
7в Равносторонняя гипербола x 2  y 2  9 проходит через фокусы эллипса. Составить
каноническое уравнение эллипса, если отношение эксцентриситетов гиперболы и
эллипса равна 2 .
8в Окружность с центром в начале координат проходит через фокусы гиперболы
2
y2
х
в результате

 1. Найти площадь прямоугольника, образованного
121 9
последовательного соединения точек пересечения асимптот гиперболы и окружности.
9в На прямой х  5 найти точку одинаково удаленную от «левого » фокуса и от
«верхней» вершины эллипса x 2  9 y 2  36 .
10в Директриса параболы пересекает эллипс 9 x 2  20 y 2  324 в точках (-4; 3) и (4; 3),
расстояние от этих точек до фокуса параболы равно 2 5 . Составить уравнение параболы
Задание 15 Найти указанные пределы (не используя правило Лопиталя), т.е.
0
0
не пользоваться при [ ] и [
1  4х 2  7х 4
1в lim 4
;
3
x  5х  6х  9 х
2 x 1
lim
x 0
1 

ln 1  2 
 x 
2  7х  7х 4
;
2в lim 4
2
x  3х  2 х  5х
2x 1
x  0.5 ln( 0.5  x )
x 0
х 2  9 х  18
lim 2
;
x 6 3 х  17 х  6
cos 6x  1
lim
;
x  0 x sin 2 x
x2  x  2
lim
x  2 x 2  3 x  4
2х
 х  1
lim 

x   х  3
4  5 õ  2 õ3
lim 4
;
x   5 õ  6 õ2  7 õ
2х 2  7х  4
lim
;
1
10х  5
x
4х 2  5х  8
lim
2 ;
x  1  3х  5х
lim
5х
;
x 0 arctgx
 х  1
lim

x   х 
2 x 2  3x  1
lim 2
x 1 5 x  4 x  1
sin 3 2 x
lim
;
x0
5x 3
2x 2  6x  5
lim
x  5 x 2  x  1
2х
 3х 
lim

x   1  3х 
lim
х 93
;
х 2  25  5
5 x 3  3x 2  2
lim
x  2 x 2  x  5
2  2х
lim
x  2 6х  4  4
x0
x7  x6  2
3в lim
х   x 7  x 2  3

2  3х 2  7х 4
lim 3
;
x  2 х  4 х  9 х
4х  х
lim 2
x  4 х  16
2
lim
lim 1  sin 2 2 x
f  x 

f x 
] формулой lim
 lim

d x 
d  x 

51
1 cos 4 x
61
2
2  5х
 4x 4  x3  6x 2
x 
 x4  x  3
lim x  5ln( x  3)  ln x 
4в lim
x 
 2 x 4  5x 2  2
x  3 x 4  4 x 2  x
lim 2 x  1ln x  3  ln x 
5в lim
x 
2х  6
;
x  3 х  2 х  15
1  cos 4 x
lim
;
x  0 cos 5x  1
3x 3  3x 2  1
x  6 x 2  4 x  5
lim
lim
3  x2  9
lim
x 
x2
x5  7x  1
lim
x    6 x 4  1
lim
2
х 2  3х  2
;
2
x 1 3х  4 х  7
lim х 2 ctg 2 3x
lim
x2  9  3
x 0
x 0
6x 5  2x 2  3
x  3x 5  3x 2  1
5
lim
ln( 2 x  5)
x 3 x  3
6в lim
3  x  5x
x   x 4  12 x  1
lim xln  x  1  ln x 
4
7в lim
x 
3x 4  x 2  6
x  2 x 4  x  2
x 2  4x  3
lim
x  1 tg ( x  1)
8в lim
x  2x 2  5x 4
x  2  3x 2  x 4
ln( x  4)
lim
x  2 ctg ( x  2)
9в lim
7x 4  2x 3  2
x 
x4  3
10в lim
1  cos 2 x
lim
x 0
x
x2  3  3
2x  x  1
lim
x  1
x2 1
lim
х 2  х  12
lim 2
;
x  4 2х  7х  4
cos x  cos2 x
lim
;
x0
3x sin x
2x  3  1
2x  3  7
6x 2  2x  4
lim 3
x  3 x  4 x  7
2x  1  1
lim
x 1
x 1  2
3x 4  2 x  1
lim
x  3 x 2  x  5
2x 1  5
lim
x 3
x 3
7x  4
lim 3
x  3 x  5 x  1
x 2
3x 2  x  14
x  2 2 x 2  16 x  24
sin 3 x  sin x
lim
x 0
2x
lim
2 x 2  18
lim 2
x 3 x  6 x  9
sin 2 x  2
lim 2
x 2 x  4 x  4
x 2  5x  4
x 1 3 x 2  4 x  7
lim (sin 6 x * ctg 4 x)
lim
1 x  1 x
lim
x 0
3x
4
3x  x 3  1
lim 2
x  x  6 x  7
2 x 3
lim
x 7
x7
x0
x 2  2x 1
x 1
x2  x
1  cos x
lim
x 0
5x 2
lim
5 x 2  3x  1
x  3x 2  x  5
lim
8
lim1  3х х
x0
3x 2  6 x  2
x  4 x 2  2 x  4
lim
 x3
lim 

x  x  2


1 2x
lim
x  3 x  2
x
 2x 1 
lim 

x   2 x  1


2
 3x  5 x  2
lim
x 
x 2  4x
x
5 x2
 3x  1 
lim 

x   3 x  2


2
5x  x  5
lim
x  4 x  2 x 2  1

lim 1  5 x 2
x 0


3
x2
2х 2  5x  3
x   x 2  5x  6
lim
lim 1  sin 3x 1cos 2 x
1
x 0
x 2  4x  5
x  3 x 2  6 x  4
lim
 x  4
lim 

x  x  2


2 x 3
Задание 16 Найти точки разрыва функции f (x) и установить их характер.
Указать односторонние пределы в точках разрыва. Построить график
функции
0, x  0

1 в f ( x)  
x

2
1  3 , x  0.
 x(1  x), x  0; 1
3 в f ( x)  
 1, x  0; 1.

 x1  x , x  0; 1
5 в f ( x)  

 1, x  0; 1
0, x  0

2 в f ( x)    1   4 x
1    , x  0
 2
x  0,
0,

x
4 в f ( x)   1 
2
 e  1, x  0
2
0, x  0
6 в f ( x)  
4 x
1  2 , x  0
62
 x(3  x), x  0; 2,
7 в f ( x)  
3, x  0; 2
0, x  0
8 в f ( x)  
4 x
1  e , x  0
 x 2 , x  0

x
9 в f ( x)   , 0  x  4,
2
 1, x  4
 x  4, x  1

10 в f ( x)   x 2  2,  1  x  1,
2 x , x  1

Задание 17 Найти точки разрыва функции f (x) и установить их характер.
Указать односторонние пределы в точках разрыва. Построить график
функции:
cos x, x  0,
1 в f ( x)  
0, x  0.
sin x, x  0,
2 в f ( x)  
2, x  0.
2 sin x, x  0,
3 в f ( x)  
2, x  0.
 sin 2 x
,x0

5 в f ( x)   x
2, x  0
1
 cos x, x  0,
7 в f ( x)   2
0, x  0.
2ctgx, 0  x   ,
4 в f ( x)  
0, 0  x   .


sin( x  ), x  0,
9 в f ( x)  
4
2, x  0.
1
  cos x, x  0,
10 в f ( x)   2
0, x  0.
 sin x
,x0

6 в f ( x)   x
1, x  0.


2tgx, 0  x  2 ,
8 в f ( x)  
0, 0  x   .

2
Задание 18 Найти производные
1в y  cos ln( 1  x 2 )
y
dy
первого порядка данных функций
dx
y  arcsin 1  3 x
2x
(5 x  3) 4
y  n
x2
 3x3 x
x 1
x
 x2  y2  0
y
2x
2в y  tg 5
5
y  (ln x) * (e 2 x  e x  ln 2y) (arctgx) ln x
e 2 x  e 2 x
y = arctg
4`
2
y  xtgx  n cos x 
y  ln (1  sin x) /(1  sin x) y  arctg (tg x)
ln y  arctg ( x / y )
y  ln e 3 x  e 3 x
arcsin
 5x
y  (ln x)  (5 x 
63
4
2x  5
y  (x  x2 ) x
)
3в y 
tgx  sin x
2 cos 2 x
y  (3  6 x) / 3  4 x  5x 2
x
 xy  x 3  0
y
4x
4в y  cos 3
3
arcsin
xy  x 2  arcsin
y
0
x
5в y  sin x 4 x
 2x
2
 1  2x
y  tg e 7 х

y  3 (1  x 2 ) /(1  x 2 )
y  ln tg
y
y  (ln x) 2 x
5 ln x
3
x2
x
1 1 x2
y  n
x2
 4 x4 x
x 1
y  (ln x) * (3 x  3 x  ln 2y) (sin x) ln x
4
(2 x  1) 4
1
x4
ó  ln 2
3 x  3x
y  3 (1  7 x) 4 
 1  x2
y  arctg
x2
4
2
y  3 (1  5x)  3
( y / x)  arctg ( x / y )
6в
y  ln
2
ó  1  4 x 2 arcsin 2 x 2 y  x  x arcsin x 
7
(2 x  1) 5
y  1 / 2tg 2 x  ln cos x
y  x 3 (3nx  1) 
x 1
 n

y  4 x ln( 6  2 x)
y  (cos x) x
y   5 x (5 x  1) 
ó

3
2
ctg 2 3x
2nx  1
x2
y arcsin x  arccos( x  y ) y = x2arctgx - ln x 2  1
õ2
ó  ln
 3õ3 õ
õ 1
7в y  sin 2 (1  5x)
y  (sin 2 x) /( 2  3 cos 2 x) y  n ( x  1) 
2
(2 õ  1) õ2  õ
ó
õ2
x
xy  y 3  arctg  0
y
y=
y  (3 x ) 2 x
x2
4 x
4
x
sin 2
4
ó  ln( 3x  9 õ  1)
y  x2
1
y  tg 3 ( )
x
x
y  5 ln x  ln 3
y  3arctgx
y  (ln x) 2 / x
y  cos ln( 1  x 2 )
y  tg 5
2
x
4
2
y  x  1  3 x3  1
3
4
x
4  cos 2
8в y  sin 4
x
4
y2x  ey/ x
y   5 x (5 x  1) 
2nx  1

x2
9в
y  x(nx  1)   (3x  1)
3x
y cos x  sin( x  y )
10в y 
ó  4  x 2  arcsin
arcsin 4 x
x  cos x
xy  x 2  y 2  arcsin
4
y  (1  5 x) 
(3x  1) 2
3
y
x
0
y
5x
2
y  e x (
y
3x
(4 x  1) 3
x
 5x )
x3
sin 2 x  cos 2 x
cos x  sin x  4
y  7 x (tgx  6 x )
ó  4 tg8x  1
Задание 19 Вычислить пределы использую правило Лопиталя
x 2  4x  3
x  1 tg  x  1
1 в im
x  32
x  3 arcsin  x  3
2 в im
64
3
2x
5
3
y  (ln x) х
y  n
x  12  33 x 2
x2
y  x tgx
3 в im arcsin x  ctgx
x 0
x 1
5 в im
x 
7 в im
x 
4 в im 1  x tg
  2arctgx

e3 x  1
n 1  1

x
x
a
x2
  2arctgx
2x  4
x  2 arcsin  x  2 
9 в im
6 в im

2
nx  1
x 1
x
ctg 
x
2x  1  1
8 в im
x 1
3x  3
10 в im
x 1
arcsin 2  2 x 
2x  2x 2
Задание 20
Исследовать методами дифференциального исчисления и
построить графики функций. Для функций из пункта а) найти дополнительно
наибольшее и наименьшее значение на отрезке [а; b].
1в
3в
5в
7в
9в
а) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 5
a = -1; b = 4.
х2  8
б) у =
х3
а) y = 2x3 – 15x2 + 36x – 32
a = 1; b = 4.
х 2  15
б) у =
х4
а) y = x3 – 9x2 + 24x – 18
a = 0; b = 3.
х 2  27
б) у =
х3
а) y = x3 + 6x2 + 9x + 2
a = 0; b = 4.
х2  9
б) у =
х4
а) y = x3 – 6x2 + 9x +1
a = -1; b = 2.
х2  5
б) у =
х2
2в
а) y = x3 + 9x2 + 2x + 17
a = -5; b = -1.
х 2  24
б) у =
х 1
4 в а) y = 2x3 – 9x2 - 24x = 61
a = -2; b = 3.
х 2  12
б) у =
х4
6 в а) y = 2x3 + 9x2 + 12x + 7
a = -3; b = 1.
х 2  16
б) у =
х3
8 в а) y = 2x3 + 3x2 - 36x – 21
a = -4; b = 1.
х2  1
б) у =
х
10 в а) y = 2x3 – 15x2 + 24x + 4
a = 1; b = 5.
х2
б) у =
х 1
Задание 21 Решить задачи методами дифференциального исчисления
1в Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема
цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус его основания,
чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
2в Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается
вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна
быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения,
имело наибольший объем?
3в Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
65
4в Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно
вписать в шар радиусом R.
5в Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около
шара с радиусом R.
6в При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной
вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
7в Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна
равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее
количество света?
8в В точках А и В находятся источники света силы соответственно F1 и F2 .
Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М.
Замечание: освещенность точки источником
света силы
F обратно
2
пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света Е=kF/r , k = const.
9в Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного
поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка
оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
Замечание: сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению
ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты: Q = kxy,
k = const.
10в Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V.
Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна р1 руб.,
а стенок - р2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на
материал для его изготовления были наименьшими?
Указание: рекомендуется принять за аргумент отношение радиуса r дна бака к
его высоте h ( = h/r).
Задание 22 Объем продукции u (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня
представляет функцию u  f (t ) , где
t – время (ч). вычислить
производительность труда z(t), скорость  t  и темп (Т2 (t)) ее изменения
через t1 (ч) после начала работы и за t2 (ч) до ее окончания.
1в u  -
5 3 15 2
t  t  100 t  30 (усл.ед.)
9
2
t1 = 1 час
t2 = 1 час;
2в u  -
5 3 15 2
t  t  50 t  50 (усл.ед.)
6
2
t1 = 2 часа
t2 = 2 часа;
3в
u  - t 3  5 t 2  75 t  425 (усл.ед.)
t1 = 1 час
4в
u  - t 3  5 t 2  75 t  425 (усл.ед.)
t1 = 2 часа
t2 = 2 часа;
5в
u  - t 3  4 t 2  70 t  300 (усл.ед.)
t1 = 1 час
t2 = 1 час;
6в
u  - t 3  5 t 2  75 t  300 (усл.ед.)
t1 = 1 час
t2 = 2 часа;
7в
5
15
u  - t 3  t 2  75 t  50 (усл.ед.)
9
2
t1 = 1 час
8в
u  - 2 t 3  3 t 2  70 t  300 (усл.ед.)
t1 = 2 часа
66
t2 = 1 час;
t2 = 2 час;
t2 = 1 час;
5
15
u  - t 3  t 2  75 t  50 (усл.ед.)
6
2
9в
10в u  -
t1 = 2 часа
2 3 7 2
t  t  80 t  50 (усл.ед.)
3
2
t1 = 1 час
t2 = 1 час;
t2 = 1 час.
Указание:
1) Производительность труда: z (t )  u  (t ) ;
2) Скорость изменения производительности труда:  (t )  z  (t ) ;
3) Темп изменения производительности труда: логарифмическая производная т.е.
T2 (t)  (n z (t )) 
Раздел V Дополнительные задания для самостоятельной работы
1 Как изменится произведение матриц А и Е, если переставить i – ю и j-ю
строки матрицы Е?
 а11

 а 21
а
 31
а
 41
а12
а 22
а13
а 23
а 32
а 42
а 33
а 43
а14   1
 
а 24   0
*
а 34   0
 
а 44   0
0 0 0

0 1 0
1 0 0

0 0 1 
2 Как изменится произведение матриц А и Е, если заменить в i – й строке
матрицы Е единицу на число р?
 а11

 а 21
а
 31
а
 41
а12
а 22
а13
а 23
а 32
а 42
а 33
а 43
а14   1
 
а 24   0
*
а 34   0
 
а 44   0
0 0

р 0 0
0 1 0

0 0 1 
0
3
Вычислите определители, если возможно несколькими способами:
а)
sin x cos x
,
 cos x sin x
sin 
б)
sin 
cos 
в)
cos 
ab a 2
b2
4 1 0
3 5 2
å)
2 3 0
5
0
3
х 1 1
4
ж) 2  1 0
1
1 2 1
0 5
4 Вычислите определители:
67
ab
,
,
0 х 0
г) у 0 0 ,
0 0 z
д)
1 b
0 b
1
0
b 0 b
1
1
1 1
1 1
1
1
.
.
.
1
0
0
0
0
.
1
2
1
2
.
2
.
.
.
..
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
.
.
3
.
3
.
.
.
..
.
3
.
0
.
0
.
0
.
0
.
.
.
1 1 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 1  1  1  1  1  1 ... п  1
.
. 1
1 0
.
.
.
. . .
.
.
0 1 0 .
.
.
1 0 0 1 1 1
,
0
1
0
0
..
.
0
.
.
.
...
0
0
0
5 Вычислите определители матрицы:
п
п
п

п
 п п 1
п
п
п2

а )  ... ...
...
п
п
п

п
п
п

п
п
п
... п
п
п
п
...
3
п
п
п
п
...
п
2
п
...
...
...
...
...
...
2 1 0 0 . 0 0
1 2 1 0 . 0 0
á) 0 1 2 1 . 0 0
.
.
.
.
.
.
â)
.
0 0 0 0 . 1 2
п

п
п

... ,
п 
п

1
õ
à1
à2 . àï 1 1
à1
õ
à2 . àï 1 1
à1
à2
õ
. àï 1 1
.
.
.
.
.
.
à1
à2
à3 .
õ
1
à1
à2
à3 .
àï
1
6 Не раскрывая определителей, докажите:
а)
б)
sin 
sin 2 
sin 2 
2
cos 
cos 2 
cos 2 
2
cos 2
cos 2   0
cos 2
г)
в)
1
2
2
3
1
2
3
1
0
5  2 3 1
7
3
8 2
д)
a1
b1
a2
a1   a 2
b2
b1   b2
c1
c2
0
c1   c2
0
1 1 17
2 2 15  0
3 3
9
е)
3
2 1
3
2
7
2 3 2  2 3 2
4 5 3
4 5 11
ж)
68
 b1   c1 b1 c1
 b2   c2 b2 c2  0
 b3   c3 b3 c3
x1  x 2
2
x1  x2
2
x1
y1  y 2
2
y1  y 2
2
y1
1
1
1
1 x1
2 x2
y1
y2
7 Решите уравнения:
6
3
х 1
2х  1 3
х2 у3
1
0  0 г)
 0 , б)
 0 , в) 2 х
х5 2
 у 3 х2
4 х2 2
а)
2х  1 х  1
 6
х  2 х 1
8 Решите неравенства:
3 2 1
а) 1 x  2  1
1 2 1
2 x  2 1
б) 1 1  2  0
5 3
x
1
3 2
в) 2  3х 0
3
2
5 0
1
9 Найдите матрицы обратные данным, несколькими способами:
1 4
 cos x  sin x 
 , б) 

2
3
sin
x
cos
x




а) 
с 4 1 


10 При каких значениях с матрица А =  2 5  1 не имеет обратной?
0 с 1 


11 Найти матрицу обратную данной, если данная матрица п – ого порядка:
1

1
а ) 1

.
1

1 1 . 1

0 1 . 1
1 0 . 1  б)

. . . .
1 1 . 0 
1

0
0

.
0

1 1 . 1

1 1 . 1
0 1 . 1 в )

. . . .
0 0 . 1
 1 1 0

1 2 1
 0 1 2

.
.
 .
0
0
0

0
0
0

.
.
.
.
.
.
0

0
0
0
0

.
. 
2  1
 1 2 
0
12 Решите матричное уравнение:
1

0
0

.
0

1
1
0
.
0
1
1
1
.
0
.
.
.
.
.
1
1


1
0
1 * Х   0


.
.

0
1

2
1
0
.
0
3
2
1
.
0
.
п 

. п  1
. п  2

.
. 
.
1 
13 При каком значении р матрица имеет наименьший ранг?
1

3
9

3

3 1 2

9 4 5
5 9 7

7 5 р 
69
14 Найдите ранг матрицы при различных значениях р:
1

2
а) 
3

1

3 2 0

 3 1 3 
, б)
 6 1 р

 2 0 1 
3

р
1

2

1 1 4

4 10 1 
в)
7 17 3 

2 4 3 
р

1
1

1
р
1
1
1
р
1 

р
р 2 
15 Найдите ранг матрицы п – ого порядка
1
1
1  п

1
 1 1 п
 1
1 1 п

.
.
 .
 1
1
1

. 1 

. 1 
. 1 

.
. 
. 1  п 
16 Какому условию должны удовлетвлрять ненулевые векторы а и b чтобы
имело место соотношение
.
17 Могут ли векторы быть сторонами треугольника: = (-2;1;-2);
= (-2;-4;4); = (4;3;-2).
18 Проверить могут ли векторы быть = 7i+6j-6k, =6i+2j+9k ребрами куба.
Найти третье ребро, если можно.
19 Векторы = (1;1;0); = (0;1;-1);
имеют равные длины и попарно
образуют равные углы. Найти координаты вектора .
20 Найти
(1;2;-2); (-2;3;1);
(1;3;5); (1;0;-2) (3;-2;2).
21 При каких значениях
прямая (
)х + (
) у -1 = 0 отсекает
на оси ОХ отрезок равный 1/7, а на оси ОУ – отрезок равный 1/2 единиц
масштаба.
22 Даны точки М1(-3;8) и М2(2;2). На оси абсцисс найти такую точку М,
чтобы ломаная М1ММ2 имела наименьшую длину.
23 При каком значении
прямая х + у +
+ 2 + 1= 0 проходит через
начало координат.
24 При каких значениях
пары прямых параллельны и перпендикулярны:
а) 2х-3у+4=0 и х-6у+7=0; б) х-4у+1=0 и -2х+у+2=0; в) 4х+у-6=0 и 3х+ у2=0; г) х- у+5=0 и 2х+3у+3=0.
25 Можно ли подобрать коэффициенты
так, чтобы прямые 5х- 3у +1 = 0
и
х + у – 2 = 0 совпадали.
26 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;-1) так, чтобы
середина ее отрезка между прямыми 2х - 3у - 6 = 0 и 2х - 3у + 6 = 0 лежала
бы на прямой 2х +15у – 42 = 0.
27 Можно ли провести окружность через четыре точки (1;-2); (5;2); (5;-6);
(7;1).
70
28 Найти уравнение окружности, симметричной окружности х2-2х+у2+4у+4=0
относительно прямой х+у=5.
29 Составить уравнение плоскости различными способами, проходящей
2 х  у  6 z  3  0
 x  y  2z  6  0
через точку М(2;-3;0) и прямую 
30 При каких значениях р и В прямая перпендикулярна плоскости 6х+Ву3z+1=0, если уравнение прямой имеет вид:
х 1 у  2 z  3


3
4
p .
31 Что можно сказать про области определения и области значения данных
2
функций f ( x)   x  и f ( x)  x 2 , f ( x)  sin(arcsin x) и f ( x)  arcsin(sin x)
31 Постройте график функции:
а)
б)
log x  1 , при х  0,
f ( x)   2
log 2 x  1 , при х  0,
г) f ( x)  sin 4 x  cos 4 x
в)
f ( x)  х  х  1  х  2
log x  1 , при х  0, х  1
f ( x)   2
 log 2 x  1 , при х  0, х  1
д) f ( x)  x  sin x
1
е) f ( x)   
2
x 1
x
32 Сколько натуральных значений x содержит область определения функции
f ( x) 
ln( x 2  9)
9 x
 x
x4
2  64
Найти
33
область
значений
функций:
2
2
f ( x)  sin x  80 cos x , f ( x)  sin x  80 cos x , f ( x)  х  1 f ( x)  arcsin x  1
х
f ( x) 
,
2x
,
x
x 1
34 Исследовать данные
схематический чертеж
1
а) f(x)= 5 х 5  2 .
г)
4
,
х2
f(x)= 3 х
2
функцию
на
непрерывность
1
,
х  3х 2  4 х
1
д) f(x)= 2
,
х  5х  6
б) f(x)=
3
и
в) f(x)=
построить
х3
х  х 2  12 х
3
35 Вычислить пределы
а)
lim
n 
г)
1  2  3  4  5  ...  n
1 n2
б)
в)
1

2
lim
n 
1
1 
3
1
д)
71
1
1
 ...  n
2
2
2
1
1
 ...  n
2
3
3
lim
n 
е)
n sin n !
n2  1
 (n 4  1)( n 2  1)  n 6  1 

lim 
n  

п



ж) lim n 2  n  1  n 2  n  1
n 
к)

 1
1
1 
lim 

 ... 
n  1  2
23
n(n  1) 

lim
з)
и)
n!
n  n  1 ! n !
1 
1 1 1
lim     ...  n 
n  2
4 8
2 

л)
sin( x  x )
x  x2
3
lim
n 0
н) lim
n0
о)

м)
x

 sin 
5
lim 
n 0 
x 




tgx 2
(arcsin x) 2

lim n 2 n  n 2  1
n 
x2
5  х  25
n 0
tgx
lim
cos 2 x  cos 3 x
n 0
e arcsin x  1
п) lim
n 0
lim
x * arctg3x 2
tgx ln( 1  sin 2 x)
36 Показать, что функция y = у(х) удовлетворяет уравнению
у=3
F(x,y,y',y") = 0:
, хуу"- xу'2-yу' =0; y=
, ху"-у'
y=
, х2уу"-(у-ху')2 =0;
=0.
37 Выяснить, какие функции являются непрерывными, но не дифференцируемыми в точке х0:
1) ó  õ  2 , x0  2
2) ó  õ  5 , x0  5
3) ó  5 õ  8, x0  8

4) ó  tg ( x  ), x0  
5) ó  3õ2  4 õ  1 , х0=0
4
38 При каком значении параметра а функция ó  ln( x  a x 2  1)
является дифференцируемой в точке х0=1?
39 При
каком
значении
х0
касательная
к
графику
функции ó  2 2 ln( x  x  1) наклонена к оси абсцисс под углом 45°?
40 Найти пределы используя правило Лопиталя:
lim
x 1



3  x 3x  2 x  2
lim sin x 
x 0

x  1 ln x
x
lim
x 0
x
2

 6 sin x
1  x ln 1  x
lim (1  xe x )
1
x

3
lim
x 0

lim (1  x 2 e x )
x 


x  x 1 x 1
e x  e x

1
x
x 
41 На сколько метров изменится сторона квадрата, если его
площадь увеличилась от 25,0 м2 до 25,5 м2?
42 С какой относительной погрешностью допустимо измерить
радиус шара, чтобы его объем можно было определить с точностью до 6 %?
43 Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема,
описанного около шара радиуса R.
44 Лодка находится в 3 км от ближайшей точки А берега. Гребец должен
попасть за кратчайшее время в село В, находящееся на берегу на расстоянии
72
5 км от А. В какой точке берега должен высадиться гребец, если известно,
что скорость его на лодке 4 км/ч, а пешком - 5 км/ч?
45 Сечение шлюзового канала имеет форму прямоугольника, завершаемого
полукругом. Зная площадь сечения S, определить при каких условиях
периметр сечения будет наименьшим.
46 Из круга вырезан сектор с центральным углом . Из оставшейся части
круга свернута воронка. При каком значении угла  вместимость воронки
будет наибольшей?
47
х2 y2
В эллипс 2  2  1 вписать прямоугольник наибольшей площади со
а
b
сторонами, параллельными осям координат.
48 Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какой длины должны
быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого
треугольника вокруг боковой стороны, был наибольшим?
Раздел VI Тестовые задания
1.
Выберите правильный ответ:
 a11 a12

 a21 a22
a) Таблица чисел вида аij и обозначаемая A  
... ...

a
 n1 an 2
состоящей из n строк и m столбцов размерности n m.
b) Таблица вида аi j называется матрицей
А11
А12
А13
А14
А15
А16
А17
А18
А19
... a1m 

... a2 m 
- называется матрицей
... ... 

... anm 
стол парта
и обозначаемая А называется матрицей состоящей
стул кресло
из m строк и n столбцов размерности n m.
с) Таблица вида А =
2.
Выберите правильный ответ:
a) Если n = m, то А - квадратная матрица n – ого порядка.
b) Если n = 1 и m > 1, то А - квадратная матрица порядка n
c) Если n > 1 и m = 1 , то А - квадратная матрица порядка m
3.
Выберите правильный ответ:
1

1
a) Матрица вида Е  
...

1
1 ... 1 

1 ... 1 
называется единичной
... ... ... 

1 ... 1 
73
0

0
b) Матрица вида Е  
...

1

1

0
c) Матрица вида Е  
...

0

0 ... 1 

1 ... 0 
называется единичной
... ... ...

0 ... 0 
0 ... 0 

1 ... 0 
называется единичной
... ... ...

0 ... 1 
4.
Выберите правильный ответ:
a) Матрицы А и В (А = В) называются равными, если они одинакового размера и их
соответствующие элементы равны
b) Матрицы А и В (А = В) называются равными, если а11= в11 , а12= в21 ,
а13= в31, , а14= в41, …, аij = вji
c) Матрицы А и В (А = В) называются равными, если они одинакового размера
5.
Выберите правильный ответ:
 a11 a12

 a21 a22
a) Матрица АТ называется транспонированной к матрице A  
... ...

a
 n1 an 2
определитель матрицы равен нулю.
 a11 a12 ... a1ï 
 a11 a 21 ... a т1 




a
a
...
a
 a21 a22 ... a2 ï 


12
22
т
2
Åñëè A  
b)
то АТ  

... ... ... ...
... ... ... ... 




a

 aò 1 aò 2 ... aò n 
 1п a 2 п ... a тп 


транспонированной к матрице А.
 a11 a12

 a21 a22
c) Матрица АТ называется транспонированной к матрице A  
... ...

a
 n1 an 2
все элементы главной диагонали матрицы А заменить нулями.
... a1m 

... a2 m 
, если
... ... 

... anm 
называется
... a1m 

... a2 m 
, если
... ... 

... anm 
6.
Выберите правильный ответ:
a) Матрица А называется нуль – матрицей, если все элементы матрицы равны нулю.
b) Матрица А называется нуль – матрицей, если определитель матрицы равен нулю, а
элементы не равны нулю.
c) Матрица А называется нуль – матрицей, если все элементы по главной диагонали равны
нулю, а остальные отличны от нуля.
7.
Выберите правильный ответ:
a) Суммой матриц А и В, одинакового размера, называется число, равное сумме всех
элементов матриц А и В.
b) Суммой матриц А и В называется матрица С (А+В = С), составленной присоединением к
матрице А справа, элементы матрицы В
74
c) Суммой матриц А и В, одинакового размера, называется матрица С (А+В=С), элементы
которой равны сумме соответственных элементов матриц А и В
8.
Выберите правильный ответ:
a) Сложение матриц коммутативно, ассоциативно, при сложении матрицы А с нулевой
матрицей получится матрица А
b) Сложение матриц не коммутативно, ассоциативно, при сложении матрицы А с нулевой
матрицей получится матрица А
c) Сложение матриц коммутативно, не ассоциативно, при сложении матрицы А с нулевой
матрицей получится нулевая матрица
9.
Выберите правильный ответ:
a) Разностью матриц А и В, одинакового размера, называется число равное разности:
сумма всех элементов матрицы А минус сумма всех элементов матрицы В
b) Разностью матриц А и В, называется матрица С (А – В = С), составленной
присоединением к матрице А слева, элементы матрицы В
c) Разностью матриц А и В, одинакового размера, называется матрица С (А – В = С),
элементы которой равны разности соответственных элементов матриц А и В
10.
Выберите правильный ответ:
a) Произведением матрицы А на число λ, называется число равное произведению числа λ
на сумму всех элементов матрицы А
b) Произведением матрицы А на число λ, называется матрица В того же размера, что и
матрица А и элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие
элементы матрицы А
c) Произведением матрицы А на число λ, называется матрица В и элемент которой равен
произведению числа λ на сумму всех элементов матрицы А
11.
Выберите правильный ответ:
a) При умножении матрицы А на нуль получится число равное сумме произведений всех
элементов матрицы А и нуля, при умножении матрицы А на единицу получится матрица А
b) При умножении матрицы А на нуль получится нуль-матрица, при умножении матрицы
А на единицу получится матрица А
c) При умножении матрицы А на нуль получится нуль-матрица, при умножении матрицы
А на единицу получится единичная матрица
12.
Выберите правильный ответ:
a) При умножении матрицы А на матрицу В необходимо:
1) чтобы количество строк матрицы А было равно количеству столбцов матрицы В;
2) составить матрицу, элементы которой равны произведению сумм каждого элемента
каждой строки матрицы А и каждый элемента каждого столбца матрицы В
3) полученные суммы поставить в соответствующую строку и столбец
b) При умножении матрицы А на матрицу В необходимо:
1) чтобы количество строк матрицы А было равно количеству столбцов матрицы В;
2) составить матрицу, элементы которой равны сумме произведений каждого элемента
каждой строки матрицы А на каждый элемент каждого столбца матрицы В
c) При умножении матрицы А на матрицу В необходимо:
1) чтобы количество столбцов матрицы А было равно количеству строк матрицы В;
2) составить матрицу, элементы которой равны сумме произведений каждого элемента
каждой строки матрицы А на каждый элемент каждого столбца матрицы В
3) полученные суммы поставить в соответствующую строку и столбец
13.
Выберите правильный ответ:
a) Умножение матриц не коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно, умножение
матрицы А на единичную матрицу коммутативно и получится матрица А
75
b) Умножение матриц не коммутативно, не ассоциативно, умножение матрицы А на
единичную матрицу не коммутативно и получится матрица А
c) Умножение матриц не коммутативно, ассоциативно, умножение матрицы А на
единичную матрицу не коммутативно и получится единичная матрица
14.
Выберите правильный ответ:
a) При возведении произвольной матрицы А в п-ую степень, необходимо матрицу А
умножить саму на себя п раз, для любого натурального п
b) При возведении матрицы А в п-ую степень, необходимо матрицу А умножить саму на
себя п раз, при условии что матрица А квадратная
c) Действие возведение матриц в степень неопределенно
15.
Выберите правильный ответ:
a) Определителем матрицы называется число поставленное в соответствие каждой
квадратной матрице по определенному правилу или закону
b) Определителем матрицы называется матрица поставленная в соответствие каждой
квадратной матрице по определенному правилу или закону
c) Определителем матрицы называется число поставленное в соответствие любой
матрице по определенному правилу или закону
16.
Выберите правильный ответ:
a) Определители матриц А и АТ равны по значению, но противоположны по знаку
b) Определители матрицы А и матрицы АТ равны
c) Определители матрицы А и матрицы АТ не равны
17.
Выберите правильный ответ:
a) Определитель матрицы А меняет знак на противоположный, если к элементам какой
либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или
столбца, умноженные на одно и то же число
b) Определитель матрицы А изменяется, если к элементам какой либо строки или столбца
прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и
то же число
c) Определитель матрицы А не меняется, если к элементам какой либо строки или столбца
прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и
то же число
18.
Выберите правильный ответ:
a) Определитель матрицы А не изменяется, если поменять местами его две строки или два
столбца
b) Определитель матрицы А меняется по значению, если поменять местами его две строки
или два столбца
c) Знак определителя матрицы А изменяется на противоположный, если поменять местами
его две строки или два столбца
19.
Выберите правильный ответ:
a) Определитель матрицы равен нулю, если матрица единичная
b) Определитель матрицы А равен нулю, если элементы двух строк или двух столбцов
соответственно пропорциональны
c) Определитель нуль -матрицы равен единице
20.
Выберите правильный ответ:
a) Минором элемента аij (Мij ) называется определитель полученный из данного
вычеркиванием i – строки и j - столбца
b) Минором элемента аi j (Мij) называется число полученное вычитанием из определителя
матрицы А элемента аi j
76
c) Минором элемента аi j (Мij) называется элемент аi j взятый с противоположным знаком
21.
Выберите правильный ответ:
a) Алгебраическим дополнением элемента аi j (Аij ) называется его минор, взятый со
знаком (-1) i+j
b) Алгебраическим дополнением элемента аi j (Аij) называется его минор, взятый со знаком
(-1) i*j
c) Алгебраическим дополнением элемента аi j (Аij) называется его минор, взятый со знаком
(-1) i - j
22.
Выберите правильный ответ:
a) Определитель матрицы А равен произведению сумм элементов какой-либо строки
(столбца) и их алгебраических дополнений
b) Определитель матрицы А равен разности произведений элементов какой-либо строки
(столбца) на их алгебраические дополнения
c) Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов какой-либо строки
(столбца) на их алгебраические дополнения
23.
Выберите правильный ответ:
a) Для вычисления определителя п-ого порядка необходимо выполнить разложение
определителя А по элементам строки или столбца, при п >1
b) Для вычисления определителя п-ого порядка необходимо выполнить разложение
определителя А по элементам строки или столбца
c) Для вычисления определителя п-ого порядка необходимо выполнить разложение
определителя А по элементам каждой строки, при п >2
24.
Выберите правильный ответ:
a) Определитель произведения квадратных матриц А и В одного порядка, равен
произведению определителей перемножаемых матриц, т.е. если С=А*В, то С = А * В
b) Определитель произведения матриц, равен произведению определителей
перемножаемых матриц, т.е. если С=А*В, то С = А * В
c) Определитель произведения квадратных матриц одного порядка, равен С =
1
À*Â
25.
Выберите правильный ответ:
a) Обратной матрицей называется матрица А-1, удовлетворяющая условию А*Е=А-1 и
 А11 А21 ... Ап1 


А
А
....
А
~
~


12
22
п
2
вычисляемая по формуле А-1=(1/ А )* А , где А = 
...
... .... ... 


А

 1п А2 п .... Апп 
b) Если матрица А квадратная, то обратной для нее матрицей называется матрица А-1,
~
удовлетворяющая условиям А*А-1=Е и А-1*А=Е и вычисляемая по формуле А-1= А * А , где
 А11 А21 ... Ап1 


~  А12 А22 .... Ап 2 
А =
...
... .... ... 


А

А
....
А
2п
пп 
 1п
c) Если матрица А квадратная, то обратной для нее матрицей называется матрица А-1,
удовлетворяющая условиям А*А-1=Е и А-1*А=Е и вычисляемая по формуле
77
 А11

~
~  А12
-1
А =(1/ А )* А , где А = 
...

А
 1п
А21 ... Ап1 

А22 .... Ап 2 
... .... ... 

А2 п .... Апп 
26.
Выберите правильный ответ:
a) Если определитель матрицы равен нулю, то матрица А называется вырожденной, если
определитель матрицы равен единице, то матрица А называется невырожденной
b) Если определитель матрицы равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в
противном случае матрица А называется невырожденной
c) Если определитель матрицы равен единице , то матрица А называется вырожденной, в
противном случае матрица А называется невырожденной
27.
Выберите правильный ответ:
a) Если матрица А вырожденная, то для нее существует обратная матрица
b) Если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица
c) Если матрица А невырожденная, то для нее не существует обратная матрица
28.
Выберите правильный ответ:
a) Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составленного из элементов
А, отличный от единицы.
b) Рангом матрицы А называется наивысший порядок алгебраического дополнения,
составленного из элементов А, отличный от нуля.
c) Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составленного из элементов
А, отличный от нуля.
29.
Выберите правильный ответ:
а) К элементарным преобразованиям над матрицами относят: перемена местами двух
строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число отличное от нуля; прибавление к
элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов строки (столбца)
b) К элементарным преобразованиям над матрицами относят: перемена местами двух
строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число отличное от нуля; прибавление к
элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов столбца (строки);
сложение матриц
c) К элементарным преобразованиям над матрицами относят: перемена местами двух
строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число отличное от нуля; прибавление к
элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов строки (столбца);
умножение матрицы на единичную матрицу
30.
Выберите правильный ответ:
a) При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется
b) При элементарных преобразованиях ранг матрицы изменяется
c) При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется по значению, но
изменяется по знаку.
31.
Выберите правильный ответ:
a) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее нулевых строк
b) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк
c) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее всех строк матрицы
32.
Выберите правильный ответ: Матрица Е является единичной
78
1 1 1
а) 1 1 1
1 1 1


1 0 0
b)  0 1 0 
0 0 1


0 0 1
c)  0 1 0 
1 0 0


Выберите правильный ответ:
 4 1 1


a) Матрица А=  6 2 1 является матрицей-столбцом третьего порядка
 1 3 1


 4 1 1


b) Матрица А=  6 2 1 является матрицей-строкой третьего порядка
 1 3 1


 4 1 1


c) Матрица А=  6 2 1 является квадратной матрицей третьего порядка
 1 3 1


 4 1 1


34.
Выберите правильный ответ: Если матрица А=  6 2 1 , то АТ
 1 3 1


c)
 4 6 1
 1 3 1




А Т = 4+1+1+6+2+1+1+3+1=
а)  1 2 3 
b)  6 2 1
=20
 1 1 1
 4 1 1




33.
35.
Выберите правильный ответ:
Если существует матрица А+АТ, то матрица А ….
a) может быть произвольной
b) является квадратной
c) является нулевой (размера n m, где n m )
d) может быть единичной
Выберите правильный ответ:
 2 5
2 1 0 
 и В = 
 . Выяснить, какие из следующих операций
Даны матрицы А= 
1 3 
 4 3 0
можно выполнить:
1)
А + В; 2) Ат + В; 3) А + Вт ; 4) АВ; 5) ВА; 6) Ат В; 7) АВт 8) Ат Вт ; 9)Вт Ат.
a) 6; 7; 8; 9.
b) 4; 6; 9
c) 4; 5;
36.
37.
Выберите правильный ответ:
 2 0  5 3  5 3  2 0
  
  
  

a) 
 7 9  7 2  7 2  7 9
 2 0  5 3  5 3  2 0
  
  
  

b) 
 7 9  7 2  7 2  7 9
79
 2 3
 2 3

  2 1 4  2 1 4 

   5 1 
  
c)  5 1   
 0 2  3 5 2  3 5 2  0 2




38.
Выберите правильный ответ:
a)
b)
 2 1  0 0  0 0
 2 1  0 0

  
  


  
  8  0  8
 3 2  0 0  0 0
 3 2  0 0
c)
 2 1  0 0  2 1

  
  

 3 2  0 0  3 2
Выберите правильный ответ:
 3 2 4  6 4 8
  

a) 2 * 
 0 5 3   0 10 6 
39.
3
b) 2 * 
0
3
c) 2 * 
0
2 4
  2 * (3  2  4  0  5  3)  34
5 3 
2 4   3 2 4   3 2 4   9 4 16 

*


5 3   0 5 3   0 5 3   0 25 9 
Выберите правильный ответ:
 3 2 4  3 2 4
 3 2 4
3
  
)  2 * 
  2 * 
a) 2 * (
 0 5 3  0 5 3
0 5 3
0
 3 2 4  3 2 4
 3 2 4
3
  
)  2 * 
  2 * 
b) 2 * (
 0 5 3  0 5 3
0 5 3
0
40.
2 4

5 3 
2 4

5 3 
 3 2 4  3 2 4
 3 2 4  3 2 4
  
)  2 * 
  

c) 2 * (
 0 5 3  0 5 3
 0 5 3  0 5 3
Выберите правильный ответ:
1
 2   5 6  1 * 5  3 * 6 2 * 5  4 * 6   23
 * 
  
  
a) 
3
4
7
8
1
*
7

3
*
8
2
*
7

4
*
8

 
 
  31
 1 2   5 6   1 * 5  2 * 7 1 * 6  2 * 8   19
 * 
  
  
b) 
3
4
7
8
3
*
5

4
*
7
3
*
6

4
*
8

 
 
  43
41
34 

46 
22 

50 
 1 2   5 6   1 * 5 2 * 6   5 12 
 * 
  
  

c) 
3
4
7
8
3
*
7
4
*
8
21
32

 
 
 

42 Выберите правильный ответ:
a)
b)
c)
 1 2 3  0 0  0 0 0
 0 0 0  1 2 3  0 0
 * 
 

 * 
  

 
 1 2 3  0 0 

 * 
   0 0 0   4 5 6   0 0 
 4 5 6  0 0  0 0 0
 4 5 6   0 0   0 0 0  действие
выполнить


нельзя
43
Выберите правильный ответ:
a)
b)
1
1
1
1
2 

 

1 1  1 1   2

 * 
  0

 * 
  

1 1   1  1
1 1   1  1   2  2 
44
c)
1 1  1 1   0 0 

 * 
  

1 1   1  1  0 0 
Выберите правильный ответ: Операция произведения матриц определена:
80
a)
 2 1 1 0

 * 

 3 4  0 1
b)
 1 4 0 1 0

 * 

 2 7 5  0 1
1 0

d) 5 0 * 
0 1
 2 1   4 0 1
 * 

e) 
 3 4   2 3 1
Выберите
 0 12 

матрицы А  
3 2 
множествами
1.A*B
a)
 2  4


 2 9 
45
 36 12 

d) 
0 2
c)
2 1

 * 2 9
 3 4
правильный
ответ:
Даны

1
2

2
0




 С  
 Установите соответствие между двумя
В  
 1 3
 3 1
2.A*C
b)
 12 36 


  1 12 
3. B*C
c)
6 3


9 7
8 2

e) 
7 3
Выберите правильный ответ: Если матрица А= (5), то
1
a) А - не существует;
b) А 
c) А  5
5
 2 3
 , òî
47
Выберите правильный ответ: Если А= 
 1 5
46
a) À  2 * 5  1 * 3  7
b) À  2 * 5  1* 3  13
c) À  1* 3  2 * 5  7
 1 2 3


48
Выберите правильный ответ: Если А =  2 2 1  ,
 3 2 0


a) òî
À  1* 2 * 3  2 * 2 *1  3 * 2 * 0  10
b) òî
À  1* 2 * 0  2 * 2 * 3  2 *1* 3  3 * 2 * 3  1* 2 *1  2 * 2 * 0  2
c) òî
À  1 * 2 * 3  2 * 2 * 2  3 *1 * 0  1 * 2 * 3  2 * 2 *1  3 * 2 * 0  4 .
49
а11
Выберите правильный ответ: Определитель а 21
а12
а 22
а13
а 23  2
а 31
а32
а33
3а11
 3а12
3а13
Тогда определитель матрицы а 21
 а 22
 а32
а 23
а33
а31
b) -6
a) 6
50
Выберите
a b c
третьего d
g
a) dhc
e
h
f
k
правильный
.
равен...
c) определить нельзя
ответ:
Формула
вычисления
порядка содержит следующие произведения: …
b) abc
c) fhk
81
определителя
51
a)
52
Выберите правильный ответ:
1 2 3
=0
4 5 6
1 2 3
1 2 3
=1*2*3+4*5*6= c)
-не существует
4 5 6
4 5 6
=126
b)
Выберите правильный ответ: Определитель матрицы Å 
1 0
0 1
a) определитель единичной матрицы любого порядка равен 1
b) определитель единичной матрицы любого порядка равен 0
c) определитель единичной матрицы любого порядка равен -1
53
Выберите правильный ответ:
1 0 0
1 0 0
1 0 0
a) 0 3 0  9
b) 0 3 0  0
0 0 3
0 0 3
54
Выберите
правильный
ответ:
элементам второй строки имеет вид…
3 1
3 1
à) 
в) b2
с1 с3
ñ1 ñ3
55
c) 0 3 0 íå ñóùåñòâóåò
0 0 3
Разложение
с)  b2
3 2
определителя 0 b2
c1 0
3 1
с1 с3
d)
1
0
по
c3
3 1
с1 с3
Выберите правильный ответ: Если А = 0, то
a) А 1 = 0
b) А 1 - не существует, т.к. не существует А-1
c) для вычисления А 1 необходимо знать саму матрицу А
56
Выберите правильный ответ: Алгебраическое дополнение элемента а32
матрицы
 1 2 3


А =  4 1 0  , равен
 1 2 4


1 3
a) А32  
b)
4 0
А32 
1 3
4 0
c)
А32  
1 2
1 2
57
Выберите правильный ответ: Если М12=14, то
a) А12 без матрицы определить нельзя
b) А12= 14
c) А12= -14.
58
Выберите правильный ответ: Дана матрица
 1 3

А  
 2 0
Тогда элемент первой строки второго столбца матрицы А-1 равен:
1
1
a)
b) 
c) -3
2
2
82
d)
А32 
1 3
4 0
Выберите правильный ответ:
 3 1
 5  1  5 / 13  1 / 13 
 , то А-1 = (1/13)* 
  

a) Если А = 
 2 5
  2 3    2 / 13 3 / 13 
 3 1
 5  2   5 / 13  2 / 13 
 , то А-1 = ( 1/13)* 
  

b) Если А = 
 2 5
  1 3    1 / 13 3 / 13 
59
 3 1
 5  1  5 / 13
 , то А-1 = 13* 
  
c) Если А = 
 2 5
  2 3    2 / 13
2

60
Выберите правильный ответ: Если А =  5
4

 4 3


 2 5 4

a) А-1=  5 6 
b) А-1= 
 1 6 3
 2 1


61
 1 / 13 

3 / 13 
1

6  , то
3 
c) А-1 не существует
3 0 2 0
2 3 1 4
ðàâåí :
Выберите правильный ответ: определитель
0 4 2 3
5 2
a) 3 * 2 * 0 * 5  0 * 3 * 4 * 2  2 * (1) * (2) * 0  0 * 4 * 3 *1  0
3
1 4
0
1
2 3 4
b) 3 * 4  2 3  2 * 0 4 3  3 * 8  2 * 39  54
2
3
0
1
1 4
5 2 1
2 3
1
c) 3 * 4  2 3  2 * 0 4  2  3 * 8  2 * (30  20  8)  28
2
0
1
5 2
0
 1 2 3


62
Выберите правильный ответ: Если А =  2 4 6  , то ранг матрицы
 3 1 2


а) r(А) = 2
b) r(А) = 3
c) r(А) = 3*3 = 9
 0  1  1  3


7  , то ступенчатая
63
Выберите правильный ответ: Если А =  1 2 4
 5 0 10 5 


матрица имеет вид:
0 
0 
4
7 
1 0 0
1 0 0
1 2






b)  1  1  1  3 
c)  0 1  1  3 
à) 0  1  1  3 
0 0 0
0 0 1
 0 0  10  30 
0 
2 




 1 1
 , то
Выберите правильный ответ: Если А = 
0
1


3
3
1
1






a) А3 = 
b) А3 = 
c) А3 =
 0 3
 0 1
64
65
Выберите правильный ответ:
83
 1 3


0
1


Расположить
1 1 2

0 1 0
1) 
0 0 6

0 0 0

a) 2; 1; 3; 4.
матрицы в порядке убывания их рангов:
 1

1 2 2 


3
 1 2 3 4 
 0 0
 ; 4) 
.
;
2)
0
3
1

 ; 3) 

7
1  2  3  4
0 0 





 0 0 1
4 
b) 1; 2; 3; 4.
c) 2; 3; 1; 4.
66
Выберите правильный ответ:
Выяснить, какие из проведенных ниже матриц имеют обратные:
1 2 3 
0 0 2 
7 1
1 2 3 








1)  0 0 2  ; 2)  2 3 4  3)  2 1  ; 4)  0 4 2 
3 4 5
 0 0 10 
 0 3
0 0 5








a) 4.
b) 4; 2.
c) 4; 2; 1.
67
Выберите правильный ответ:
a) Краткая запись системы линейных уравнений из т уравнений с п неизвестными имеет
п
вид:
a
j 1
ij
* x j  bi , i  1,2,...m

b) Краткая запись системы линейных уравнений имеет вид:
a
j 1
ij
* x j  b j , i  1,2,...m
ij
* x j  bn , i  1,2,...m
g
c) Краткая запись системы линейных уравнений имеет вид:
a
1
68
Выберите
правильный
ответ:
Решением
системы
 а11 * х1  а12 * х 2  ...  а1п * х п  b1
 а * х  а * х  ...  а * х  b
 21 1
22
2
2п
п
2
является такой набор чисел

...


...


...

...

а m1 * x1  a m 2 * x 2  ...  а mn * x n  bm
a) (с1= b1 … bm =сп ), при подстановки которых в каждое уравнение системы вместо
b1,, …bm , получаем верные тождества
b) (с1, …сп ), при подстановки которых в каждое уравнение системы вместо
соответствующего неизвестного, получаем верные тождества
c) число с, при подстановки которого в одно из уравнений системы получаем верное
тождество
69
Выберите правильный ответ:
a) Система линейных уравнений называется несовместной, если система имеет хотя бы
одно решение
b) Система линейных уравнений называется совместной, если система не имеет ни одно
решения
c) Система линейных уравнений называется совместной, если система имеет хотя бы одно
решение
70
Выберите правильный ответ:
a) Система линейных уравнений называется определенной, если система имеет
единственное решение
b) Система линейных уравнений называется определенной, если система имеет хотя бы
одно решение
c) Система линейных уравнений называется неопределенной, если система имеет
единственное решение
84
71
Выберите
правильный
ответ:
 а11 * х1  а12 * х 2  ...  а1п * х п  b1
 а * х  а * х  ...  а * х  b
 21 1
22
2
2п
п
2
называется однородной, если

...


...


...

...

а m1 * x1  a m 2 * x 2  ...  а mn * x n  bm
a) х1,= х2=…=хп= 0,
b) b1,= b2=…=bm=0,
72 Выберите правильный ответ:
системы линейных уравнений, если
 а11
 b1 а11 ... а1п 



b)  ...
а)  ...
... ... ... 
а


 т1
 bm а т1 ... а тп 
Система
c) а11,= а12=…=аmп=1
Матрица ( А В) называется расширенной матрицей
... а1п
... ...
... а тп
x1 

... 
x m 
 а11 ... а1п

c)  ... ... ...
а
 т1 ... а тп
b1 

... 
bm 
73
Выберите правильный ответ: Если r (А) = r( А В) = п ( п- число неизвестных), то
a) то система совместна и неопределенна
b) то система совместна и определена
c) то система несовместна и определена
74
Выберите правильный ответ: Формулы Крамера для решения систем линейных
уравнений имеют вид:

a) хп= п , где  п - главный определитель,  - определитель матрицы коэффициентов, у

которой п столбец, заменен на столбец свободных членов

b) хп=
, где  - главный определитель,  п - определитель матрицы коэффициентов, у
п
которой п столбец, заменен на столбец свободных членов

c) хп= п , где  - главный определитель,  п - определитель матрицы коэффициентов, у

которой п столбец, заменен на столбец свободных членов
75
Выберите правильный ответ: Метод
Гаусса – Жордана
- это метод
последовательного исключения переменных, при котором путем некоторых
элементарных преобразований…
a) элементы главной диагонали приводят к единице, элементы ниже и выше главной
диагонали приводят к нулю
b) система приводится к ступенчатому виду с нулями ниже главной диагонали
c) элементы главной диагонали приводят к нулю, элементы ниже и выше главной
диагонали приводят к единице
76
Выберите правильный ответ:
a) Метод обратной матрицы: из матричного уравнения А*Х=В следует Х = А-1 * В
b) Метод обратной матрицы: из матричного уравнения Х*А=В следует Х = А-1 * В-1
c) Метод обратной матрицы: из матричного уравнения А*Х=В следует Х = В* А-1
77
Выберите правильный ответ: Однородная система линейных уравнений всегда
a) несовместна;
b) всегда является определенной;
c) всегда совместна;
78
Выберите правильный ответ: Систему линейных уравнений из т уравнений с п
неизвестными можно решить любым способом:
85
a) метод Гаусса, метод Гаусса – Жордана, по формулам Крамера и методом обратной
матрицы
b) метод Гаусса, метод Гаусса – Жордана,
c) по формулам Крамера или методом обратной матрицы
79
Выберите правильный ответ: Однородная система неопределенна тогда и только
тогда, когда
a) r (А) < п;
b) r (А) = п;
c) r (А) > п;
80
х 
Выберите правильный ответ: Система  1
2 х1 
х2   1
х2 
7
a) неопределенна, т.к. п = r (А)= r( А В)=2
b) несовместна, т.к. п = r (А)= r( А В)=2
c) определенна, т.к. п = r (А)= r( А В)=2
 х1  2 х 2  3х3  2

81
Выберите правильный ответ: Система уравнений 2 х1  3х 2  4 х3  5
 2 х  5 х  х  2
2
3
 1
a) по формулам Крамера имеет решение (1;1;1), по методу обратной матрицы (2;1;1)
b) по формулам Крамера имеет решение (1;1;1), по методу обратной матрицы (1;1;1)
c) по формулам Крамера имеет решение (2;1;1), по методу Гаусса (1;1;1)
 х1  3х 2  х3  2 х4  х5  0

82
Выберите правильный ответ: В системе уравнений  х2  х3  2 х 4  х5  0

2 х3  х 4  4 х5  0

базисными (несвободными) переменными можно считать…
a) х1,х2,х3,х4, х5;
b) х4, х5;
c) х5;
d) х1,х2,х3;
83
 х  х2  3
Выберите правильный ответ: Произведение корней системы  1
 х1  х2  2
равно
a) х1*х2 = -1;
b) х1*х2 =1;
c) х1*х2 = 1,25;
84
Выберите правильный ответ: Линейная функция, проходящая через точки с
координатами (0; 3) и (1; 5) имеет вид
a) у = 2х + 3;
b) у = -2х – 3;
c) у = 3х + 2;
85
Выберите правильный ответ: Система из трех уравнений с тремя переменными,
заданная в матричном виде АХ=В, совместна и определена в следующих случаях:
а) r (A)= (A|B)=1;
b) r (A)=2, r (A|B)=3;
с) r (A) = r (A|B)=3
Выберите правильный ответ: Вычислить собственные числа и собственные
 2 2
 можно составив характеристическое уравнение в виде:
векторы матрицы: А = 
1 3
86
a)
2
2
0
1
3
b)
2
2
0
1
3
86
c)
2
1 
2
0
3
 2 2
 равны:
Выберите правильный ответ: Собственные числа матрицы: А = 
1 3
a) λ1 =2, λ2 = 9 – собственные числа.
b) λ1 =1, λ2 = 4 – собственные числа.
c) действительных собственных чисел нет
87
88
Выберите правильный ответ: Для системы
по формулам
Крамера х1 равен:
a) 220 ;
c) 1 ;
b) -220;
Выберите
89
220
правильный
 2 х1  х2  2 х3  х4  х5  0

системы  х1  10 х2  3х3  2 х4  х5  0
4 х  19 х  4 х  5 х  х  0
2
3
4
5
 1
2

1
4

1
10
19
ответ:
линейных
При
уравнений
решении
получили
1
1

 3  2  1   1 10  3  2  1

3
3 
 4  5  1  0  21 8
2
Тогда система имеет:
a) одно нулевое решение
b) бесчисленное множество решений
c) решения нет
90
2 х  ау  3
имеет
6 х  9 у  9
Выберите правильный ответ: Система линейных уравнений 
бесчисленное множество решений, если значение а равно:
a) а = 2;
b) а = 1,5;
c) а = 3;
3õ  àó  0
Выберите правильный ответ: Система 
имеет ненулевое решение при
õ  3 ó  0
a) а =  3 ;
b) а = 0;
c) а = 9;
d) а = -9;
91
92
Выберите правильный ответ:
а) Вектором называется направленный отрезок, который обозначается а, в, ..., АВ, CD, ...
b) Вектором называется множество точек, расположенных между двумя точками, который
обозначается АВ, СР.
с) Вектором называется множество точек расположенных по одну сторону от данной
точки, который обозначается а, в, с.
93
Выберите правильный ответ:
а) Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора а, в, ..., АВ, CD, ... и
обозначается а, в, ..., АВ , CD , ...
b) Длина прямой
АВ называется длиной или модулем вектора а, в, ..., АВ, CD, ... и
обозначается а, в, ..., АВ , CD , ...
87
с) Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора а, в, ..., АВ, CD, ... и
  в,..., АВ, CD,...
обозначается а,
94
Выберите правильный ответ:
а) Вектор называется нулевым, если координаты начала вектора равны (0,0). Вектор
называется единичным, если его длина равна единице
b) Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Вектор называется
единичным, если его длина равна единице
с) Вектор называется нулевым, если координаты конца вектора равны (0,0). Вектор
называется единичным, если его координаты равны (1,1)
95
Выберите правильный ответ:
а) Векторы а, и в, называются коллинеарными, если они лежат на произвольно
пересекающихся прямых
b) Векторы а, и в, называются коллинеарными, если они лежат на перпендикулярных
прямых
с) Векторы а, и в, называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых
96
Выберите правильный ответ:
а) Три вектора а, в, с и более называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или параллельных плоскостях
b) Векторы à, â называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или
параллельных плоскостях
с) Три вектора а, в, с называются компланарными, если они лежат на одной прямой
или параллельных прямых
97
Выберите правильный ответ:
а) Векторы а, и в, называются равными ( а  в ), если они коллинеарные и имеют
равные длины
b) Векторы а, и в, называются равными ( а  в ), если они коллинеарные и
сонаправлены
с) Векторы а, и в, называются равными ( а  в ), если они имеют равные длины
98
Выберите правильный ответ:
а) Суммой двух векторов ( а  в  с ) называется число, равное сумме длин векторов
а, и в,
b) Суммой двух векторов ( а  в  с ) называется вектор
с , соединяющий начало
вектора а с концом вектора в , отложенного от конца вектора а
с) Суммой двух векторов ( а  в  с ) называется вектор
с , соединяющий начало
вектора в с концом вектора а , отложенного от конца вектора а
99
Выберите правильный ответ:
а) Разностью двух векторов ( а  в  с ) называется число, равное разности длин
векторов а и в
b) Разностью двух векторов ( а  в  с ) называется вектор с такой, что а  с  в
с) Разностью двух векторов ( а  в  с ) называется вектор с такой, что в  с  а
88
100 Выберите правильный ответ:
а) Произведением вектора а ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор, имеющий
направление вектора а , если λ > 0 и противоположное, если λ < 0
b) Произведением вектора а ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор, который имеет длину
 * а и направление вектора а
с) Произведением вектора а ≠ 0 на число λ ≠ 0 называется вектор, который имеет длину
 * а , направление вектора а , если λ > 0 и противоположное, если λ < 0
101 Выберите правильный ответ:
а) Два ненулевых вектора а и в коллинеарные тогда и только тогда, когда в  λ* а
b) Два ненулевых вектора а и в коллинеарные тогда и только тогда, когда в = а
с) Два ненулевых вектора а и в коллинеарные тогда и только тогда, когда в = λ* а
102 Выберите правильный ответ:
а) Три ненулевых вектора а, в, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них
не является линейной комбинацией других, например
с  1 а  2 в (λ 1 ≠ 0 и λ 2 ≠ 0 одновременно)
b) Три ненулевых вектора а, в, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них
является линейной комбинацией других, например
с = 1 а  2 в (λ 1 ≠ 0 и λ 2 ≠ 0 одновременно)
с) Три ненулевых вектора а, в, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них
является линейной комбинацией других, например
с = 1 а  2 в (λ 1 = 0 и λ 2 = 0 одновременно)
103 Выберите правильный ответ:
а) Система e1, e2, ... , em n-мерных векторов называется линейно независимой, если
найдутся такие числа λ 1, λ 2, ... , λ m, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что
выполняется равенство λ 1 e1 + λ 2 e2 +... + λ m em = 0;
b) Система e1, e2, ... , em n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся
такие числа λ 1, λ 2, ... , λ m, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется
равенство λ 1 e1 + λ 2 e2 +... + λ m em = 0
с) Система e1, e2, ..., em n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся
такие числа λ 1, λ 2, ... , λ m, что выполняется равенство
λ 1 e1 + λ 2 e2 +... + λ m em = 0;
104 Выберите правильный ответ:
а) Базисом называется совокупность линейно независимых векторов.
b) Базисом называется совокупность линейно зависимых векторов.
с) Базисом называется совокупность любых трех векторов.
105 Выберите правильный ответ:
а) Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости и
притом единственным образом
b) Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости,
различными способами
с) Не каждый вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости.
89
106 Выберите правильный ответ: если а = х1i + y1j + z1k; b = х2 i + y2j + z 2k, то
а) * а =*х1i+y1j+z1k ; а  b = ( x1 * x2) i + (y1 * y2) j + (z1 * z2) k
b) * а =*(х1i+y1j+z1k) = *(х1)i+ (y1)j+(z1)k,
а  b = ( x1  x2) i + (y1  y2) j + (z1  z2) k
с) * а = *(х1)i+ (y1)j+(z1)k,
а  b = ( x1 + x2) i  (y1 + y2) j  (z1 + z2) k
107 Выберите правильный ответ: Для двух коллинеарных векторов с координатами
а = (х1; y1; z1) b =( х2 ; y2; z 2)
х
y
z
а) 1  1  1  k
х2 y 2 z 2
b) ( x1 * x2) + (y1 * y2) + (z1 * z2) =0
х
y
z
с) 1  1  1  k
х2 y 2 z 2
108 Выберите правильный ответ:
а) Углом между а и b называется угол φ на который надо повернуть один из векторов до
его совпадения со вторым вектором после приведения этих векторов к общему началу.
b) Углом между а и b называется меньший угол φ (0 ≤ φ ≤ ) на который надо повернуть
один из векторов до его совпадения со вторым вектором после приведения этих векторов
к общему началу.
с) Углом между а и b называется меньший угол φ (0 ≤ φ ≤ ) на который надо повернуть
один из векторов до его совпадения со вторым вектором .
109 Выберите правильный ответ: Для двух ортогональных векторов с координатами
а = (х1; y1; z1) b =( х2 ; y2; z 2)
х
y
z
а) 1  1  1  k
х2 y 2 z 2
b) x1 * x2 +y1 * y2 +z1 * z2 =0
х
y
z
с) 1  1  1  k
х2 y 2 z 2
110 Выберите правильный ответ:
а) Проекция вектора а на ось l равна произведению его модуля (длины) на sin между
этим вектором и осью l: прl а = а * sin
b) Проекция вектора а на ось l равна произведению вектора на cos между этим
вектором и осью l: прl а = а * cos
с) Проекция вектора а на ось l равна произведению его модуля (длины) на cos между
этим вектором и осью l: прl а = а * cos
111 Выберите правильный ответ:
а) Скалярным произведением 2-х векторов а и b называется число, равное произведению
длин этих векторов на sin угла между ними.
( а и b ) - скалярное произведение: а b =| а |*| b |*sin.
b) Скалярным произведением 2-х векторов а и b называется число, равное произведению
этих векторов на cos угла между ними.
( а и b )- скалярное произведение: а b = а * b *cos.
90
с) Скалярным произведением 2-х векторов а и b называется число, равное произведению
длин этих векторов на cos угла между ними.
( а и b )- скалярное произведение: а b =| а |*| b |*cos.
112 Выберите правильный ответ:
а) Равенство “0” скалярного произведения необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности (ортогональности), т.е. а  b  а b = 0.
b) Равенство “1” скалярного произведения необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности (ортогональности), т.е. а  b  а b = 1.
с) Равенство “0” скалярного произведения необходимое, но не достаточное условие их
перпендикулярности (ортогональности), т.е. а  b  а b = 0.
113 Выберите правильный ответ:
а) Скалярное произведение 2-х векторов равно разности произведений соответствующих
координат этих векторов: а b = x1x2-y1y2-z1z2
b) Скалярное произведение 2-х векторов равно произведению сумм соответствующих
координат этих векторов: а b = (x1+x2)*(y1+y2)*(z1+ z2)
с) Скалярное произведение 2-х векторов равно сумме произведений соответствующих
координат этих векторов: а b = x1x2+y1y2+z1z2
Выберите правильный ответ:
x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
ab
а) cos  

a*b
x12  y12  z12 * x22  y 22  z 22
114
b) cos  
ab

( x1  x2 ) * ( y1  y 2 ) * ( z1  z 2 )

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
a*b
с) cos  
ab
ab
x12  y12  z12 * x22  y 22  z 22
x12  y12  z12  x22  y 22  z 22
Выберите правильный ответ: если а = ах i + аy j + аz k; b = bх i + by j + bz k, то
аy
ах
аz
а) cos α =
, cos β =
, cos γ =
- называют
а х2  а у2  а z2
а х2  а у2  а z2
а х2  а у2  а z2
115
направляющими косинусами
ах
b) sin α =
, sin β =
2
а х  а у2  а z2
аy
а а а
2
х
2
у
2
z
, sin γ =
аz
а  а у2  а z2
2
х
- называют
направляющими синусами
аy
а
а
с) cos α = х2 , cos β = 2 , cos γ = 2z называют направляющими косинусами
аy
az
ax
116 Выберите правильный ответ: если а = ах i + аy j + аz k; b = bх i + by j + bz k, то
векторное произведение векторов равно:
 i
j k
i
j k


а) a  b   a x a y a z 
b) а  b = x1x2+y1y2+z1z2
с) a  b  a x a y a z


bx b y bz
 bx b y bz 
117 Выберите правильный ответ:
91
а) Равенство “0” векторного произведения необходимое и достаточное условие их
параллельности, т.е. a b  (a  b)  0
b) Равенство “0” векторного произведения необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности (ортогональности), т.е. а  b  ( а  b ) = 0.
с) Равенство “1” векторного произведения необходимое, но не достаточное условие их
параллельности, т.е. a b  (a  b)  1
118 Выберите правильный ответ: если а = ах i + аy j + аz k; b = bх i + by j + bz k, с
= сх i + сy j + сz k, то смешанное произведение векторов равно:
ax a y az
а) a b c  bx b y bz
b) a b c  a x bx c x  a y b y c y  a z bz c z
cx c y cz
с) a b c  a x a y a z  bx b y bz  c x c y c z
Выберите правильный ответ:
ax a y az
а) a b c  bx b y bz  0  если векторы а и b и с компланарны
cx c y cz
119
ax
b) a b c  bx
cx
ay
by
cy
az
bz  0  если векторы а и b и с коллинеарные
cz
ax
с) a b c  bx
cx
ay
by
cy
az
bz  1  если векторы а и b и с компланарны
cz
120 Выберите правильный ответ:
а) Объем параллелепипеда , построенного на векторах а , b и с вычисляется как
V = | а b с | , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах , равен
1
V = |а b с|
3
b) Объем параллелепипеда , построенного на векторах а , b и с вычисляется как
1
V = | а b с | , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах , равен
2
1
V = |а b с|
6
с) Объем параллелепипеда, построенного на векторах а , b и с вычисляется как
V=
| а b с | , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен
1
V = |а b с|
6
121 Выберите правильный ответ:
а) Уравнение вида F(x, y), которому удовлетворяют координаты всех точек не лежащие на
этой линии, называют уравнением линии
92
b) Уравнение вида F(x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты всех точек данной
линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащие на этой
линии, называют уравнением линии
с) Уравнение вида F(x,y) = 0, которому удовлетворяют координаты точек данной линии
называют уравнением линии
122 Выберите правильный ответ:
а) Линии, задаваемые уравнением первой степени, есть прямые. Уравнение второй
степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу,
параболу или линию, распадающуюся на две прямые.
b) Линии, задаваемые уравнением первой степени, есть прямые. Уравнение второй
степени определяет плоскость.
с) Линии, задаваемые уравнением первой степени, есть эллипс, гипербола, парабола или
линию, распадающуюся на две прямые. Уравнение второй степени определяют
окружность.
123 Выберите правильный ответ:
а) Ах + Вх + С = 0 - общее уравнение прямой, где А и В - координаты произвольного
вектора, одновременно не равные нулю.
b) Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой, где А и В - координаты направляющего
вектора, одновременно не равные нулю.
с) Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой, где А и В - координаты нормального
вектора, одновременно не равные нулю.
Выберите правильный ответ:
х
у
а)
+
=1 - уравнение прямой в отрезках, где а и b отрезки, отсекаемые прямой
а
b
соответственно на осях ОХ и OY.
х2 у2
b) 2  2  1 - уравнение прямой в отрезках, где а и b отрезки, отсекаемые прямой
а
b
соответственно на осях ОХ и OY.
с) y = kx + b - уравнение прямой в отрезках, где k и b отрезки, отсекаемые прямой
соответственно на осях ОХ и OY.
124
125 Выберите правильный ответ:
а) y  y1  k ( x  x1 ) - уравнение прямой проходящей через данную точку в данном
направлении, где ( x1 , y1 ) - координаты данной точки, k - угловой коэффициент прямой.
Исключение составляет прямая проходящая под углом  = .
b) y  y1  k ( x  x1 ) - уравнение прямой проходящей через данную точку в данном
направлении, где ( x1 , y1 ) - координаты данной точки, k - угловой коэффициент прямой.
Исключение составляет прямая проходящая под углом  = /2.
с) y  y1  k ( x  x1 ) - уравнение прямой проходящей через данную точку в данном
направлении, где ( x1 , y1 ) - координаты данной точки, k - угловой коэффициент прямой.
126 Выберите правильный ответ: p и q- прямые, N1 и N2 – нормальные вектора
соответственно прямых p и q, тогда
а) если p || q <=> N1 || N2, то A1/A2 = B1/B2; p  q <=> N1N2, то A 1 A2 + B1 B2 = 0
b) если p || q <=> N1 || N2, то A 1 A2 + B1 B2 = 0; p  q <=> N1N2, то A1/A2 = B1/B2
с) если p || q <=> N1 || N2, то A1*A2 = B1*B2; p  q <=> N1N2, то A 1 A2 + B1 B2 = 1
127 Выберите правильный ответ: Если y = k1x+b1 и y = k2x+b2, то угол между этими
прямыми можно вычислить:
93
k 2  k1
, где угол поворота от первой прямой ко второй производится против
1  k1 k 2
часовой стрелки.
k  k1
b) tg = 2
, где угол поворота от первой прямой ко второй производится по часовой
1  k1 k 2
стрелки.
k  k2
с) tg = 1
, где угол поворота от первой прямой ко второй производится против
1  k1 k 2
часовой стрелки.
а) tg =
Выберите правильный ответ: Расстояние от точки до прямой равно:
128
а) d 
Ax0  By 0  C
A2  B 2
, где прямая задана уравнением Ах + Вх + С = 0 и точка имеет
координаты М0( х0, у0)
b) d 
с) d 
Ax0  By 0  C
A2  B 2
Ax0  By 0  C
A2  B 2
, где точка имеет координаты М0( А, В, С)
, где прямая задана уравнением Ах + Ву + С = 0 и точка имеет
координаты М0( х0, у0)
129 Выберите правильный ответ:
х  х0 у  у 0 z  z 0
а)
каноническое уравнение прямой в пространстве, где


l
m
n
М0( х0, у0,z0) – точка, принадлежащая прямой, (l,m,n) –координаты направляющего
вектора.
х  х0 у  у 0 z  z 0
b)
каноническое уравнение прямой в пространстве, где М0( х0,


l
m
n
у0,z0) – точка, принадлежащая прямой, (l,m,n) –координаты нормального вектора.
х у z
 
с)
каноническое уравнение прямой в пространстве, где М( х, у, z) – точка,
l m n
принадлежащая прямой, (l,m,n) –координаты направляющего вектора.
130 Выберите правильный ответ: Общее уравнение плоскости - Ax  By  Cz  D  0
а) Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0). Если С=0 то плоскость
параллельна оси OZ, если В=0 – то OY, если А=0 – то OX.
b) Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0). Если С=0 то плоскость
параллельна оси OZ, если В=0 – то OY, если А=0 – то OX.
с) Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0). Если С=0 то плоскость
параллельна оси OZ, если В=0 – то OY, если А=0 – то OX.
131
Выберите правильный ответ:
х  х1
y  y1
z  z1
а) x2  x1
x3  x1
y 2  y1
y3  y1
z 2  z1  0 -уравнение плоскости проходящей через три точки.
z 3  z1
94
х  х1
y  y1
z  z1
b) x 2  x1
y 2  y1
y3  y1
z 2  z1  1 -уравнение плоскости проходящей через три точки.
z 3  z1
x3  x1
с)
x  x1
y  y1
z  z1
-уравнение плоскости проходящей через три точки.


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
132 Выберите правильный ответ:
а) Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 - общее уравнение кривых второго порядка, где
A  0

B  0
C  0

b) Ax+Bxy+Cy +F=0 - общее уравнение кривых второго порядка, где
A  0

B  0
C  0

с) Ax2 + Cy2+Dx+Ey+F=0 - общее уравнение кривых второго порядка, где
A  0

B  0
C  0

133 Выберите правильный ответ:
а) Эллипсом называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от
двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.
b) Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух
данных прямых есть величина постоянная, равная 2a.
с) Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух
данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.
134
х2
а) 2
а
х2
b) 2
а
х2
с) 2
а
Выберите правильный ответ:
у2
 2  1 -каноническое уравнение эллипса
b
у2
 2  1 -каноническое уравнение эллипса
b
у2
 2  1 -каноническое уравнение эллипса
b
135 Выберите правильный ответ:
а) Отношение c/a = < 1 называется эксцентриситетом эллипса.
b) Отношение b/a = < 1 называется фокусом эллипса.
с) Отношение c/b= < 1 называется фокальным радиусом эллипса.
136 Выберите правильный ответ:
а) Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от центра
координат, точки О(0;0)
b) Параболой называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух
данных прямых есть величина постоянная, равная 2a.
с) Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной
точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
95
137 Выберите правильный ответ:
а) y2 = 2рx - парабола симметричная относительно оси Оy. Если р > 0, то ветви параболы
вверх, если р < 0, то ветви – вниз.
b) x2 = 2рy - парабола симметричная относительно оси Оx. Если р > 0, то ветви параболы
вправо, если р < 0, то ветви – влево.
с) y2 = 2рx - парабола симметричная относительно оси Оx. Если р > 0, то ветви параболы
вправо, если р < 0, то ветви – влево.
138 Выберите правильный ответ:
а) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оy. Если р > 0, то ветви параболы
вверх, если р < 0, то ветви – вниз.
b) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy. Если р > 0, то ветви параболы
вверх, если р < 0, то ветви – вниз.
с) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оx. Если р > 0, то ветви параболы
вправо, если р < 0, то ветви – влево.
139 Выберите правильный ответ:
а) Гиперболой называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух
данных точек F1 и F2 (фокусов) равна числу 2a.
b) Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от
двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.
с) Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от
двух данных прямых есть величина постоянная, равная 2a.
140 Выберите правильный ответ:
а) Каноническое уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/b2 = 1.
b) Каноническое уравнение гиперболы: x2/a2 + y2/b2 = 1.
с) Каноническое уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/b2 = - 1.
141 Выберите правильный ответ:
а) Прямые, уравнения которых y = (b/a)*x называются директрисами гиперболы.
b) Прямые, уравнения которых y = (b/a)*x называются асимптотами гиперболы.
с) Прямые, уравнения которых y = (a /b)*x называются асимптотами гиперболы.
142 Выберите правильный ответ:
а) Гипербола, у которой a = с, называется равносторонней, уравнение равносторонней
гиперболы x2 + y2 = a 2, а уравнение асимптот y = x.
b) Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, уравнение равносторонней
гиперболы x2 - y2 = a 2, а уравнение асимптот y = x.
с) Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, уравнение равносторонней
гиперболы x2 + y2 = с 2, а уравнение асимптот y = x.
143 Выберите правильный ответ:
а) Гиперболы x2/a2 + y2/b2 = 1 и y2/b2 - x2/a2 = -1 называются сопряженными.
b) Гиперболы x2/a2 - y2/b2 = 1 и - y2/b2 - x2/a2 = -1 называются равносторонними
с) Гиперболы x2/a2 - y2/b2 = 1 и y2/b2 - x2/a2 = -1 называются сопряженными.
144 Выберите правильный ответ: Вектора AB =(3,2,5,0,1); AС =(2,3,5,0,1). Тогда:
а) AB  AС
b) AB = AС
с) ничего определенного о равенстве векторов сказать нельзя
145
Выберите правильный ответ: Даны координаты вершин пирамиды АВСD:
96
А(0; 0; 1), В (2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3;7; 2). Требуется записать векторы
системе орт i,j,k.
а) АВ = 2i+ 3j+ 4k; АС = 6i+ 2j+ 2k; AD = 3i+ 7j+ k
b) АВ =(2; 3; 4); АС = (6; 2; 2); AD = (3; 7; 1)
с) АВ = 2i+ 3j+ 6k; АС = 6i+ 2j+ 4k; AD = 3i+ 7j+ 3k
АВ , АС , AD в
146 Выберите правильный ответ: Точки А(2,4,1), В(3,7,5), С(4,10,9) лежат на одной
прямой, т.к.
а) т.к. координаты векторов AB, AC, BC пропорциональны и вектора коллинеарные
b) т.к. длины векторов AB, BC равны
с) т.к. координаты точек А, В, С лежат в одной плоскости
147
Выберите правильный ответ: Даны два вектора а  2, b  6   (a ^ b) 
5
.
6
Тогда модуль векторного произведения этих векторов равен:
1
а) a  b  a * b * sin( a ^ b)  2 * 6 *  6
2
3
b) a  b  a * b * cos( a ^ b)  2 * 6 *
6 3
2
с) a  b  a * b  2 * 6  12
148 Выберите правильный ответ: Укажите соответствие между заданным вектором и
соответствующим ему нормированным вектором 1) (1;0), 2) (1;1), 3) (3;4), 4) (1;2)
 1 2 
 1 1 
3 4
1 1
;
;

а)  ; 
b) (1;0)
с) 
d) 
е)  ; 

5 5
2 2
 2 2
 5 5
149 Выберите правильный ответ: Прямые, уравнения, которых 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x2ty = 0, параллельны при значении параметра t:
а) t2 = -2/3.
b) t1 = 2, t2 = -2/3.
с) t1 = -2, t2 = 2/3.
150
Выберите правильный ответ: уравнение прямой проходящей через точки А(2;1)
и В(4;1) имеет вид:
а) у = х
b) у = 1
с) у = х+1
151
Выберите правильный ответ: Площадь треугольника, заключенного между
прямой 2х - 5у + 10 = 0 и осями координат равна:
1
1
а) S  2 * 5 *10  100кв.ед.
b) S  * 2 * (5)  5кв.ед.
с) S  * 5 * 2  5кв.ед.
2
2
152 Выберите правильный ответ: Векторное произведение векторов a = ( 4; а; 6) и b
= (2;1; b) равно нулю, если…
а) а=2; b=4
b) а=2; b=1/3
с) а=2; b=1
d) а=2; b=3
153 Выберите правильный ответ: Расстояние между точками А(1,2) и В (k, -2) равно 5
при k равном …
а) 6
b) 1
с) 4
d)10
154
Выберите правильный ответ: При каком значении α прямые 2х - 3у + 4 = 0 и
α*х – 6у + 7 = 0 параллельны и перпендикулярны:
7
а) 4 и -9
b) -9 и 4
с) -4 и
6
97
155
Выберите правильный ответ: Уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3)
служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости,
имеет вид:
а) x-y+3z-11=0
b) x+y+z-3=0
с) x+y+3z-1=0
156 Выберите правильный ответ: Угол между плоскостями 3х-5у+5z-13=0 и 20х-у13z+48=0 равен cos α = 0, тогда
а) плоскости параллельны α = 00 или 1800

b) плоскости совпадают α = 00
с) α =
2
157
Выберите правильный ответ: Укажите соответствие между уравнением
плоскости и ее положением в пространстве
1. 3z + 4 = 0
2. 2y + 3 = 0
3. 2x - 9 = 0
4. z = 0
а) параллельна плоскости YOZ
b) параллельна плоскости XOZ
с) плоскость XOY
d) параллельна плоскости XOY
е) плоскость XOZ
158 Выберите правильный ответ: Даны координаты вершин пирамиды АВСD:
А(0; 0; 1), В (2; 3; 5), С(6; 2; 3),D(3;7; 2). Требуется найти модули векторов АВ , АС , AD
а) АВ  10 , АС  11 , AD  12
b) АВ  29 , АС  2 11 , AD  59
с) АВ  11 , АС  12 , AD  13
159 Выберите правильный ответ: Если a * b = 2 2 , а  0,5 и b  8 тогда угол между
векторами a и b равен ...

3
а)
b)
4
4
с)

3
d) 0
160
Выберите правильный ответ: Объем треугольной пирамиды, построенной на
векторах AB = (2,3,4), AC = (6,2,2), AD  (3,7,1) равен:
2 3 4
а) V=(1/6)* ( АВ * АС )* AD =(1/6)* 6 2 2 = 20(куб.ед.)
3 7 1
2 3 4
b) V= ( АВ * АС )* AD = 6 2 2 = 120(куб.ед.)
3 7 1
с) V=(1/6)* ( АВ * АС )* AD =(1/6)*(2*3*4+6*2*2+3*7*1) = 11,5(куб.ед.)
161 Выберите правильный ответ: Найти расстояние между вершиной параболы
у = х2 -2х -3 и центром окружности (х+3)2 + (у+1)2 =1
а) координаты вершины А(1; 0); координаты центра окружности В (-3;-1). Расстояние
между точками равно 17 .
b) координаты вершины А(1; -4); координаты центра окружности В (3;1). Расстояние
13 .
между точками равно
с) координаты вершины А(1; -2); координаты центра окружности В (-3;-1). Расстояние
между точками равно 5.
98
162 Выберите правильный ответ: Найдите координаты центра и радиус окружности
х2 + у2 + 16у - 9 = 0
а) О(0; 0) , R  73
b) О(0; -8) R  3
с) О(0; -8), R  73
163 Выберите правильный ответ: Уравнение сферы:
а) r2 = (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2
b) r = (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2
с) r2 = (x+a)2-(y+b)2-(z+c)2
164 Выберите правильный ответ: Расположите уравнения поверхностей
A) x2+2y2+3z2=1;
B) x2+y2+z2=1;
C) x2+y22=1; в следующем порядке: сфера,
эллипсоид, цилиндр:
а) В,С,А
b) В,А,С
с) С,В,А
d) А,В,С
165 Выберите правильный ответ:
а) х2 + у2 = 1 – уравнение окружности; х2 + у2 = 0 – уравнение точки (0;0)
b) х2 + у2 = 1 и х2 + у2 = 0 – уравнения окружностей;
с) х2+у2 = 1 – уравнение окружности; х2+у2 = 0 – уравнение прямой
166 Выберите правильный ответ:
Траектория движения точки М (х0, у0), которая при своем движении остается вдвое ближе
к точке А(-1;1), чем к точке В(-4;4), есть:
а) прямая линия;
b) окружность
с) эллипс
167 Выберите правильный ответ: Прямая проходит через точки О(0;0) и В(5;–15).
Тогда ее угловой коэффициент равен:
а) –5
b) –3
с) -1/3
у2 х2
168 Выберите правильный ответ: Если уравнение гиперболы имеет вид

1,
16 4
то длина ее действительной полуоси равна:
а) 2
b) 4
с) 3
d) 9
169 Выберите правильный ответ:
имеет координаты…
а) (1;2;1)
b) (2;1;–15)
170
Выберите правильный ответ:
а) парабола;
с) эллипс
Нормальный вектор плоскости х + 2у + z -15 =0
с) (1;2;–15)
d) (1;1;–15)
Линией пересечения поверхностей: y  2  0 и
b) гипербола;
d) окружность;
171
Выберите правильный ответ:
2
2
x  y  z 2  4 x  2 y  2 z  19  0 :
а) (2; 1; -1), 5;
b) (-2; -1; 1), 5;
с) (1; 2; 2), 4;
d) (3; 2; 1), 3;
Координаты центра и радиуса сферы:
172 Выберите правильный ответ: При каком значении  плоскости 2 x  y  5  0
и x   * y  3z  4  0 взаимно перпендикулярны:
а) -3;
b) 1;
с) -2;
d) 2;
99
173
Выберите правильный ответ: Уравнение эллипса, проходящего через точки
M 1 (2;
3 ) и M 2 (0; 2) имеет вид:
а)
у2 х2

1
16 4
b)
х2 у2

1
16 4
с)
х2 у2

1
4
2
174 Выберите правильный ответ: Площадь треугольника АВС с вершинами
А (1; 4; -1), В (2; -1; 0), С (9; 4; -1)
а) 26;
b) 808;
с) 1664 ;
d) 4 26
175 Выберите правильный ответ: Объем треугольной пирамиды АВСD с вершинами
А (-2; -5; 10), В (-7; 0; 1), С (8; 3; 0), D (-7; 9; 9) равен…
а) 1980
b) 330;
с) 990;
d) 1980 ;
176
Выберите правильный ответ: Угол между плоскостями 2 x  y  2 z  10  0 и
y  z  4  0 равен…



а) ;
b)  ;
с) ;
d) ;
3
6
4
177
Выберите правильный ответ: Скалярное произведение векторов p  i  4 j  8k
и q  i  3 j  8k равно….
а) 13;
b) 24;
178 Выберите правильный ответ:
(1; 1; 2) и (2; 1; -1) имеет вид:
x  2 y 1 z 1


а)
;
3
2
1
x 1 y 1 z  2


b)
;
1
2
0
с) 77;
d) 63;
Уравнение прямой, проходящей через точки
x 1 y 1 z  2


;
1
0
3
x  2 y 1 z 1


d)
.
2
0
3
с)
179 Выберите правильный ответ:
а) Пусть каждому натуральному числу п ( т.е. п =1,2,3,…) по некоторому закону
поставлено в соответствие единственное действительное число хп. В этом случае говорят,
что задана последовательность: х1, х2 , … хп., … и обозначается х п  .
b) Пусть каждому натуральному числу п ( т.е. п =1,2,3,…) по некоторому закону
поставлено в соответствие единственное действительное число хп. В этом случае говорят,
что задана последовательность: 1, 2, 3, …п и обозначается х п  .
с) Пусть каждому натуральному числу п ( т.е. п =1,2,3,…) по некоторому закону
поставлено в соответствие хотя бы одно действительное число хп. В этом случае говорят,
что задана последовательность: х1, х2 , … хп., … и обозначается х п  .
180 Выберите правильный ответ:
а) Последовательность х п  называется убывающей, если для любого п выполняется
неравенство хп ≤ хп.+1 , т.е. х1 ≤ х2 ≤ … ≤ хп.+1 ≤ …
b) Последовательность х п  называется невозрастающей, если для любого п выполняется
неравенство хп ≤ хп.+1, т.е. х1 ≥ х2 ≥ х3 ≥…
с) Последовательность х п  называется неубывающей, если для любого п выполняется
неравенство хп ≤ хп.+1, т.е. х1 ≤ х2 ≤ … ≤ хп.+1 ≤ …
181 Выберите правильный ответ:
100
а) Последовательность х п  называется возрастающей (убывающей), если существует
такое число М ( число т), что все члены последовательности больше (соответственно
меньше) чем М ( чем т).
b) Последовательность х п  называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если
существует такое число М ( число т), что все члены последовательности меньше
(соответственно больше) чем М ( чем т).
с) Последовательность х п  называется монотонной, если существует такое число М, что
все члены последовательности меньше чем М.
182 Выберите правильный ответ:
а) Суммой (разностью) двух произвольных последовательностей х п  и у п  называется
последовательность, каждый член которой есть сумма (разность) соответствующих
членов последовательностей х п  и у п , т.е. х п   у п  = х п  у п 
b) Суммой
двух произвольных последовательностей х п  и у п  называется
последовательность вида хп , у п , т.е. х п  + у п  = хп , у п 
с) Суммой (разностью) двух произвольных последовательностей х п  и у п  называется
число, равное сумме (разности) первых членов данных последовательностей.
183
Выберите правильный ответ: Последовательность  п  называется бесконечно
малой, если
а) для любого сколь угодно малого положительного числа  можно подобрать такой
номер N, что начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство
п <  .
b) для любого числа  можно подобрать такой номер N, что будет выполнено неравенство
N <  .
с) для любого сколь угодно малого положительного числа  можно подобрать такой
номер N, что начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство
п ≥  .
184
Выберите правильный ответ: Число А называется пределом последовательности
х п , если
а) для любого положительного числа  можно подобрать такой номер N (зависящий от
 ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство
хп  А <  .
b) для любого числа  можно подобрать такой номер N (не зависящий от  ), что,
начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство хп  А <  .
с) для любого положительного числа  можно подобрать такой номер N (зависящий от
 ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство
хп  А ≥  .
185
Выберите правильный ответ: Последовательность, имеющая предел lim x n  A ,
называется
а) расходящейся
n 
b) постоянной
с) сходящейся
186 Выберите правильный ответ:
а) Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной
b) Всякая расходящаяся последовательность является ограниченной
с) Всякая сходящаяся последовательность является не ограниченной
101
187 Выберите правильный ответ:
а) Всякая монотонная и не ограниченная последовательность сходится
b) Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится
с) Всякая монотонная и ограниченная последовательность расходится
188 Выберите правильный ответ:
а)  п  и  п - бесконечно малые последовательности   п   п  - бесконечно малая
последовательность
b)  п  и  п - бесконечно малые последовательности
  п   п  - вид
последовательности определить нельзя
с)  п  и  п - бесконечно малые последовательности   п   п  - бесконечно малое
число
189 Выберите правильный ответ:
а)  п  - бесконечно малая последовательность, х п  - ограниченная последовательность
  п * хп - вид последовательности определить нельзя
b)  п  - бесконечно малая последовательность, х п  - ограниченная последовательность
  п * хп - бесконечно малое число
с)  п  - бесконечно малая последовательность, х п  - ограниченная последовательность
  п * хп - бесконечно малая последовательность
190 Выберите правильный ответ:
а)  п  и  п - бесконечно малые последовательности   п *  п  - бесконечно малая
последовательность
b)  п  и  п - бесконечно малые последовательности   п *  п  - определить нельзя
с)  п  и  п - бесконечно малые последовательности   п *  п  - бесконечно малое
число
191 Выберите правильный ответ:
а) lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n  y n )  a  b
n 
n 
n 
b) lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n  y n ) - не существует
n 
n 
n 
с) lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n  y n )  x n  y n
n 
n 
n 
192 Выберите правильный ответ:
а) lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n * y n )  a * b
n 
n 
n 
b) lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n * y n ) - не существует
n 
n 
n 
с) lim x n  a, lim y n  b  lim ( x n * y n )  x n * y n
n 
n 
n 
193 Выберите правильный ответ:
а) Пусть lim x n  a, lim y n  b, п x n  y n  a  b
n 
n 
b) Пусть lim x n  a, lim y n  b, п  a  b
n 
n 
с) Пусть lim x n  a, lim y n  b, п x n  y n  как связаны числа a
n 
n 
определенного сказать нельзя
194 Выберите правильный ответ:
102
и
b - ничего
а) Пусть х п , у п , z n  произвольн ые последовательности и lim x n  lim z n  a  lim y n  a
n 
n 
n 
b) Пусть х п  у п  z n , n, и lim x n  a  lim y n  lim z n  a
n 
n 
n 
с) Пусть х п  у п  z n , n, и lim x n  lim z n  a  lim y n  a
n 
n 
n 
195 Выберите правильный ответ:
а) Последовательность  п  называется бесконечно большой, если для любого сколь
угодно большого положительного числа  можно подобрать такой номер N, что начиная с
этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет выполнено неравенство  п >  .
b) Последовательность  п  называется бесконечно большой, если для любого числа 
можно подобрать такой номер N, что начиная с этого номера (т.е. для всех n ≥ N), будет
выполнено неравенство  п >  .
с) Последовательность  п  называется бесконечно большой, если для любого сколь
угодно большого положительного числа  можно подобрать такой номер N, что будет
выполняться неравенство  п <  .
196 Выберите правильный ответ:
lim  n  0 и lim  n   ,
а) Пусть
n 
n 
следовательно
 п 
-
бесконечно
малая
последовательность, а  п - бесконечно большая последовательность
b) Пусть lim  n  0 и lim  n   , следовательно  п  - последовательность, все члены
n 
n 
которой равны 0, а  п - последовательность, члены которой бесконечно большие числа
с) Пусть lim  n  0 и lim  n   , следовательно,  п  и  п - последовательности
n 
n 
неопределенного вида
197 Выберите правильный ответ:
xn
0
n
n
n y
n
x
b) Пусть lim xn  , lim y n  0, тогда lim n  0
n
n
n y
n
x
с) Пусть lim y n   тогда lim n  0
n
n y
n
а) Пусть lim xn  a, lim y n   тогда lim
198 Выберите правильный ответ:
xn
 
n
n
n y
n
x
b) Пусть lim xn  a, lim y n  0, п, у п  0, тогда lim n  0
n
n
n y
n
x
с) Пусть lim xn  a, lim y n  0, п, у п  0, тогда lim n  
n
n
n y
n
а) Пусть lim xn  0, lim y n  , п, у п  0, тогда lim
199 Выберите правильный ответ:
Элементами множества натуральных чисел являются …
а) 2
b) -5
с) 101
d) 0
103
e) 3
200 Выберите правильный ответ: Мера множества, изображенного на рисунке,
равна…
а)
3
4
b)
9
2
с)
9
4
d)

4
201 Выберите правильный ответ:
а) Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется
постоянной. Например, 3, 3, 3, ……3, …- постоянная последовательность.
b) Последовательность, четные члены которой равны одному числу, а нечетные другому
называется постоянной. Например, 3, 2, 3, 2, 3, 2, …3, 2,…- постоянная
последовательность.
с) Последовательность, все члены которой равны только отрицательным или только
положительным числам, называется постоянной. Например, 3, 4, 5, …10, … или -3, -4,5,…-10, …- постоянные последовательности.
202 Выберите правильный ответ:
а) 1, 2, 3, 4, …- т.к. каждый предыдущий член последовательности меньше предыдущего
на одно и то же число 1, то данная последовательность постоянная.
b) 1, 2, 3, 4, …- т.к. для любых п выполняется неравенство хп < хп.+1, то данная
последовательность возрастающая
с) 1, 2, 3, 4, …- для любых п выполняется неравенство хп.+1 > хп , то данная
последовательность убывающая
203 Выберите правильный ответ:
а) 2, 4, 6, 8, … - ограничена снизу и неограниченна сверху
b) -1, -4, -7, -10, …- ограничена снизу и неограниченна сверху
с) -2, 4, -8, 32, …- ограничена снизу и неограниченна сверху
Выберите
204
правильный
последовательности равен:
1
а) хп =
2п !
b) хп =
ответ:
1,
1 1 1 1
, , ,
,..., тогда
2 6 24 120
1
2п 2
с) хп =
общий
член
1
п!
(1) п
205 Выберите правильный ответ: Последовательность задана формулой а п 
.
п2
Тогда десятый член последовательности равен:
а) а10 =
206
1
10
b) а10 =
1
12
с) а10 =
Выберите правильный ответ: Если хп =
а) хп+1 =
1
,
2(п  1) !1
b) хп+1 =
1
 1,
2п !1
104
1
14
d) а10 =
1
16
1
, то
2 п !1
с) хп+1 =
1
(2п  1) !1
207 Выберите правильный ответ: На числовой прямой дана точка х = 3,6 . Тогда ее «окрестностью» может являться интервал:
а) (3,2; 3,6)
b) (3,4; 3,8)
с) (3,6; 5,9)
d) (3,4; 3,9)
208 Выберите правильный ответ:
а) Если каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставиться в
соответствие единственный элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве Х
задана функция у = f(x).
b) Если хотя бы одному элементу х из множества Х по определенному правилу ставиться в
соответствие хотя бы один элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве Х
задана функция у = f(x).
с) Если элементу х из множества Х по определенному правилу ставиться в соответствие
элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция х = f(у).
209 Выберите правильный ответ:
а) Величина называется постоянной, если принимает одно и то же значение. Если
величина сохраняет постоянное значение в рамках одного и того же процесса, то она
называется параметром.
b) Величина называется параметром, если принимает одно и то же значение. Если
величина сохраняет постоянное значение в рамках одного и того же процесса, то она
называется постоянной.
с) Величина называется постоянной или параметром, если принимает одно и то же
значение.
210 Выберите правильный ответ:
а) Переменная величина х, принимающая различные значения, называется зависимой
переменной или аргументом, а у - независимой переменной.
b) Переменная величина х, принимающая различные значения, называется независимой
переменной или аргументом, а у - постоянной величиной.
с) Переменная величина х, принимающая различные значения, называется независимой
переменной или аргументом, а у - зависимой переменной.
211 Выберите правильный ответ:
а) Функция у = f(x) называется четной, если для каждого х из области определения
выполняется условие f(-x)= f(x)
b) Функция у = f(x) называется четной, если область определения симметрична
относительно начала координат и для любых х из области определения выполняется
условие f(-x) = f(x)
с) Функция у = f(x) называется четной, если для всех х из области определения
выполняется условие f(-x)= - f(x)
212 Выберите правильный ответ:
а) Функция у = f(x) называется нечетной, если для каждого х из области определения
выполняется условие f(-x)= f(x)
b) Функция у = f(x) называется нечетной, если область определения симметрична
относительно начала координат и для любых х из области определения выполняется
условие f(-x) = - f(x)
с) Функция у = f(x) называется нечетной, если для всех х из области определения
выполняется условие f(-x)= f(x)
213 Выберите правильный ответ:
а) Функция у = f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке Х,
если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее
(большее) значение функции
105
b) Функция у = f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке Х,
если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее
(меньшее) значение функции
с) Функция у = f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке Х,
если меньшему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее
(меньшее) значение функции
214 Выберите правильный ответ:
а) Функция у = f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое
положительное число М > 0, что f ( x)  М для любого х  Х.
b) Функция у = f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое
произвольное число М , что f ( x)  М для любого х  Х.
с) Функция у = f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое
положительное число М > 0, что f(x) ≤ М для любого х  Х.
215 Выберите правильный ответ:
а) Если для любого х из области определения
называется периодической с периодом Т.
b) Если для любого х из области определения
называется периодической с периодом Т.
с) Если для любого х из области определения
называется периодической с периодом Т.
f(x+Т)
 f(x) , где Т  0, то функция
f(x+Т) = f(x) , где Т  0, то функция
f(x+Т) > f(x) , где Т  0, то функция
216 Выберите правильный ответ:
а) Элементарные - функции, которые получаются из основных функций с помощью
алгебраических действий (*,/,). Основные элементарные функции: степенная,
показательная, логарифмическая, тригонометрические.
b) Элементарные - функции, которые получаются из основных функций с помощью
алгебраических действий (+,-,*,/,возведение в степень). Основные элементарные функции:
постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные
тригонометрическим.
с) Элементарные - функции, которые получаются из основных функций с помощью
алгебраических действий (+,-). Основные элементарные функции: показательная,
логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрическим.
217 Выберите правильный ответ:
а) Пусть функция у = f(и) есть функция от переменной и, определенной на множестве Х, а
переменная и является функцией от х: и =h(x), определенной так же на множестве Х,
тогда у = f(x)- называется сложной функцией.
b) Пусть функция у = f(х) есть функция от переменной х, определенной на множестве Х, и
переменная и является функцией от х: и =h(x), определенной на множестве Х, тогда
у = f(h(x))- называется сложной функцией.
с) Пусть функция у = f(и) есть функция от переменной и, определенной на множестве U, а
переменная и является функцией от х: и =h(x), определенной на множестве Х, тогда
у = f(h(x))- называется сложной функцией.
218 Выберите правильный ответ:
а) Графики взаимообратных функций симметричны относительно прямой у = х
b) Графики взаимообратных функций симметричны относительно оси ОХ
с) Графики взаимообратных функций симметричны относительно оси ОУ
219 Выберите правильный ответ:
а) Если некоторые значения х и значение у удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0, то
говорят, что эта функция задана неявно.
106
b) Если каждое значение аргумента х и соответствующее ему значение функции у
удовлетворяют некоторому (одному и тому же ) уравнению у = f(x), то говорят, что эта
функция задана неявно.
с) Если каждое значение аргумента х и соответствующее ему значение функции у
удовлетворяют некоторому (одному и тому же ) уравнению F(x,y) = 0, то говорят, что эта
функция задана неявно.
220 Выберите правильный ответ:
а) Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого сколь угодно
малого на перед заданного числа  > 0, найдется такое число >0 (зависящее от ), что для
всех х таких, что |x-a| < , х  а, выполняется неравенство |f(x)-A| < 
b) Число А называется пределом функции f(x) при ха, х  а, если для любого числа ,
выполняется неравенство |f(x)-A| < 
с) Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого сколь угодно
малого на перед заданного числа  > 0, найдется такое число >0 (зависящее от ), что для
всех х таких, что |x-a| > , х  а, выполняется неравенство |f(x)-A| > 
221 Выберите правильный ответ: Пусть функции f(x) и q(x) определены в некоторой
окрестности точки х0 и
а) lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x)  q( x))  a  b
n x0
n x0
n x0
b) lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x)  q( x)) - не определено
n x0
n x0
n x0
с) lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x)  q( x))  а * f ( x)  b * q( x)
n x0
n x0
n x0
222 Выберите правильный ответ: Пусть функции f(x) и q(x) определены в некоторой
окрестности точки х0 и
а) lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x) * q( x)) - не определено
n x0
n x0
n x0
b) lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x) * q( x))  [a * f ( x)] * [b * q( x)]
n x0
n x0
n x0
с) lim f ( x)  a, lim q( x)  b  lim ( f ( x) * q( x))  a * b
n x0
n x0
n x0
223 Выберите правильный ответ: Пусть функции f(x) и q(x) определены в некоторой
окрестности точки х0 и
f ( x)
а) lim f ( x)  a, lim q( x)  b, b  0  lim
- не определено
n  x0
n  x0
n x0 q ( x)
f ( x) a
b) lim f ( x)  a, lim q( x)  b, b  0  lim

n  x0
n  x0
n  x0 q ( x)
b
f ( x) a * f ( x)
с) lim f ( x)  a, lim q( x)  b, b  0  lim

n  x0
n  x0
n  x0 q ( x)
b * q( x)
224 Выберите правильный ответ:
а) Число А называется пределом функции f(x) при х  , если для любого сколь угодно
малого на перед заданного числа  > 0, найдется такое число S > 0 (зависящее от ), что
для всех х таких, что |x| < S, выполняется неравенство |f(x)-A| < 
b) Число А называется пределом функции f(x) при х  , если для любого числа ,
найдется такое число S > 0 (зависящее от ), что для всех х таких, что |x| < S, выполняется
неравенство |f(x)-A| > 
с) Число А называется пределом функции f(x) при х  , если для любого сколь угодно
малого на перед заданного числа  > 0, найдется такое число S > 0 (зависящее от ), что
для всех х таких, что |x| < S, выполняется неравенство |f(x)| < 
107
225 Выберите правильный ответ:
а) Функция  (х ) называется бесконечно малой величиной при х  х0
или х   , если
ее предел не существует: lim  ( x) - не существует
x  x0 (  )
b) Функция  (х ) называется бесконечно малой величиной при х  х0
или х   , если
ее предел равен нулю: lim  ( x) = 0
x  x0 (  )
с) Функция  (х ) называется бесконечно малой величиной при х  х0
или х   , если
ее предел равен произвольному числу: lim  ( x) = 
x  x0 (  )
226 Выберите правильный ответ:
а) Если функция f(x) при х  х0 или
представить в виде разности этого
х  х0 или х   : f(x) = А-  (х )
b) Если функция f(x) при х  х0 или
представить в виде суммы этого
х  х0 или х   : f(x) = А+  (х )
х   имеет предел, равный А, то ее можно
числа А и бесконечно малой  (х ) при
х   имеет предел, равный А, то ее можно
числа А и бесконечно малой  (х ) при
с) Если функция f(x) при х  х0 или х   имеет предел, равный А, то ее можно
представить в виде произведения этого числа А и бесконечно малой  (х ) при
х  х0 или х   : f(x) = А*  (х )
227 Выберите правильный ответ:
а) Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от
нуля, есть величина бесконечно большая.
b) Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от
нуля, есть величина бесконечно малая.
с) Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от
нуля, не существует.
228 Выберите правильный ответ:
а) Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть ограниченная
произвольная функция
b) Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина
бесконечно большая.
с) Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина
бесконечно малая.
229 Выберите правильный ответ:
а) Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть
величина бесконечно большая.
b) Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, не
определяется
с) Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть
произвольная функция.
230 Выберите правильный ответ:
а) Если функция  (х ) есть величина
х  х0
бесконечно большая величина при
1
или х   , то и функция f(x) =
является бесконечно большой при
 ( х)
108
х  х0
или х   . И если функция f(x) бесконечно малая при х  х0 или х   , то и
1
функция  (х ) =
есть бесконечно малая при х  х0 или х   .
f ( х)
b) Если функция  (х ) есть величина бесконечно малая величина при х  х0 или х   ,
1
то функция f(x) =
является бесконечно малая при х  х0 или х   . И если
 ( х)
1
функция f(x) бесконечно большая при х  х0 или х   , то функция  (х ) =
есть
f ( х)
бесконечно малая при х  х0 или х   .
с) Если функция  (х ) есть величина бесконечно малая величина при х  х0 или х   ,
1
то функция f(x) =
является бесконечно большой при х  х0 или х   . И если
 ( х)
1
функция f(x) бесконечно большая при х  х0 или х   , то функция  (х ) =
есть
f ( х)
бесконечно малая при х  х0 или х   .
231 Выберите правильный ответ:
а) Если в некоторой окрестности точки х0 ( или при достаточно больших х) f(x) < φ (х), то
lim f ( x) = lim  ( x) = х0
x x0 (  )
x  x0 (  )
b) Если в некоторой окрестности точки х0 ( или при достаточно больших х) f(x) < φ (х), то
lim f ( x) < lim  ( x)
x x0 (  )
x  x0 (  )
с) Если в некоторой окрестности точки х0 ( или при достаточно больших х)
lim f ( x) < lim  ( x) , то f(x) > φ (х)
x x0 (  )
x  x0 (  )
232 Выберите правильный ответ:
а) Если f(x) < φ (х) < ψ (х) и lim ψ (х) = lim  ( x) = А, то lim
f ( x) = А
b) Если ψ (х) < φ (х) < f(x) и lim
ψ (х) = lim  ( x) = А, то lim
f ( x) = А
с) Если ψ (х) < f(x) < φ (х) и lim
ψ (х) = lim  ( x) = А, то lim
f ( x) = А
x x0 (  )
x x0 (  )
x x0 (  )
x  x0 (  )
x  x0 (  )
x  x0 (  )
x x0 (  )
x x0 (  )
x x0 (  )
233 Выберите правильный ответ: Первым замечательным пределом называется
sin x
sin x
sin x
1
1
е
а) lim
b) lim
с) lim
x 0
x 
x 0
x
x
x
234
Выберите правильный ответ: Число е (вторым замечательным пределом)
называется предел числовой последовательности
1
1
1
а) lim (1  ) n  e
b) lim (1  ) n  e
с) lim (1  ) n  0
n 
n 0
n 
n
n
n
235 Выберите правильный ответ:
а) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет условиям: 1)
определена в точке х0 ( существует f(x0)); 2) имеет конечный предел функции при
х  х0
3) этот предел равен значению функции в точке х0: lim f ( x) = f(x0)
x x0
b) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет условиям: 1)
определена в точке х0 ( существует f(x0)); 2) имеет конечный предел функции при х  х0
с) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет условиям:
109
1) имеет конечный предел функции при х  х0 ; 2) этот предел равен значению функции в
точке х0: lim f ( x) = f(x0)
x x0
236 Выберите правильный ответ:
а) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0
(существует f(x0)) и бесконечно большому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции lim y  0
x  
b) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0
(существует f(x0)) и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции lim y  0
x  0
с) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0
(существует f(x0)) и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
большое приращение функции lim y  
x 0
237 Выберите правильный ответ:
а) Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то их сумма f(x) + g(x), произведение
f(x) * g(x), частное f(x) / g(x) (при условии, что g(x)  0) являются функциями
непрерывными в точке х0.
b) Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то их сумма f(x) + g(x), произведение
f(x) * g(x) являются функциями непрерывными в точке х0. Частное f(x) / g(x) (при условии,
что g(x)  0) не определено.
с) Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то их сумма f(x) + g(x), произведение
f(x) * g(x), частное f(x) / g(x) (при условии, что g(x)  0) не определено на непрерывность
в точке х0.
238 Выберите правильный ответ:
а) Если функция у = f(х) непрерывны в точке х0, функция и = g(x) непрерывна в точке
и0 = g(x0), то сложная функция у = f(g(x)) непрерывна в точке и0.
b) Если функция у = f(и) непрерывны в точке и0, функция и = g(x) непрерывна в точке
и0 = g(x0), то о сложной функции у = f(g(x)) непрерывна в точке х0 ничего определенного
сказать нельзя.
с) Если функция у = f(и) непрерывны в точке и0, функция и = g(x) непрерывна в точке и0
= g(x0), то сложная функция у = f(g(x)) непрерывна в точке х0.
239 Выберите правильный ответ:
а) Число А называется пределом функции f(x) справа в точке х0 (или правосторонним
пределом), функция определена хотя бы водной точке справа от числа А
b) Число А называется пределом функции f(x) справа в точке х0 (или правосторонним
пределом), если для любой последовательности х п  , сходящейся к х0 и такой, что все ее
члены
меньше,
чем
х0,
соответствующая
последовательность
значений
функции  f ( хп ) сходится к числу А.
с) Число А называется пределом функции f(x) справа в точке х0 (или правосторонним
пределом), если для любой последовательности х п  , сходящейся к х0 и такой, что все ее
члены
больше,
чем
х0,
соответствующая
последовательность
значений
функции  f ( хп ) сходится к числу А. Обозначается lim f ( x)
x  x0  0
240 Выберите правильный ответ: Если функция у = f(x)
а) непрерывна на отрезке [a,b], то она не ограничена на этом отрезке
b) терпит разрыв на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке
с) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке
110
241 Выберите правильный ответ: (2-ая теорема Вейерштрасса) Если функция у = f(x)
а) терпит разрыв
на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего
значения т и наибольшего значения М
b) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т
или наибольшего значения М
с) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т
и наибольшего значения М
242 Выберите правильный ответ: (теорема Больцано-Коши) Если функция у = f(х)
а) непрерывна на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(а) и f(b) имеют
противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка с  ( a,b) такая, что f(с) = 0.
b) терпит разрыв на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(а) и f(b) имеют
противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка с  ( a,b) такая, что f(с) равно
произвольному числу.
с) терпит разрыв на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(а) и f(b) имеют
противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка с  ( a,b) такая, что f(с) = 0.
243 Выберите правильный ответ: Если в точке х0
а) lim f ( x) = lim f ( x) = f(x0), то в точке х0 функция терпит разрыв первого рода.
x  x0  0
x  x0 0
b) lim f ( x) ≠ lim f ( x) ≠ f(x0), то в точке х0 функция терпит разрыв первого рода.
x  x0  0
x  x0 0
с) lim f ( x) не существует lim f ( x) = f(x0), то в точке х0 функция терпит разрыв
x  x0  0
x  x0 0
первого рода.
244 Выберите правильный ответ:
а) Если в точке х0 функция у = f(х0) не определена или хотя бы один из односторонних
пределов равен   или не существует, то в точке х0 функция терпит устранимый разрыв.
b) Если в точке х0 функция у = f(х0) не определена или хотя бы один из односторонних
пределов равен   или не существует, то в точке х0 функция терпит разрыв второго рода.
с) Если в точке х0 функция у = f(х0) определена и один из односторонних пределов равен
нулю, то в точке х0 функция терпит разрыв второго рода.
245 Выберите правильный ответ:
а) Если в точке х0 существует конечный предел lim f ( x0 ) и значение функции f(х0)
x x0
определено, то в точке х0 функция терпит устранимый разрыв.
b) Если в точке х0 не существует конечный предел lim f ( x0 ) , а значение функции f(х0)
x x0
определено, то в точке х0 функция терпит разрыв второго рода.
с) Если в точке х0 существует конечный предел lim f ( x0 ) , а значение функции f(х0) не
x x0
определено, то в точке х0 функция терпит устранимый разрыв.
246 Выберите правильный ответ:
2
* log 2 (2  3x) : D(f ) = [0; )
3
2
b) Область определения функции f(x) = е х * log 2 (2  3x) : D(f ) = (0; )
3
с) Область определения функции f(x) = е х * log 2 (2  3x) : D( f ) = R
а) Область определения функции f(x) = е
х
247 Выберите правильный ответ: Число 2,5 принадлежит множеству…
а) А  а а  N , 1  а  10
b) D  а а  Q, d  2
с) B  b b  Z ,  2  b  3
d) C  c c  R,  3  c  2,6
111
248 Выберите правильный ответ: Образом отрезка 1; 2 при отображении
f  3x  1 является….
а) 2; 0 ;
b) 4; 7 ;
с)  1; 3 ;
d) 3; 6 ;
249 Выберите правильный ответ: Функции являются сложными:
а)
b)
с)
,
,
,
,
y = arcsinx, y = arcsin (3x)
y = arcsin (3x)
y = arcsin (3x)
250 Выберите правильный ответ: Функции заданы неявно:
а) y = tg (x+y)*3x; x – y = xy; у= sin3lnx,
b) y = tg (x+y)*3x; (x – y)/х = y
с) x – y – xy = 0
251 Выберите правильный ответ: Укажите две периодические функции с периодом 2
из представленных ниже
а) у = cos πx
b) у = ctg2πx
х
с) у = tg
d) у = sin x
2
252 Выберите правильный ответ: Дан график функции y = ƒ(x). Выяснить, сколько
различных действительных корней имеет уравнение ƒ(4x2 + 3) = 0.
а) три
b) два
с) ни одного
-2
0
2
4 f(x)
х
х3
1 х
253 Выберите правильный ответ: f(x) = 2
, f(x) = ln
1 х
х 1
a) - четные функции
b) - нечетные функции
с) – функции общего вида
254 Выберите правильный ответ: Укажите график периодической функции
112
b)
а)
c)
d)
255 Выберите правильный ответ:
а) Область определения функции f(x) = arcsin(log3x): D( f ) = [ 1/3; 3]
b) Область определения функции f(x) = arcsin(log3x): D( f ) = [ -1;1]
с) Область определения функции f(x) = arcsin(log3x): D( f ) = (1/3; 3)
256
Выберите правильный ответ: Выяснить каким условием удовлетворяют a, b, c,
если график функции у = а*cos (x+b) +c имеет вид:
а) a > 0, b < 0, c > 0;
b) a < 0, b > 0, c < 0;
c) a < 0, b > 0, c > 0;
d) a < 0, b < 0, c > 0;
y
3

0
257
Выберите правильный ответ:
преобразованием графика функции f(x) =
2
График функция
1
х
113
x
f(x) = 2 +
1
получен
х2
а) первое слагаемое 2 дает движение графика вдоль оси ОХ на две единицы вверх, -2 в
знаменателе дает движение графика вдоль оси ОУ на две единицы вправо.
b) первое слагаемое 2 дает движение графика вдоль оси ОУ на две единицы вверх, -2 в
знаменателе дает движение графика вдоль оси ОХ на две единицы вправо
с) движением всего графика вдоль прямой f(x)= х на три единицы.
258 Выберите правильный ответ:
а) Если f(h)=eh, h(x)=ln x  f (h( x))  e ln x - сложная функция
b) Если f(h)=eh, h(x)=ln x  f (h( x))  х - сложная функция
с) Если f(h)=eh, h(x)=ln x  f (h( x))  e h * ln x - сложная функция
259 Выберите правильный ответ:
 у  2t  4
а) 
-функция задана параметрически
 x  6t  7
b) у = 2t +4 - функция задана параметрически
с) t = 2y +4 - функция задана параметрически
260
Выберите правильный ответ:
3n 2  2n  7
2
3n 2  2n  7

 7
а) lim 2
b) lim 2
n  n  3n  1
n  n  3n  1
3
Выберите правильный ответ:
3
3
n
1
n
а) lim
b) lim

0
n 
n 
n 1 n
n 1
3n 2  2n  7
3
n  n 2  3n  1
с) lim
261
3
с) lim
n 
Выберите правильный ответ:
(n  3) 3
(n  3) 3 1

а) lim
b) lim

n 
n 
5
5n 3
5n 3
n
n 1
не существует
262
263 Выберите правильный ответ:
а) lim ( n  1  n  1) - вычислить нельзя
(n  3) 3
с) lim
0
n 
5n 3
b) lim ( n  1  n  1) = 0
n 
n 
с) lim ( n  1  n  1) = 
n 
264
Выберите правильный ответ:
n 2  5n  6
3
n 2  5n  6
1


а) lim 2
b) lim 2
n  2 n  2n  8
n

2
4
6
n  2n  8
265
Выберите правильный ответ:
114
n 2  5n  6
1
с) lim 2
n  2 n  2n  8
2x 2  3
а) lim
0
х 
4 x 3  5x
2x 2  3
b) lim

х 
4 x 3  5x
2x 2  3 1
с) lim

х 
4 x 3  5x 2
266
Выберите правильный ответ:
2
х 2  4х  7
lim х  4 х  7  
а) lim
b)

1
х 
х 
х
х
267
х 2  4х  7
с) lim
7
х 
х
Выберите правильный ответ:
5x 3
lim
а) х 0
9x 4
5x 3
с) lim
х 0
9x 4
 8x
- вычислить нельзя
 7x
 8x 5
=
 7x 9
5x 3  8x 8
lim
b) х 0
=
9x 4  7 x 7
268 Выберите правильный ответ:
1
5
x  е


1

x
b) lim
х 0
5
x  е5


1

x
с) lim
х 0
Выберите правильный ответ:
3
3
а) lim (1  ) x  e 3
b) lim (1  ) x  1
x 
x 
x
x
3
с) lim (1  ) x  e
x 
x
5
5
x  е


1

x
а) lim
х 0
269
270 Выберите правильный ответ:
х2
0
а) lim
х 0
sin 2 2 x cos 3x
х2
lim
 не существует
с) х0
sin 2 2 x cos 3x
271 Выберите правильный ответ:
sin 2 x  tg 4 x
 не существует
а) lim
х 0
x2
sin 2 x  tg 4 x
8
с) lim
х 0
x2
272
b) lim
х 0
х2
1

2
sin 2 x cos 3x 4
sin 2 x  tg 4 x
0
b) lim
х 0
x2
Выберите правильный ответ:
а) lim (tg 3x) * cos 5 x  3
x 0
b) lim (tg 3 x) * cos 5 x 
x 0
3
5
273 Выберите правильный ответ:
а) lim sin x  1
b) lim sin x - не существует
x 
x 
274 Выберите правильный ответ:
x2
a) Функция y 
а) max f(-2) =   ; min f(0) =  
x 1
b) наибольшее значение f(-2) = 4/3; наименьшее
значение f(0) = 0
с) max f(-2) = 4/3; min f(0) = 0
115
с) lim (tg 3x) * cos 5 x  0
x 0
с) lim sin x  1
x 
275 Выберите правильный ответ
Функция f(x) = ln x имеет график, тогда в точке х = 0
функция терпит
а) разрыв первого рода
b) разрыв второго рода
с) устранимый разрыв
276 Выберите правильный ответ:
 sin x

, если х  0
а) Функция f(x) =  x
непрерывна в точке х = 0
1,
если х  0
 sin x

, если х  0
b) Функция f(x) =  x
терпит устранимый разрыв в точке х = 0
1,
если х  0
 sin x

, если х  0
с) Функция f(x) =  x
терпит разрыв второго рода в точке х = 0
1,
если х  0
277 Выберите правильный ответ:
а) Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел (если он существует)
отношения приращения функции  у к приращению аргумента х , когда приращение
аргумента стремится к нулю y   lim f ( x 0 x)  f ( x 0 )
x 0
x
b) Производной функции y = f(x) называется предел (если он существует) отношения
приращения аргумента х к приращению функции  у , когда приращение аргумента
стремится к нулю
y   lim
x  0
x
у
с) Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел(если он существует)
отношения приращения функции  у к приращению аргумента х , когда приращение
функции стремится к бесконечности
y   lim
x 
f ( x 0 x)  f ( x 0 )
x
278 Выберите правильный ответ:
а) Производную можно рассматривать, как произведение дифференциала функции
соответствующего порядка на соответствующую степень дифференциала независимой
переменной у   dy * dx
b) Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала функции
соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой
dy
переменной у  
dx
с) Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала независимой
переменной соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала
dx
функции у  
dy
279 Выберите правильный ответ:
116
а) Если функция y = f(x) в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется
дифференцируемой
в
этой
точке,
а
процесс
нахождения
производной
дифференцированием.
b) Функция y = f(x) в точке х0 называется дифференцируемой, а процесс нахождения
производной дифференцированием.
с) Если функция y = f(x) в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется
дифференцируемой в этой точке, а процесс нахождения точки х0 называется
дифференцированием.
280 Выберите правильный ответ:
а) Касательная к графику в точке М0 (х0; у0) , уравнение которой имеет вид: у – у0 = f (x0)( х
– х0). При этом f(x0) = tg α, где α – угол наклона этой касательной с положительным
направлением оси ОХ.
b) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к
графику в точке М0 (х0; у0) , уравнение которой имеет вид: х – х0= f ´(x0 - х)( у – у0). При
этом f ´(x0 - х) = tg α, где α – угол наклона этой касательной с положительным
направлением оси ОХ.
с) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к
графику в точке М0 (х0; у0) , уравнение которой имеет вид: у – у0 = f ´(x0)( х – х0). При этом
f ´(x0) = tg α, где α – угол наклона этой касательной с положительным направлением оси
ОХ.
281 Выберите правильный ответ:
а) Прямая проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется
1
нормалью к кривой и имеет уравнение: у – у0 =
*( х – х0).
f ' ( x0 )
b) Прямая проходящая через произвольную точку, перпендикулярно касательной,
1
называется нормалью к кривой и имеет уравнение: у – у0 =
*( х – х0).
f ' ( x0 )
с) Прямая проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой и имеет
уравнение: у – у0 = f (x0)( х – х0).
282 Выберите правильный ответ:
а) Логарифмической производной от функции y = f(x) называется производная от
1
логарифма этой функции: (lny)' =
у
b) Логарифмической производной от функции y = f(x) называется производная от
у
логарифма этой функции: (lny) ' =
у
у
с) Логарифмической производной называется производная от логарифма: (lny) ' =
у
283 Выберите правильный ответ: Производная степенно- показательной функции
имеет вид:
а) u(x)v(x) = uv * v´ *ln u
b) u(x)v(x) = uv-1 *u´ *v
с) u(x)v(x) = uv * v´ *ln u + uv-1 *u´ *v
284 Выберите правильный ответ: Производную функции заданной неявно уравнением
F(x,y) = 0, вычисляют
а) дифференцированием правой и левой частей уравнения (считая при этом переменную у
функцией, х – аргументом) и разрешая затем полученной уравнение относительно у´.
b) дифференцированием правой части уравнения (считая при этом переменные у и х –
аргументами) и разрешая затем полученной уравнение относительно у´.
117
с) выражая сначала х относительно у, а затем дифференцируя.
285 Выберите правильный ответ: Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х0,
то она в этой точке непрерывна
а) – это необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
b) – это необходимое условие дифференцируемости.
с) – это достаточное условие дифференцируемости.
286 Выберите правильный ответ:
а) Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная
обратной функции равна величине производной данной функции, т.е. х у  у х
b) Производная обратной функции равна величине производной данной функции,
1
т.е. х у 
у х
с) Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная
1
обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. х у 
у х
287 Выберите правильный ответ:
а) Производной п – ого порядка называется производная от производной п – ого порядка,
d (n) y
(п)
(n)
если таковые существуют и обозначают у = f =
dx ( n )
b) Производной п – ого порядка называется производная от производной (п – 1) – ого
dx n
порядка, если таковые существуют и обозначают у п = f n=
dy n
с) Производной п – ого порядка называется производная от производной (п – 1) – ого
d (n) y
(п)
(n)
порядка, если таковые существуют и обозначают у = f =
dx ( n )
288 Выберите правильный ответ:
 х  х(t )
а) Если функция задана параметрически 
и имеет производные в точке t0:
 y  y (t )
у  (t )
x´ (t0)  0 и y´ (t0), то эта производная вычисляется у´(х0) = t 0
xt (t 0 )
 х  х( х0 )
b) Если функция задана параметрически 
и имеет производные в точке х0, то
 y  y( у0 )
у ( у )
эта производная вычисляется у´(х0) = t 0
xt ( х0 )
 х  х(t )
с) Если функция задана параметрически 
и имеет производные в точке t0:
 y  y (t )
х (t )
x´ (t0)  0 и y´ (t0), то эта производная вычисляется у´(х0) = t 0
уt (t 0 )
289 Выберите правильный ответ:
а) Если функция y = f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения в точке х0 , то
производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f ´(x0) = 0
b) Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная
функции в этой точке равна нулю, т.е. f ´(x0) = 0
118
с) Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная
функции в этой точке не существует, т.е. f ´(x0) – не существует
290
Выберите правильный ответ:
вертикальной асимптотой
а) у 
291
х2
х3
Выберите
b) у 
1
х
правильный
Для какой функции прямая х=3 является
c) у  3х 2  27
ответ:
f ( x)  x  4 x  4
(; 1)  убывает
a)
(1;  )  возрастает
(; 1)  возрастает
c)
(1;  )  убывает
Найдите
d) у 
промежутки
х3
х
монотонности
4
292 Выберите правильный ответ:
b)
d)
(0;  )  убывает
(; 0)  возрастает
(; 0   убывает
(0;  )  возрастает
Вычислите производные: f ( x)  sin 2 ln e x
a) f ' ( x)  2 sin ln e x * cos ln e x
b) f ' ( x)  2 sin ln e x * ln e x
c) f ' ( x)  sin ln e x * cos ln e x
d) f ' ( x)  sin 2 х
293 Выберите правильный ответ:
a) f ' ( x)   tg 2 x
c) f ' ( x)  9 tg 2 x
Вычислите производные: f ( x)  3 ln cos 2 x
b) f ' ( x)  3 tg 2 x
d) f ' ( x)  3 tg 2 x
294 Выберите правильный ответ: Вычислите производные: f ( x)  ln tg 2 2 x
4
sin 8 x
8
c) f ' ( x) 
sin 4 x
a) f ' ( x) 
295
 x
3
Выберите правильный ответ: Найдите производные функции: y  ln sin 
x
3
x
c) y '  3ctg
3
a) y '  ctg
296
2
sin 4 x
1
d) f ' ( x) 
sin 4 x
b) f ' ( x) 
Выберите правильный ответ:
1
x
ctg
3
3
1
x
d) y '   ctg
3
3
b) y ' 
Точка движется по закону S (t). Найдите момент
времени t, когда ее ускорение равно 1. S (t )  sin 2 t
1
1
arccos  n
2
2
1
1
c) t   arcsin  n
2
2
a) t  
1
1
arccos  n
4
4
1
1
d) t   arccos  n
2
2
b) t  
297 Выберите правильный ответ: Найдите дифференциал функции у  ln sin 2 2 x
119
a) dy  2 ctg 2 x dx
c) dy  2 ctg 4 x dx
b) dy  4 ctg 4 x dx
d) dy  4 ctg 2 x dx

2

298 Выберите правильный ответ: Производная функции y  cos x  1 имеет вид…

2


a) 2 x sin x  1
2

b)  sin x  1

2

c) x sin x  1

2

d)  2 x sin x  1
299 Выберите правильный ответ: Если f ( x)  x  nx, то f (1) равна
а)1
b) 0
c) -1/3
d) -2,5
300 Выберите правильный ответ: Если f ( x)  x 2  1 2 , то f (1) - f (1) равно
2x
а)1
b) 0
c) -1/3
301 Выберите правильный ответ: Если f ( x) 
а)1
b) 0
d) 2,5
1
sin 2 2 x, то f (0) равна
2
c) -1/3
d) -2,5
x2
302 Выберите правильный ответ: Если f ( x)  n
, то f (1) равна
1 x2
а)1
303
b) 0
c) -1/3
d) -2,5
Выберите правильный ответ: Производная функции y  ( x 2  1) ln( 2 x  2) равна
а) 2 x ln( 2 x  2) ;
c) 2 x ln( 2 x  2)  x  1 ;
d) ln( 2 x  2)  2 x ;
x 2  1  2 ln( 2 x  2)
b)
;
2


304 Выберите правильный ответ: Укажите вид графика функции, для которой на всем
отрезке [a;b] одновременно выполняются условия y>0, y'<0, y''<0 .
a)
b)
c)
d)
305 Выберите правильный ответ: Найдите точки перегиба функции f ( x)  e  x
a) х =
1
2
; х= 
1
2
b) х =
1
1
; х= 
2
2
d) х = -2
120
c) х = 2
2
306 Выберите правильный ответ: Угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику функции y  5
a) -2
5
x 3 в точке с абсциссой, равной 1, равен:
4
b) 3
c)
3
d)
1
3
307
Выберите правильный ответ:
Функция задана графически. Определите
количество точек, принадлежащих интервалу(a,b), в которых не существует производная
этой функции.
a) 0
b) 1
c)2
d)3
e)4
Контрольные вопросы
1.
Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно
умножать?
2.
Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно
складывать?
3.
Можно ли умножать квадратную матрицу на неквадратную?
4.
Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей?
5.
Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?
6.
Могут ли совпадать матрицы А и АТ ?
7.
Как выглядит матрица (АТ) Т ?
8.
Верно ли равенство (А+В)Т = АТ+ ВТ?
9.
Верно ли равенство (А+Е)*(А-Е) = А2 – Е?
10.
Верно ли равенство (А+Е)2 = А2 +2А+Е?
11.
Верно ли равенство (А+В)*(А-В) = А2 – В2?
12.
Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк?
Столбцов?
13.
Обязательно ли существует произведение В*А, если А*В = Е?
14.
Может ли нулевая матрица быть эквивалентна ненулевой матрице?
15.
Может ли произведение матриц быть числом?
16.
Как изменится произведение матриц А и В, если переставить i – ю и j-ю строки
матрицы А?
17.
Как изменится произведение матриц А и В, если к i-й строке матрицы А прибавить
j-ю строку, умноженную на число с?
18.
Как изменится произведение матриц А и В, если переставить i – й и j-й столбцы
матрицы В?
19.
Как изменится произведение матриц А и В, если к i-му столбцу матрицы В
прибавить j-й столбец, умноженный на число с?
20.
*Найти все квадратные матрицы А размера 2*2, если А2 =Е?
21.
*Найти все квадратные матрицы А размера 2*2, если А2 = нулевая матрица?
22.
 cos x  sin x 
 ?
*Найти матрицу 
 sin x cos x 
23.
1 2
 ?
*Найти все матрицы коммутирующие с матрицей А = 
3 4
n
121
24.
Всегда ли определитель суммы равен сумме определителей?
25.
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы А=(аij ) быть равны
соответствующим минорам Аi j =М i j ?
26.
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы А=(аij )быть равны
соответствующим элементам Аi j = аi j ?
27.
Может ли определитель 2-ого порядка принимать значение больше, чем
определитель 5-ого порядка?
28.
Может ли определитель изменить знак на противоположный при
транспонировании матрицы ?
n
29.
Дана квадратная матрица п – ого порядка А=(аij ). Чему равна сумма
a
i . j 1
ij
* Ai j ?
30.
Можно ли вычислить миноры, дополнительные к элементам неквадратной
матрицы ?
31.
Как изменится определитель 3-его порядка, если его строки переставить
следующим образом: первую на место второй, вторую на место третьей, третью на место
первой ?
32.
Сколько всего миноров у квадратной матрицы п – ого порядка?
33.
Сколько всего миноров у матрицы размера п  т ?
34.
Может ли ранг матрицы быть равен нулю? Меньше нулю? Равен 2,5?
35.
Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?
36.
Как может измениться ранг матрицы при добавлении одного произвольного
столбца или одной произвольной строки?
37.
Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании одного произвольного
столбца или одной произвольной строки?
38.
Как может измениться ранг матрицы при добавлении одной строки, такой же как
первая строка?
39.
Если все элементы строки матрицы пропорциональны
соответствующим
элементам всех других строк, то ранг матрицы равен 1?
40.
Если матрица А не квадратная, может ли существовать такая матрица В, что
В*А=Е или А*В=Е?
41.
Верно ли, что если А = 0, то А 1 =0, если А = 2, то А 1 =-2, если А = 2, то
А 1 =0,5; что А * А 1 = 1?
42.
Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А?
43.
Может ли матричное уравнение АХ=В иметь одно решение, два решения, ни
одного решения, бесчисленное множество решений?
44.
Изменится ли сумма компланарных векторов, если все слагаемые векторы будут
повернуты в одном и том же направлении на один и тот же угол.
45.
Как следует направить векторы а , b чтобы длина вектора суммы была
наибольшей и наименьшей.
46.
Следует ли из равенства
, где
–единичный вектор, равенство
векторов а , b .
47.
Можно ли говорить о скалярном произведении векторов.
48.
Изменится ли скалярное произведение двух векторов, если к одному из них
добавить вектор, перпендикулярный к другому сомножителю.
49.
Равносильны два равенства:
a) а  b,  a   b б ) а  b, a * c  b * c c) a  b, a  c  b  c
50.
51.
52.
Какой угол образует вектор а (cos  ; sin  ) с вектором i.
Три
ненулевых
вектора
связаны
соотношением
. Найти длины этих векторов и углы между ними.
Дано, что
. Можно ли отсюда заключить, что
.
122
53.
Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного
параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
54.
Даны четыре точки А1, А2, А3, А4. При каком условии эти точки образуют
пирамиду, при каком принадлежат одной плоскости.
55.
Точки А(х1; у1) и В(х2; у2) служат смежными вершинами ромба, диагонали которого
параллельны осям координат. Как выразить координаты остальных вершин через
координаты данных точек.
56.
Сторона правильного шестиугольника равна 1. Приняв за полюс одну из вершин, а
за ось – сторону, через нее проходящую, найти полярные координаты остальных пяти
вершин.
57.
Прямая перемещается так, что треугольник, образованный ею с осями координат,
меняется, но сохраняет постоянную площадь S. Найти траекторию движения середины
отрезка, отсекаемого осями координат на этой прямой
58.
Изобразить фигуру, заданную уравнением: а) х + у = 1; б)
1; в) х2+у2 = 0;
г)
; д) х+|x| = y+|y|
59.
Является ли уравнение
уравнением прямой.
2
2
60.
Является ли уравнение х - у = 0 уравнением прямой, содержащей биссектрису
второго координатного угла.
61.
Составить уравнение касательной к окружности х2+у2=R2 в точке (х0;у0).
62.
Вывести условие при котором прямая Ах+Ву+С=0 касается эллипса х2/а2+у2/b2=1.
63.
Вывести условие при котором прямая Ах+Ву+С=0 касается гиперболы
х2/а22 2
у /b =1.
64.
Привести примеры функции, область определения которой равна области значений.
65.
Пусть E(f1) =X1, E(f2) = X2. Верно ли что E(f1+f2) = E(f1) E(f2) и E(f1+f2) = E(f1)
E(f2).
66.
Докажите, что сумма, разность и произведение двух четных функций есть функция
четная.
67.
Докажите, что произведение двух нечетных функций есть функция четная.
68.
Докажите, что сумма двух нечетных функций есть функция нечетная.
69.
Докажите, что произведение четной и нечетной функции есть функция нечетная.
70.
Какая функция, определенная на всей действительной оси, является одновременно
и четной и нечетной.
71.
Докажите, что существует одна функция f(x), определенная на всей числовой оси,
такая, что для любой функции q(x), также определенная на всей оси, справедливо
равенство: f  q  q  f .
72.
Написать первые четыре члена последовательности Рп , п = 3,4,5,…, где Рп
периметр правильного п – угольника, вписанного в круг единичного радиуса.
73.
Привести пример двух ограниченных последовательностей, таких, что их частное
является неограниченной последовательностью.
74.
Докажите, что у одной последовательности не может быть более двух разных
пределов.
75.
Привести пример такой бесконечно малой последовательности х п  , что первые сто
ее членов больше 1000.
76.
Докажите, что последовательность хп = (-1)п не имеет предела.
77.
Доказать, что lim sin x не существует.
n  
78.
Привести пример функции f(x), непрерывной на интервале (а;b) множество
значений которой интервал, отрезок, полуинтервал.
79.
Привести пример функции f(x), разрывной на [a;b], для которой функция | f(x)|
непрерывна на этом отрезке.
123
Вопросы к защите расчетно-графической работы и контролю знаний
1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.
2. Матрицы действия над матрицами.
3. Определитель матрицы. Свойства определителей.
4. Определитель первого, второго и третьего порядка. Способы вычисления.
5. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Теорема Лапласа.
6. Миноры и алгебраические дополнения. Ранг матрицы.
7. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
8. Решение систем линейных уравнений. Формулы. Крамера.
9. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
10. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.
11. Система m -линейных уравнений с n - переменными. Теорема Кронекера - Капели.
12. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
13. Проекция вектора на ось.
14. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости.
15. Понятие об уравнении линии. Общее уравнение прямой.
16. Уравнение прямой в отрезках.
17. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
18. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
19. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
20. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности о двух
прямых.
21. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности. Каноническое
уравнение эллипса. Исследование формы эллипса по его уравнению
22. Каноническое уравнение гиперболы. Равносторонняя гипербола. Каноническое
уравнение параболы.
23. Действия над векторами, заданными своими координатами.
24. Нелинейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Свойства
скалярного произведения. Угол между векторами.
25. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
26. Смешанное произведение векторов, свойства смешанного произведения.
27. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору.
28. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей.
29. Понятие множества.
30. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения
функции. Способы задания.
31. Понятие функции. Основные свойства функции
32. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков.
33. Числовые последовательности. Классификация последовательностей
34. Предел числовой последовательности. Основные теоремы о пределах
последовательности.
35. Предел функции в точке. Односторонние пределы функции в точке.
36. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Связь между бесконечно
малыми и бесконечно большими величинами.
37. Предел функции в бесконечности. Основные теоремы о пределах функции.
38. Первые и второй замечательные пределы.
39. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции.
40. Комплексные числа.
41. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции: ее
геометрический и механический смысл.
124
42. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная
функции, заданной неявно.
43. Производная степенно-показательной функции. Производная функции заданной
параметрически.
44. Производные высших порядков. Механический смысл производной второго
порядка.
45. Дифференциал функции: его геометрический смысл.
46. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ферма).
47. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ролля).
48. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Лагранжа).
49. Правило Лопиталя (применение производной к вычислению пределов).
50. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функций
51. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
52. Выпуклость функции. Точки перегиба.
53. Асимптоты графика функции.
54. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
125
Список использованных источников
1.
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. –М.:
«Банки и биржи» изд. «ЮНИТИ». 2000.
2.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах 1,2 часть. Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа. 1999.
3.
Сборник заданий по высшей математике для экономических специальностей
Учебное пособие. / Под редакцией Ермакова В.И.. М.: ИНФРА-М, 2001. (Серия «Высшая
математика»)
4.
Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов / Под
общ. Ред. Дрогобыцкого И.Н. - М.: Издательство «Экзамен» 2004.
5.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей6 Учебник. - М.: Дело
2002.
6.
Исследование операций в экономике Учебное пособие для вузов / Кремер Н.Ш.,
Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Под ред. Кремера Н.Ш. -М.: ЮНИТИ, 2005.
7.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для
вузов / Под ред. Федосеева В.В. – М.: ЮНИТИ 1999.
8.
Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе:
Учебное пособие для вузов – М.: ЮНИТИ – ДАНА. 2000.
9.
Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования
экономических систем: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2002.
10.
Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. Учебное пособие
для вызов. – М.: «Просвещение» 1995.
11.
Солодовников А.С. , Бабайцев В.А., Браилов А.В.
Математика в экономике.
Учебное пособие для вузов в 3-х частях. -М.: «Финансы и статистика» 1998.
12.
Коршунова Н., Плясунов В. Математика в экономике. Учебное пособие. – М.: Изд.
«ВИТА» 1996.
13.
Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической
сфере: Учебное пособие для вузов – М.: Банки и биржи ЮНИТИ 1998.
14.
Максимов Ю.Д., Недзвецкий О.И., Романов М. Ф., Хватов Ю.А., Ястребов А. В..
Курс высшей математики для гуманитарных специальностей. Учебное пособие. – С-П.:
Специальная литература 1999.
15.
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики Учебное пособие для вузов. – СП.: Изд. «Лань» 1999.
16.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.. Математические методы в
математике. Учебник. –М.: «Дело и сервис» 2001.
17.
Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели
исследования
о
операций: Учебник.- М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К » 2005.
18.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное
пособие – М.: Высшая школа 1986.
19.
Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учебное
пособие для вузов – М.: Высшая школа 2001.
20.
Шипачев В.С.
«Высшая математика» учебник для нематематических
специальностей вузов. Под редакцией акад. А.Н. Тихонова. -М.: Высшая школа 2002.
126