Составитель: доцент кафедры математической информатики

Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Иркутский государственный педагогический университет»
Факультет математики, физики и информатики
Утверждено
на заседании совета факультета
математики, физики и информатики
протокол №_____от __________2006 г.
Председатель совета________________
(Кузьмина Н.Д.)
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
ДПП.Ф.02 Дискретная математика
Специальность: 050202 Информатика
Квалификация: Учитель информатики
Курс: 3
Семестр: 5
Форма обучения: очная
Количество часов на дисциплину: 130 час.
Количество аудиторных часов: 98 час.; из них:
Лекций: 66 час.
Практических занятий: 32 час.
Самостоятельная работа: 32 час.
Итоговый контроль: экзамен
I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Место дисциплины
Дисциплина “Дискретная математика” включена в учебный план в рамках
дисциплин предметной подготовки федерального компонента. Она является
неотъемлимой частью математического образования информатиков.
Цель дисциплины
Изучение основополагающих понятий дискретной математики, среди
которых: комбинаторные объекты, булевы функции, графы
Задачи дисциплины
Задачей курса является знакомство студентов с основными понятиями
комбинаторики, теории графов и теории булевых функций.
Принципы отбора содержания и организации учебного материала
При отборе содержания учебного материала применялись принципы
интегративности, систематичности и преемственности.
Требования к освоению содержания дисциплины
Студент должен знать:
– правила суммы и произведения; упорядоченные и неупорядоченные
выборки, с повторением и без повторения; биномиальную теорему,
треугольник Паскаля, свойства биномиальных коэффициентов; принцип
включения-исключения; производящие функции, соотношения между
производящими функциями;
– способы задания графов; маршруты, цепи, циклы в графе; связные графы,
эйлеровы цепи и циклы; плоские графы; раскраска графов; деревья,
помеченные и непомеченные деревья, код Прюфера, деревья двоичного
кода;
– определение булевых функций; существенные функции; представление
булевых функций термами; суперпозиция функций, принцип
двойственности; специальные представления булевых функций
(дизъюнктивные преставления булевых функций, конъюнктивные
представления булевых функций, полиномиальные представления
булевых функций); понятия замкнутости и полноты множества
булевых функций; предполные классы булевых функций, критерий
полноты;
Студент должен уметь:
- уметь преобразовывать и вычислять конечные суммы;
- уметь составлять и решать простейшие рекуррентные соотношения;
– доказывать теоретические результаты;
– решать типовые задачи теории булевых функций, теории графов;
– применять теоретические результаты при разработке алгоритмов для
решения конкретных задач;
Студент должен владеть:
– навыками чтения учебной литературы;
– комбинаторными методами решения задач;
– техникой дискретных преобразований.
Виды контроля
Текущий — проводится регулярно в форме проверки домашнего задания и
проверки выполнения семестровых заданий.
Рубежный — защита семестровых работ после каждого модуля,
Итоговый — проводится в форме экзамена.
Планирование содержания дисциплины
№
Название модуля
Часы аудиторных занятий
Лекции Практ. занятия
М.1
М.2
М.3
Комбинаторика
Булевы функции
Графы
Итого
22
26
18
66
10
12
10
32
Часы самостоятельной
работы
10
10
12
32
Всего
часов
42
48
40
130
II. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Модуль № 1. Комбинаторика.
1.1. Правила суммы и произведения. Число двоичных последовательностей
длины n. Число всех подмножеств множества из n-элементов.
1.2. Упорядоченные выборки. Размещения. Перестановки. Число
упорядоченных выборок. Число размещений, перестановок. Свойства
размещений.
1.3. Неупорядоченные выборки. Сочетания без повторений. Сочетания с
повторениями. Число сочетаний. Перебор сочетаний.
1.4. Биномиальная теорема. Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных
коэффициентов.
1.5. Принцип включения-исключения. Приложения к теории чисел.
1.6. Производящие функции. Формула n-го члена последовательности
Фибоначчи. Соотношения между производящими функциями.
1.7. Решение рекуррентных уравнений.
Модуль № 2. Булевы функции.
2.1. Двоичные наборы. Расстояние Хэмминга. Сфера заданного радиуса.
2.2. Булевы функции. Число всех булевых функций. Аргументы булевых
функций. Остаточные функции. Существенные функции. Число
существенных функций от n аргументов. Переменные и аргументы.
2.3. Представление булевых функций термами. Внешняя функция терма.
Суперпозиция функций. Эквивалентные термы. Принцип двойственности.
2.4. Специальные представления булевых функций. Дизъюнктивные
преставления булевых функций. Сднф. Конъюнктивные представления
булевых функций. Скнф. Полиномиальные представления булевых функций.
Полином Жегалкина.
2.5. Замкнутость и полнота множества булевых функций.
Понятия замкнутости и полноты. Классы функций, сохраняющих 0 и
сохраняющих 1, классы монотонных, самодвойственных, линейных функций.
Замкнутость этих классов. Теоремы о нелинейной функции,
несамодвойственной функции, немонотонной функции. Критерий полноты.
Модуль № 3. Графы.
3.1. Графы. Способы задания графов. Маршруты, цепи, циклы. Кратчайшие
пути.
3.2. Связные графы. Эйлеровы цепи и циклы. Теорема Эйлера.
3.3. Планарные графы. Теоремы о вершинах, ребрах и гранях плоского
графа. Непланарность графов K5 и K33.
3.4. Раскраска графов. Теорема о 5-ти красках.
3.5. Деревья. Помеченные и непомеченные деревья. Код Прюфера.
Деревья двоичного кода. Остов. Построение кратчайшего остова.
Основные понятия.
Выборка, размещение; перестановка; сочетание; биномиальные
коэффициенты; производящая функция; рекуррентные уравнения; булева
функция; терм; замкнутый класс; функциональная полнота; граф; маршрут;
эйлерова цепь; планарный граф; дерево.
III. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Выполнение домашних контрольных работ.
Студент получает домашние контрольные работы, связанные с изученным
материалом.
Контроль. Работы сдаются и проверяются преподавателем.
2. Выполнение семестровых заданий.
Студент получает домашнее семестровое задание: как правило это набор
задач.
Контроль. Семестровое задание принимается после защиты.
3. Повторение всей темы или раздела с целью подготовки к
теоретическим контрольным вопросам, самостоятельным аудиторным
работам;
4. Повторение всего курса с целью подготовки к экзамену или зачету.
IV. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА УСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Текущий контроль.
Проводится по каждой учебной единице в форме проверки домашнего
задания, защиты семестрового задания.
2. Рубежный контроль. В форме защиты выполненной соответствующей
части семестрового задания с целью проверки усвоения разобранных
способов решения, способности самостоятельно находить решения,
способности пользоваться учебной литературой.
3. Итоговый контроль.
Проводится в форме экзамена на котором проверяется знание основных
терминов, умение решать типовые задачи, умение доказывать утверждения,
способность решать самостоятельно задачи.
Примерные вопросы к экзамену.
1. Правила суммы и произведения. Число двоичных последовательностей
длины n. Число всех подмножеств множества из n-элементов.
2. Упорядоченные выборки. Размещения. Перестановки. Число
упорядоченных выборок. Число размещений, перестановок. Свойства
размещений.
3. Неупорядоченные выборки. Сочетания без повторений. Сочетания с
повторениями. Число сочетаний. Перебор сочетаний.
4. Биномиальная теорема.
5. Принцип включения-исключения. Примеры
6. Производящие функции.
7. Решение рекуррентных уравнений.
8. Двоичные наборы. Расстояние Хэмминга. Сфера заданного радиуса.
9. Булевы функции. Число всех булевых функций. Остаточные функции.
10. Представление булевых функций термами. Принцип двойственности.
11. Дизъюнктивные преставления булевых функций. Сднф.
12. Конъюнктивные представления булевых функций. Скнф.
13. Полиномиальные представления булевых функций. Полином Жегалкина.
14. Замкнутость и полнота множества булевых функций. Критерий полноты.
15. Графы. Способы задания графов. Маршруты, цепи, циклы. Кратчайшие
пути.
16. Связные графы. Эйлеровы цепи и циклы. Теорема Эйлера.
17. Планарные графы. Теоремы о вершинах, ребрах и гранях плоского
графа.
18. Непланарность графов K5 и K33.
19. Раскраска графов. Теорема о 5-ти красках.
Система оценки
Каждый вид деятельности оценивается в баллах.
Оценка за экзамен выводится следующим образом:
Оценка
Процент набранных баллов
Отлично от 85 до 100 %
Хорошо
от 65 до 85
Удовлетворительно от 50 до 65
Неудовлетворительно до 50 или неумение решать типовые задачи.
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендуемая литература.
Основная.
1. Перязев Н.А. Основы теории булевых функций / Н.А. Перязев. – М.:
Физматлит, 1999.
2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. – М., 2001.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов / Ф.А.
Новиков. – СПб., 2000.
4. Матросов В.Л. Лекции по дискретной математике / В.Л. Матросов,
В.А. Стеценко. – М., 1997.
5. Гаврилов М.И. Задачи и упражнения по дискретной математике /
М.И. Гаврилов, А.А. Сапоженко. – М., 2004.
6. Лекции по дискретной математике / Капитонова Ю.В. [и др.]. – СПб.:
БХВ-Петербург, 2004.
7. Пантелеев В.И. Лекции по дискретной математике / В.И. Пантелеев.
– Иркутск, 2006.
8. Лекции по теории графов / Емеличев В.А. [и др.]. – М.: Наука, 1990.
Дополнительная.
1. Андерсон Д. Дискретная математика и комбинаторика: Пер. с англ./
Д. Андерсон. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
2. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основы
информатики / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. – М.: Мир, 1998.
3. Грэхем Р. Начала теории Рамсея / Р. Грэхем. – М.: Мир, 1984.
4. Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1969.
5. Ежов И.И. Элементы комбинаторики / И.И. Ежов, А.В. Схороход,
М.И. Ядренко. – М.: Наука, 1977.
6. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / Меньшиков М.В. [и
др.]. - М.: Наука, 1982.
7. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ / К.А. Рыбников.
– М.: МГУ, 1985.
8. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной
математики / В.Н. Сачков. – М.: Наука, 1982.
Электронно-программные средства.
1. Библиотека электронных книг по математике (имеется на кафедре
математической информатики).
2. Сайт http://problems.ru — набор задач по теории графов и
комбинаторике.
Составитель: доцент кафедры математической информатики, кандидат физ.мат. наук, доцент Владимир Иннокентьевич Пантелеев.
Утверждено
на заседании кафедры
математической информатики
протокол № ___ от ________________ 200_ г.
Зав. кафедрой __________________________ Н.А.Перязев
Утверждено
на заседании УМС факультета
математики, физики и информатики
протокол № ___ от ________________ 200_ г.
Председатель Совета ____________________ Н.Д. Кузьмина