1 На правах рукописи КОЛЕСНИКОВ АЛЕКСАНДР ГЕОРГИЕВИЧ

На правах рукописи
КОЛЕСНИКОВ АЛЕКСАНДР ГЕОРГИЕВИЧ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ФОРМ ПОЛОГИХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК НА
ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ
05.23.17 – Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва, 2010
2
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении
высшего профессионального образования «Курский государственный
технический университет».
Научный руководитель:
кандидат
технических
наук,
Ступишин Леонид Юлианович
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор
Трушин Сергей Иванович
доцент
кандидат технических наук, доцент
Клейн Владимир Георгиевич
Ведущая организация:
ГОУ ВПО «Московская государственная
академия коммунального хозяйства и
строительства»
Защита состоится _________ года в ____ часов на заседании
диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском
государственном строительном университете по адресу: 113114 Москва,
Шлюзовая набережная, д.8, ауд.
.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО
Московского государственного строительного университета.
Автореферат разослан «____» __________________ 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Анохин Н.Н.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Вопросы снижения стоимости несущих
конструкций и повышения их эксплуатационных характеристик выходят в
настоящее время на первый план.
Существенный вклад в решение этих задач вносит использование в
конструкторских решениях элементов типа пологих оболочек, которые уже
нашли широкое применение в строительстве, машиностроении и других
областях техники. Развитие методов оптимального проектирования пологих
оболочек, помогающих отыскать формы конструкций минимального веса,
максимальной несущей способности и т.д., а так же внедрение их в практику
позволит получить ощутимый экономический эффект и новые
конструктивные решения.
Цель работы:
разработка методики определения критической нагрузки,
напряжений и частот свободных колебаний для пологих изотропных и
ортотропных геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане
переменной формы срединной поверхности при постоянной и переменной
толщине;
- разработка методики определения оптимальных форм изотропных и
ортотропных геометрически нелинейных оболочек переменной формы на
прямоугольном плане постоянной и переменной толщины по критерию
минимума объема (веса) и
значений напряжений или максимума
критической нагрузки и минимальной частоты свободных колебаний;
- решение новых задач определения оптимальных форм пологих
оболочек по критерию минимума объема (веса) и значений напряжений или
максимума критической нагрузки и минимальной частоты свободных
колебаний.
Научная новизна работы:
- получены выражения для напряжений, критической нагрузки и
нижних частот свободных колебаний изотропных оболочек переменной
толщины как функций изменения формы срединной поверхности и функций
изменения формы толщины оболочки и ортотропных оболочек постоянной
толщины на прямоугольном плане как функций изменения формы срединной
поверхности;
- исследованы функции напряжений, критической нагрузки и частот
свободных колебаний для изотропных оболочек постоянной и переменной
толщины, а так же ортотропных оболочек постоянной толщины на
прямоугольном плане на всей области допустимых значений переменных
параметров формы, что позволило судить о точности получаемых
результатов исследования нелинейных задач оптимизации и достижении
глобального экстремума исследуемых функций, а так же составить алгоритм
и реализовать программный комплекс решения нелинейных задач
оптимизации пологих оболочек;
4
- решены новые задачи оптимизации формы срединной поверхности
изотропных оболочек переменной толщины, ортотропных оболочек
постоянной толщины и переменной формы срединной поверхности на
прямоугольном плане по критериям:
- минимума объема (веса) при ограничениях: на величину критической
нагрузки, на значения напряжений, на величину нижней частоты свободных
колебаний;
- максимума критической нагрузки при ограничениях: на объем, на
значения напряжений, на величину нижней частоты свободных колебаний;
- минимума значений напряжений при ограничениях: на объем, на
величину критической нагрузки, на величину нижней частоты свободных
колебаний;
- максимума нижней частоты свободных колебаний при ограничениях:
на объем, на величину критической нагрузки, на значения напряжений.
Достоверность результатов диссертационной работы основана на:
- корректности математических моделей, взятых в качестве основы
разработанных методик и строгости используемого математического
аппарата;
- сопоставлении результатов численных экспериментов с известными
аналитическими решениями;
- решении двойственных задач.
Практическая ценность работы.
Разработанные алгоритмы и программы оптимизации формы оболочек
могут быть использованы:
при проектировании облегченных конструкций типа пологих
оболочек в строительстве, машиностроении, авиастроении и т.п. В качестве
оптимальных проектов тонкостенных конструкций при проектировании
систем минимального веса, воспринимающих максимальную критическую
нагрузку или имеющих требования к собственным частотам колебаний;
- в научных исследованиях по оптимизации пологих геометрически
нелинейных оболочек;
- в образовательных программах (курсах строительной механики для
строительных и машиностроительных специальностей, проектировании
строительных конструкций и др.).
Внедрение работы
Разработанное в рамках работы программное обеспечение внедрено:
- в составе комплекса программ для расчета конструкций на
предприятии ОАО «Геомаш» (г.Щигры), ОАО «Курский завод КПД»
(г.Курск);
- в учебный процесс ГОУ ВПО «КурскГТУ», в частности дисциплины
«Строительная механика», «Численные методы и САПР объектов
строительства» кафедры ГСХ и СМ.
Апробация работы состоялась на следующих конференциях и
семинарах:
5
- семинарах кафедры городского строительства, хозяйства и
строительной механики КурскГТУ в 2005, 2006, 2007, 2008, 2009 гг.;
- конференциях "Молодежь и XXI век" КурскГТУ в 2005, 2006, 2007,
2008 г.г.;
- конференции «Строительство – 2007», Рост. гос. строит. ун-т в 2007
- международной конференции «Математическое моделирование в
механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и
конечных элементов», СПб в 2009 г;
- семинаре кафедры сопротивления материалов МГСУ, 2010г.
- научно-практической конференции «Проблемы строительного
производства и управления недвижимостью», КузГТУ, 2010г.
По материалам и результатам исследований опубликовано 2 статьи в
реферируемых ВАК изданиях [1], [2].
На защиту выносятся:
- разработанные на основе метода Бубнова - Галеркина методики и
алгоритмы определения значений напряжений, критических нагрузок и
частот свободных колебаний для изотропных и ототропных пологих
геометрически нелинейных оболочек переменной формы срединной
поверхности постоянной и переменной толщины на прямоугольном плане;
- результаты численных исследований выражений критической
нагрузки, напряжений, частот свободных колебаний и объема для
изотропных и ототропных пологих геометрически нелинейных оболочек
переменной формы срединной поверхности постоянной и переменной
толщины на прямоугольном плане;
- разработанные методики и алгоритмы определения оптимальных
форм оболочек минимального веса при ограничении на величину
критической нагрузки, значение напряжения и значение нижних частот
свободных колебаний при изменении параметров срединной поверхности и
толщины оболочки;
- разработанные методики и алгоритмы определения оптимальных
форм оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку,
нижняя частота свободных колебаний в которых максимальна, напряжения в
которых наименьшие при ограничении на объем при изменении параметров
срединной поверхности и толщины оболочки.
Объем и структура.
Работа состоит из введения, пяти глав,
заключения, списка литературы, включающего 122 наименования и
приложения, 134 страницы основного текста, 40 рисунков и 2 таблицы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается
ее общая характеристика, формулируются основные цели и задачи
исследования, обсуждается достоверность и научная новизна результатов
работы, их практическая ценность.
6
В первой главе приводится краткий обзор литературы, отражающий
современное состояние вопроса. Приведен анализ решений, полученных в
области оптимального проектирования оболочечных конструкций Баничуком
Н.В., Гриневым В.Б., Григорьевым В.Б., Лукашом П.А., Ржаницыным А.Р. и
др.
Отмечено, что в большей части работ, посвященных вопросам
оптимизации формы срединной поверхности и толщины оболочек, рассматриваются безмоментные оболочки вращения в геометрически линейной
постановке, для которых отыскивается минимум веса или объема при
ограничениях по жесткости (Н.В. Баничук, И.П. Дмитриенко, В.Д. Протасов,
А.А. Филиппенко, А.Н. Шихранов), прочности (В.Д. Елин, В.И. Харитонов,
Г.В. Иванов) или на частоту свободных колебаний (К.А. Одишвили).
Так же присутствуют работы, в которых (В.А. Столярчук)
отыскивалась оптимальная форма оболочки вращения переменкой толщины
нагруженной внутренним равномерным давлением. Вариационная задача
минимизации веса оболочки решается методом локальных вариаций.
Вопросы проектирования оптимального распределения толщин
геометрически нелинейных пластин и пологих оболочек при условии
равнопрочности рассматривались в работах (М.А. Александров, М.С.
Корнишин, Н.Н. Столяров).
Обоснована необходимость определения оптимальных форм срединной
поверхности пологих геометрически нелинейных оболочек.
Во второй главе проводится исследование напряженно –
деформированного состояния
изотропных
пологих геометрически
нелинейных оболочек на прямоугольном плане. Проводится сравнение
результатов, полученных по данной методике с результатами других авторов.
Численно исследуются функции критической нагрузки, напряжений, нижних
частот свободных колебаний и объема оболочки на прямоугольном плане.
Рассматривается пологая оболочка переноса, срединную поверхность
которой можно описать уравнением вида:
2
  x  2

 y
F ( x, y )  f 0         1 .
(1)
b
 a

где f 0 - стрела подъема в центре оболочки,
f
f
  1 ,   2 - параметры, характеризующие форму оболочки,
f0
f0
f 1 , f 2 - стрелы подъема опорных арок оболочки,
 - параметр формы срединной поверхности оболочки, изменяющийся
в пределах 0,5;2.
Дифференциальные уравнения пологих геометрически нелинейных
оболочек на прямоугольном плане записаны в виде:
7
2
1 2 2
2w
2w
2w 2w 2w  2w 
  0,


     k y 2  k x 2  2k xy
 Eh
x
y
xy x 2 y 2  xy 
(2)

2
2
2
2
2
2







w



w



w


D 2  2 w 
 k xy 
  Z  0;
 k x  2   2  k y  2   2

y 2 
x  x 
y 
xy 
xy 
где  – функция усилий, w – прогиб, k x 
2F
2F
- кривизны
,
k

y
x 2
y 2
2F
срединной поверхности оболочки, k xy 
- кручение срединной
xy
поверхности оболочки, F  F  x, y  - уравнение срединной поверхности
оболочки при начальном нагружении.
Значения величин верхних критических нагрузок для различных видов
закрепления краев оболочек находились с помощью метода Бубнова Галеркина.
Q x, y   Aw x, y  , w x, y   B w x, y  .
(3)
Функция выбиралась таким образом, чтобы удовлетворялись условия
для общего случая – упругой заделки по краям оболочки в отношении
поворотов. Для этого использовались балочные функции.
(4)
wx, y   Z x Z y .
Введены обозначения
J1 
  
a b
2

 2 w wdxdy ,
(5)
 a b
J2 
 2F 2 w 2F 2 w
2F 2 w 

 wdxdy ,


2
   2 x 2 x 2 y 2
xy xy 
 a  b  y
a b
    wwdxdy , J
a b
J3
 a b
4

(6)
a b
  Z wdxdy .
(7)
 a b
Функция нагрузки Z представлялась в виде
Z  p cr q x, y  ,
(8)
где
pcr - коэффициент интенсивности критической нагрузки,
q x, y  - функция очертания нагрузки.
После ввода безразмерных переменных и новых обозначений:
3J 3
J 32
pcr  a 4
2  J1 J 4 
f0

, 2 
t , p
, 1 
, 3  2
,
27  2 J 42 
J1 J 4
Ef 04
h
J1 J 4
J1
1
1
, 5 
,
(9)
4 
2
J1 J 4
121    J 4
выражение для безразмерного коэффициента интенсивности
критической нагрузки принимало вид:
8
1 2 2 2
t  2 J 2  3 2  4  t 2 5 J 22 3 / 2  t 2 J 2 t 2 22 J 22  9 3  4  t 2 5 J 22  . (10)
2 
t 
2


Эквивалентные напряжения, возникающие в оболочке определялись
p  1
как:
4
Ef
  40  ,
a
2
1
где  
1   2 ,
2
 2

6
2
2

 1  D B 2 Z x Z y   2 Z y Z x   A 2 Z y Z x t 
t
y
y

 x

(11)

(12)

g

2
 3
 2 D B 3 Z x Z y  Z x 2 Z y  ,
t
x y
 x

6

2
(13)

2
2
 2  D B 2 Z x Z y  2 Z y Z x   A 2 Z y Z x t 
t
y
x

 x

 3
g

2
,

D
B
Z
Z

Z
Z

y
x
y
x
 y 3
t2
y x 2 

(14)
f
D
A  a2
B  a2
D
, A
, B
, g 0,
(15)
3
5
3
Eh
Ef0
f0
a
1
36C3C2C1  108qC12  8C23  12 3(4C33C1  C32C22  18C3C2C1q 
B
6C1
1/ 3
2
1/ 2
 27 q 2C12  4qC23  C1  3C3C1  C22  /(C1 (36C3C2C1  108qC12  8C23 
3
1/ 3
1 C2 
1/ 2
,
 12 3 (4C33C1  C32 C22  18C3C2 C1q  27 q 2 C12  4qC23  C1 
(16)
3 C3 
1
(17)
A   BJ 2  B 2 J 3  .
J1
Объем пологой геометрически нелинейной оболочки постоянной
толщины вычислялся по формуле:


2
 F 
 F 
 dxdy .
V    h 1 
(18)
  

y
 a b
 x 


Напряженно-деформированное состояние изотропной оболочки в
процессе свободных колебаний описывалось двумя системами уравнений.
Первая система задавала начальное напряженно-деформированное состояние
оболочки (2), вторая система определяла состояние оболочки в процессе
колебаний (19).
a b
2
9
2
1 2 2
2w
2w
2w 2w 2w  2w 
  0,
 2
 
     k y 2  k x 2  2k xy
2
Eh

x

y

x

y

x

y

x

y



2
2
2
2
2






w



w


2w 



2
2



(19)
 D  w  2  k x  2   2  k y  2   2
 k xy  xy  

y

x

x

y

x

y







2
 h    0.

t 2

Для решения сначала необходимо определялось начальное
напряженно-деформированное состояние по нелинейным уравнениям (2).
Результатом решения являлись значения параметров A и B (15), (16), которые
затем использовались для решения системы (19), описывающей состояние
оболочки в процессе колебаний.
Выражение для определения значений
квадрата безразмерных
свободных частот колебаний принимало вид:
 
2
где J 6 
J 3 B 2 2J 2 J 3 B 1
J1
J 22

 2

,
J1 J 6
J1 J 6
t 121   2 J 6 J 1 J 6
(20)
a b
  w dxdy ,
2
 a b
Параметры J 1  J 3 - определяются по формулам (5) - (7), B – по
формуле (16).
Выражение для критической нагрузки, напряжений и нижних частот
свободных колебаний изотропной пологой оболочки постоянной толщины
исследовалось с помощью программного комплекса «Maple», что позволило
сделать следующие выводы:
- экстремум функции критической нагрузки, частот свободных
колебаний и напряжений достигается при параметре формы
  0,75
при любых способах опирания (рис.1).
а
pcr
б

в

Рисунок 1 – Зависимость критической нагрузки (а), напряжений (б) и частот
свободных колебаний от параметра формы
10
- необходим расчет пологих оболочек как на устойчивость, так и на
прочность в зависимости от параметров формы.
Например, для металлической оболочки при отношении стрелы
подъема оболочки к меньшему размеру в плане g  f 0 / a  (0;0.132]
необходимо проводить расчет на устойчивость, при g  [0.18;0.2)
- расчет на прочность, при g  (0.132;0.18) расчет как на прочность, так и на
устойчивость (рис. 2), что говорит о необходимости проведения оптимизации
при ограничении на оба параметра.
Рисунок 2 – Зависимость коэффициента напряжений оболочки от
параметров формы  и t
- при постоянной стреле подъема в центре оболочки изменение стрел
подъема опорных арок не оказывает влияние на значение критической
нагрузки и значения напряжений.
а
б
pcr

в

Рисунок 3 – Зависимость критической нагрузки (а), напряжений (б) и частот
свободных колебаний от относительной толщины
11
- с увеличением значения относительной толщины   h / f 0
значение критической нагрузки, нижних частот свободных колебаний и
объема увеличивается, а значения напряжений уменьшается при любых
способах опирания (рис.3).
В третьей главе
проводится исследование напряженно –
деформированного состояния
изотропных
пологих геометрически
нелинейных оболочек переменной толщины. Численно исследуются функции
критической нагрузки, напряжений, частот свободных колебаний и объема
оболочки на прямоугольном плане в зависимости от параметров толщины
оболочки.
Изменение толщины оболочки от центра к краям задавалось в виде:
2
2



x
x




h( x, y )  h0 1  к  1  к   ,
(21)
a
a







где  - параметр формы изменения толщины оболочки,
k - параметр, отвечающий за соотношение толщины оболочки на краю
и в центре (при k  0 толщина оболочки выпуклая, k  0 - толщина оболочки
вогнутая, k  0 - толщина оболочки постоянна вдоль образующей) (рис.4),
h0 - толщина оболочки в центре.
а
б
Рисунок 4 – Распределение толщин оболочки при K>0 (вогнутая
толщина оболочки) (а), при K<0 (выпуклая толщина оболочки) (б)
Представим уравнение (2) в виде
1 2 2 1
2w
2w
2w 2w 2w 2w
  k y 2  k x 2  2k xy
 2

 0,
 
2
E
h
(
x
,
y
)

x

y

x

y

x

y

x

y

E
 2 
 2 w   2 
2w 

2
2
3
  h( x, y ) w  2  k x  2   2  k y  2  
(22)

2
12
(
1


)

y

x

x

y





 2 
2w 

 2 xy  k xy  xy   Z  0.



Выражение для безразмерного коэффициента интенсивности
критической нагрузки принимало вид:
12
p пер 
1
t

4
t  J
2
2
2
2
2

 3 3  6  t 2 5 J 2
2

3/ 2

 t 2 J 2 t 2 2 J 2 
2

9
2 
  3  6  t 2 5 J 2  .
2

Где  1   5 определяются по (9),
J5
,
6 
121   2 J 4
J 1  J 4 - определяются по (5-7),
(23)
(24)
3
 2
  2
 

 







D
x
,
y
w
x
,
y

2
D
x
,
y
 2
 
 3 w x, y  
a b  x 2
 x
 x
  x


2
2
4



 


  2 D x, y   2 w x, y   D x, y  4 w x, y  
 x
  y
 x


J5 
a b
 2
  2
  2
  3

 2
D x, y 
w x, y   2 D x, y  2 w x, y  
 xy
 xy
  y
 x y

4
2
2

  
 

 D x, y  4 w x, y   2
D x, y 
w x, y  

y

x

y

x

y

 


3

 4


 
 2 Dx, y 
wx, y   2 Dx, y  2 2 wx, y  
2
 x
 xy

 x y

2
2
3

 
 
 

 2 2 D x, y  2 w x, y   2 D x, y  3 w x, y  
 y
 y
  y
 y

(25)
2
2

 

  2 D x, y   2 w x, y   w x, y dxdy.

 y
  x
Эквивалентные напряжения, возникающие в оболочке, записывались
как:
4
Ef0
пер
(26)
  4 .
a
Где  определяется по формуле (12), учитывая, что
Eh03
D
- в выражениях(15) D 
, D
,
121   2 
Eh03
- в выражениях (16-17) J 5 определяется по (25), J 1  J 4 - по (5-7).
Систему (19), описывающей состояние оболочки в процессе колебаний
перепишем в виде:
13
1 2 2 1
2w
2w
2w 2w 2w 2w
  k y 2  k x 2  2k xy
 2

 0,
 
2
E
h
(
x
,
y
)

x

y

x

y

x

y

x

y

E
 2 
 2 w   2 
2w 

2
2
3
  h( x, y ) w  2  k x  2   2  k y  2  
(27)

2
12
(
1


)

y

x

x

y





 2 
2w 
 2

 2 xy  k xy  xy   h t 2  0.



Начальное напряженно-деформированное состояние определялось по
нелинейным уравнениям (22). Результатом решения являлись значения
параметров A и B (16-17) с учетом (24-25), которые затем использовались для
решения системы (27), описывающей состояние оболочки в процессе
колебаний.
Выражение для критической нагрузки, напряжений и частот свободных
колебаний изотропной пологой оболочки переменной толщины
исследовалось с помощью программного комплекса «Maple», что позволило
сделать следующие выводы:
для построения алгоритмов оптимизации функций объема,
напряжений, критических нагрузок и частот свободных колебаний пологих
оболочек переменной толщины можно применять методы выпуклого
программирования, в частности градиентные методы.
- экстремум функции критической нагрузки, частот свободных
колебаний и напряжений достигается у оболочек переменной толщины при
параметре формы   0,75 при любых способах опирания.
- параметры толщины оболочки  и K оказывают влияние на смещение
границы расчета пологих оболочек на устойчивость и на прочность.
- значение коэффициента критической нагрузки максимально при
значении параметра толщины   0,7 для вогнутой толщины оболочки и
минимально при   0,55 для выпуклой толщины оболочки. Значение
коэффициента напряжений увеличивается с увеличением значения
коэффициента  для вогнутой толщины оболочки и уменьшается для
выпуклой при
любых условиях опирания. Значение нижних частот
свободных колебаний уменьшается при увеличении параметра толщины 
для вогнутой толщины оболочки и увеличивается для выпуклой толщины
оболочки при любых условиях опирания.
В четвертой главе
проводится исследование напряженно –
деформированного состояния ортотропных пологих геометрически
нелинейных оболочек постоянной толщины. Численно исследуются функции
критической нагрузки, напряжений, частот свободных колебаний и объема
оболочки на прямоугольном плане.
Представим уравнение (2) в виде
14
1  1  4

 y 4
 x 4
1 4
1 4











 
4
4
2
2
2
2
2
2
E y x
E y x y
E x x y
G x y 
 h  E x y

2w
2w
2w 2w 2w 2w

k

k

2
k


 0,
x
xy
 y x 2
y 2
xy x 2 y 2 xy
(28)

4
4
4
4
4






1

h 3  D x
w  Dx y 2 2 w  D y 4 w  D y x 2 2 w  G 2 2 w  
  x 4
x y
y
x y
3 x y 
2
2
2
2
2
  2Q 
 w  Q
 w
Q
 w
 k xy 
  Z  0.
 2  k x  2   2  k y  2   2
 y 
x  x 
y 
xy 
xy 
Выражение для безразмерного коэффициента интенсивности
критической нагрузки принимало вид:
2
2 3/ 2
2

p орт  41  t 2 22 J 2  3 3  4  t 2 5 J 2
 t 2 J 2 t 2 22 J 2 
t 
(29)
2 
9
2
  3  4  t  5 J 2  .
2

Где  1   5 определялись по (9),






4
4
 1 4
 y 4

1


x
J 1    
w
w
w
w
4
hEy x 4
hEy x 2 y 2
hEx x 2 y 2
 a b hEx y

1 4
 wdxdy,

w
hG x 2 y 2 
a b
(30)

4
4
4
4

D
w

D

w

D
w

D

w
x y
y
y x
a b x x 4
2
2
4
2
2

x

y

y

x

y

(31)

1 3 4
 Gh
w  wdxdy,
3
x 2 y 2 
Ey
Ex E y
Ex
Dx 
, Dy 
, G
(32)
,
121   x y 
121   x y 
E x 1   y   E y 1   x 
E x , E y - модули упругости во взаимно перпендикулярных направлениях,
J5 
a b
 x , y - коэффициенты Пуассона во взаимно перпендикулярных
направлениях.
Эквивалентные напряжения, возникающие в оболочке, приняли вид:
4
Ex f 0
орт
(33)
  4 .
a
Где  определяется по формуле (12), учитывая, что
D
D
Dx  x3 , D y  y3 .
(34)
Eh
Eh
A, B - определяется по формуле по (16, 17) с учетом (30-32).
Система (19), описывающая состояние оболочки в процессе колебаний
переписана в виде:
15
1  1  4

 y 4
 x 4
1 4
1 4











 
4
4
2
2
2
2
2
2
E y x
E y x y
E x x y
G x y 
 h  E x y

2w
2w
2w 2w 2w 2w

k

k

2
k


 0,
x
xy
 y x 2
y 2
xy x 2 y 2 xy
(35)

4
4
4
4
4






1

h 3  D x
w  Dx y 2 2 w  D y 4 w  D y x 2 2 w  G 2 2 w  
  x 4
x y
y
x y
3 x y 
2
2
2
2
2
  2Q 
 w  Q
 w
Q
 w
 2
 k xy 
  h 2  0.
 2  k x  2   2  k y  2   2
 y 
x  x 
y 
xy 
xy 
t
Начальное напряженно-деформированное состояние определялось по
нелинейным уравнениям (28). Результатом решения являлись значения
параметров A и B (16-17) с учетом (30-32), которые затем использовались для
решения системы (35), описывающей состояние оболочки в процессе
колебаний.
Выражение для критической нагрузки, напряжений и частот свободных
колебаний ортотропной пологой оболочки постоянной толщины
исследовалось с помощью программного комплекса «Maple», что позволило
сделать следующие выводы:
- экстремум функции критической нагрузки достигается у ортотропных
оболочек при параметре формы
  E x / E y  0,25 при любых способах
опирания.
- параметр   E x / E y оказывает влияние на смещение границы расчета
пологих оболочек на устойчивость и на прочность.
- с приближением значения параметра   E x / E y к единице (к
изотропной оболочке) значение частот свободных колебаний и напряжений
уменьшается при любых способах опирания.
В пятой главе решаются задачи об определении формы срединной
поверхности и толщины оболочки минимального объема, оболочки,
воспринимающей максимальную критическую нагрузку, оболочки с
максимальным значением низших частот свободных колебаний, а также,
оболочки, имеющей минимальные напряжения на всем множестве
допустимых форм срединных поверхностей и толщин оболочек.
Для изотропных оболочек постоянной толщины решались следующие
задачи с ограничениями первого рода:
V  ,   min,   G,  G.
(36)
p ,   max,   G,  G.
(37)
  ,   min,   G,  G.
(38)
  ,   max,   G,  G.
(39)
(40)
G   : 0,5   i  2, i  1, n; : 0,001   j  0,1, j  1, m .
Для изотропных оболочек переменной толщины задачи с
ограничениями первого рода решались в постановке:
V  , , , k   min,   G,  G,  G, k  G.
(41)


16
p , , , k   max,   G,  G,  G, k  G.
(42)
  , , , k   min,   G,  G,  G, k  G.
(43)
  , , , k   max,   G,  G,  G, k  G.
(44)
 : 0,5   i  2, i  1, n; : 0,5   y  2, y  1, l ;



 1 2a

G
. (45)

, u  1, r 

:
0
,
001



0
,
1
,
j

1
,
m
,
k
:

1

k


1
j
u
 10 h







Для ортотропных оболочек постоянной толщины рассмотрены
оптимизационные задачи с ограничениями первого рода:
p ,    max,   G,   G.
(46)
  ,   min,   G,   G.
(47)
  ,   max,   G,   G.
(48)
(50)
G   : 0,5   i  2, i  1, n;0   y  1, y  1, k .
Рассмотрены задачи об определении формы срединной поверхности и
толщины оболочки минимального объема при ограничении на критическую
нагрузку, величину напряжений, величину частот свободных колебаний, а
также, оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку,
оболочки с максимальным значением низших частот свободных колебаний
или значения напряжения в которой минимальны при ограничении на
величину объема.
Для изотропных оболочек постоянной толщины решались следующие
прямые задачи с ограничениями второго рода:
 p ,   p max ,
(51)



V

,


V

0
,


G
,


G
.

0

  ,    min ,

V  ,   V0  0,   G,  G.

(52)
  ,    max ,
(53)

V  ,   V0  0,   G,  G.
G определяется по(40).
Для изотропных оболочек переменной толщины рассмотрены прямые
оптимизационные задачи с ограничениями второго рода:
 pk , ,  ,   pmax ,
(54)



V
k
,

,

,


V

0
,
k

G
,


G
,


G
,


G
.

0
 k , ,  ,    min ,
(55)



V
k
,

,

,


V

0
,
k

G
,


G
,


G
,


G
.

0
 k , ,  ,    max ,
(56)

V k , ,  ,   V0  0, k  G,  G,   G,  G.
G определяется по(45).
17
Для ортотропных оболочек постоянной толщины прямые задачи с
ограничениями второго рода решались в постановке:
 p ,    pmax ,
(57)

V  ,    V0  0,   G,   G.
  ,     min ,
(58)



V

,


V

0
,


G
,


G
.

0
  ,    max ,
(59)

V  ,   V0  0,   G,  G.
G определяется по(50).
А так же решены обратные задачи:
Для изотропных оболочек постоянной толщины решались следующие
обратные задачи с ограничениями второго рода:
V  ,   Vmin ,
(60)



p

,


p

0
,


G
,


G
.

0
V  ,   Vmin ,
(61)





,




0
,


G
,


G
.

0
V  ,   Vmin ,
(62)

  ,   0  0,   G,  G.
V  ,   Vmin ,

(63)
 p ,   p0  0,   G,  G,
  ,     0,   G,  G.
0

G определяется по(40).
Для изотропных оболочек переменной толщины обратные задачи с
ограничениями второго рода решались в постановке:
V k , ,  ,   Vmin ,
(64)



p
k
,

,

,


p

0
,
k

G
,


G
,


G
,


G
.

0
V k , t ,  ,   Vmin ,
(65)




k
,
t
,

,




0
,
k

G
,
t

G
,


G
,


G
.

V k , t ,  ,   Vmin ,
(66)

 k , t ,  ,     0, k  G, t  G,   G,  G.
V k , ,  ,   Vmin ,

 pk , ,  ,   p0  0, k  G,  G,   G,  G,
 k , t ,  ,     0, k  G, t  G,   G,  G.

G определяется по(45).
(67)
18
- для ортотропных оболочек постоянной толщины рассмотрены
обратные оптимизационные задачи с ограничениями второго рода:
V  ,    Vmin ,
(68)

 p ,    p0  0,   G,   G.
V  ,    Vmin ,
(69)





,




0
,


G
,


G
.

0
V  ,    Vmin ,
(70)

  ,     0  0,   G ,   G.
V  ,    Vmin ,

 p ,    p0  0,   G,   G,
  ,      0,   G,   G.
0

G определяется по(50).
(71)
По результатам проведенных исследований можно сделать выводы:
В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при
заданной критической нагрузке, экономия объема (веса) составила 20%.
В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при
заданном значении напряжений, экономия объема (веса) составляет 6%.
В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при
заданном значении частот свободных колебаний, экономия объема (веса)
составляет 1-6%.
В задачах оптимизации формы оболочек, воспринимающих
максимальную критическую нагрузку при заданной величине объема,
возрастание критической нагрузки составляет 38%.
В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих минимальные
напряжения при заданной величине объема, уменьшение напряжений
составляет 6%.
В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих максимальные
значения нижних частот свободных колебаний при заданной величине
объема, увеличение значений частот свободных колебаний составляет 7%.
В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при
заданном значении напряжений и критической нагрузки, экономия объема
(веса) составляет 38%.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
Для пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном
плане получены выражения частот свободных колебаний, напряжений и
верхних критических нагрузок как функций их формы. Применение метода
Бубнова - Галеркина позволило для частот свободных колебаний ,
напряжений и критической нагрузки найти аналитические выражения.
19
Выражения частот свободных колебаний , напряжений и критических
нагрузок найдены для изотропных и ортотропных оболочек на
прямоугольном плане, толщина которых постоянна вдоль срединной
поверхности, но меняется по величине вместе с параметром формы, а так же
для изотропных оболочек переменной вдоль образующей толщины.
Построены зависимости функций частот свободных колебаний ,
напряжений и критических нагрузок от параметров формы оболочки.
Определены основные закономерности изменения этих функций.
Дана постановка задач оптимизации формы изотропных и ортотропных
оболочек постоянной и переменной толщины по критерию максимальной
критической нагрузки и низших частот свободных колебаний, минимума
значений напряжений в центре оболочки и минимума объема (веса), как
задач нелинейного математического программирования.
С учетом особенностей функций объема, напряжений, критической
нагрузки и частот свободных колебаний построен алгоритм оптимизации
формы пологих геометрически нелинейных оболочек, в основе которого
лежит модификация одного из методов случайного поиска, включающего в
себя комбинацию градиентного и случайного поиска, а так же метод
"оврагов".
Решены новые задачи оптимизации формы изотропных и ортотропных
оболочек постоянной и переменной толщины по критерию максимальной
критической нагрузки, минимума значений напряжений в центре оболочки,
частот свободных колебаний и минимума объема (веса).
ОСНОВНЫЕ ПОЛДОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В
СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:
1.
Колесников, А.Г. Исследование напряженно-деформированного
состояния пологих геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном
плане [Текст]: А.Г. Колесников, Л.Ю. Ступишин // Промышленное и
гражданское
строительство:
ежемесячный
научно-технический
и
производственный журнал, 2009 г.-№1.- С.24-25.
2.
Колесников, А.Г. Исследование оптимальных форм пологих
геометрически нелинейных оболочек на прямоугольном плане [Текст]: А.Г.
Колесников, Л.Ю. Ступишин // Строительная механика инженерных
конструкций и сооружений: Обзорно-аналитический и научно-технический
журнал, 2009 г..-№3-С.66-70.
3.
Колесников, А.Г. Численное исследование нелинейных задач
напряженно-деформированного состояния пологих оболочек переменной
толщины [Текст]: А.Г. Колесников, Л.Ю. Ступишин // Математическое
моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы
граничных и конечных элементов. Труды XXIII Международной
конференции. BEM&FEM-2009.- СПб: т.2.- С.429-435.