теория упругости - Ульяновский государственный университет

О ПРОГРАММНОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
ИЗУЧЕНИЯ СТУДЕНТАМИ ВУЗОВ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
И ИССЛЕДОВАНИЯ ДРУГИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В.Л. Леонтьев
Ульяновский государственный университет (г. Ульяновск)
При построении математических моделей механики конструкций,
учитывающих тепловые и электромагнитные поля, релятивистские эффекты,
используются многие разделы математики, механики, физики, в частности,
следующие:
 теория аппроксимации: теория сплайнов, теория вейвлетов,
теория ортогональных финитных функций;
 математический анализ, функциональный анализ;
 теория обыкновенных дифференциальных уравнений, математическая
физика;
 теория обобщенных функций;
 вариационное исчисление;
 теория упругости;
 теория вязкоупругости;
 теория пластичности;
 теория колебаний;
 теория пластин и оболочек;
 теория криволинейных стержней.
Наиболее широко при построении математических моделей механики
конструкций используются:
 обыкновенные дифференциальные уравнения;
 дифференциальные уравнения в частных производных;
 интегральные уравнения;
 интегро-дифференциальные уравнения;
 вариационные принципы, проекционные условия.
При исследовании моделей, как правило, применяются:
 проекционные методы Бубнова, Петрова, Галеркина, Ритца;
 проекционно- и вариационно-сеточные методы;
 конечно-разностные методы;
 методы конечных элементов и граничных элементов;
 методы коллокаций;
 алгоритмы численных методов для супер-ЭВМ.
В комплексах программ:
ANSYS, ABAQUS, Adem, AutodeskInventor, DynaForm, DesignWave, Deform,
CosmosWorks,
CosmosFloWorks, Catia, Cadds, Pro/Engineer, LS-DYNA,
MSC.Patran, MSC.ADAMS,
Unigraphics, SolidWorks и др.,
реализующих
алгоритмы
моделирования
геометрии
механических
конструкций и физических свойств материала конструкций, а также
алгоритмы численных методов исследования математических моделей, для
математического моделирования и исследования математических моделей в
основном используются сплайны и метод конечных элементов. Эти и другие
комплексы программ широко применяются в научных исследованиях, при
проектировании конструкций, а также в учебном процессе при изучении
основ математического моделирования и алгоритмов численных методов.
Они являются инструментами, дающими достоверные результаты в
нестандартных
случаях
только
при
условии
неформального,
высокопрофессионального их использования и при условии глубокого
понимания применяемых моделей и свойств численных методов. Только
такой подход делает эти комплексы программ достаточно надежными
инструментами.
В комплексах программ для исследования динамики и прочности
конструкций используются следующие классы моделей механических
конструкций:
 модели линейно- и нелинейно-упругих конструкций;
 модели с учетом пластического состояния элементов конструкций;
 модели конструкций из материалов, обладающих памятью;
 модели, предназначенные для расчета конструкции при циклическом
нагружении;
 реологические модели;
 модели, учитывающие эффект Баушингера;
 модели элементов конструкций из механически несжимаемых материалов;
 модели, учитывающие нарушения сплошности (трещины) и др.
Комплексы программ предназначены для выполнения расчетов
напряженно-деформированного состояния механических конструкций
следующих видов:
 исследование напряженно-деформированного статического состояния
(краевые задачи);
 исследование напряженно-деформированного статического состояния в
переходных процессах (эволюционно-краевые задачи);
 исследование устойчивости, определение критических значений сил и
соответствующих форм потери устойчивости;
 исследование спектров частот и форм свободных колебаний
(задачи на собственные значения и формы);
 расчет вынужденных колебаний, в том числе исследование резонансных
явлений;
 расчет параметрических колебаний;
 расчет автоколебаний;
 определение
вероятностных
характеристик
напряженнодеформированного состояния;
 контактные задачи;
 задачи аэро- и гидро-упругости;
 расчет напряженно-деформированного состояния с учетом тепловых,
электромагнитных полей, релятивистских эффектов.
В механике выделяются два уровня математического моделирования,
которые отражаются в структуре комплексов программ и в методиках их
использования. Первый, фундаментальный уровень – построение общих
моделей, в области применения которых входят широкие классы прикладных
задач. Эти модели содержатся в конечных элементах, входящих в библиотеки
конечных элементов комплексов программ. Второй уровень – выбор и
доработка моделей первого уровня для адекватного описания механических
конструкций. На этом уровне при использовании комплексов программ
осуществляется обоснованный выбор конкретных конечных элементов,
настройка их параметров на свойства поставленной задачи. При
необходимости производится корректировка имеющейся в программе модели,
формирование новой диаграммы напряженности и т.п. При этом, с одной
стороны, часть элементов конструкции считается деформируемыми
сплошными средами, то есть материальными объектами, атомарная и
молекулярная дискретность которых не учитывается. С другой стороны,
некоторые элементы конструкции, наоборот, считаются не имеющими
протяжения в одном (пластины, оболочки), двух (стержни) и трех
(материальная точка) измерениях. Возможность таких идеализаций
основывается на сравнениях протяженности элементов конструкции в
соответствующих измерениях с характерными протяженностями данной
конструкции в целом. Недеформируемость элементов конструкции, как
правило, упрощает модель, но снижает ее адекватность. Возникающие при
этом погрешности должны контролироваться качественно и количественно
пользователем комплекса программ. При этом следует учитывать, что в ряде
случаев предположение о недеформируемости недопустимо. Так, например,
для статически-неопределимой конструкции это может привести к абсолютно
неадекватной модели. Распространенными приемами упрощения моделей
механики конструкций являются кинематические гипотезы, например,
гипотезы Кирхгофа-Лява в теории пластин и оболочек.
Важнейшим
моментом математического моделирования механических конструкций
является задание краевых и начальных условий, связанное с искусственным
отделением конструкции от внешней среды, с которой конструкция
взаимодействует. Задание внешних силовых воздействий в большой степени
не учитывает то, что конструкция воздействует на окружающую среду и
параметры
этого
воздействия
являются
также
неизвестными.
Квалифицированное моделирование подразумевает умение исследователя
обоснованно выделить конструкцию из внешней среды и задать условия на ее
границе таким образом, чтобы не снизить уровень адекватности модели. Это
возможно тогда, когда степень воздействия конструкции на внешнюю среду
на порядки ниже степени воздействия внешней среды на конструкции.
Умение получить количественные оценки этих порядков – одно из основных
требований построения адекватной модели и профессионального
использования комплекса программ. В математическом моделировании
динамики механических конструкций следует учитывать, что учет
диссипативных факторов (внешнего, внутреннего трения …) не только
повышает адекватность модели, но и, как правило, устраняет математические
осложнения исследований моделей. Пренебрежение внутренним трением
может привести к полной неадекватности модели и, как следствие, к
неверным оценкам устойчивости механической конструкции.
В основе многих алгоритмов численных методов, используемых
существующими комплексами программ, лежит вариационный принцип
Лагранжа, соответствующий постановке задачи “в перемещениях”.
Основным недостатком таких методов является то, что первоначально
определяется приближенное решение для перемещений, а приближенные
решения для деформаций и напряжений получаются дифференцированием
этого приближенного решения, в некоторых случаях – двукратным. Таким
образом, точность приближенных решений для деформаций и напряжений
оказывается существенно меньшей точности приближенного решения для
перемещений.
Смешанные вариационные принципы Рейсснера и Ху-Васидзу
являются основой для построения универсальных численных методов и
соответствующих комплексов программ, что определяется следующими
причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели
сплошной среды, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния,
во многих случаях весьма незначительной; геометрические и физические
параметры механической системы находятся в уравнениях движения и
состояния вне дифференциальных операторов, что создает предпосылки для
повышения точности аппроксимации дифференциальных уравнений
сеточными уравнениями; краевые условия формулируются, как правило, без
использования производных и поэтому записываются в наиболее простой
форме, что особенно важно в контактных задачах; не возникают особенности
при решении задач для механически несжимаемых материалов. В смешанных
вариационных принципах все краевые условия являются естественными,
поэтому отсутствует необходимость удовлетворять краевые условия при
построении аппроксимирующих линейных комбинаций и специально
формировать в алгоритме численного метода краевые условия. Отсутствуют
ошибки аппроксимации производных геометрических и физических
параметров, а также производных в краевых условиях, производные
неизвестных функций имеют минимально возможные порядки, что снижает
требования к базисным функциям численного метода. В результате
повышается точность приближенных решений, что особенно проявляется в
задачах с большими градиентами перемещений и напряжений и с
особенностями в решениях. Немаловажной является сравнительная простота
программной реализации смешанных методов. Важнейший недостаток
сеточных численных методов - высокая размерность алгебраических систем
сеточных уравнений для неизвестных узловых величин, усиливается в
смешанных методах. Использование ортогональных финитных функций
позволяет снизить размерность системы сеточных уравнений за счет
исключения узловых значений части неизвестных функций в аналитической
форме до решения системы на ЭВМ. При этом сохраняются все достоинства
алгоритмов численных методов, связанных с использованием базисных
функций, имеющих компактные носители. Кроме того, применение
ортогональных финитных функций дает возможность исследования
сходимости смешанных численных методов с применением классической
методики доказательства сходимости разностных схем и методики
доказательства сходимости метода Ритца. В линейной или геометрически
нелинейной теории упругости вариационный принцип Ху-Васидзу не имеет
преимуществ перед вариационным принципом Рейсснера. В физически
нелинейной теории упругости функционал Рейсснера требует обращения
уравнения состояния материала, в общем случае любого материала
практически неосуществимого, что снижает значение соответствующего
вариационного принципа. Принцип стационарности функционала Ху-Васидзу
не требует выполнения этой операции и поэтому играет более значительную
роль в физически нелинейной теории упругости. В cуществующих
комплексах программ, предназначенных для моделирования конструкций и
для исследования их напряженно-деформированного состояния, используется
в качестве основного вариационный принцип Лагранжа, не позволяющий
получать решения для перемещений, деформаций и напряжений одного
уровня качества. Применения в этих комплексах программ смешанных
вариационных принципов типа Рейсснера и Ху-Васидзу, дающих
высококачественные приближенные решения как для перемещений, так и для
деформаций и напряжений, являются не правилом, а исключением – для
отдельных типов задач. Эти применения признают перспективность этого
направления как основного и универсальность соответствующих численных
методов исследования математических моделей. Комплексы программ,
использующие смешанные вариационные принципы в качестве основных,
практически
отсутствуют.
Причина
заключается
в
следующем.
Ортогональные вейвлеты с компактными носителями и ортогональные
финитные
функции,
делающие
такие
комплексы
программ
конкурентоспособными, созданы сравнительно недавно, поэтому их
использование только начинается.
Математическое моделирование геометрии механических конструкций в
существующих комплексах программ основано на применении в основном
сплайнов.
Его развитие связано с использованием вейвлетов и
ортогональных финитных функций.
При решении нестандартных задач даже “универсальные” комплексы
программ являются лишь частью набора инструментов исследования. Эти
комплексы не обладают всесторонней полнотой, и должны использоваться
творчески, на высоком профессиональном уровне и в сочетании с
аналитическими исследованиями и с дополнительными численными
расчетами. Завышенные оценки возможностей комплексов программ и
формальное их использование – источники недостоверных “решений” и
грубых ошибок. Существующее программное обеспечение учебного процесса
в области математического моделирования и численных методов решения
задач механики сплошных сред позволяет решать основные задачи, но
обладает рядом указанных недостатков. Обучение студентов должно
сочетаться с характеристиками областей применения комплексов программ, с
разъяснением недостатков методов и комплексов программ, с описанием
перспектив развития численных методов и их программного обеспечения.