ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Ю.А. Самарский
6 июня 2011 г.
ПРОГРАММА
по дисциплине: Общая физика: Механика
по направлению подготовки 010900 «Прикладные математика
и физика»
факультеты: для всех факультетов
кафедра ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
курс I
семестр 1
Трудоёмкость: теор. курс: базовая часть – 3 зач. ед.; вариативная часть – 1 зач. ед., по выбору студента – 1 зач. ед.;
физ. практикум: базовая часть – 2 зач. ед.; вариативная часть –
0 зач. ед., по выбору студента – 1 зач.ед.
лекции – 34 часа
Экзамен – 1 семестр
практические (семинарские)
занятия – 34 часа
Зачёт – 1 семестр
лабораторные занятия
Самостоятельная работа
– 68 часа
– 5 час. в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ – 136
Программу и задание составили:
д.ф.-м.н., проф. Э.В. Прут
к.ф.-м.н., доц. В.А. Овчинкин
к.ф.-м.н., доц. Ю.А. Михайлов
к.ф.-м.н., доц. В.С. Булыгин
Программа обсуждена на заседании кафедры общей
физики 16 мая 2011 года.
Заведующий кафедрой
А.В. Максимычев
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
(Базовый курс)
1. Предмет физики как фундаментальной науки о природе. Место физики среди других дисциплин. Физика и математика. Физика как культура моделирования. Важнейшие этапы
истории физики. Роль измерений в физике. Компьютеры в физике. Единицы измерений СИ и СГС, внесистемные единицы.
2. Кинематика материальной точки. Материальная точка. Системы отсчёта и системы координат (декартова, полярная,
сферическая). Степени свободы и их число. Радиус-вектор.
Уравнение движения точки. Графики движений. Криволинейное движение. Скорость и ускорение в криволинейном движении. Движение точки по окружности, угловое ускорение. Формулы для нормального, тангенциального и полного ускорений
точки (вывод). Траектория движения, радиус кривизны траектории.
3. Динамика материальной точки. Понятие состояния в
классической механике. Основная задача динамики. Первый
закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта. Масса частицы. Импульс частицы. Сила гравитационного
притяжения, кулоновская сила, упругая сила, силы трения и сопротивления. Второй закон Ньютона как уравнение движения.
Роль начальных условий. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса.
4. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского (вывод). Реактивное движение. Формула Циолковского (вывод).
5. Работа силы. Мощность. Кинетическая энергия частицы (вывод). Консервативные и неконсервативные силы. Понятие поля сил. Потенциальная энергия. Потенциал поля. Закон
сохранения энергии в механике.
6. Динамика систем частиц. Центр инерции системы частиц (центр масс). Скорость и ускорение центра инерции системы частиц. Закон движения центра инерции. Система центра
инерции (центра масс). Движение системы из двух взаимодей-
2
ствующих частиц (задача двух тел). Приведённая масса. Соотношение связи между кинетическими энергиями в различных
системах отсчёта (вывод). Теорема Кёнинга. Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии.
7. Анализ столкновения двух частиц для абсолютно
упругого удара и абсолютно неупругого удара (вывод). Применение векторных диаграмм для описания столкновений частиц.
Пороговая энергия при неупругом столкновении частиц (вывод).
8. Механические колебания материальной точки. Гармонический осциллятор. Математический маятник и маятник на
пружине. Частота и период колебаний. Анализ уравнения движения маятника. Роль начальных условий. Анализ колебаний
материальной точки под действием вынуждающей синусоидальной силы. Резонанс. Резонансные кривые. Анализ затухающих колебаний. Сухое и вязкое трение. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность. Фазовая плоскость.
9. Элементы специальной теории относительности.
Принципы относительности Галилея и Эйнштейна. Интервал и
его инвариантность. Замедление времени (вывод). Собственное
время жизни частицы. Лоренцево сокращение длины (вывод).
Собственная длина. Преобразование координат и времени Лоренца (без вывода), их физический смысл. Относительность понятия одновременности. Сложение скоростей (вывод). Импульс
релятивистской частицы. Энергия релятивистской частицы,
энергия покоя, кинетическая энергия. Связь между энергией и
импульсом частицы. Уравнение движения релятивистской частицы (вывод). Неколлинеарность силы и ускорения. Пороговая
энергия при неупругом столкновении двух релятивистских частиц и её связь с классическим случаем неупругого столкновения частиц.
10. Момент импульса материальной точки относительно
центра (начала) и оси. Момент силы. Связь момента импульса
материальной точки с секториальной скоростью (вывод). Мо-
3
мент импульса системы материальных точек. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса.
11. Закон всемирного тяготения. Движение тел в центральном поле. Задача Кеплера. Финитные и инфинитные движения. Движение планет. Космические скорости. Связь параметров орбиты с полной энергией и моментом импульса планеты (вывод). Законы Кеплера. Теорема Гаусса и её применение
для вычисления гравитационных полей.
12. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Момент инерции. Вычисление моментов инерции твёрдых тел.
Теорема Гюйгенса–Штейнера (вывод). Уравнение моментов.
Кинетическая энергия вращающегося тела.
13. Момент импульса и момент инерции твёрдого тела
относительно произвольной оси. Тензор инерции. Главные оси
тела. Уравнение моментов относительно движущегося начала и
движущейся оси (вывод). Уравнения движения и равновесия
твёрдого тела. Мгновенная ось вращения. Угловая скорость как
вектор, сложение вращений. Плоское движение твёрдого тела.
Качение. Скатывание и вкатывание тел на наклонную плоскость. Независимость угловой скорости вращения твёрдого тела
от положения оси, к которой отнесено вращение.
14. Механические колебания тел. Физический маятник.
Приведённая длина, центр качания. Теорема Гюйгенса о физическом маятнике. Анализ действия периодических толчков на
незатухающий гармонический осциллятор на основе фазовой
плоскости. Действие синусоидальной силы на гармонический
осциллятор. Параметрические колебания. Автоколебания. Описание волнового движения. Волновое число, фазовая скорость.
Понятие о бегущих и стоячих волнах.
15. Регулярная прецессия свободного вращающегося
симметричного волчка (ротатора). Гироскопы. Движение свободного гироскопа. Вывод уравнения движения гироскопа под
действием сил (приближённая теория). Гироскопические силы.
Понятие о нутациях. Применения гироскопов.
16. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции
при произвольном ускоренном движении системы отсчёта. Вто-
4
рой закон Ньютона в неинерциальных системах отсчёта. Формулы относительного, переносного, кориолисового ускорений
(вывод). Центробежная и кориолисова силы. Вес тела. Вывод
отклонения падающих тел от направления отвеса. Маятник Фуко. Инертная и гравитационная массы.
17. Элементы теории упругости. Упругие и пластические деформации. Растяжение и сжатие цилиндров. Коэффициент упругости, модуль Юнга, коэффициент Пуассона. Вывод
выражения для упругой энергии деформации. Анализ деформации прямоугольного параллелепипеда под действием трёх взаимно перпендикулярных сил. Анализ всестороннего и одностороннего растяжения и сжатия. Деформации сдвига и кручения.
Скорость распространения продольных упругих возмущений в
стержнях (вывод).
18. Элементы гидродинамики. Жидкость и газ в состоянии равновесия. Условие равновесия во внешнем поле сил (вывод). Идеальная жидкость. Кинематическое описание движения
жидкости. Линии тока, стационарное течение идеальной жидкости и газа. Уравнение Бернулли (вывод). Формула Торричелли.
Вязкость. Стационарное течение вязкой жидкости по прямолинейной трубе. Формула Пуазейля (вывод). Ламинарное и турбулентное течения. Число Рейнольдса. Понятие о подъёмной силе
при обтекании крыла.
19. Границы применимости классического способа описания движения частицы.
Программа-минимум по курсу
«ОСНОВЫ МЕХАНИКИ»
1. Единицы измерения СИ и СГС, употребляемые в механике.
2. Кинематика материальной точки. Перемещение, скорость, ускорение, угловая скорость, угловое ускорение. Вектор
угловой скорости. Описание движения точки вдоль плоской
кривой. Нормальное, тангенциальное, полное ускорение. Понятие о радиусе кривизны траектории.
5
3. Законы Ньютона. Импульс частицы, масса. Закон сохранения импульса. Работа силы. Мощность. Кинетическая
энергия. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в
механике.
4. Реактивное движение. Формула Циолковского.
5. Абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновение частиц.
6. Принципы относительности Галилея и Эйнштейна.
Эффекты специальной теории относительности: замедление
времени и сокращение длины. Релятивистский импульс, релятивистская энергия и их связь. Кинетическая энергия релятивистской частицы.
7. Момент силы и момент импульса материальной точки
относительно центра (начала) и оси. Закон сохранения момента
импульса.
8. Центр масс системы материальных точек. Скорость и
ускорение центра масс. Закон движения центра масс системы
материальных точек.
9. Закон всемирного тяготения. Полная энергия и момент импульса планеты. Финитные и инфинитные движения.
Законы Кеплера, 1-я и 2-я космические скорости.
10. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Момент инерции твёрдых тел (сфера, шар, цилиндр, стержень).
Кинетическая энергия вращающегося тела. Уравнение моментов.
11. Уравнения, описывающие качение тел вращения.
Вкатывание и скатывание тел с наклонной плоскости.
12. Гироскоп. Прецессия гироскопа под действием сил.
Формула для угловой скорости прецессии.
13. Свободные колебания материальной точки. Математический маятник и маятник на пружине. Частота и период колебаний.
14. Физический маятник. Частота и период его колебаний.
6
15. Неинерциальные системы отсчёта. Второй закон
Ньютона в неинерциальных системах отсчёта. Силы инерции.
Кориолисова и центробежная силы.
16. Закон Гука. Растяжение и сжатие цилиндров. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона.
17. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Формула Торричелли. Сила вязкого трения.
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Вариативная часть программы, дополнительная
к базовому курсу
1. Кинематика материальной точки. Уравнения траектории точки на плоскости, задаваемые в декартовых и полярных


координатах. Разложение векторов скорости V и ускорения a
на компоненты в полярных координатах ( Vr и V , а также ar и
a ). Радиус кривизны траектории.
2. Момент импульса и момент силы системы материальных точек относительно движущегося центра (начала). Уравнение моментов.
3. Упругие столкновения частиц. Построение и использование векторных диаграмм.
4. Понятие интервала в СТО и доказательство его инвариантности для инерциальных систем отсчёта. Преобразование
координат и времени Лоренца.
5. Тяготение. Теорема Гаусса (и её доказательство) для
вычисления гравитационных полей. Движение тел в поле центральных сил (задача Кеплера), параметры траекторий космических тел и их связь с интегралами движения. Условия эллиптического параболического и гиперболического движений.
6. Общее движение твёрдого тела. Доказательство инвариантности угловой скорости вращения твёрдого тела. Кинетическая энергия твёрдого тела. Момент инерции и момент им-
7
пульса твёрдого тела относительно произвольной оси. Тензор и
эллипсоид инерции твёрдого тела. Главные оси тела. Уравнение
моментов относительно движущегося начала и движущейся
оси.
7. Регулярная прецессия симметричного свободно вращающегося волчка (ротатора).
8. Механические колебания. Фазовая плоскость. Действие периодических толчков на незатухающий гармонический
осциллятор. Действие синусоидальной силы на гармонический
осциллятор. Параметрические колебания.
9. Неинерциальные системы отсчёта. Маятник Фуко
(детальное исследование движения).
10. Упругие деформации. Всестороннее и одностороннее растяжение и сжатие. Модули всестороннего и одностороннего растяжения (сжатия).
11. Вывод скорости распространения упругих возмущений в стержнях.
12. Число Рейнольдса и его физический смысл (вывод).
13. Понятие о потенциальных и вихревых движениях
жидкости (газа). Пограничный слой и явления отрыва. Объяснение подъёмной силы крыла и эффекта Магнуса.
Литература
Основная литература
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. – М.:
Наука, 1989.
2. Кингсеп А.С., Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основы физики.
Курс общей физики. Т. 1. Механика, электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика. – М.: Физматлит,
2001.
3. Лабораторный практикум по общей физике. Т. 1. Механика
под редакцией А.Д. Гладуна. – М.: МФТИ, 2004.
4. Сборник задач по общему курсу физики. Ч. 1 под редакцией
В.А. Овчинкина. – М.: МФТИ, 2002.
8
Дополнительная литература
1. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. – М.: Наука, 1969.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1973.
3. Хайкин С.Э. Физические основы механики. – М.: Наука,
1971.
4. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика. – М.: Наука,
1983.
5. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1, 2. –
М.: Мир, 1977.
6. Гладун А.Д. Элементы релятивистской механики. – М.:
МФТИ, 2003.
7. Белонучкин В.Е. Относительно относительности. – М.:
МФТИ, 1996.
8. Кириченко Н.А. Теория относительности: учебное пособие. –
М.: МФТИ, 2001.
9. Корявов В.П. Методы решения задач в общем курсе физики.
Механика. – М.: Высшая школа, 2007.
План лекций для студентов 1-го курса
на осенний семестр 2011/2012 учебного года
Дата
5, 6
сентяб.
12, 13
сентяб.
19, 20
сент.
26, 27
сентяб.
3, 4
октяб.
Тема лекций
Введение. Предмет и роль физики. Механика. Элементы кинематики.
Динамика частицы и системы частиц. Законы Ньютона.
Работа и энергия.
Релятивистское уравнение движения и его инвариантность. Общая формулировка принципа относительности.
Закон сохранения момента импульса. Тяготение.
Теорема Гаусса. Законы Кеплера.
9
10, 11
октября
17, 18
октября
24, 25
октября
Вращение твёрдого тела вокруг оси. Момент инерции.
Плоское движение твёрдого тела.
Свободное вращение симметричного волчка. Гироскоп.
31 окт.
1 нояб.
7, 8
ноября
14, 15
ноября
21, 22
ноября
28, 29
ноября
5, 6
декаб.
Незатухающие и затухающие колебания.
Вынужденные колебания. Параметрические колебания. Волны.
Неинерциальные системы отсчёта.
Элементы теории упругости.
Элементы гидродинамики.
Границы применимости представлений классической
механики.
ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ
для студентов 1-го курса на осенний семестр
2011/2012 учебного года
Дата
№
сем
Темы
семинарских занятий
1-7
сент.
1
Уравнения движения и
их интегрирование.
1,
2,
3
8–14
сент.
2
Законы сохранения
импульса и энергии.
Работа, мощность.
4,
5,
6
10
0
гр.
Задачи
I
II
гр.
гр.
1.4;
1.13; 1.21;
2.35; 2.39
2.56
4.30;
4.25; 4.35;
4.47; 4.45
4.62
III
гр.
2.43;
2.41
4.49;
4.41
3
Движение тел с переменной массой.
7,
8
4
Упругие и неупругие
столкновения.
9,
10,
11
29
сент.
–5
окт.
5
Уравнение движения
релятивистской частицы. Преобразования
Лоренца.
12,
13,
14,
15
6–12
окт.
6
Закон сохранения момента импульса. Тяготение. Теорема Гаусса.
16,
17
13-19
окт.
7
Вращение твёрдого
тела вокруг неподвижной оси. Плоское движение твёрдого тела.
18,
19
20–26
окт.
8
Качение.
20.
21,
22
15–21
сент.
22–28
сент.
3.11;
3.25;
3.42;
3.31
4.70;
4.98;
4.80;
4.93
8.48;
8.59;
8. 25;
8.41;
8.15
6.2;
7.61;
7.85;
7.132
9.1;
9.173;
9.154;
9.102
9.75;
9.78;
9.76;
9.94
3.9;
3.36
3.41;
3.58
4.97;
4.105
4.90;
4.108
8.61;
8.69;
8.10
8.44;
8.72;
8.9
6.15;
7.11;
7.96;
7.136
9.97;
9.23
9.95;
9.108
9.62;
9.71
9.165;
9.51
29 октября
(суб.)
Общекурсовая контрольная работа (по первым 7ми семинарам)
31
окт–5
нояб.
9
Разбор контрольной работы. Сдача 1-го задания.
(1–7 сем.)
7–12
нояб.
10
Гироскопы. Колебания
материальной точки.
23,
24,
25
14–19
нояб.
11
Колебания твёрдого
тела. Волны.
26,
27,
28
11
11.1;
11.14;
5.22;
5.44
10.3;
10.55;
10.43;
10.48
11.2;
5.49;
5.72;
11.12
10.40; 10.46;
10.53 10.72
12.19;
12.7;
12.63;
12.35
13.7;
13.30;
13.39;
13.33
14.1;
14.17;
14.22;
14.25
12
Неинерциальные системы отсчёта.
29,
30,
31
28
нояб.
-3
дек.
13
Элементы теории
упругости.
32,
33,
34
10
дек.
14
Элементы гидродинамики.
35,
36,
37
12–17
дек.
15
Сдача 2-го задания. Зачёт. Закрытие зачётных ведомостей.
21-26
нояб.
12.26; 12.59;
12.71 12.49
13.27; 13.18;
13.37 13.35
14.27; 14.31;
14.29 14.34
Примечания
1. Номера задач указаны по «Сборнику задач по общему
курсу физики. Ч. 1. Механика и молекулярная физика» под ред.
В.А. Овчинкина. М., МФТИ, 2002.
2. При выполнении заданий предусмотрена следующая
вариативность — в каждой теме семинара задачи разбиты на
4 группы:
0 – задачи, которые студент должен решать в течение недели к следующему семинару, где они при необходимости разбираются в начале семинара;
I – задачи, которые рекомендуется разбирать на семинаре;
II – задачи, которые студент должен решить обязательно
для сдачи задания. Они должны быть оформлены студентами в
своих тетрадях.
III — задачи повышенного уровня, которые студент может
решать дополнительно к задачам II группы (с получением дополнительных зачётных единиц). Они должны быть оформлены
студентами в своих тетрадях.
На семинарах преподаватель может разбирать и другие
задачи по своему выбору.
12
Задачи нулевой группы
(в скобках – номер по задачнику под ред. В.А. Овчинкина)
1. Мяч посылается с начальной скоростью v0 = 19,5 м/c
под углом  = 45 к горизонту. В тот же момент времени
навстречу мячу стартует игрок, находившийся на расстоянии
l = 55 м. С какой скоростью u он должен бежать, чтобы успеть
схватить мяч до удара о землю?
Ответ: u = 5,8 м/с.
2. Тело начинает вращаться с угловым ускорением, равным 0,04 с2. Через какое время t после начала вращения полное ускорение произвольной точки тела будет направлено под
углом 76° к вектору скорости этой точки?
Ответ: t = 10 с.
3. Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/c под углом
 = 45 к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории тела
через время t = 1 с после начала движения.
Ответ: R = 6,4 м.
4. Угол наклона ленты подъёмника к горизонту  =
5,7. При каком максимальном ускорении ленты поднимаемый
ящик не будет скользить по ленте подъёмника? Коэффициент
трения между ящиком и лентой  = 0,2. Лента подъемника не
прогибается, ускорение свободного падения принять равным g
= 10 м/с2.
Ответ: 1 м/с2.
5. Груз, висящий на лёгкой пружине жёсткостью
k = 400 Н/м, растягивает её на величину x = 3 см. Какую работу
13
надо затратить, чтобы утроить удлинение пружины, прикладывая к грузу вертикальную силу?
Ответ: 0,72 Дж.
6. На концах и в середине невесомого стержня длины
l  1,5 м расположены одинаковые шарики. Стержень ставят
вертикально и отпускают. Считая, что трение между плоскостью и нижним шариком отсутствует, определить скорость
верхнего шарика в момент удара о горизонтальную плоскость.
Ответ: 6 м/с.
7. (3.4) Руда насыпается из бункера в вагон, катящийся
по рельсам без трения. Начальная скорость вагона v0, масса пустого вагона m0, вес загруженной руды m1. Подача руды из бункера происходит таким образом, что руда ложится на пол вагона слоем постоянной высоты. Найти время загрузки Т.
Ответ: T 
m1 
L
1 
.
v 0  2 m0 
8. Две ракеты, начиная движение в отсутствие внешних
сил, могут достичь одинаковой максимальной скорости. У 1-й
ракеты топливо составляет 50% массы, у 2-й – 75%. Во сколько
раз отличаются скорости истечения газов?
Ответ: u1 = 2u2
9. (4.109) Найти минимальную относительную скорость
vmin двух одинаковых метеоритов, необходимую для нагрева и
полного испарения в результате столкновения. Теплота нагревания и испарения 1 г вещества метеоритов составляет Q = 1010
эрг/г.
Ответ: vmin = 8Q  2,83 км/с.
14
10. Частица массы m испытывает упругое столкновение
с неподвижной частицей массы М. Определить потерю энергии
частицей при столкновении, считая удар центральным.
Ответ:
4mM
m  M 2
.
11. Тело массы m1 = 5 кг ударяется о неподвижное тело
массы m2 = 2,5 кг. Кинетическая энергия системы двух тел
непосредственно после удара стала равной Т = 5 Дж. Считая
удар центральным и абсолютно неупругим, найти кинетичкскую энергию Т1 первого тела до удара.
Ответ: T1 = 7,5 Дж.
12. С какой скоростью двигались часы относительно
Л-системы, если за время 5 с (в Л-системе) их отставание от
часов Л-системы составило 0,1 с?
Ответ: 0,2 с.
13. Стержень движется вдоль линейки с постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов стержня
одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то для
стержня l1  4 м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по линейке l 2  9 м. Найти собственную длину стержня l 0 .
Ответ: l 0  6 м.
14. Две частицы с одинаковыми скоростями   0.75  c
движутся по одной прямой и попадают в мишень. Одна из ча8
стиц попала в мишень позже другой на время   10 c . Найти
15
расстояние l0 между частицами в полете в системе отсчета,
связанной с ними.
Ответ: l 0  3,4 м.
15. Мюон, движущийся со скоростью   0.99  c , пролетел от места своего рождения до точки распада l  3 км. Определить собственное время жизни  0 этого мюона.
Ответ:  0  1.4  10 6 с.
16. Земля и Венера обращаются вокруг Солнца по орбитам, принимаемым приближённо за круговые с радиусом
R1  1.5  108 км и R2  1.08  10 8 км соответственно. Найти
отношение их линейных скоростей.
Ответ: v1 / v2  0,85.
17. Найти изменение ускорения свободного падения на
глубине h. На какой глубине g h составляет 0.25 g ускорения
свободного падения у поверхности Земли? Плотность Земли
считать постоянной.
Ответ: h  0,75  R.
18. Вычислить момент инерции I однородного цилиндра
массы m, длиной l и радиусом R. Ось вращения проходит через ЦМ перпендикулярно оси симметрии цилиндра.
 l 2 R2 
.
Ответ: I  m  

12
4


16
19. Сплошной маховик массой 20 кг и радиусом 120 мм
вращается, совершая 600 об/мин. С какой силой надо прижать к
нему тормозную колодку, чтобы он остановился за 3 с, если
коэффициент трения = 0,1?
Ответ: N = 250 Н.
20. Тонкое кольцо радиуса R и массы m раскручено до
угловой скорости  и поставлено вертикально на горизонтальную плоскость с коэффициентом трения k. С какой скоростью v будет двигаться кольцо после прекращения проскальзывания?
Ответ:  
R
2
.
21. Найти скорости движения центров масс шара, диска и
обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной
плоскости. Высота наклонной плоскости h  0,5 м, начальная
скорость всех тел  0  0 . Сравнить найденные скорости со
скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при
отсутствии трения.
Ответ:   2,65 м/с; 2,56 м/с; 2,21м/с; 3,13м/с v.
22. Высокая фабричная труба треснула у основания и обвалилась. Найти нормальное ускорение верхней точки трубы
как функцию угла между трубой и вертикалью. Может ли это
ускорение превысить g?
Ответ: an  3g 1  cos a .
23. Часы с маятником отрегулированы и идут правильно
при длине маятника l = 55,8 см. На сколько отстанут часы за
сутки, если удлинить маятник на l = 0,5 см?
Ответ: t  6,5 мин.
17
24. В районе северного полюса на Землю падает метеорит под углом 45 к вертикали. Масса метеорита 1000 т, его
скорость 20 км/с. Определить, на сколько повернётся земная
ось в результате соударения с метеоритом. Масса Земли
61024 кг, её радиус 6400 км.
Ответ:   1,27  10 17 рад.
25. (5.62) Система состоит из двух одинаковых масс m,
скреплённых пружиной жёсткостью k. На одну из масс действует гармоническая сила с амплитудным значением f0,
направленная вдоль пружины. Найти амплитуду колебаний
растяжения пружины, если частота вынуждающей силы вдвое
превышает собственную частоту системы.
Ответ: A = f0/6k.
26. Найти период колебаний Т однородного стержня длиной l = 50 см, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии d = 10 см от его верхнего конца.
Ответ: Т = 1,08 с.
27. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой
равна радиусу шарика l  R . Во сколько раз период малых колебаний T1 этого маятника больше периода малых колебаний
T2 математического маятника с таким же расстоянием от ЦМ
до точки подвеса?
Ответ: T1 T2  1,05 .
28. (10.65) Как следует изменить натяжение струны, чтобы она давала тон в три раза более низкий?
Ответ: уменьшить в 9 раз.
18
29. На какую часть  уменьшается вес тела в Долгопрудном (широта 56) вследствие вращения Земли?
Ответ:    2 R g  cos 2   0,1% .


30. (12.38) Какую работу должен совершить человек,
чтобы пройти от периферии к центру карусели, равномерно
вращающейся с угловой скоростью   1 рад/с, если радиус
карусели R = 5 м, а масса человека M = 60 кг?
Ответ: A  750 Дж.
31. Диск совершает n = 70 об/мин. Где можно положить
на диск тело, чтобы оно не соскользнуло? Коэффициент трения
тела о диск k = 0,44. Решить задачу в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта.
Ответ: На расстоянии, меньшем 8 см от центра диска.
32. Оценить жёсткость межатомной связи в веществе с
модулем Юнга Е и средним межатомным расстоянием а.
Ответ: k = Ea.
33. (13.1) Стальной канат, который выдерживает вес неподвижной кабины лифта, имеет диаметр d  9 мм. Какой
диаметр D должен иметь канат при ускорении до 8g?
Ответ: D = 27 мм.
34. Два стержня одинаковой длины – один сечения S из
вещества с модулем Юнга Е, другой сечения 2S с модулем Юнга 2Е – растягиваются одинаковыми силами. Во сколько раз
отличаются энергии их упругой деформации?
Ответ: W1 W2  1 4 .
19
35. На горизонтальной поверхности стола стоит цилиндрический сосуд, в который налита вода до уровня H (относительно поверхности стола). На какой высоте h (относительно
поверхности стола) надо сделать отверстие в боковой стенке
сосуда, чтобы струя воды встречала поверхность стола на максимальном расстоянии от сосуда? Вычислить это расстояние.
Ответ: h  H 2 , Smax  H .
36. (14.11) В сосуд налита вода до высоты H. В дне сосуда проделано круглое отверстие радиуса r0. Найти радиус r(y)
струи воды, вытекающей из отверстия, в зависимости от расстояния у от дна сосуда.
Ответ: r  y   r0 H / H  y 
1/ 4
.
37. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр. Внутренний радиус капилляра r = 1 мм и длина l = 1 см. В сосуд налито машинное
масло, плотность которого  = 0,9103 кг/м3 и вязкость  = 0,5
Пас. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на
высоте
h2 = 50 см выше капилляра. Определить объемный
расход V масла через капилляр.
Ответ: V  310 –7 м3/с.
Усл. печ. л. 1,25 Тираж
20
экз.