особых» точек плоских кривых - Шадринский государственный

Об одном способе нахождения «особых» точек плоских
кривых
Е.А. Рябова
Руководитель: к.п.н., доцент А.В. Бобровская
ГОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический
институт», г. Шадринск
Способы нахождения «особых» точек мало исследованы в учебной и
научной литературе. Поэтому поставим целями: 1. Классифицировать
«особые» точки. 2. Разработать алгоритм нахождения «особых» точек
плоских кривых заданных параметрическими уравнениями и определения
видов «особых» точек.
M
O
M0
O
Р
ис. 1
Р
ис. 2
Пусть даны линия  и на ней точка M. Точка М называется
обыкновенной точкой линии  если существует такое число   0 , что
пересечение линии  с  -окрестностью точки М, то есть фигура   B( M ,  ) ,
является элементарной линией. На рис. 1 М - обыкновенная точка.
Точка M 0   называется особой (топологически особой), если она не
является обыкновенной. На рис. 2 M 0 - особая точка. [1]
Рассмотрим классификацию особых точек. Пусть дано уравнение
линии r  r (t ) .
Находим корни уравнения r 'r"  0 . Пусть t = t0 — один из таких
корней. Если
 




r ' (t 0 )  r " (t 0 )  ...  r ( k 1) (t 0 )  0, r ( k ) (t 0 )  0,







r ( k ) (t 0 )  r ( k 1) (t 0 )  r ( k ) (t 0 )  r ( k  2) (t 0 )  ...  r ( k ) (t 0 )  r ( s 1) (t 0 )  0,



r ( k ) (t 0 )  r ( s ) (t 0 )  0 и если:
s
Вид точки M (t 0 )
k
нечётное
чётное
обыкновенная
нечётное
нечётное
точка перегиба
чётное
нечётное
точка возврата первого рода
чётное
чётное
точка возврата второго рода
  
При всех остальных значениях t будем иметь r 'r "  0 ; все точки
 
линии, соответствующие значениям t, при которых r 'r " не обращается в
нуль — обыкновенные ( k = 1, s = 2). [2]
Разработаем алгоритм нахождения «особых» точек плоских кривых,
заданных параметрическими уравнениями.

Пусть плоская кривая r задана параметрическими уравнениями
x  x(t ), y  y(t )

1. Найдем r - первую производную по параметру t .

2. Найдем r - вторую производную по параметру t .
  
 
3. Решаем уравнение r , r  0 ( r , r - векторное произведение)
относительно параметра t.
Найденные корни t 0 , t1... - параметры «особых» точки.
4. Найдем «особые» точки, подставив значение параметров t 0 , t1... в
уравнения, задающие кривую.
5. Установим вид кривой вблизи «особой» точки.

5.1. Находим производные от r






r (t 0 )  r(t 0 )  ...  r ( k 1) (t 0 )  0 , до тех пор, пока r ( k ) (t 0 )  0
6. Находим
векторное
произведение
 ( k )  ( k 1)
 ( k )  ( k  2)
 ( k )  ( s 1) 
r ,r
 r ,r
 ...  r , r
 0 , до тех пор, пока
 (k )  (s) 
r ,r
0
7. В зависимости от параметров k и s , определим вид «особой» точки в
соответствии с приведенной классификацией.
8. Найдем касательную в «особой» точке и построим кривую вблизи
«особой» точки.
Рассмотрим пример нахождения «особой» точки плоской кривой по
разработанному алгоритму
 (t  2) 2 (t  2) 2 

,
Дано: r 
t

1
t

1




 (t  2) 2 
 (t  2) 2 
t (t  2)
t (t  2)




 

1. Найдем
,
;
r:
2
2
 t 1 
t

1
(
t

1
)
(
t

1
)




 t (t  2) t (t  2) 

r 
,
2
2 
(
t

1
)
(
t

1
)




2. Найдем r

 t 2  2t 
(2t  2)(t  1) 2  2(t  1)(t 2  2t )
4



4
 (t  1) 2  
(t  1)
(t  1) 3



 t 2  2t 
4 
 4
(2t  2)(t  1) 2  2(t  1)(t 2  2t )
4



,

; r
3
3 
4
3
 (t  1) 2  
(
t

1
)
(
t

1
)
(
t

1
)
(
t

1
)




  
3. Решим уравнение r , r  0
 
 



 

 



4
 t (t  2) t (t  2)   4


,
,
0
r
,
,
0
 r 
,
2
2
  (t  1) 3 (t  1) 3 
(
t

1
)
(
t

1
)

 

 4

t (t  2)
4
t (t  2)     
24t
 



 r , r  0,0, 



;
r
,
r
0
,
0
,
3
2
3
2 
3
3 

(
t

1
)
(
t

1
)
(
t

1
)
(
t

1
)
(
t

1
)
(
t

1
)





24t

 0 , тогда t0  0 - параметр «особой» точки
(t  1) 3 (t  1) 3
 (t  2) 2 (t  2) 2 
 параметр
,
4. Найдем «особые» точки, подставив в r 
t

1
t

1


t0  0
 (0  2) 2 (0  2) 2 
 , M 0 (4,4) -«особая» точка
,
 r 
0

1
0

1


5. Установим вид вблизи кривой «особой» точки
 t (t  2) t (t  2)  
  0 при t 0  0
,
 r 
2
2 
(
t

1
)
(
t

1
)


4  
 4

  0 при t0  0 . r4,4
,
 r
3
3 
 (t  1) (t  1) 

6. Найдем r



2
2



4
4
 12 


   12(t  1)  12(t  1)    12
r 




,
;
r
,
;
r
,
6
4
4 
  (t  1) 3   (t  1) 3    (t  1) 6


(t  1)
 
  
  (t  1) (t  1) 


r,r  0 , значит
При t 0  0
y
k  2, s  3
1. В зависимости от параметров k
и s , определим вид «особой»
точки
в
соответствии
с
приведенной
классификацией.
9x
4
O
k  2, s  3,
значит
точка
A
M 0 (4,4) - точка возврата
М
первого рода.
2. Построим
кривую вблизи
4
«особой»
точки.
Найдем
касательную в точке M 0 (4,4) :
- Рис. 3
x4 y4
9

; y  x 4
4
касательная в точке M 0 (4,4) (Рис.3)
Итак, в статье был разработан алгоритм нахождения «особых» точек
плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями, был приведен
 
 
 
пример нахождения «особых» точек, определение типа «особой» точки и
построения кривой в Д.П.С.К.
Литература.
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. - М.: Просвещение, 1987.,I,II ч.
2. Бобровская А. В. Обучение методу математического моделирования
средствами курса геометрии педагогического института : Дисс. канд. пед.
наук : СПб., 1996.
Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии – М.:
Учпедгиз, 1949.