ГЛАВА 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. Определение основных тригонометрических функций

ГЛАВА 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ
5.1. Определение основных тригонометрических функций
5.1.1. Определение основных тригонометрических функций
острых углов
Основными тригонометрическими функциями являются: синус, косинус,
тангенс и котангенс.
В
c
a
α
А
С
b
Рис. 5.1
Возьмём прямоугольный ΔАВС, у которого : с – гипотенуза, а – катет, лежащий против угла  (противолежащий катет); b – катет (прилежащий катет)
(Рис. 5.1). Основные тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.
Таблица 1.
Функция
Градусы
Радианы
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Аргумент 
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
0
sin 
0
cos 
1
tg
0
ctg
Не сущ.

6
1
2
3
2
1
3
3

4
2
2
2
2

3
3
2
1
2

2

3
2
1
0
-1
0
-1
0
1
3
Не сущ.
0
Не сущ.
0
Не сущ.
0
1
1
3
Определение 1. Синусом острого угла называется отношение противолеa
c
жащего катета к гипотенузе и обозначается sin   .
Определение 2. Косинусом острого угла называется отношение прилежаb
c
щего катета к гипотенузе и обозначается cos   .
Определение 3. Тангенсом острого угла называется отношение противоле52
a
b
жащего катета к прилежащему катету и обозначается tg  .
Определение 4. Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету и обозначается и обозначается
ctg 
b
a b a b
. Отношения сторон , , , не зависят от длин сторон a,b,c прямоa
c c b a
угольного треугольника с острым углом α, а зависят лишь от величины угла α.
5.1.2. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном
треугольнике
Используя определения основных тригонометрических функций можно,
зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол α, найти две
стороны; зная две стороны, находить острые углы (рис. 5.1). Тем самым получаем формулы для решения прямоугольных треугольников:
a  c cos  ,
b  c cos  ,
b  c sin  ,
a  c sin  .
a  btg ,
a  bctg  ,
c  a 2  b 2 (теорема Пифагора)
b  atg  ,
b  actg .
Обобщая понятие угла как меры вращения одного луча относительно другого, имеющих общее начало, дадим определения основных тригонометрических функций (не ограничиваясь острыми углами) как функций произвольного
угла. Используем декартову систему координат и векторы на плоскости.
Вектор  , соединяющий начало координат с
Y
y
M(х,y)
произвольно выбранной точкой плоскости М(х,y),
называется радиус-вектором этой точки
r
  r  ( x, y ) (Рис. 5.2).
φ
x
X
0
Проекции радиус-вектора точки М на оси координат называются его координатами. Они совпадают
с координатами точки М.
Рис. 5.2
Длина радиус-вектора r называется его модулем и находится по формуле
r  x2  y 2 , т.е. по теореме Пифагора.
5.1.3. Определение основных тригонометрических функций
произвольных углов
Рассмотрим движение точки по окружности единичного радиуса (рис.
5.3), тогда координаты точки М(х, у) равны, соответственно, синусу и косинусу
53
угла, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением
оси ОХ.
Радиус-вектор вращается вокруг начала координат. Если вращение проводится против часовой стрелки, то угол поворота считают поло1
M(x,y)
жительным, по часовой стрелке – отрицатель-
y
-1
φ
0 x
ным.
1
X
Один полный оборот вокруг начала координат равен 360° или 2 радианам. (Радиан – это
величина центрального угла круга, опирающего-
-1
ся на дугу, длина которой равна радиусу этого
круга).
Рис. 5.3
Определение 1. Синусом угла  , образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть
ордината этой точки, т.е.: sin   y .
Определение 2. Косинусом угла  , образованного радиус-вектором
точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox,
есть абсцисса этой точки: cos   x .
Синус и косинус определены для любого угла  и связаны между собой
(по теореме Пифагора)равенством: sin 2   cos 2   1 , которое называется основным тригонометрическим тождеством.
Определение 3. Отношение синуса угла  к косинусу того же угла
называется тангенсом угла  : tg 
Тангенс
cos(

2
определен
для
y
sin 
или tg  .
x
cos 
всех
углов,
кроме


2
 k ,
k Z ,
где
 k )  0 . Под Z понимаем множество целых чисел.
Определение 4. Отношение косинуса угла  к синусу угла  называется
котангенсом угла  : ctg 
cos 
x
или ctg  .
sin 
y
Котангенс определён для всех углов, кроме   n , n  Z , где sin( n)  0 .
Из изложенных определений следует ряд соотношений:
tg  ctg  1 ; 1  tg 2 
1
1
; 1  ctg 2  2 .
2
cos 
sin 
54
Кроме четырёх основных тригонометрических функций, иногда используют
ещё
cos ec 
две:
секанс:
sec  
1
,
cos 


2
 k , k  Z ;
и
косеканс
1
,   n , n  Z .
sin 
Из рис.5.3. видно, что косинус угла  – это проекция единичного радиусвектора на оси Ох, которая называется осью косинусов (-1 ≤ cos  ≤ +1);
синус угла  – проекция единичного радиус-вектора на ось Oy, которая называется осью синусов (-1 ≤ sin  ≤ +1).
Таблица 2. Знаки основных тригонометрических функций.
Четверть
I
II
III
IV
Функция
sin 
cos 
+
+
-
+
+
tg
ctg
+
+
-
+
+
-
Тригонометрические функции – периодические:
а) Tsin x  Tcos x  2 , sin( x  2 k )  sin x, k  Z , ; cos( x  2 n )  cos x, n  Z .
б) Ttgx  Tctgx   , tg( x   l )  tgx, l  Z ,; ctg( x   m )  ctgx, m  Z .
Тригонометрические функции обладают свойствами четных и нечетных. Так
функции cos  и sec  являются четными, cos(  )  cos( ) и sec( )  sec( ) , а
s i 
n (  ) 
s i n (
функции sin  , cos ec , tg , ctg являются нечетными
cos ec(  )   cos ec(  ),
tg(  )  tg(  ),
ctg(  )  ctg(  ) .
Эти свойства легко усмотреть из рис. 5.3.
5.1.4. Приведение тригонометрических функций к функциям
острого угла
Для вычисления значений тригонометрических функций любого угла нужно уметь свести эту задачу к вычислению тригонометрических функций соответствующего острого угла.
С этой целью необходимо:
1. Воспользоваться периодичностью тригонометрических функций и добавить (или вычесть) к аргументу функции целое число периодов, чтобы в результате под знаком функции оказался угол, меньший по модулю одного периода.
Пример. sin405°= sin (360° + 45°) = sin45° =
2
2
2. Воспользоваться свойствами четности или нечетности тригонометрических функций.
Пример. tg 863° = tg (5 · 180° - 37°) = tg(-37°) = -tg37°
Пример. cos1313° = cos (4 · 360° - 27°) = cos (-27°) = cos27°.
К острому углу можно перейти, пользуясь формулами приведения.
55
Определение: Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов 90°   , 180°   , 270°   , 360°   через тригонометрические функции угла α.
Углы 180°± α и 360°± α считают образованными отклонением α от горизонтальной оси; а углы 90°± α и 270°± α – отклонением угла α от вертикальной
оси.
Правила приведения: В левой части формулы приведения стоит приводимая функция.
І. Если угол образован отклонением от горизонтальной оси, т.е., то
название функции не изменяется, а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.
Например, sin(180°-α) =sin α, cos(180°-α) =-cosα.
II. Если угол образован отклонением от вертикальной оси, то название
функции изменяется ( sin на cos, tg на ctg), а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.
Например, sin(90°   )=cosα, cos(270°-α) =-sinα.
Примеры: Составить формулы приведения для 1) cos(360°-  ) и 2) ctg(90°+  )
на основании указанных правил.
1) Угол 360°-  получен отклонением угла  от горизонтальной оси, поэтому в правой части формулы приведения ставится исходная функция, т.е.
cos  со знаком «+» или «-» . Если угол  острый, то угол 360°-  является углом четвертой четверти, в которой косинус положительный, следовательно,
cos(360°-  ) = cos  .
2) Угол 90°+  получен откладыванием угла  от вертикальной оси, поэтому в формуле приведения функция ctg(90°+  ) перейдет в ко-функцию tg 
со знаком «+» или «-». Если угол  – острый, то угол 90°+  есть угол второй
четверти, в которой котангенс отрицательный, следовательно, ctg(90°+  )=
-tg  .
Иногда удобнее пользоваться таблицей 3.
Таблица 3. Формулы приведения
Функция
Аргумент 


2


2
 
 
3

2
3

2
2  
sin 
cosα
cosα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
cos 
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
sinα
cosα
tg 
ctgα
-ctgα
-tgα
tgα
ctgα
-tgα
-tgα
ctg 
tgα
-tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-tgα
-ctgα
56
5.1.5. Определение обратных тригонометрических функций
Определение 1. Обратной тригонометрической функцией  =arcsin a
называется величина (дуга, угол, число)  , изменяющаяся
в пределах


2
 

2
, если sin  =a.
Определение 2. Обратной тригонометрической функцией  =arccos a
называется величина (дуга, угол, число)  , изменяющаяся в пределах 0     ,
если cos  =a.
Определение 3. Обратной тригонометрической функцией  =arctg a
называется величина (дуга, угол, число)  , изменяющаяся
в пределах


2
 

2
, если tg  =a.
Определение 4. Обратной тригонометрической функцией  =arcctg a
называется величина (дуга, угол, число)  , изменяющаяся в пределах 0     ,
если ctg  =a.
Из определений следует:
1) sin(arcsin a)=a, cos(arccos a)=a при |a|≤1;
2) tg(arctg a)=a, ctg(arccctg a)=a при любом a.
Пример 1. Вычислить arсcos(-1/2).
Согласно определению угол  = arcos(-1/2) лежит между 0 и π cos  =-1/2.
По формуле приведения cos  = -sin  , где  
Следовательно,  

2


6


2
  .  sin   
4 2

. Отсюда: arсcos(-1/2)= 2π/3.
6
3
1
или
2


6
.
Пример. Вычислить ctg(arcos(-1/3)).
Найдём котангенс угла  = arсcos(-1/3). По определению арккосинуса запишем: cos  =-1/3 и 0≤  ≤π. Но поскольку косинус угла отрицателен, то можно
судить о величине угла  более определённо — он удовлетворяет неравенству
π/2<  <π. Задача свелась к следующей: Известно, что cos  =-1/3 и π/2<  <π;
найти ctg  . Эта задача решается с помощью основных соотношений между
тригонометрическими функциями. Действительно, ctg 
нус
во
второй
четверти
cos 
cos 

 (сиsin 
1  cos 2 
положителен),
откуда
1
3  1  ctg   2 .
4
1
8
1
9
2
Пример. Вычислить cos  2 arccos  .
3


 1 
ctg arccos     
 3 

По

формуле
косинуса
двойного
2
2
2


2 1
cos  2 arccos   1  2sin 2  arcsin   1  2     .
3
3


3 9
57
угла
( cos 2  1  2 sin2  )
имеем:
5.2. Графики тригонометрических и обратных тригонометрических
функций
При построении графиков тригонометрических функций и обратніх тригонометрических функцій используется радианное измерение углов, периодичность, нечетность и чётность функции (рис. 5.4. 1) – 8)).
Радианная мера полной окружности или полного оборота равна 2π радиана;
полуокружности или развёрнутого угла – π радиан (π ≈ 3,14), для четверти

радиан (≈1,57).
2

Радианные меры других углов: 300 =
рад;
6
3
2700= рад.
2
окружности или прямого угла –
450 =

;
4
600 =
1)
y
y=sin x
1
-2

0
-
2
x
-1
2)
y
-
-2
y=cos x
1
-1

0
2
x
3)
y
y=tg x
0
-3/2
-/2
/2
58
3/2
x

рад;
3
4)
y=ctg x
y
0
-2

-
x
2
5)
y
/2
y=arcsin x
0
-1
1
x
-/2
6)
y

/2
-1
y=arccos x
1
0
x
7)
y
/2
y=arctg x
-1
0
1
x
-/2
8)
y

/2
-1
0
1
Рис. 5.4
59
y=arcctg x
x
5.3. Основные тригонометрические формулы
Соотношения между тригонометрическими функциям
одного и того же аргумента:
cos 2   sin 2   1;
sin 
1

tg 
, sec  
,     n, n  Z ;
cos 
cos 
2
cos 
1
ctg 
, cos ec 
,    n, n  Z ;
sin 
sin 
Формулы сложения
1

,     n, n  Z ;
2
cos 
2
1
1  ctg 2 
,    n, n  Z ;
sin 2 
1  tg 2 
tg  ctg  1,  

2
2
n, n  Z .
Формулы двойного аргумента (α=β)
cos 2  cos 2   sin 2  ;
sin 2  2sin  cos  ;
2tg
tg 2 
;
1  tg 2
 n
 
, n  Z;
4 2


cos(   )  cos  cos 
sin  sin  ;
sin(   )  sin  cos   cos  sin  ;
tg (   ) 
tg  tg 
;
1 tg tg 
 ,  , (   ) 
  k, k  Z.

2
  n, n  Z .
Формулы преобразования суммы и
разности тригонометрических функций в произведение
sin   sin   2sin
 
cos
 
; sin   sin   2sin
 
cos
 
;
2
2
2
2
 
 
 
 
cos   cos   2 cos
cos
; cos   cos   2sin
sin
;
2
2
2
2
sin(   )

tg  tg  
;  ,     n, n  Z .
cos  cos 
2
Формулы половинного угла
sin   2sin

2
cos

; 1  cos   2 cos 2

; 1  cos   2sin 2
2
2

sin 
1  cos 
tg 

;    n, n  Z
2 1  cos 
sin 

2
;
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
1
 cos(   )  cos(   )  ;
2
1
sin  sin    cos(   )  cos(   )  ;
2
1
sin  cos    sin(   )  sin(   )  .
2
cos  cos  
60
Формулы понижения степени
1
1  cos 2  ;
2
1
sin 2   1  cos 2  ;
2
1
sin  cos   sin 2 .
2
cos 2  
Формулы, выражающие тригонометрические функции через tg
2tg
sin  
1  tg
tg 
2tg

2 ,
2 

cos  
1  tg 2
1  tg
2

2

2,
2 
    2 n, n  Z ,
2
2 ,     2 n,      k , k  Z .

2
1  tg 2
2
Пример 1. Доказать тождество:

 cos  sin 


3
 tg 2     .
5
4

sin
 sin  cos
6
cos
Решение. Преобразуем левую часть:

1
 cos  sin 
1  2 cos  sin  1  sin 2
3
2



.
5
1
sin
 sin  cos 
 cos  sin  1  2 cos  sin  1  sin 2
6
2
cos
 cos  sin 
Перейдем к формулам повышения степени:




1  cos   2  2sin 2    
2

4
  tg 2      .






4

1  cos   2  2 cos 2    
2

4

3
и 1800<α<2700.
4
1
1
4
Решение: sin(600-α)=sin600cosα - cos600sinα; cos   

 ;
5
9
1  tg 2
1
16
Пример 2. Найти sin(600-α), если tg 
16
3
 .
25
5
3 4
1
3
1
Откуда: sin(600   )       
4 3 3 .
    
2  5   2  5 
10
sin    1  cos 2    1 

61

5.4. Тригонометрические уравнения
Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в к отором неизвестные находятся под знак ом тригонометрических
функций.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют
уравнения вида:
sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a.
5.4.1 Решение простейших тригонометрических уравнений
Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.
1. sinx=a, x R, |a| ≤1, x=Arcsina=(-1)narcsina+πn, n Z.
Замечание. Здесь и ниже бесконечное множество углов обозначается символом
Arc. Но среди всех углов, входящих в это множество, есть один, который лежит
в соответствующем промежутке, называется главным значением и обозначается
arc.
Частные случаи:
sin x  1, x 

2
sin x  1, x  
 2 n, n  Z ;

2
sin x  0, x   n,
 2 n, n  Z ;
n  Z.
2. cosx=a, x R, |a| ≤1, x=Arccosa=  arccosa+2πn, n Z.
Частные случаи:
cos x  1, x  2 n, n  Z ;
cos x  1, x    2 n, n  Z ;
cos x  0, x 

2
  n,
n  Z.
3. tgx=a, a R , x≠π/2+kπ, k Z; x=Arctga=arctga+πn, n Z.
Частные случаи:
tgx  1, x 

4
tgx  1, x  
  n, n  Z ;

4
tgx  0, x   n,
  n, n  Z ;
n  Z.
4. ctgx=a, a R, x≠kπ, k Z; x=Arccctga=arcctga+πn, n Z.
Частные случаи:
62

  n, n  Z ;
4
3
c tgx  1, x 
  n, n  Z ;
4
c tgx  1, x 
c tgx  0, x 

2
  n,
n  Z.
5.5. Тригонометрические неравенства
Общий вид простейших тригонометрических нестрогих неравенств:
sinxVa, sinxVa, cosxVa, cosxVa, tgxVa, tgxVa, ctgxVa, ctgVa. Где символ V один
из знаков ≤; ≥; < и >.
Для решения простейших тригонометрических неравенств используют
свойство периодичности тригонометрических функций и характер их изменения на промежутке равном периоду Т: Tsinx= Tcosx=2π, Ttgx= Tctgx=π.
Произвольные неравенства надо привести к простейшим.
Таблица 4 Решение простейших тригонометрических неравенств в общем виде
sinx≤a
-arcsina+π(2n-1) ≤ x ≤ arcsina+2πn, n  Z
|a|≤1
x R
a≥1
xØ
a< -1
sinx≥a
arcsina+2πn ≤ x ≤ -arcsina+π(2n+1) n  Z
|a|≤1
x Ø
a>1
x R
a≤1
cosx≤a arccosa+2πn ≤ x ≤ -arccosa+2π(n+1)
|a|≤1
nZ
x Ø
a≥1
x R
a< - 1
cosx≥a -arccosa+2πn ≤ x ≤ arccosa+2πn
|a|≤1
nZ
x Ø
a>1
x R
a≤ -1

tgx≤a
a R
nZ
   n  x  arctga   n
2

tgx≥a
arctga   n  x 
ctgx≤a
ctgx≥a
arctga+πn ≤ x ≤ π+πn
πn < x ≤ arctga+πn
2
n
nZ
nZ
nZ
Пример 1. Решить неравенство: sin x 

Решение. по табл. имеем: sin 
4
находим:

4
 2 k  x 
3
 2 k , k  Z.
4
63
2
.
2
n Z
;
2
2 
 . По табл. 4,
. Т.е. arcsin
2
2
4
5.6. Упражнения
I. Найти:
1. tg α, если sin α = 9/41 и

2
  ;
2. sin α если ctg α = 1/3 и    
3
.
2
II. Найти значение выражения
1.
sin   tg
,
cos   ctg
если tg  1,
3
   2 ; 2. sin   cos  ,
2
5
7
4. tg  cos2  , если sin   cos   ;
3. tg 3  ctg 3 , если tgα+ctgα=5;
5. sin 2α, если cos   
если sinα+cosα=1;
12
3
и    .
13
2
III. Сократить дробь
a)
sin 40
;
sin 20
b)
sin 100
.
cos 50
IV. Представить в виде произведения:
1. sin 40° + sin 16°;
2. cos 46° - cos 74°;
3. cos
11
3
 cos ;
12
4


3
3
4. cos(   )  cos(   ).
V. Найти значение тригонометрического выражения при заданном значении одной из тригонометрических функций.
(2 sin 3   cos 3  )(sin 3   2 cos 3  )
.
sin 4 
(2 sin 3   cos 3  )( 2 cos 3   sin 3  )
2. Дано : tg α = 2. Найти
.
cos 4 

3. Дано : ctg α = - 0,75;     .
Найти cos(1,5  2 ) .
2
4. Дано : tg α = - 4/3; 1,5    2
Найти sin(   2 ) .
1. Дано : ctg α = 2. Найти
3
) .
4
5. Дано: sin α = - 8/17; α – угол III четверти.
Найти tg (
6. Дано: cos α = 5/13; α – угол IV четверти.
Найти ctg (   ) .
VI. Вычислить:
1. 2 sin 75° cos 75°;

4
2. 2 cos2 15° - 2 sin2 15°.
VII. С помощью преобразования суммы тригонометрических функций в
произведение разложите на множители выражение :
1. sin 3α + sin α ;
2. sin β - sin 5β.
VIII. Вычислить по данному значению одной из тригонометрических
функций значения остальных :
64
Y
1. cos α = - 3/5;    
3. cos α = 3/4;
3
;
2
2. sin α = - 7/25;
3
   2 ;
2
4. ctg x = - 3/4;
IX. Определить знаки разности :
1. cos 212° - cos 213°;

2
3
   2 ;
2
  .
2. sin 23° - sin 36°.
X. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:
1. sin α - cos α ;
2. sin α + 3 cos α;
3. 2sin α - 3cos α ;
4. 1- (cos2 α – sin2 α);
5. cos2 α tg2 α + 5 cos2 α – 1.
XI. Упростить выражение:
1. sin2 α + 2cos2 α – 1;
2. (1 - sin α) (1 + sin α);
1  cos 
;
1  sin 2 
2
3.
cos 
4.
cos
sin 2  2 sin 
;
5.
cos   1

2
 sin

;
2
XIІ. Доказать тождество.
1  cos 
sin 

 2ctg ;
sin 
1  cos 
cos 2
cos   sin 

3.
;
1  sin 2 cos   sin 
1.
2.
1
 cos 2 ;
1  tg  tg 2
4.  sin   cos     sin   cos    2 .
2
2
XІІІ.Вычислить:



3
1

1. sin  arcsin  

arctg
3

cos

3arcsin



;



2
2








3
1
 1
 1
2. cos  3arcsin     arctg
  tg  arccos     arcsin  ;
3 
2
 2
 2





2
3
3
1

3arccos

cos
arcctg

3arcsin
3. ctg  2 arcsin  



.



2 
3
2 
 2 


XІV. Решить уравнения:
1
1. sin 1  2 x    ;
2. cos 2 x  cos 3 x  cos 5 x ;
2
3. sin 2 x  cos 2 x  0 ,5  sin x  cos x ; 4. sin x  3  cos x  1 ;
5. sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  0 ; 6. 2 sin 4 x  16  sin3 x  cos x  3 cos 2 x  5  0 .
XV. Решить неравенства:
1
1
1. cos 2 x  ;
2. sin 2 x  .
2
2
65