Lekciya25

Лекция 25
Теория стационарных возмущений для состояний дискретного спектра. Случай невырожденного спектра
Точное решение стационарного уравнения Шредингера, как правило, представляет собой
существенную математическую проблему и возможно только для простейших квантовых систем. Поэтому при решении уравнения Шредингера приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является теория возмущений. Основная идея этого метода заключается в том, что часто в условиях задачи фигурируют величины разного порядка – среди
них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается
настолько, что становится возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, второй – в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Метод
нахождения этих поправок и называется теорией возмущений.
Итак, пусть оператор Гамильтона некоторой квантовой системы является стационарным
(не зависит от времени) и имеет вид Hˆ = Hˆ 0  Vˆ , где Vˆ - малая величина, которую в дальнейшем мы будем называть возмущением. Пусть далее, все, что связано с невозмущенным гамильтонианом, нам известно
Hˆ 0 n(0) = En(0) n(0)
(1)
Спектр собственных значений и собственных функций гамильтониана Ĥ 0 может быть как дискретным, так и непрерывным.
Рассмотрим теперь уравнение Шредингера для возмущенного гамильтониана квантовой
системы
Hˆ  = E
(2)
Любое собственное состояние гамильтониана Ĥ можно разложить по собственным функциям
{ n(0) }
 = Cm m(0)
(3)
m
где Cm - некоторые коэффициенты. Подставим это выражение в уравнение Шредингера (2). В
результате получим:
C
m
m
( Hˆ 0  Vˆ ) m(0) = E Cm m(0)
m
1
(4)
Теперь умножаем (4) на функцию  k(0)* и интегрируем по всем переменным, от которых зависят
собственные функции (При этом мы воспользовались ортнормированностью собственных
функций невозмущенного гамильтониана
dq
 m(0)   km )
(0)*
k
В результате этих преобразований возмущенное уравнение Шредингера (4) принимает следующий вид:
Ck ( E  Ek(0) ) = VkmCm
(5)
m
В правой части получили матричный элемент от оператора возмущения с собственными функциями невозмущенного гамильтониана:
Vkm = dq k(0)*Vˆ m(0)
(6)
Считаем, что все, что связано с Vˆ , мало. По малым матричным элементам будем делать разложение, которое, фактически, представляет собой ряды Тейлора для функций малого параметра
Cm (V ) и E (V ) :
Cm = Cm(0)  Cm(1) 
E = E (0)  E (1)  E (2) 
(7)
.
В нулевом приближении ( Vˆ  0 ) формулы (7) должны привести к решениям невозмущенного
уравнения { n(0) } и En(0) . Поэтому в нулевом порядке по возмущению коэффициенты разложения
таковы
Cn(0) = 1; Cn(0) k = 0
(8)
Будем искать поправку к энергии и волновым функциям, относящимся к невырожденной части
спектра. В первом порядке по малому возмущению имеем.
Для k = n :
Cn(0) En(1) = VnnCn(0) ;
En(1) = Vnn .
(9)
Из формулы (9) заключаем, что поправка первого порядка к энергии m уровня равна
среднему значению возмущения в состоянии  m(0) .
Для k  n :
2
Ck(1) ( En(0)  Ek(0) ) = VknCn(0) ;
Ck(1) =
Vkn
.
E  Ek(0)
(10)
(0)
n
Знаменатель здесь не равен нулю, поскольку по условию уровни энергии невозмущенной системы являются невырожденными. Положим Cn(1) = 0 .
Vmn
 m(0)
(0)
 Ek
mn E
 =  n(0)  
(0)
n
(11)
Эта функция должна быть нормирована, так как нормированы невозмущенные волновые
функции. Легко проверить, что функция (11) нормирована не точно, а только с точностью до
членов первого порядка. Отличие условия нормировки от единицы, как это следует из (11) составляет
| Vmn |2
 (0) (0) 2
m  n ( En  Ek )
т.е. величину второго порядка по возмущению. А поскольку функции (11) находились в первом
порядке по возмущению, то дополнительно «поднормировать» эти функции нельзя (это было бы
превышением точности). Такая ситуация неудивительна, поскольку собственные функции находились приближенно.
Условие применимости полученных формул - малость вычисленных по теории возмущений поправок по сравнению с основными слагаемыми. Как следует из формулы (11), поправка
мала, если
| Vmn | | En(0)  Ek(0) |
(12)
Рассмотрим поправку второго порядка к энергиям уровней. Для k = n имеем из формулы (5) для
поправки к энергии:
Cn(0) En(2) = VmnCm(1)
(13)
m
Отсюда находим поправку второго порядка к энергии уровней
VnmVmn
(0)
(0)
m  n En  Em
En(2) = 
(14)
Из-за эрмитовости оператора Vˆ формулу (14) для поправки второго порядка к энергии можно
переписать в более компактном виде:
(2)
n
E
| Vmn |2
=  (0)
(0)
m  n En  Em
3
(15)
Обратим внимание на то, что суммирования в (11), (15) проводятся по всем собственным
состояниям оператора Ĥ 0 за исключением того состояния, к которому ищутся поправки. Поэтому нигде в этих формулах знаменатели не обращаются в нуль. Если же спектр собственных
значений невозмущенного гамильтониана Ĥ 0 является вырожденным, то условие применимости теории возмущений (12) нарушается для любого, сколь угодно малого возмущения, и полученными формулами пользоваться нельзя. В этом случае следует использовать несколько другой вариант теории возмущений, который принято называть теорией возмущений при наличии
вырождения и который будет рассмотрен в следующих лекциях.
Формулы теории возмущений для поправок к энергиям и волновым функциям стационарных состояний можно обобщить и на случай наличия у невозмущенного оператора Гамильтона
Ĥ 0 непрерывного спектра собственных значений (при этом речь по-прежнему идет о поправках
к энергиям состояний дискретного спектра – в случае непрерывного спектра любая энергия –
собственное значение). В этом случае в правые части (11), (15) должен быть добавлен интеграл
по состояниям непрерывного спектра. Можно также получить формулы и для поправок теории
возмущений к энергиям и волновым функциям стационарных состояний более высокого порядка. Нам эти формулы далее не понадобятся.
Обратим внимание на еще одно важное обстоятельства, которое часто используется в тех
или иных рассуждениях. Поскольку в числителе каждого слагаемого формулы (15) – неотрицательная величина, и энергия основного состояния невозмущенного гамильтониана меньше энергии любого другого E0(0)  Em(0) , то поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна. Поэтому, если поправка первого порядка к энергии основного состояния равна нулю, то энергия основного состояния понижается, независимо от того, какое на систему
действует возмущение.
Формулы (9), (11), (15) позволяют находить поправки первого и второго порядка к энергии
невозмущенного собственного состояния и поправку первого порядка к собственной функции.
Для того, чтобы эти соотношения были справедливы, поправки должны быть малы. Условием
применимости теории возмущений является неравенство (12), которое накладывает ограничение
на величину возмущения. Из неравенства (12) следует, что соотношения теории возмущений (9),
(11), (12) неприменимы в том случае, когда то собственное состояние невозмущенного гамильтониана, к которому ищутся поправки, является вырожденным, то есть когда существует собственное состояние k гамильтониана Ĥ 0 , отличное от n , но отвечающее тому же собственному
4
значению En(0) , что и состояние n . Поэтому соотношения (9), (11), (15) принято называть теорией возмущений без вырождения.
В следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории возмущений к вычислению энергий и волновых функций стационарных состояний ряда задач.
5