120103 Лекции ТФПиГ 2012

ТЕОРИЯ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ
Основной объект исследования – внешнее гравитационное поле Земли и
планет.
Цель – необходимые знания и навыки о гравитационном поле для
решения задач по определению координат ИСЗ, для решения геодезических
задач, для изучения гравитационного поля планет, знать фигуру этих планет.
Изучение внешнего гравитационного поля Земли необходимо для
оборонных нужд, навигации, геофизики, для определения фундаментальных
геодезических постоянных. Для решения задач небесной механики.
Фигура Земли и планет сложились под действием силы тяжести, поэтому
изучение формы Земли и планет по их гравитационному полю является
естественной и оправданной задачей.
Сила тяжести и ее потенциал



   
(1)
g  F  P  Фс  Фл  Фпл  Фмв
 


где F - вектор силы тяготения; P - вектор центробежной силы; Фс , Фл 
векторы притяжения масс Солнца, Луны; Фпл - вектор притяжения масс

планет; Ф мв - вектор притяжения масс Вселенной.
 
g  g  x, y, z , t  - функция четырех переменных, где x,y,z –
пространственные координаты; t- время. 

gFP
(2)

F  gradV ,

P  gradQ ,
где V - потенциал тяготения, Q – потенциал центробежной силы.

g  gradV   gradQ  grad V  Q 
V  Q  W

g  gradW
(3)
 W  W  W 



g  g xi  g y j  g z k 
i
j
k ,
x
y
z
W
W
W
 gx ;
 gy ;
 gz
x
y
z
Размерность потенциала [W] = кг ∙ м2 ∙с-2.
Потенциал силы тяготения Земли и планет
dm
V  f 
планета r

P  2  ,

Px  2 cos P, x  2 X 


Py  2 cos P, y  2Y 


Pz  2 cos P, z  0


P, z  900
Если Q – потенциал центробежной силы, то
Q
Q
Q
 Px ;
 Py ;
 Pz ,
x
y
z
 2  2
Q    x  y 2
.
2
 
Q=max на экваторе, где x=y=a; Q=0 на полюсе, где x=y=0.
 
 
 


 2Q  2Q  2Q
 2  2  2  2  0  22 .
2
x
y
z
 2V  2V  2V


0
x 2 y 2 z 2
Потенциал силы тяжести можно записать в виде суммы
d 2 2
W  f   
x  y2
r
2

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
V 


(9)
W  22
(10)
Потенциал силы тяжести обладает всеми рассмотренными в теории
потенциала свойствами потенциала
 тяготения. Исключения составляет то,
что при r   W   , так как P увеличивается с увеличением расстояния
(расстояние 39860 км).
Однако поведение силы тяжести на больших расстояниях от Земли нас не
интересует.
Для внутреннего поля Земли.
W  4f  22
(11)
Вектор силы тяжести связан с потенциалом силы тяжести соотношением
Wx

g  gradW  W y
,
(12)




.




(13)
Wz
где
W V Q


x
x x
W V Q
Wy 


y
y y
W V Q
Wz 


z
z z
Wx 
W
x
  f   3 d  2 x
x
r

W
y
  f   3 d  2 y
y
r

W
z
  f   3 d  0
z
r

 W 
(14)
g
n ,
n


где n - единичный вектор нормали. Направление n выражается единичным
вектором

n   g 1  g ,
(15)

где g  g  g x2  g 2y  g z2 .


Для сферических координат
cos  cos 

n  cos  sin 
(16)
sin 
Отношение Qmax к значению g на экваторе
Pэкв Pе 2 ае
1
,



g экв g е
gе
288.4
где ае - большая полуось экватора, при ае =6378,245 км , g e ==9,78049 м/с2,
ω=2π/86164.
Производная потенциала силы тяжести по любому направлению
Рассмотрим dW как перемещение точки M (x,y,z) по направлению l в
ближайшую соседнюю точку M ′(x′,y′,z′).
то
x′=x+dx , y′=y+dy , z′=z+dz
W
W
W
dW 
dx 
dy 
dz
x
y
z
Введем направляющие косинусы: cos (l,x), cos (l,y), cos (l,z), тогда
dx  dl cos (l , x) ,
dy  dl cos (l , y ) ,
dz  dl cos (l , z ) .
Подставим направляющие косинусы в выражение (17).
 W

W
W
dW  
cos (l , x) 
cos (l , y) 
cos (l , z ) dl .
y
z
 x

Так как
W
 g cos ( g , x) ,
x
W
 g cos ( g , y ) ,
y
W
 g cos ( g , z ) ,
z
(17)
dW  g  l cos ( g , x) cos (l , x)  cos ( g , y) cos (l , y)  cos ( g , z ) cos (l , z ) .

cos ( g ,l )
(18)
dW  g cos ( g , l )dl
W
(19)
 g cos ( g , l )  g l
l
Рассмотрим частные случаи уравнения (19).
 
1. l  g , тогда cos(l,g)=0, dW=0,  dW  C , W=C=const.
W(x,y,z)=C – уравнение поверхности.


В каждой точке этой поверхности g  W из свойства g  gradW .
Различным значения С соответствуют разные поверхности. Одна из таких
поверхностей на Земле совпадает с невозмущенной поверхностью воды в
океане. Эта поверхность в 1873 г. Листингом была названа геоидом.
Геоид – уровенная поверхность, совпадающая с невозмущенной
поверхностью воды и мысленно продолженная под континентом.
Геоид – уровенная поверхность, совпадающая с невозмущенной
поверхностью воды в океане и проходящая через начало счета высот.
 
 
2. l II g , тогда cos(l,g)=1; l II g , тогда cos(l,g)=-1.
W
 g l ; W  gl

l


3. Вектор l направлен по нормали n , тогда W  gh ; n  h
рис
W
,
(20)
g
то есть расстояние между двумя близкими уровенными поверхностями
обратно пропорционально силе тяжести.
h  n 
Рис
A
W  W0  W A   gdh
(21)
0
Уравнение (21) определяет геопотенциал.
A
hOA 
 gdh
O
g
- ортометрическая высота (теоретически неопределяемая).
Вторые производные потенциала силы тяжести
Wxx Wxy Wxz
W yx W yy W yz
Wzx Wzy Wzz
(22)
Тензор.
След этой матрицы – оператор Лапласа.
W  Wxx  Wyy  Wzz ;
W  22 - вне Земли;
W  4f  22 - внутри Земли.
Физический смысл производных:
g
g
g
.
(23)
Wxz 
; Wyz 
; Wzz 
x
y
z
W
 g.
z
Из уравнений (23) следует, что Wxz , Wyz , Wzz определяют скорость
изменения g по x,y,z по направлению осей X,Y. и Z.
Горизонтальный градиент силы тяжести можно вычислить по формуле
G  Wxz2  W yz2 .
(24)
g
,
S
где S - направление максимального изменения силы тяжести g.
В равнинных районах G  50  10 9 м  с 2 .
G
K  Wxz2  W yz2  Wzz2
Производные Wxx , Wyy , Wxy определяют форму уровенной поверхности
в точке.
ГЕОМЕТРИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
W = W(X,Y,Z)
Скалярное поле порождает векторное и наоборот.
Векторное поле характеризуется векторными (силовыми) линиями –
линии, касательные к которым во всех точках совпадают с направлением
силы тяжести.
Рис
В геодезии касательные к силовым линиям называются отвесными

линиями. g  g x , g y , g z
касается отрезка dh (рис
). g x , g y , g z
пропорциональны проекциям dx, dy, dz отрезка dh.


Рис
Или
dx dy dz
dx
dy
dz
.
(25)





g x g y g z W x W y W z
Уравнение (25)
- система дифференциальных уравнений, которая
характеризует всю совокупность силовых линий, если потенциал изменен.
Из (25) видно, что силовая линия определяется первыми производными
потенциала силы тяжести. Благодаря непрерывности первых производных,
силовые линии непрерывные функции всюду.
Кривизна уровенной поверхности
W = W(X,Y,Z)=const – некоторая поверхность.
Направим ось OZ вниз по нормали.
Рис
Z=f(x,y)
W = W(X,Y,Z(x,y))=const
(26)
Кривизна нормального сечения уровенной поверхности W одной из
нормальных плоскостей, которая лежит под углом φ к плоскости xMz/
Как известно из дифференциальной геометрии
1 2 z
2 z
2 z 2
2
(27)

cos   2
cos  sin   2 sin 
 x 2
xy
y
2z 2z 2z
,
,
.
x 2 xy y 2
Дифференцируя W по x, получаем
W  W  z 

   0
x  z  x 
 2W  2W z   2W   2W  z  W   2 z 



0
 
x 2 xy x  zx  z 2  x  z  x 2 
Откуда
2
 2W
 2W z  2W  z 
 2W   2 z 

2


0 .
 
xz x z 2  x 
x 2
z 2  x 2 
Так как на поверхности W=const, то
z
W
 2W
2z
0;
g; 2 g 2 0
x
z
x
x
Откуда
1
1
1
2z
2z
2z




 Wxy


W
;


W
;


xx
yy
g
g
2

x

y
x 2

y
 
 
g
Подставляя полученные выражения в (27), получим
1
1
  Wxx cos2   2Wxy cos  sin   Wyy sin 2  .

g


(28)
Из уравнения (28) видно, что Wxx , Wyy , Wxy характеризуют кривизну
нормального сечения уровенной поверхности, то есть геометрию уровенной
поверхности.
При φ=0 и φ=π/2 можно определить кривизну сечения в координатных
плоскостях (xz и yz соответственно).
1
Кривизну главных сечений, то есть у которых
 max , можно получить

дифференцируя (28) и приравнивая к 0.
где W  Wyy  Wxx .
 1 
  Wxy ,
tg0  
 W 
Кривизна силовой линии
Вектором кривизны силовой линии
называют предел отношения

единичного вектора n к приращению dh при стремлении последнего к нулю:


 dn
.

 dh

 1   2W   2W   2W   1  W  W  W    2W
(29)
 
i
j
k 
i
j
k 
 g  xh
yh
zh  g 2  x
y
z  h 2
Если OZ направить вниз, то
W W
W
 2W
 2W

0;
g;

x
y
z
xh
xz
Отсюда следует, что

 1   2W   2W  
 
i
j .
(30)
 g  xz
yz 
Уравнение (30) вычисляет кривизну силовой линии в поле силы тяжести,
которая является пространственной кривой.
Так как вектор кривизны силовой линии определяется через вторые
производные потенциала силы тяжести, то при пересечении силовой линией
масс с различной плотностью вектор кривизны будет меняться скачком.
Астрономо-геодезические измерения и сила тяжести
В геодезии силовые линии и уровенные поверхности всегда используют
для ориентирования инструмента, а методика геодезических работ всегда
предполагала использование гравитационного поля. В конце 18 –19 вв.
геодезические измерения выполнялись с такой малой
точностью и
охватывали незначительные площади, что не нуждались в изучении
гравитационного поля. Предполагалось, что поверхность океана имеет форму
эллипсоида вращения и все силовые линии совпадают с нормалями к этому
эллипсоиду. Поэтому сумма измеренных от уровня моря превышений
должна была дать высоту репера над эллипсоидом. Измеряемые в
триангуляции углы должны были быть равны углам на эллипсоиде между
направлениями проекций пунктов триангуляции. Измерения длин базиса
после приведения к горизонту должна быть равна длине дуги, параллельной
эллипсоиду.
В начале 19-го века обработка многих градусных измерений показала, что
кривизны различных дуг отличаются друг от друга значительно больше, чем
можно было ожидать, основываясь только на ошибках измерений.
Гаусс в 1823 г. писал: «Земля вообще не есть эллипсоид вращения, а
«волнообразно» отклоняется от эллипсоида, описывающе его в целом.»
Эта точка зрения нашла всеобщее признание
и фактически уже
предполагала, что отвесная линия направлена не по нормали к эллипсоиду, а
к другой
более сложной поверхности, которой является уровенная
поверхность потенциала сила тяжести и, которую в 1873 г . Листинг назовет
геоидом. В этом случае горизонтальные углы в триангуляции должны давать
углы на геоиде, а приведенные к горизонту базисы должны давать длины дуг
приближенные к геоиду. Астрономические координаты φ, λ должны
определять направление нормали к геоиду, а результаты нивелирования –
высоты земной поверхности над геоидом ( ортометрические высоты).
Такой взгляд на связь астрономо-геодезических измерений позволит
принять при обработке триангуляции метод развертывания. Градусные
измерения стали рассматривать как средство для определения кривизны
геоида к направлении ряда триангуляции. Именно в это время основную
задачу геодезии стали видеть не только в определении эллипсоида, но и
геоида.
Теорема Стокса
В 1849 г Стокс опубликовал две работы, посвященные гравитационному
полю Земли и определению геоида.
В первой работе доказывается, что изменение силы тяжести и зависимость
этого изменения от сжатия эллипсоида необязательно связывать с гипотезой
о гидростатическом равновесии Земли ( как в работе Клеро 1743 г.). Клеро :
Земля внутри состоит из сфероидальных слоев малого сжатия, имеющих
общий центр и общую ось вращения. Условия же равновесия должны
выполняться только для внешней поверхности, для всех точек которой сила
направлена по нормали. Для соблюдения этого условия достаточно, чтобы
один слой был жидкий.
Первая работа Стокса названа теоремой Стокса : если известна внешняя
уровенная поверхность σ потенциала силы тяжести, значение W0 на σ и
потенциал центробежной силы Q, то Wе и ge определяются однозначно ( вне
поверхности).
Вместо W0 можно задать массу тела М внутри уровенной поверхности.
Потенциал W0 в теореме считается известным, поэтому для определения
Wе достаточно определить Vе при краевом условии :
Vе│σ = W0 - Q│σ
А это задача Дирихле. Получив из решения задачи Дирихле Vе вне
поверхности:
Vе + Q = Wе ,
W
g .
n
Во второй работе Стокса поставлена ранее неизвестная задача – на
внешней уровенной поверхности σ потенциала силы тяжести известны
W
g
n 
как функции астрономических координат (g=g(φ,λ)) и значения W0 (φ,λ).
Требуется определить форму уровенной поверхности σ и Wе, причем Q
известна – это задача Стокса.
Стоксу удалось свести ее к третьей краевой задаче при условии
W
W0 
 f (, ) .
n 
решение основано на предположении, что искомый Wе близок к
некоторому заданному потенциалу U и определению подлежат лишь
небольшие разности
T= Wе – U ,
2
где Т -принебрегаемо мал;
U – нормальный потенциал;
Т – аномальный ( возмущающий) потенциал.
Задачу Стокса для определения потенциала Wе и формы геоида
использовать нельзя, так как g измеряется на физической поверхности Земли,
а не на геоиде. Вне геоида имеются притягивающие массы континентов. Для
решения задачи Стокса геоид нужно сделать внешним по отношению к
притягивающим массам (регуляризация геоида).
Стокс предложил редуцировать результаты измерений путем введения
поправок.
Первые производные потенциала определяют модуль силы тяжести и ее
направление (φ,λ). Поэтому изменение силы тяжести и изменение ее

направления n g между земной поверхностью и геоидом определить нельзя
без знания плотности масс между геоидом и земной поверхностью.
Теорема Молоденского
Трудности и неопределенности , возникающие при изучении геоида как
методом регуляризации, так и методом не регуляризированной Земли
подтолкнули научную мысль на поиски других путей определения фигуры
Земли.
В 30-х годах Джефрис показал, что по формуле Стокса приближенно
определяются элементы внешнего гравитационного поля , если измереннные
значения силы тяжести g редуцировать на геоид, пользуясь нормальным
2 0
значением
вертикального градиента силы тяжести. Им было
R
установлено, что поправкой в свободный воздухе достигается регуляризация
в первом приближении. В процессе дальнейших изысканий возник вопрос:
следует ли изучать фигуру геоида. В геодезии геоид играет роль лишь
вспомогательной поверхности.
В 1934-1936 гг. Красовский предложил при обработке триангуляции
использовать метод проектирования, который заключается в том, что после
редуцирования на геоид измеренных элементов производится второе
редуцирование на эллипсоид. В этом методе геоид как поверхность
относимости для триангуляции исключается. Однако, наличие геоида на
промежуточном этапе обработке вносит неизбежные погрешности из-за не
совершенствования каждого из этапов редуцирования.
В 1945 г. М.С.Молоденский предложил редуцировать триангуляцию сразу
на эллипсоид, минуя неизвестный геоид. В этом случае задача геодезии
состоит в определении физической поверхности Земли и внешнего
гравитационного поля, которая должна решаться без привлечения каких-либо
гипотез о внутреннем строении Земли.
Для понимания такого подхода Молоденский предложил две теоремы.
Первая теорема Молоденского
Известна поверхность S Земли с известным на ней приращением
потенциала W0 – WS относительно какой- либо точки О ( среднего уровня
моря в фудштоке) и известная угловая скорость вращения Земли около
неизменной оси однозначно определяет потенциал силы тяжести Wе и его
производные вне земной поверхности и на ней, если известна некоторая
постоянная масса Земли М или W0.
Если W0 – WS =0, то это терема Стокса.
Вторая теорема Молоденского
Известна поверхность S Земли с известным на ней направлением силы


g
тяжести n   , gS – g0 относительно какого-либо опорного пункта
g
(например, относительно гравиметрического пункта в Потсдаме), а также
известная угловая скорость вращения около неизменной оси ω= const
однозначно определяют потенциал силы тяжести Wе и его производные вне
земной поверхности и на ней, если известна некоторая постоянная масса
Земли М или g0. в опорном пункте.
Доказательство первой теоремы.
Предположим, что существует два внешних потенциала
W ′= V ′ + Q ,
(31)
″
″
W = V +Q ,
где Q – потенциал угловой скорости вращения, отвечающий условию
теоремы.
Рассмотрим
T= W ′ -W ″ = V ′ - V ″
Вне поверхности S
ΔТ (уравнение Лапласса) = 0 , так как
Δ V ′ =0 и Δ V ″ = 0 , то есть
Т – функция гармоническая и на бесконечности регулярная.
По условию теоремы необходимо, чтобы
W0′ - WS′ = W0″ - WS″ ,
Тогда
ТS = W0′ - WS″ = С
.
Применим к ТS формулу Грина, положив функции U=V=T
2
 T 2  T  2
T  
dT



  x    y    z   d   T dn dS ,
 
e 

где τе – внешняя область по отношению к Земле.
Учитывая (32) и (34), для выражения (35) получим
2
 T 2  T  2
T  



  x    y    z   d 
 
e 

.
 dV dV 
  C  

 d S
dn
dn

S
По теореме Гаусса
dV
 dn d S   4 f M
S
,
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
dV
,
(38)
d S   4 f M
dn
S
где M и M - массы, соответствующие внешним потенциалам тяготения
V  и V .
Если M и M - массы одной и той же земли то M = M .
В то же время W0′ и W0″ - два потенциала в одной и той же точке. По
определению они должны быть равны W0′ = W0″ .
Согласно (34) ТS = С = 0
2
 T 2  T  2
T  



(39)
  x    y    z   d  0 .
 
e 

Подынтегральная функция в (39) не может быть отрицательной, поэтому
в области τе вне S

 T   T   T 
         0 ,
 x   y   z 
откуда следует T = const всюду.
Однако, lim T  0 и W′ = W″ , то есть потенциал и его производные

определяются однозначно. Что и требовалось доказать.
Не смотря на важность теорем, они все-таки не дают решения задач
геодезии, так как предполагают поверхность Земли известной.
Однако, из первой теоремы заключаем, что известные S и W0 – WS
определяют однозначно внешний потенциал Wе и gS на поверхности S.
Из второй теоремы следует, что известные S и gS – g0 на поверхности S
однозначно определяют внешний потенциал Wе и приращение потенциала
силы тяжести W0 – WS на поверхности S.
Поэтому можно надеяться, что известные W0 – WS и gS – g0 на
поверхности S как функции от координат (φ,λ) определяют Wе и ее
поверхность S однозначно, если известны М или W0 , а так же угловая
скорость вращения ω.
Эту задачу на основании своих теорем решил Молоденский.
Если тело обладающее общей массой М вращается с постоянной угловой
скоростью около неизменной оси, то его внешний потенциал и форма тела
могут быть однозначно определены в единой системе координат по
измеренным в каждой точке поверхности Земли следующим величинам:
1. W0 – WS относительно какой-либо точки О ( среднего уровня моря
в фудштоке);
2. gS – g0 относительно какого-либо опорного пункта (например, в
Потсдаме);
3. астрономические координаты φ и λ.
Для однозначности необходимо знать:
1. массу Земли М и W0,, g0 ;
2. расстояние между двумя удаленными точками на Земле;
3. угловую скорость вращения ω.
Решение Молоденского имеет вид интегрального уравнения относительно
T= W – U
,
(40)
которое названо возмущающим потенциалом, у которого величиной T2
можно пренебречь.
Поверхность U – поверхность уровенного потенциала теоретической
(нормальной, модельной) Земли или модели Земли. Обычно - это потенциал
эллипсоида.
Исходными данными для определения внешнего потенциала силы
тяжести и поверхности Земли являются:
1. измерения силы тяжести относительным методом, которое
определяет gS – g0 на суше, море и в воздухе;
2. результаты нивелирования для определения приращения потенциала
силы тяжести на суше относительно среднего уровня моря W0 – WS
Так как
dW = gcos(l,g)dl ,
dW можно определить , если измерена сила тяжести g и угол (l,g). Этот угол
можно рассматривать как дополнение зенитного расстояния до 180 0, то
можно выполнить тригонометрическое нивелирование. В высокоточной
геодезии применяют геометрическое нивелирование, в котором
dh = cos(l,g)dl
с обратным знаком, то есть
dW = -g dh .
Имея по ходу нивелирования от точки О до точки А измеренную силу
тяжести g , можно вычислить разность потенциалов
W0 – WА= –  g dh ,
(41)
ОА 
W0 – WА в (41) называется геопотенциалом или геопотенциальным числом и
обозначается w.
Поверхности, имеющие равные значения геопотенциала, называются геоп
(w= const). На геоиде W0 – WА=0.
Для определения T= W – U во внешнем пространстве координаты (φ, λ)
необходимо знать только для отнесения измеренных W0 – WS и gS – g0 к
определяемой точке земной поверхности.
Для этих целей в настоящее время координаты (φ, λ) определяют не
только астрономическими методами.
Угловая скорость известна из точных астроизмерений.
2
, n = 86167.09S (средних секунд в звездных сутках).

n
Небольшие колебания оси вращения Земли фиксируется службой широт.
Триангуляция, астрономические определения φ и λ, а также
гравиметрическая съемка всей земной поверхности необходимы для
определения U, которые можно получить по наблюдениям орбит по оси
Oxyz.
НОРМАЛЬНАЯ
ЗЕМЛЯ
Термин «нормальная Земля» - традиционный среди геодезистов; слово
«нормальный» применительно к силе тяжести, высоте и потенциалу
означает, что данный параметр является предсказуемым, то есть его можно
вычислить по известным формулам.
Нормальная Земля – тело отсчета для построения карт высот, глубин
морей и так далее, причем, это тело должно описываться достаточно
простыми математическими формулами и, кроме того, достаточно хорошо
аппроксимировать физическую поверхность Земли.
При развитии плановой геодезической сети с точностью 10 -4 и ниже
отвесные линии считают ортогональными некоторой геометрической
простой поверхности. С повышением точности до 10 -5 – 10-6 необходимо
учитывать фактическое направление отвесных линий в местах измерения и
форму уровенной поверхности. В решении этой задачи гипотетические
уровенные поверхности, имеющие простые геометрические формы,
используются как координатные. Потенциал, который соответствует
геометрически простым уровенным поверхностям, называется нормальным и
обозначается U(xyz)= const.
Общепризнанно, что наиболее удобным геометрическим телом для
модели Земли является уровенный общеземной эллипсоид ( ОЗЭ). Его
гравитационный потенциал
U(ρ,θ) = U0 = const;
0
где ρ – радиус-вектор; θ = 90 – φ;
называется нормальным. Условия для выбора параметров нормального
потенциала ( нормальной Земли):
1
1. U 0  Vэ  2 x 2  y 2 ;
2 





Qэ
2. центр масс и ось вращения нормальной Земли (эллипсоида) совпадают
с центром масс и осью вращения реальной Земли;
3. угловая скорость вращения эллипсоида и реальной Земли должны быть
равны ωэ = ωЗ ;
4. Мэ = МЗ ;
5. Δ Vэ = 0 (удовлетворяет уравнению Лапласса);
6. Vэ должен быть регулярным на ∞, то есть lim Vэ  0 ;

7. зональный коэффициент разложения потенциала по сферическим
функциям второй степени J2 = –C2,0 эллипсоида и Земли равны J2э =J2З,
то есть αэ = αЗ (α – сжатие).
Значения параметров нормальной Земли обозначают индексом 0.
Перечисленные семь тождеств полностью и однозначно определяют
потенциал во внешнем пространстве, если заданы угловая скорость вращения
около неизменной оси, нормальный потенциал на эллипсоиде U0, большая
полуось и сжатие эллипсоида αэ.
Существует три способа определения нормального потенциала:
1. из решения задачи Стокса (определение по теореме Стокса);
2. метод Лапласса (разложение по сферическим функциям);
3. теорема Клеро.
Потенциал реальной Земли можно представить в виде разложения в ряд
по сферическим функциям

  a n
fM 
W , ,   
1     J n Pn cos  

  n 1  


(42)
fM



n
a 
1
     Cnm cos m  S nm sin m Pnm cos   2 2 a 2 sin 2 
n 1 m 1 
n
а – средний экваториальный радиус Земли.
Учитывая, что потенциал эллипсоида вращения содержит только зональные
гармоники, получим
 1
  a n
fM 
U ,  
1     J n Pn cos   2 a 2 sin 2  .
(43)
 2
  n 1  


Формула (43) – потенциал нормальной Земли (эллипсоида вращения).
Условия для выбора параметров нормальной Земли:
1. М0 = МЗ ;
2. J20 = J2З ;
3. ω0 = ωЗ ;
4. а = а .
Эти параметры подлежат уточнению по мере накопления данных.
Астрономо-геодезические исследования нуждаются в единой системе
фундаментальных постоянных.
fМ0 =G М0=(3986005 ± 3)·10 +8м 3с –2;
ω0 = 7292115·10 -11м;
а = 6378140 ± 5 м;
J20 = (108263± 1)·10 –8.
Теорема Стокса утверждает, что, если известна поверхность планеты,
являющейся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известна
также планетоцентрическая гравитационная постоянная fМ0 =G М0 и угловая
скорость вращения ω, то гравитационное поле может быть однозначно
определено во всем пространстве.
Число параметров, определяющих эллипсоид вращения равно двум
(большая и малая полуось). Отсюда следует, что необходимо знать всего
четыре параметра, а остальные определяются через геоцентрическую
гравитационную постоянную, угловую скорость вращения, большую полуось
и сжатие планеты.
В формулу (43) входит бесчисленное множество параметров. Однако,
теория показывает, что все стоксовые постоянные определяются через
упомянутые четыре параметра.
Поскольку последовательность J2, J3, J4,…. Jn для гидростатически
равновесных фигур убывает достаточно быстро, часто
в (43) для
нормального потенциала ограничивают первым членом суммы:
2
 1
fM 0 
0 а 
U ,  
1  J 2   P2 cos    2 2 sin 2  .
(44)

 

2
 


Отбрасывание малых членов в разложении потенциала приводит к тому,
что поверхностьU(ρ,θ)=U0=const, строго говоря перестает быть эллипсоидом.
Такую поверхность, близкую к сфере, называют сфероидом.
Уравнение сфероида запишем в виде:
2
 23
fM 0 
0 а 
1  J 2   P2 cos   
sin 2   U 0 .
 2fM 0
 



Уравнение (45) можно записать в виде
2
 1
fM 0 
0 а 
U0 
1  J 2   P2 cos    q sin 2  ,
 2
 



2 3
(45)
(46)

fM 0
0
так как q и J2 – малые величины порядка сжатия α, то
U
(47)
0   0
n
сила тяжести на сфероиде., n – нормаль к сфероиду.
Формула (47) – нормальное значение силы тяжести.
U0=С
(48)
Уравнение (48) – уравнение поверхности сфероида.
Для нахождения постоянной С в (48) достаточно взять какую-нибудь
точку на сфероиде и подставить координаты (ρ,θ) этой точки в правую часть
формулы (46). Для этой цели можно взять точку на экваторе, координаты
которой θ=900, ρ= а (а – большая полуось экватора).
Тогда
fM  J 20 q 
U0 
1

,
(49)
а 
2 2 
q
2
q
J 20   
3
3
С точностью до малых величин 1-го порядка α. Отсюда следует:
3
q
  J 20 
2
2
C  Am


1
2 a 3  q 
2

 2   
 1    ,
2
3 fM 0  7 
m0 a 2
где С – полярный (главный) момент инерции;
A B
– средний момент инерции осей A и B.
Am 
2
fM  Am  C q 
U0 
 ,
1 
а  2M 0 a 2 2 
Удерживая члены 1-го порядка малости, можно записать
J 20
(50)
(51)


 q
Am  C  3

2
  sin 2   Am  C  q ,
1
cos


1
а
2
 2
2M 0 a 2  
2M 0 a 2 2

 P cos 

 2

Отсюда получим уравнение сфероида
  3C  Am  q  2 
(52)
  а 1  
  cos  .
2
2
  2M 0 a

Уравнение (52) – уравнение сфероида Клеро.
Этот сфероид можно рассматривать как нормальный.
С точностью до малых величин 1-го порядка малости (которые имеют
порядок сжатия Земли) можно считать, что сфероид Клеро совпадает с
эллипсоидом
3C  Am  q

 .
(53)
2
2M 0 a 2
Подставив выражение (53) в (50) и (49), получим
fM   q 
U0 
1 
.
(54)
а  3 3 
U0 в формуле (54) – потенциал на сфероиде.
Продифференцировав (54) по ρ= а, получим
U
fM 
3
5



1



q

q    cos  ,
(55)
2





2
2
а 

при θ=900 – φ.
Если θ=900 , то на экваторе
fM 
3 
 е  2 1    q  .
(56)
2 
а 
Если θ=00, то на полюсе
fM
 р  2 1  q  .
(57)
а
 р  е 5
(58)
 q  .
е
2
Формула (58) гравитационное сжатие Земли.
аb
  – сжатие планеты, отсюда следует
а
5
(59)
    q.
2
Если  , то
е


   е 1   sin 2  ,
где φ =90 – θ.
0
(60)
Уравнение (60) – первая теорема Клеро, которая устанавливает связь
между положением точки на эллипсоиде (φ) и значением силы тяжести в этой
точке γ = γ (φ).
Уравнение (59) – вторая теорема Клеро , которая позволяет определить
параметры сжатия α и β , если измерена сила тяжести в точке с широтой φ.
Из семи параметров (γе, а, fM,W0, α, β и ω), определяющих нормальный
потенциал, достаточно знать только четыре, так как приведенные выше
формулы позволяют найти все остальные.
   е 1   sin 2  ,
5
    q,
2
3 

fM 0   е а 2 1    q  .
2 

Однако приведенные формулы уже в конце
XIX века перестали
удовлетворять геодезистов из-за недостаточно хорошего приближения к
условиям реальной Земли.
Для решения задачи Молоденского определение нормального потенциала
Земли основано на решении задачи Стокса для эллипсоида вращения. Эта
проблема формулируется следующим образом.
Дана общая масса М, угловая скорость ω и форма внешней уровенной
поверхности в виде эллипсоида вращения, то есть
x2  y2 z 2
 2  1.
(61)
a2
b
Требуется определить потенциал уровенного эллипсоида U0.
Нормальная сила тяжести
а е cos2 B  b p sin 2 B
 0 В  
,
(62)
2
2
2
a cos B  b sin B
где В – геодезическая широта.
Уравнение (62) – формула Сомильяна 1929 г.
В таком виде формулой (62) пользоваться неудобно, поэтому ее
преобразовали и получили приближенную формулу до величин второго
порядка малости, то есть включая ошибки α2.
Эта формула имеет вид
 0   е 1   sin 2 B  1 sin 2 2 B ,
(63)
 p  e
где  
;
e
1
1
1   2  .
8
4
Эту формулу в настоящее время представляют в виде разложения по
сферическим функциям
 0 В    е а0  а2 Р2 sin B   a4 P4 sin B  ,
(64)




1
8
a0  1    1 ;
3
15
2
8
a2    1 ;
3
21
32
a4  1 .
33
где
Пицетти получил новую формулу, в которой устанавливается строгая
связь между формой уровенного эллипсоида вращения
(α), угловой
скоростью ω и γр γе , имеющая вид:


 3e  2e3  3 1  e2 arctg e 
 р а   р b   ab1 
,





3

e
arctg
e

3
e


2
(65)
где e  a 2  b 2 b – второй эксцентриситет;
e3 e5 e7
.


3
5
7
Если потенциал обозначим U0., то
arctg е  e 
fM
a
a2  b2 1
U0 
arctg
 cos2 a 2 .
a a2  b2
b
3
Преобразовав до членов порядка α3 включительно, получим
(66)
1
8 3
 2

U 0   e a 1     2 
  ... 
5
105
 3

(67)
11 2 2  24
236 2

  a 1   
  ...
6
2695
 77

Для определения разности главных моментов инерции эллипсоида
вращения получена формула:
25
 9

3 f C  Am   fM 0 a 2 2   2  2 a 5  1     2  ... . (68)
49
 7



Вертикальный градиент нормальной силы тяжести
Формулы для вертикального градиента реальной силы тяжести и векторы
кривизны силовой линии
 1
 2W
1 

(69)

g

 2  2f ,
 Rx R y 
z 2



 1   2W   2W  
 
i
j
.
(70)
 g  xz
yz 
В этих формулах ось z совпадает с направлением силы тяжести g, оси x и y
направлены произвольно, Rx и Ry – радиусы кривизны сечений уровенной
поверхности плоскостями (XZ) и (YZ).
Воспользуемся этими формулами для вычисления вертикального
градиента нормальной силы тяжести γ и вектора кривизны нормальной
силовой линии в точке, расположенной на уровенном эллипсоиде. Для этого
ось Z направим по нормали к эллипсоиду, ось X – по касательной к
меридиану на север, ось Y – по касательной к параллели на восток. При этом
Rx и Ry – радиусы кривизны меридиана. В высшей геодезии Rx =М, Ry=N.
РИС
Rx  M 
Ry  N 

a 1  e2
1  e
1  e

2
2
sin B
a

2
2

sin B
3
1
,
2
,
2
ab
- первый эксцентриситет.
b
Дифференциалы дуг меридианов равны:
MdB=dx ,
cosB·NdL=dy .
Тогда уравнение (69) примет вид:
 2W 
1
 1
2





  2 ,
2
z
z
M N
 
 2  e 2  2e 2 sin 2 B  22 .
z a

В уравнении (72) значение
- вертикальный градиент.
z
Подставляя численные значения в (72)
2

 7,2921151467  10  5 рад / сек ,
T
g  0,003468 ,
где e 

e 2  2 ,
a  6,4  10 6 м ,
  9,81 м / c 2 ,

(71)
(72)
получим

(71)
 0,30855 1  0,00071 cos2 B   10  5 мГал / м .
z
Выражение (73) позволяет определить вертикальный градиент
нормального значения силы тяжести.

Величина
мала, второй член в скобке выражения (73) мал и
z
учитывается лишь при больших высотах. Порядка 5-10 метров.

При высоте до 1 км
 0,3086 мГал / м .
z
С помощью уравнения (73) можно вычислить нормальное значение силы
тяжести над эллипсоидом, то есть

   0  H   0  0,3086 H .
z
Нормальное значение геопотенциала можно вычислить по формуле:
U 0  U A    0  0,3086 H dH .
рис
Вектор кривизны нормальной силовой линии
Учитывая вышеперечисленные формулы

 0  
 1  1  0 
1

i

j .
(74)
  0  M B
N cos B L 
 0 
1
Так как  0 не зависит от L и
j  0 , то
N cos B L

 1 1  0 

i .
(75)
  0 M B
Вектор кривизны совпадает с направлением положительной оси X и,
следовательно, силовая линия нормального поля – плоская кривая, лежащая в
плоскости меридиана и обращенная вогнутостью к полюсу.
Рис
1 
 sin 2 B,
 R
  0,005302 ,
R  6370 км ,
тогда для В=450 кривизна силовой линии нормального поля ρ=1200000 км.
КООРДИНАТЫ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ
Только одна поверхность, принадлежащая семейству уровенных
поверхностей нормального потенциала, - эллипсоид вращения (сфероид). Все
остальные уровенные поверхности называются сферопы.
Семейство сферопов и силовых линий нормального поля могут быть
использованы в качестве координатных поверхностей и линий, так как
нормальный потенциал U известен.
Для определения сферопа достаточно знать U 0  U A в точке А. Для
определения положения точки А на сферопе достаточно знать направление
нормали к сферопу, касательной к силовой линии. Оно определяется
долготой LA и ВnА :
cos Bn cos L

(76)
n  cos Bn sin L .
sin Bn
Зная LA и ВnА и U 0  U A можно определить длину отрезка между силовой
линией и точкой А.
РИС
Hn


 

2
~
  e 1   sin Bn  1 sin 2 Bn  H  dH  cр  H ,
0
~
-среднее значение γ на отрезке АА0 .
cр
Координатами точки могут служить (B, L, Hn) или (B, L,(U0-UA)).
U0  U A 

Рис
Переход от одних координат к другим осуществляется по следующим
формулам:
H
.
(77)
Bn  B0 
 sin 1
1 
подставляя  sin 2 B в формулу (77), получим:
 R
 H
(78)
Bn  B0 
sin 2 B ,
R sin 1
при Н=8 км Bn  B0 ''  0,0008 '' sin 2B .
Поэтому
Bn  B0 
или
 H
sin 2 B
R sin 1
Bn  B0  0,171H sin 2 B .
Hn  H0 
 2  H n3
6R 2
sin 2 B
(79)
Hn
 Bn  B ,

Hn
 sin Bn  B  ,

H n  H Bn  B 3

.

3!
При Н=10 км, Нn-H<0,01 мм.
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА И
ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Для определения внешнего гравитационного поля и поверхности Земли в
настоящее время используют одну отсчетную поверхность - референцэллипсоид.
Относительно этого эллипсоида координаты (B, L, Hn) определяются и
положение пунктов земной поверхности и потенциал силы тяжести. Поэтому
считают, что уровенный эллипсоид нормального потенциала совпадает с
референц - эллипсоидом, принятым для обработки геодезических измерений,
то есть будут определены U0 на эллипсоиде и масс М0 эллипсоида,
создающего нормальный потенциал U.
Как показал Н.Г. Мигаль (1949г.) земную поверхность и внешний
потенциал можно определить относительно любой координатной
поверхности. Геодезическая задача по определению W будет определена
полностью для любой точки с координатами (B, L, H). Можно вычислить его

значения и производные (W)h и направление силовой линии n g
Если потенциал W определен, то можно решить обратную задачу:
определить из измерений значение потенциала W W0  W   gdh и
направление отвесной линии в какой – либо точке :
cos  cos 

n g  cos  sin  .
sin 
Используя полученные значения, можно вычислить геодезические
координаты (B, L, H) в этой точке.
Если внешний потенциал W близок к нормальному U, то для определения
W в какой-либо точке достаточно найти в этой точке небольшую величину,
которую назвали возмущающим потенциалом:
T ( B, L, H )  W ( B, L, H )  U ( B, H ) .
(80)
T
T
 1,6  10  5 , тогда величинами Т2 и T
Если
можно пренебречь.
W
e
Направление отвесной линии оказывается близким к направлению нормали
эллипсоида. Отсюда следует, что квадратами углов между этими линиями
 ^
ng nэл можно пренебречь. Тогда
 
W
W
 g ;
 g cos(ng nэл ) ,
h
H
где H – геодезическая высота, совпадающая с нормалью, h – высота,
полученная из геометрического нивелирования.
^
2
 ^
ng nэл
  ^ 
n n 
g эл
  5  10  6 .
 1 ; 
 2 




Нормальные высоты поверхность Земли в первом приближении
Для определения геодезической высоты H точки М нужно знать
нормальный потенциал U 0  U М .
РИС
Но по результатам измерений определяется только действительный
потенциал W0  WМ   gdh .
Если бы гравитационное поле Земли совпадало бы с нормальным полем, а
нормальный потенциал на эллипсоиде U0 равнялся бы потенциалу Земли в
футштоке, то необходимый для вычисления нормальный потенциал равнялся
бы действительному потенциалу W0 и геодезическая высота определялась бы
по формуле:
W W
(81)
H   0~ M ,
ср
где ~ср - среднее значение нормальной силы тяжести; Н γ – нормальная
высота.
Из –за отличия гравитационного поля от нормального высота,
вычисленная по формуле (81) не равна геодезической высоте НГ .
Рис
Уровенная поверхность эллипсоида, посчитанная по
U N  U 0   gdh ,
0N
WM  W0 
 gdh .
0M
Расстояние до сферопа
U N  U0 
 gdh
.
0N
Расстояние до сферопа до эллипсоида U0= U на широте φ – называется
нормальной высотой:
1

(82)
HМ
 ~  gdh ,
ср


 H 
2
2
~
где ср   e 1   sin B  1 sin 2 B 
- среднее значение нормальной
H 2
силы тяжести на середине нормальной высоты.
Преобразуем выражение (82), выделяя главную часть и ряд небольших
поправок.
Главная часть  gdh в первом приближении g   и
0М
H 
 gdh .
(83)
0M
Из нивелировок и гравиметрических измерений определяем нормальную
высоту, близкую к сумме измеренных превышений. Если отложить от
эллипсоида высоту, вычисленную по формуле (83), то получим новую точку
N1' . Полученная поверхность называют поверхностью Земли в первом
приближении или гипсометрическая поверхность или теллуроид.
Рис
Расхождение Н  Н   150 м .
Связь возмущающего потенциала с поправками в нормальные высоты.
Н


,  ,  можно рассматривать как главные части искомых геодезических
координат, то есть поставленная задача будет решена, если определили
В    
L    
,
(84)
HГ  H   
где ζ – расстояние между уровенной поверхностью нормального потенциала
U N  U 0   gdh и уровенной поверхностью действительного потенциала
0N
WM  W0 
 gdh .
0M
Значение нормального потенциала в точке М равно UM = WM-T , а
расстояние между уровенными поверхностями можно получить как
U UM
.
 N
N
Отсюда
 1


1 

U 0   gdh  W0   gdh  TM   TM  U 0  W0  . (85)
 N 
0M
0M


 
Уравнение (85) – формула Брунса (1878 г.). Нормальный геопотенциал U 0  U M  W0  WM   TM  U 0  W0  .
(86)
М.С. Молоденский предложил:
1. U 0  U N  W0  WM , что позволяет определять геодезическую высоту

точки N, то есть H NГ  H M
;
2. U N  U M  TM  U 0  W0 , что позволяет определять разности между M
и N , то есть MN   .
Тогда геодезическую высоту можно вычислить по формуле, состоящей из
двух слагаемых:
H MГ 
1
M
1
 gdh   TM
0M
N
 U 0  W0 
.
(87)
HГ H 
Связь возмущающего потенциала с составляющими уклонений отвеса
Рис
Уклонение отвесной линии – угол между направлением отвесной линии и
направлением
нормали
к
эллипсоиду
(относительные
астрономогеодезические – нормаль к референц – эллипсоиду; абсолютные
общеземные – нормаль к общеземному эллипсоиду; гравиметрические –
нормаль к уровенному эллипсоиду).
Наиболее удобно уклонения отвеса определять проекциями его на
плоскости меридиана и первого вертикала нормального поля.
Если g отклоняется от  на юго-запад, то   0 и   0 .

- составляющая уклонения отвесной линии в плоскости
меридиана;  - составляющая уклонения отвесной линии в плоскости
первого вертикала.
  B    
  L     sec B
gy
g
tg   x ; tg  
g
g
gx
1 W
1  U T 

 


g
g x
g  x x 
gy
1 W
1  U T 


  

g
g y
g  y y 
U
U
Но
и
на поверхности равны нулю. Значения уклонений отвесной
x
y
линии в плоскости меридиана и плоскости первого вертикал не превышают
одной минуты:   g z .
Тогда
1 T
1 T
.
(88)

; 
 x
 y