Решение трехмерной задачи электромагнитного каротажа

Е. В. Хиценко
Baker Hughes Incorporated
(Россия, 630128, Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4А,
тел. (383) 3329443,
Е-mail: elizaveta.khitsenko@bakerhughes.com)
Трехмерное моделирование в задаче электромагнитного
каротажа для оценки влияния эксцентриситета
Аннотация. Рассматривается моделирование электромагнитного поля в случае
смещенного относительно оси скважины каротажного зонда. Предполагается, что среда
осесимметрична относительно скважины, а трехмерность в задачу вносит только
смещенный зонд, который имеет плохо проводящий корпус цилиндрической формы.
Задача решается в предположении квазистационарности электромагнитного поля.
При трехмерном конечноэлементном моделировании очень острым является вопрос
размерности задачи. Для сокращения вычислительных затрат из трехмерного поля
выделяется осесимметричная часть, которая вычисляется в двумерной постановке с
высокой точностью. Оставшаяся часть находится при трехмерном моделировании на
достаточно грубой сетке. Для трехмерного моделирования используются векторные
базисные функции на шестигранных конечных элементах, для двумерного – скалярные
базисные функции на прямоугольных конечных элементах.
В работе приводятся примеры расчетов электромагнитного поля в зависимости от
величины эксцентриситета зонда и их анализ. Показано, что разработанный метод
позволяет моделировать поле смещенного зонда с достаточно высокой точностью и
может использоваться для исследования влияния эксцентриситета на измерения.
Введение. При инверсии данных каротажа необходимо учитывать смещение
зонда относительно оси скважины. Целью данной работы является разработка
метода моделирования, с помощью которого можно будет провести исследование
влияния эксцентриситета на измерения. Предполагается, что скважина
вертикальная и среда обладает осевой симметрией относительно оси скважины.
Смещенный зонд имеет плохо проводящий корпус цилиндрической формы.
В статье довольно подробно описывается метод моделирования:
рассматриваются математическая модель, вариационная постановка и
конечноэлементная аппроксимация на основе векторных шестигранных
элементов. Приводятся примеры численного моделирования, их анализ и выводы
по работе.
Математическая модель. Рассмотрим гармоническое электромагнитное поле,
возбужденное катушкой с током. Из уравнений Максвелла можно вывести

векторное уравнение для напряженности электрического поля E , которое при
зависимости от времени e  it в квазистационарном режиме имеет вид



rot rot E  i0E  i0 J
(1)
 – угловая скорость,  0 – магнитная проницаемость вакуума,  – удельная
где



электрическая проводимость среды, плотность стороннего тока J  0, J  ,0 .
0

T
Представим полное поле как сумму осесимметричной E  0, E r , z ,0

трехмерной E частей поля [1]

T
и
 

E  E0  E .
Получим уравнение для трехмерной части поля. Для этого вычтем уравнение
для осесимметричной части поля



rot rot E 0  i0 0 E 0  i0 J
из уравнения (1), получим



rot rot E   i0E   i0    0 E 0 ,
(2)
где  – это удельная электрическая проводимость осесимметричной среды. Эта
среда содержит зонд, ось которого совпадает с осью цилиндрической системы
координат. Проводимости скважины и зоны проникновения «размазываются» и
усредняются таким образом, чтобы отклик в полученной осесимметричной среде
был максимально близок к отклику исходной среды.
Для получения единственного решения необходимо задать краевые условия.
В геофизических приложениях обычно используют приближенные однородные
условия Дирихле, с учетом того, что граница достаточно удалена от источника и
среда резистивная. Мы будем следовать этому же подходу.
0
Вариационная постановка. Чтобы получить вариационную формулировку
краевой задачи для уравнения (2) умножим обе его части на пробную функцию

 , проинтегрируем по расчетной области  и применим первую векторную
теорему Грина [2] учитывая, что на всей границе заданы однородные условия
Дирихле, получим:

 
0 


0


rot
E
rot

d


i


E

d


i




E
d   H 0 rot ,  ,
0
0









3
3 
H 0 rot ,     L2  rot  L2  ,   n   0
где
–
это
пространство пробных функций.
Вариационное уравнение для осесимметричной части имеет следующий вид
  grad E gradd 

0
E

 r d  i  

2
0
0

0
0
Ed  i0  J d   H 01 ,
0
где

.
H 01    L2  0  grad  L2  0 ,    0
0
Конечноэлементная
аппроксимация.
В
двумерной
задаче
для
конечноэлементной дискретизации используются прямоугольники с узловыми
билинейными базисными функциями в цилиндрической системе координат. Мы
не будем на них останавливаться, а рассмотрим подробнее трехмерную задачу.
Поскольку расчетная область содержит объекты цилиндрической формы
(такие как катушка, зонд, скважина), в качестве конечных элементов были
выбраны шестигранники, которые в плоскости ху имеют криволинейные или
прямые ребра. Такие элементы позволяют с высокой точностью описывать
криволинейные границы без значительного измельчения сетки.
Рисунок 1. Квадратичный и линейный шестигранники
Рассмотрим два типа элементов: линейный шестигранник и квадратичный
шестигранник (см. Рис. 1). Для того чтобы построить на таких элементах
базисные функции, рассмотрим сначала отображение, переводящее шаблонный
3
куб  1,1 в координатах  , ,   в шестигранник в  x, y , z  координатах
x   xi  i  ,  ,
M
i 1
y   yi i  ,  ,
M
i 1
z  z1
1 
1 
,
 z2
2
2
где M  4 для линейного шестигранника и M  9 для квадратичного
шестигранника, xi , y i , z i – координаты i -той точки шестигранника  i –
соответствующие билинейные или биквадратичные интерполяционные полиномы
Лагранжа.
Это отображение должно быть однозначным и матрица Якоби
 x

 
 x
J 


 0



0 


0 

z 
 
y

y

0
должна быть невырожденной.


Определим базисные функции шестигранника  i через базисные функции  i ,
определенные на шаблонном кубе, следующим образом [3]



JT
rot i ,
 i  J i , rot  i 
det J
где
1

(3)

 i – это базисная edge-функция первого порядка. Такой способ задания

обеспечивает непрерывность только тангенциальной составляющей функции  i
на границах между шестигранниками. Таким образом, нормальная составляющая
может быть разрывна.
Конечноэлементное решение представляет собой линейную комбинацию
базисных функций. Если подставить её в вариационное уравнение, получим
систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
коэффициентов разложения. С учетом представления (3), элемент c ij матрицы
массы и элемент bij матрицы жесткости могут быть вычислены на шаблонном
кубе с помощью формул
1 1 1
 


cij   i j d     J 1i J 1 j det J ddd ,



bij   rot  i rot j d 

1 1 1
   det J J
1 1 1
1
T


rot i J T rot  j ddd .
1 1 1
Вычисление элементов матриц
квадратурных формул Гаусса.
производятся
численно,
с
помощью
Численный эксперимент. Для верификации разработанного метода
использовались следующие модели:
 двумерная среда, несмещенный зонд с учетом корпуса;
 двумерная среда, смещенный зонд без учета корпуса.
Рассматривались буровые растворы на нефтяной и водной основе, а также
соленый буровой раствор. Приведем пример численного моделирования
ситуации, когда зонд смещён относительно оси скважины. Модель состоит из
следующих объектов:
 скважина радиуса 0.108 м;
 зонд радиуса 0.045 м, длины 1.2 м, с сопротивлением 500 Омм;
 зона проникновения радиуса 0.5 м, с сопротивлением 1.3 Омм;
 пласт с сопротивлением 11 Омм.
Зонд состоит из одной генераторной катушки и нескольких пар приемных
катушек. В таблице 1 приведены расстояния между генераторной и приемными
катушками. Измеряемой величиной является разность фаз между сигналами на
катушках.
Таблица 1. Длины трехкатушечных зондов
Трехкатушечный
зонд
1
2
3
4
Длина, м
0.18,
0.28,
0.45,
0.70,
0.25
0.40
0.64
1.00
Моделирование проводилось для трех значений сопротивления бурового
раствора Rm: 2.4 Омм, 0.24 Омм, 0.024 Омм, на частоте: 1.75 МГц, при четырех
значениях эксцентриситета. Максимальное смещение, для которого проводились
расчеты, соответствует ситуации, когда расстояние между зондом и стенкой
скважины составляет 5 мм. Разность фаз была получена со средней относительной
погрешностью менее 0.5%.
При использовании разработанного метода в случае соленого бурового
раствора возникает следующая сложность. Требуется очень тщательно подбирать
осесимметричную среду, так как трехмерная часть поля может оказаться
достаточно большой и даже превышать осесимметричную часть. А для того,
чтобы метод позволял использовать грубые сетки для моделирования трехмерной
части, нужно чтобы эта часть была как можно меньше осесимметричной. Для
буровых растворов на нефтяной и водной основе такой проблемы нет. Даже если
не включать скважину в осесимметричную среду, трехмерная часть будет на 1-2
порядка меньше осесимметричной части.
По значениям разности фаз было вычислено кажущееся сопротивление. На
рисунке 2 изображено кажущееся сопротивление в зависимости от смещения
зонда для двух пар приемных катушек.
Из графиков видно, что смещение зонда существенно влияет на кажущееся
сопротивление. Проведенные расчеты показали, что для случая Rm=2.4 Омм эта
зависимость имеет один характер для всех зондов. В оставшихся двух случаях эта
зависимость может сильно меняться от зонда к зонду. Например, в случае
Rm=0.024 Омм, на коротком зонде с ростом смещения кажущееся сопротивление
растет, а на длинном зонде – уменьшается. На средних зондах наблюдается смена
характера зависимости. Кроме того, во многих случаях эта зависимость
неоднозначная. Очевидно, что необходимо корректировать измерения,
полученные на смещенном зонде, иначе можно получить неверные результаты.
Заключение. Разработан метод моделирования электромагнитного поля для
ситуации, когда каротажный зонд смещен относительно оси скважины.
Приведены примеры использования данного метода для расчетов. Показано, что
смещение зонда оказывает существенное влияние на измерения и необходимо их
корректировать.
2.50E+00
Кажущееся сопротивление, Омм
Кажущееся сопротивление, Омм
1.32E+00
1.29E+00
1.26E+00
1.23E+00
1.20E+00
1.17E+00
0.00E+00
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
2.40E+00
2.30E+00
2.20E+00
2.10E+00
2.00E+00
1.90E+00
0.00E+00
6.00E-01
Относительный эксцентриситет
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
6.00E-01
Относительный эксцентриситет
а) Зонд 2, Rm=2.4 Омм
б) Зонд 4, Rm=2.4 Омм
Кажущееся сопротивление, Омм
Кажущееся сопротивление, Омм
1.56E+00
1.50E+00
1.44E+00
1.38E+00
1.32E+00
1.26E+00
0.00E+00
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
2.55E+00
2.40E+00
2.25E+00
2.10E+00
1.95E+00
1.80E+00
0.00E+00
6.00E-01
Относительный эксцентриситет
в) Зонд 2, Rm=0.24 Омм
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
6.00E-01
г) Зонд 4, Rm=0.24 Омм
2.50E+00
Кажущееся сопротивление, Омм
Кажущееся сопротивление, Омм
2.00E-01
Относительный эксцентриситет
1.32E+00
1.28E+00
1.24E+00
1.20E+00
1.16E+00
1.12E+00
1.08E+00
0.00E+00
1.00E-01
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
Относительный эксцентриситет
д) Зонд 2, Rm=0.024 Омм
6.00E-01
2.35E+00
2.20E+00
2.05E+00
1.90E+00
1.75E+00
1.60E+00
0.00E+00
1.00E-01
2.00E-01
3.00E-01
4.00E-01
5.00E-01
6.00E-01
Относительный эксцентриситет
е) Зонд 4, Rm=0.024 Омм
Рисунок 2. Графики зависимости кажущегося сопротивления от эксцентриситета
Список литературы
1. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев В.С., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных
электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов // Изв. РАН. Физика
Земли. 1998. №10. С. 78-83.
2. Jianming Jin. The Finite Element Method in Electromagnetics.–New York, USA: Wiley, 2002. 753 p.
3. Monk P. Finite Element Methods for Maxwell's Equations.–Oxford, England: Oxford University Press,
2003. 450 p.