Эндогенная структура изолированного города

Эндогенная структура изолированного города
А.В.Сидоров*
Введение
Слабость традиционной теории городской экономики заключается в том, что она в
значительной степени основывается на модели моноцентрического города, основным
недостатком которой является неспособность описать эндогенный механизм
формирования ядер концентрации занятости, даже в случае одного центра. Более
естественным является предположение о том, что производство, как и расселение, может
осуществляться где угодно в изначально однородном пространстве. Тогда
моноцентрический город интерпретируется как результат полной кластеризации
производства.
В отличие от работ [Sullivan, 1986], [Wieand, 1987] и [Helsley, 1991], при нашем
подходе отсутствует экзогенность расположения и количества вторичных центров
производства. Изучаемая модель является вполне замкнутой моделью общего равновесия.
Формирование вспомогательных центров основано на естественном желании фирм
снизить бремя городских издержек, а не на постулируемой склонности потребителей к
большим торговым центрам, как в работе [Anas, Kim, 1996]. Предлагаемый подход в
целом близок к подходу, изложенному в работе [Cavailhes et al., 2007] за исключением
того, что мы отказываемся от упрощающего предположения о «линейном» городе в
пользу более реалистичной двумерной структуры.
1 Модель изолированного города
1.1 Пространственная структура
Вообще говоря, данная модель может использоваться и для анализа эффектов торговли
между несколькими регионами. Однако если торговые издержки слишком велики и
экспортируемые товары становятся неконкурентоспособными на «чужом» рынке, то в
экономике формируется автаркическое равновесие, при котором приходится
реализовывать товары на месте производства. В этом случае общее количество городов
роли не играет, поэтому в данной работе будет рассматриваться случай одного
Институт математики им. С.Л. Соболева, СО РАН, Новосибирский Государственный
Университет. E-mail: alex.v.sidorov@gmail.com. Работа выполнена при поддержке гранта
Правительства РФ №11.G34.31.0059t, гранта Консорциума Экономических Исследований
и Образования (EERC) №11-5111 и гранта РФФИ №12-06-00174-а.
*
урбанизированного региона, представляющего собой однородное в географическом плане
двумерное пространство.
Следствием этой однородности является круговая структура центральной зоны
расселения вокруг центрального делового района (Central Business District, далее – CBD),
равно как и зон вокруг вторичных деловых районов (Secondary Business Districts, далее –
SBD). Предполагается, что сами деловые районы не имеют значимого размера, а вся земля
используется под жилье. Все вторичные зоны расселения считаются идентичными, в
частности, имеющими одинаковый радиус. Как станет ясно из более подробного описания
модели, это предположение не является чрезмерным, поскольку отражает наиболее
эффективный способ расселения, минимизирующий транспортные издержки. В
дальнейшем индекс C будет использоваться для переменных, относящихся к CBD, в то
время как S будет характеризовать переменные, связанные с SBD. Без ограничения
общности мы можем сосредоточиться на одном репрезентативном SBD, ввиду их
идентичности. Размещение будет обозначаться двумерной переменной x  X 
2
,а
расстояние между двумя локациями x и y является евклидовой нормой
||x-y||. По предположению начало координат расположено в CBD, поэтому расстояния от
произвольной локации x до CBD равно ||x|| , а до SBD, расположенного в локации x S  0 ,
расстояние равно || x S  x || .
1.2 Работники
Население города составляют L работников с абсолютно неэластичным предложением
единицы труда. Их благосостояние зависит от потребления трех благ. Первое благо,
производимое фирмами в городе в условиях монополистической конкуренции и
возрастающей отдачи от масштаба, является горизонтально дифференцированным, а его
разновидности образуют континуум [0,n]. Второе благо является однородным и
эталонным (numeraire), т.е. его цена полагается равной единице. Предполагается, что
каждый потребитель располагает начальным запасом эталонного блага в объёме q0 .
Третьим благом является земля; без ограничения общности мы полагаем альтернативную
стоимость земли (например, при использовании ее в сельском хозяйстве) равной нулю.
Каждый житель имеет абсолютно неэластичный спрос на землю в размере единицы
площади.
Далее, пусть q(i) обозначает количество разновидности дифференцированного
блага i  [0, n] , а q 0 количество эталонного блага, запрашиваемого потребителем.
Располагаемый доход складывается из заработной платы и стоимости начального запаса
эталонного блага, за вычетом арендной платы за жилье и расходов на проезд до места
работы. Предполагается, что эти расходы линейно зависят от расстояния и заданы
величиной удельных транспортных затрат t>0. Тем самым, бюджетное ограничение для
работника фирмы, расположенной в CBD и живущего в локации x  X имеет вид:
n
 p(i)q(i)di  q
0
 wC  q0  R C (|| x ||)  t || x ||
(1)
0
где RC ( x) ставка арендной платы за землю в локации x (на самом деле она зависит лишь
от расстояния ||x|| до CBD), а w C ставка заработной платы работника в CBD. Аналогично,
бюджетное ограничение для работника фирмы из SBD, расположенного в локации x S ,
имеет вид
n
 p(i)q(i)di  q
0
 wS  q0  R S (|| x  x S ||)  t || x  x S || .
(2)
0
При этом, ставки арендной и заработной платы в SBD, вообще говоря, отличаются от
центральных.
В рамках своего бюджетного ограничения потребитель максимизирует полезность.
Мы предполагаем, что все потребители идентичны, а функция полезности
репрезентативного потребителя U (q0 ; q(i), i [0, n]) обеспечивает однозначную
разрешимость его задачи. На данном этапе исследования конкретный вид функции
полезности не играет особой роли, достаточно того, чтобы задача потребителя имела
единственное решение. Полученные в данной работе результаты являются
инвариантными относительно выбора функции полезности. В качестве примеров
использования конкретных функциональных форм можно упомянуть квазилинейную
квадратичную функцию Оттавиано (см, например, [Ottaviano et al., 2002])

n
2
 n
2

U (q0 ; q(i), i [0, n])    q(i)di   [q(i)] di    q(i)di   q0 ,
20
2 0
0

n
где   0 ,   0 ,   0 . Данная функция использовалась также в работе [Cavailhes et al.,
2007] для модели линейного города с двумя SBD. Другой тип функции, традиционный для
моделей Диксита-Стиглица

 1
n
 1
U (q0 ; q(i ), i  [0, n])    [q(i)]  di   q01 
0

использовался в работах [Tabuchi, 2009] и [Tabuchi, Thisse, 2006]. Здесь 0    1
совокупная доля расходов на дифференцированное благо, а   1 – постоянная
эластичность замещения разновидностей дифференцированного блага.
1.3 Фирмы
Предполагается, что для функционирования фирмы и производства произвольного
количества q(i) единиц разновидности дифференцированного блага i требуется
фиксированное количество  единиц труда.1 Ввиду возрастающей отдачи от масштаба
возникает взаимно однозначное соответствие между фирмами и разновидностями
дифференцированного блага. Поэтому, равновесное количество фирм при полной
занятости составляет n  L /  . Пусть  – доля фирм, расположенных в CBD, тогда доля
фирм в каждом из m идентичных SBD равна (1   ) / m .
Принципиальным отличием CBD от SBD является наличие некоторых
специфических локальных неторгуемых общественных благ и услуг, способствующих
более эффективному ведению бизнеса (например, маркетинговые, банковские и страховые
услуги). Отсутствие или недостаточная степень развития этих услуг в SBD приводит к
тому, что фирмы, размещенные на периферии, вынуждены нести дополнительные
коммуникационные издержки
K ( x S )  K  k  || x S || ,
где K и k положительные константы. Компонента K отражает фиксированные издержки,
связанные с отсутствием в SBD данных бизнес-услуг. Кроме того, эффективное ведение
бизнеса, как правило, требует регулярных личных контактов между представителями
фирм, размещенных в CBD и в SBD. Это приводит к дополнительным издержкам фирм из
SBD, связанным с этими контактами, которые зависят от расстояния || x S || между CBD и
SBD.
Через C (соответственно,  S ) обозначим прибыль фирмы, расположенной в CBD
(соответственно, в SBD). Тогда для фирмы, расположенной в CBD
C (i)  I (i)    wC ,
где I(i) – выручка фирмы от продажи запрашиваемого объема выпускаемой разновидности
блага, а w C ставка заработной платы работников в CBD. Аналогично, прибыль той же
фирмы составит
 S (i)  I (i)  K ( x S )    wS ,
Формально более общим является предположение о том, что при производстве единицы разновидности
дифференцированного товара дополнительно требуются затратить c  0 единиц эталонного товара.
Однако, без ограничения общности можно полагать с=0 (см., например, [Ottaviano et al. 2002]) .
1
если она выберет размещение в SBD, с учетом того, что ставки заработных плат в центре
и на периферии города могут (и будут) различаться. Это отражает компромисс, с которым
сталкивается фирма, выбирая место размещения, между дополнительными
коммуникационными издержками в SBD, и необходимостью платить более высокую (что
будет показано ниже) зарплату своим работникам в CBD.
Отметим, что само по себе наличие этих зон не означает, что они обязательно
будут заняты. Выбор фирмой своего местоположения является свободным и определяется
на основе учета всех затрат и выгод. Иными словами, внутренняя структура города носит
эндогенный характер.
2 Децентрализация производства
Равновесием в замкнутом городе является такое состояние, при котором
1. каждый индивид максимизирует свою полезность в выбранном месте поселения,
2. каждая фирма максимизирует свою прибыль в выбранном месте размещения,
3. на всех рынках достигается баланс спроса и предложения,
4. никто не имеет стимулов к перемене места размещения, т.е. возникает баланс
между различными типами издержек (для фирм) и ставками арендных и
заработных плат во всех районах города.
2.1 Рабочие места, арендные и заработные платы
В пределах города работник выбирает место работы/жительства, максимизируя функцию
полезности U (q0 , q(i); i [0, n]) при соответствующих бюджетных ограничениях (1) или
(2). Пусть  C ( x) и  S ( x) арендная плата в локации x  X , предлагаемая работниками из
CBD и SBD, соответственно. Земля передается индивиду, предложившему максимальную
ренту. Кроме того, согласно сделанному выше предположению, альтернативное
использование земли (например, в сельском хозяйстве) имеет нулевую альтернативную
стоимость. Тем самым, R( x)  max  C ( x),  S ( x), 0 .
Без ограничения общности мы полагаем, что репрезентативный SBD расположен
на положительной полуоси абсцисс. Обозначим через y радиус области образованной
местом поселения работников из CBD, а x S  0 характеризует расположение SBD. В силу
выбора начала координат и ориентации осей, это размещение теперь выражается
положительной скалярной величиной, равной расстоянию между SBD и CBD.
Предположим вначале, что доля фирм в CBD's  и количество SBD m являются
заданными. Тогда
y
L
L
(1   ) L
, xS 

.


m
(3)
Совокупные расходы на дифференцированное и эталонное благо в состояния равновесия
n
E   p (i )q (i )di  q0 должны быть одинаковы для любой локации, т.е.
0
wC  q0  R C ( x)  tx  E для CBD и wS  q0  R S ( x)  t | x  x S | E для SBD для любого x.
Кроме того, для работника, живущего в точке соприкосновения центральной и вторичной
зон расселения y, выполнено тождество RC ( y)  R S ( y)  0 . Отсюда
E  wC  q0  ty  wS  q0  t | y  x S | ,
что с учетом (3) эквивалентно
 L
(1   ) L 
wC  wS  t 

 .

m



(4)
Тем самым, различие ставок заработных плат в CBD и SBD в точности компенсирует в
равновесии разницу в транспортных расходах. Разница wC  wS положительна, если

1
, т.е. если численность населения зоны CBD превосходит численность население
1 m
каждой зоны SBD.
Наконец, в силу линейности транспортных расходов относительно расстояния для
произвольной локации x  X общая функция арендной платы имеет вид
 L

L
R( x)   C ( x)  t  
 || x ||  , при || x || y 

 

(1   ) L


R( x)   S ( x)  t  max i 0,
 || xiS  x || , при || x || y
m


(5)
(6)
где xiS  X , i 1,, m локации всех SBD.
Для того, чтобы модель стала экономически замкнутой, осталось ответить на
два вопроса: (а) откуда берется начальный запас q0 эталонного блага и (б) кто
присваивает арендную плату? Мы будем предполагать о том, что городская земля
находится в коллективной собственности горожан, и после сбора совокупной ренты она
равными долями распределяется между всеми жителями, финансируя приобретение
начального запаса эталонного блага q0 . Используя выражения (3), (5) и (6) получаем, что
q0 
1
t L  3/2 (1   )3/2 
R
(
x
)d
x


 
.
L X
3  
m 
(8)
2.2 Ставки заработной платы и структура города
Равновесные заработные платы работников как в CBD, так и в SBD определяются из
условия нулевой прибыльности C  I    wC*  0 и  S  I  K ( x S )    wS *  0 ,
соответственно. Отсюда
wC* 
и, следовательно, wC*  wS * 
K  kx S

I

, wS * 
I  K (xS )

. Сопоставив полученное равенство с (4) и
подставив из (3) выражение для x S , получаем соотношение:
(t  k ) m   L  K m  (t  k ) (1   ) L
(9)
из которого следует, что неравенство  t  k  0 является необходимым условием
существования решения. Отметим, что из противоположного неравенства  t  k следует
заведомая неэффективность вынесения производства на периферию, поскольку
предельные коммуникационные издержки настолько велики, что фирме выгоднее
компенсировать в зарплате транспортные издержки работников, живущих на окраине,
чем переносить производство к месту их проживания.
В дальнейшем будем предполагать, что выполнено неравенство  t  k  0 . В этом
случае определим следующие величины  
 K 2 (1   )2
t  k

 (0,1) и LM 
. Величина
4k 2
2
t  k
 характеризует относительную разницу между транспортными издержками t всех
работников фирмы и ее предельными коммуникационными издержками. Чем больше
значение  , тем сильнее стимулы к переносу производства из центра на периферию.
Содержательный смысл величины LM , равной максимальной численности населения, при
которой сохраняется моноцентрическая структура города, становится ясен благодаря
следующему утверждению.
Предложение 1.
i) Если L  LM , тогда уравнение (9) разрешимо лишь при m=0 и  *  1 , т.е. город
является моноцентрическим.
ii) Если выполнено L  LM , то при любом m  1 уравнение (9) имеет единственное
 1

,1 , т.е. существует единственное равновесное распределение
решение  *  
2
 1  m

фирм между CBD и всеми SBD. При этом равновесная доля фирм в CBD  * (m, L) ,
является убывающей функцией относительно численности населения L и количества
SBD m.
2.3 Эндогенизация количества SBD: возможные подходы
Предыдущие рассуждения проводились в предположении о том, что количество SBD
m  1 задано экзогенно. Изучим вопрос о возможности его эндогенного определения.
Ответ не столь однозначен и связан с характером «политики развития города»,
проводимой городскими «властями», ответственными за развитие города (так
называемые, «City Developers»). В частности, многое зависит от того, существует ли
принципиальная возможность введения в городскую структуру дополнительный SBD.
Если такой возможности нет, то мы остаемся в рамках модели с экзогенным числом m
(как, например, в работе [Cavailhes et al., 2007]) и эндогенность структуры города
сводится к эндогенности распределения долей фирм (и/или работников) между деловыми
районами. Возможны, однако, и другие ситуации, при которых происходит экстенсивное
развитие городской инфраструктуры.
2.3.1 Ограничение на размер
Предположим теперь, что размер зон расселения вокруг SBD ограничен в силу каких-либо
причин. Это могут быть как чисто географические причины, так и социальноэкономические. Например, если время пути к месту работы с окраины превышает
некоторое предельно допустимое значения, скажем 1.5-2 часа, то подобные социальные
издержки практически невозможно компенсировать низкой арендной платой или высокой
заработной платой. В этом случае можно снизить “издержки скученности” совершенствуя
городскую инфраструктуру, например, путем увеличения количества SBD.
Итак, предположим, что задан экзогенный параметр r S max , характеризующий
максимально допустимый радиус SBD. Тогда l S max    r S max  равно максимальной
2
численности населения SBD и условие допустимости можно записать следующим
образом:
lS
(1   * ) L S
 l max  1   *  max m,
m
L
где  *   * ( L, m) решение уравнения (9). По достижении границы допустимости, т.е. при
выполнении равенства 1   * 
l S max
m принимается решении о расширении структуры
L
города (увеличении m).
Предложение 2.
Минимально необходимое количество SBD

   K  (1   )
l S max
1 
*
m  S
L

l max 
2 k






2




На практике, разумеется, потребуется округлить значение m* вверх. Отметим, что
полученное выше выражение для m* является возрастающей функцией, как относительно
населения города L (что вполне естественно), так и относительно величины удельных
транспортных затрат t (отметим, что параметр  
t  k
является возрастающей
t  k
функцией относительно t). Оба этих теоретических вывода вполне согласуются с
эмпирическими свидетельствами (см. [MacMillen, Smith, 2003]).
2.3.2 Рост благосостояния и цена роста
Предположим теперь, что при принятии решения о возможном развитии городской
инфраструктуры (т.е. увеличения количества вторичных деловых районов с m до m+1),
городские власти исходят из соотношения известных им затрат на это развитие Dm и
выгод, выраженных в приросте благосостояния населения всего города
L   m  L  (Vm1  Vm ) . Величина Vm обозначает индивидуальное благосостояние жителя
полицентрического города с m  0 SBD (случай m=0 соответствует моноцентрическому
городу), определяемое следующим образом (см. [Cavailhes et al., 2007])
V  CS  w  q0  CU ,
где CS – излишек потребителя в равновесии, w – равновесная заработная плата, q 0 –
начальный запас эталонного товара, а CU – городские издержки, равные сумме арендной
платы и транспортных издержек.2 Заметим, что при L  LM 
 K 2 (1   )2

город
4k 2
2
останется моноцентрическим в любом случае, поэтому вопрос об эффективности развития
городской инфраструктуры путем увеличения числа m имеет смысл лишь в случае L  LM .
Предложение 3.
Для любого m  0 прирост благосостояния  m положителен и стремится к нулю при
m .
Таким образом, экстенсивное развитие городской инфраструктуры оказывает
положительное влияние на благосостояние жителей, однако этот эффект довольно быстро
сходит на нет. Как только снижающийся прирост общественного благосостояния L   m
станет меньше общественных затрат на развитие Dm (которые могут даже возрастать по
m), потенциал экстенсивного развития будет исчерпан и количество «эффективных» SBD
определится эндогенно.
2.4 Иерархическое «расширение» модели
Нетрудно понять, что количество вторичных деловых районов «равновесного» размера,
которые можно разместить без наложения, может быть весьма ограниченным. Является ли
этот теоретический максимум серьезным препятствием при исследовании данной модели?
Вовсе нет. Децентрализация размещения производства может развиваться вглубь,
формируя деловые районы более низкого ранга: третичные деловые районы (TBD),
четвертичные (QBD) и т.д.3 Рассмотрим подробнее трехуровневую модель, которая легко
обобщается на иерархии произвольной сложности. Пусть имеется m1 идентичных SBD,
каждый из которых окружен идентичными TBD в количестве m 2 . Далее, пусть 0
обозначает долю фирм, расположенных в CBD, 1 – доля фирм, расположенных в каждом
SBD, а  2 – доля фирм в каждом TBD.
Предложение 4.
Детальный анализ свойств функции благосостояния (в случае конкретной функциональной формы
предпочтений) см. в [Ottaviano et al., 2002].
3
По поводу теоретической и эмпирической обоснованности существования подобных структур см. [Tabuchi,
2009].
2
Если выполнено условие L  LM , то для любой иерархической структуры (m1 ,m2 )
существует единственное равновесие и соответствующие доли фирм равны
 2* 


1   0*  m11* *
1   0*
1
,1 
, где 0*  
,1 является корнем
2
2
2
m1m2
m1 (m2    1)
 1  m1  (m2    1) 
уравнения
(t  k ) m1 (m2   2  1) 0 L  K m1 (m2   2  1)  (t  k ) (1  0 ) L .
Таким образом, данная иерархическая структура по существу эквивалентна
двухуровневой модели с «эффективным числом» SBD meff  m1 (m2   2  1) . Дальнейшая
децентрализация вглубь приводит к тому, что последовательность чисел
meff  m1 (m2   2  1)(m3   2  1) (mn   2  1) неограниченно возрастает по n, даже если все
mi ограничены в совокупности. Таким образом, более глубокая степень децентрализации
производства может сделать несущественным формальное экзогенное ограничение сверху
на количество SBD.
Литература
A. Anas, I. Kim, (1996) General equilibrium models of polycentric urban land use with
endogenous congestion and job agglomeration, Journal of Urban Economics , 40: 217–32
J. Cavailhès, C. Gaigné, T. Tabuchi, J.-F. Thisse, (2007) Trade and the structure of cities,
Journal of Urban Economics, 62, pp. 383–404
R. W. Helsley, A. M. Sullivan, (1991) Urban subcenter formation, Regional Science and Urban
Economics, 21, 255-275
D.P. MacMillen, S. Smith, (2003) The number of subcenters in large urban areas, Journal of
Urban Economics 53 321–338
A. Sullivan, (1986) A general equilibrium model with agglomerative economies and
decentralized employment, Journal of Urban Economics, 20, 55-74
G.I.P. Ottaviano, T. Tabuchi, J.-F. Thisse, (2002) Agglomeration and trade revised, International
Economic Review, 43, pp. 409–436.
T. Tabuchi, (2009) Self-organizing marketplaces, Journal of Urban Economics, Elsevier, vol.
66(3), pp. 179-185
T. Tabuchi, J.-F. Thisse, (2006) Self-organizing Urban Hierarchy, CIRJE F-Series CIRJE-F-414,
CIRJE, Faculty of Economics, University of Tokyo
W. C. Wheaton, (1979) Monocentric models of urban land use: Contributions and criticism, in
‘‘Current Issues in Urban Economics’’ (P. Mieszkowski and M. Straszheim, Eds., Johns
Hopkins Press, Baltimore)
K. Wieand, (1987) An extension of the monocentric urban spatial equilibrium model to a
multicenter setting: The case of the two-center city, Journal of Urban Economics, 21, 259-271